数学建模 建立函数模型解决实际问题
函数建模的在实际问题中的应用
类型 ，并通过具体 例题说 明了函数建模 的实际应用 。 关键词 函数 建模 应用
用 数学 刻画实 际 问题 ， 用数学 的眼 光看 实际 问题 ，用数 学的语言 表达实 际 问题 ， 也就 是数 学
们 称 直接 从 拟合 数 据 资料 出发 组建 数 学模 型 为 拟合 模型 。一般 来说 ，通过 一个与 现实 生活密 切 相关 的 实例 ， 收集 数据 ，拟 合 函数 模 型 ，解 决 实 际 问题 ， 善 函数 模型 建立 的过程与 方法 ，利 完
个 ， 天需 同样 多 的元 件用 于组装 整机 。该元 件 每
每年分 次进 货 ，每 次 购买元件 的数 量均 为 ｘ，
购一 次货 需手续 费 ５ ０ 元． ０ 已购进 而未使 用 发现 问题 中 的主要 因素 及其 相 互作
．
件要付库存费，可以认为平均库存量为÷ 件， ２
用 已有 的数学 知识 分析 研究 身边 的问题 。
建模 。数学建模 的过 程 ， 一方 面使 实 际问题被 抽
象化 ，揭露 出数学本 质 ， 实 际问题 归入到 数学 使 科学 中 。 一方面 ，使学 习过 的数 学 知识表现 出 另 了应用 价值 。 函数建模 就 是通 过探 索 实际应用 问 题 中的数量关 系和变 化规律 ， 中抽象 出函数 模 从 型 ，并 运用 函数 的知 识解 决实 际 问题 的过程 。
２１ ０ ２年 ９月
电大 理 工 Ｓｕ ｙｏ Ｓ ｉ ｃ ｎ ｎ ｉｅｒ ｇａＲ Ｖ ｔｄ ｆ ｃ ｎｅａｄＥ ｇｎｅｉ ｔ Ｔ Ｕ． ｅ ｎ
第 ３期
总 第 ２ ２期 ５
函数建模 的在实际 问题 中的应用
赵 瑛
阳 １０ ３ ） １０ ４ 辽宁广播 电视大学
构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模策略
解析式变 形 为 ＿ （－ ４ｔ５ ２ （ ） ＝ ２ ３ ） １ ：３ 画 卜
４ ０ ８ ｘ 的最 小 值 。解 得 ， ６ （－ ） 当租 用４ 出二 次 函数 图 像 （ ２ 图略 ） 南图 像 可 后． 座 客 车 ５辆 ．０座 客 车 ３辆 时 ． ６ 租金 知 ， 要使 月销 售利润 不低 于 ４ ０万 元 ． ８
（ ） 间 的 函 数 关 系 式 （ 必 写 的 ＡＢ 的 长 ） 精 确 到 ０１ ｍ ） 元 之 不 （ ．ｋ
４ｘ ３５ 采 用 “ 一 法 ” ２１ ８ ． ＞ 进 取 最 小 正 取值 范围 ） ：
（ ） 此刻 在 飞 船 正 下 方 １ ０ ｍ ２若 ５ｋ
整 数 值再 乘 以 ３０元 ． 即得 ４ ２ ２座 车
等 问题 ． 可 建 立 函数模 型 求解 常 生 才 会 在 主动 探 索 中 感 受 几 何 模 型 的存 在 ． 并会 主 动 构建 的思 想 方 法 ． 以便 更 好 地适 应 当今 竞 争激 烈 的 社会 例 ７ 某 校有 ２ ０ ０ ０名 学 生 ． 想 要
辅助 才 能 解决 的问 题 时 ． 要用 数 学 就
三 、 建 函 数模 型 求解 构
函数 的 产 生 是 人 类 对 现 实 世 界 题 ． 是 解决 这 类 问题 的常 规思 路 这
认知 的一 次重 大 飞 跃 ． 反 映着 量 与 它 四 、 建几 何 模 型求 解 构
中 的 建模 思 想 来 将 实 际 问 题 的 元 素 与 几 何 图 形 中 的量 对 应 并 转 化 才 能
数学建模-指数函数模型的应用(含答案解析)
数学建模-指数函数模型的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．观察实际情景，提出并分析问题（1）实际情景2022年2月，某地发生了新冠肺炎疫情，新冠肺炎是一种传染病，其传染过程的强度和广度分为：（1）散发：是指传染病在人群中散在发生；（2）流行：是指某一地区或某一单位，在某一时期内，某种传染病的发病率，超过了历年同期的发病水平；（3）大流行：指某种传染病在一个短时期内迅速传播、蔓延，超过了一般的流行强度；（4）暴发：指某一局部地区或单位，在短期内突然出现众多的同一种疾病的病人. 如果在新冠肺炎传染的过程中不认为介入，切断其传染链，则对整个社会经济的发展带来严重的后果.（2）提出问题如果没有人工干预，不同时间段内的病例数会按照怎样的规律进行增长呢，对于某个时间内新增的病例数是否可以预测，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失呢？（3）分析问题可以通过收集合适地区的新增病例数并结合建立适当的数学模型，找出病例数增长规律，并对一定时间后新增病例进行估计以支持卫生部门的防疫工作.2.收集数据利用互联网等信息技术，我们可以搜索到一些原始的数据.例如，我们搜集到某地区一周内的累计病例数，请结合上述数据建立合理的数学模型，并估计第9天新增病例数.3．分析数据累计病例数是时间的函数，但没有现成的函数模型．因此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型，散点图如图所示：当然，我们可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型. 4．建立模型根据散点图的形状可设函数模型近似为e at y k =，利用表中的数据可求0.221000e t y =. 5．检验模型画出函数的图形，对比散点图，吻合度很好.6．问题解决该地区病例数y 与时间t 基本满足0.221000e t y =的函数关系，第9天时，预计新增病例数为：0.2291000e 7242y ⨯=≈，我们会发现累计病例数急剧增加，需卫生防疫部门及时介入，采取相应阻断措施.7．问题拓展在上述模型的建立的过程中，我们根据散点图选择了函数模型，然后利用其中的两个点求出模型的两个参数，随着点的选择的不同，所得函数的模型也相异，那么请同学利用课余时间思考如何评价不同模型的优劣？2．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p -=，0p 是海平面大气压强，10.000126m k -=．当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，求高山上该处的海拔．3．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h ，而在22℃的厨房中则约是42h.(1)写出保鲜时间y （单位：h ）关于储藏温度x （单位：℃）的函数解析式；(2)利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间；（参考数据15110.125732⎛⎫ ⎪≈⎝⎭，81170.32832⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，精确到1h ）(3)运用上面的数据，作此函数的图象.二、单选题4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h 5．2021年，郑州大学考古科学队在荣阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730012t N N ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（0N 表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的2至34，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（）（参考数据：2log 3 1.6≈） A ．2600年 B ．3100年 C ．3200年D ．3300年参考答案：1．略【详解】略2．约为8719m 【分析】解方程001e 3kh p p -=即可得解. 【详解】解：由001e 3kh p p p -==可得ln3kh -=-，可得()ln 38719m h k =≈. 3．(1)22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x(2)储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．(3)图象见解析【分析】（1）设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则利用牛奶放在0C ︒的冰箱中，保鲜时间约为192h ，放在22C ︒的厨房中，保鲜时间约为42h ，即可得出函数解析式； （2）将30x =与16x =代入函数解析式，求值即可；（3）根据函数解析式画出函数草图．（1）解：设(0x y k a k =≠，0a >且1)a ≠，则有2219242?k k a =⎧⎨=⎩，∴1221927()32k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，22719232xy ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭()0x ．（2）解：30x =时，30227192()3242y =≈，即储藏温度为30C ︒保鲜时间约24小时；16x =时，16227192()6332y =≈，即储藏温度为16C ︒保鲜时间约为63小时．（3）解：因为22719232x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()0x ，函数图象如下所示：．4．C【分析】利用已知条件()0.100e e 200kt t t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt t t c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥ 故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.930.1t ≤≈ 故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选：C5．A【分析】根据题意列出不等式，求出22922865t <<，从而求出正确答案.57300001324t N N N ⎛⎫<⋅< ⎪⎝⎭，解得：22922865t <<，故选A. 故选：A。
研究性课题：建立实际问题的函数模型
研究性课题：建立实际问题的函数模型指导老师：龚明杰【研究目的】1、（显性的）学会用数学建模的方法解决实际问题，学会撰写有关数学建模的数学小论文。
2、（隐性的）培养数据处理能力以及科学研究的意识与能力。
【研究步骤】一、准备（一）用一课时作理论准备，主要完成以下准备事项：（1）如何建立实际问题的数学模型建立实际问题的数学模型，通常是从收集数据开始的，然后从这些数据中提取信息。
可以采取画图象的方法，从中看出变化趋势。
另外根据图象还可以用某个函数来拟合它，并设法求出这个拟合函数，从而建立一个数学模型，利用这个模型就可对未来变化趋势作出预测。
（2）如何撰写实习报告（小论文）（二）自找课题，写出计划。
二、收集资料/数据（课外完成，时间2天）三、撰写实习报告（课外完成，时间1天）四、实习报告的宣读与交流（课外活动时间完成）[典型交流材料] 我市人口增长的函数模型荆门市掇刀石中学高一（13）班第二课题组为了确定我市人口增长规律，预测我市2010年和2020年的人口数，我们利用课余时间走访了市政府有关部门，获取了如下数据资料：一个城市的人口数与众多因素有关，为使问题简化，我们作了如下的假设：（1）我市的政治、经济、社会环境稳定；（2）我市的人口增长数由其人口的生育、死亡引起，与外界移民无关；（3）我市的人口数量变化是连续的；（4）每个人都有相同的生育能力与死亡机率；基于上述假设，我们认为人口数量是时间的函数。
设时间为t，在t时刻的人口数为p（t）。
根据上面的数据资料绘出散点图，如图所示：t年份观察散点图，从整体趋势看，可以认为散点近似分布在一条以直线y =1950为对称轴的抛物线上。
选定两点（1970，62.95）、(1980,92.97)可得出该抛物线议程为：p(t)=62.94+0.0059(t-1950)2另外，我们还认为散点近似分布在一条指数曲线上。
取1970、1980这两年的数据确定函数得：P(t)=122.78×1.007t-1970通过1990年的人口数据检验，两种方法的误差分别为8.59%和1.07%，所以我们认为第二个模型的精确度较好。
数学建模中的二种模型与真题训练(解析版)
数学建模中的二种模型与真题训练所谓数学建模，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过一定的假设，找出这个问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。
笔者以一次函数的应用为例，探讨几种不同的数学建模过程。
一、直接给出模型二、猜测建立模型 三、实际推导模型我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，原因之一便是脱离实际。
”因此，每一位数学教师都应该善于挖掘身边的生活实例，将它们作为有效的教学资源，让学生在做数学、体验数学的实践活动中，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣，并增强学习数学的自信心。
题型一：建立方程模型解决实际问题一．选择题（共2小题） 1．（2022秋•江北区校级月考）在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能【分析】根据三角形的内角和可求解△ABC 的一内角为90°，进而可判断三角形的形状．【解答】解：设这个三角形为△ABC ，且∠A ＝∠B ﹣∠C ，则∠A +∠C ＝∠B ，∵∠A +∠C +∠B ＝180°，∴∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，故选：A ．【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．2．（2022春•合肥期末）在新冠肺炎疫情防控期间，某药房第一次用7000元购进一次性医用口罩若干个，第二次又用8000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次的1.2倍，且购进的数量比第一次少200个．设第一次购进一次性医用口罩的数量为x 个，则根据题意可列方程为（ ）A ．＝× 1.2B ．×1.2＝技巧方法 题型归纳C．×1.2＝D．×1.2＝【分析】第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，利用单价＝总价÷数量，结合第二次购买每个口罩的价格是第一次购买价格的1.2倍，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：第一次购进一次性医用口罩的数量为x个，则第二次购买一次性医用口罩（x﹣200）个，由题意得．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．二．填空题（共5小题）3．（2022•浦江县模拟）如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有2米（影子完全落在地面）．（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是+1．【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到CE与AD的长度比即可．【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，∴四边形CESK是平行四边形，∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．故答案为：2．（2）连结FH，设DE＝a，CD＝b，由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，∴FH⊥GB，又∵MK⊥GB，∴MK∥FH，∴△MOK∽△FOH．∵FK＝MH，∴OH＝OF，∴∠OFH＝∠OHF，又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，∴∠GFO+∠OHF＝90°，又∵∠FGO+∠OHF＝90°，∴∠GFO＝∠FGO，即OG＝OF，∴OH＝OF＝OG，∴∠FGH＝45°，∴GH＝GF．即：b＝a，∴＝＝＝+1，∴CE：AD＝+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4．（2022春•南海区校级月考）如图，直角三角形ABC中，AC+BC＝5，S△ABC＝，则AC2+BC2的值是19．【分析】由三角形的面积公式求得AC•BC＝3；结合完全平方公式的变形公式得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC，代入求值即可．【解答】解：∵S△ABC＝，AC•BC＝S△ABC，∴AC•BC＝，∴AC•BC＝3．∴AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC＝52﹣2×3＝19．故答案为：19．【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时，利用了完全平方公式的转化公式，巧妙的得到AC2+BC2＝（AC+BC）2﹣2AC•BC．5．（2022•龙岗区模拟）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m．在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4.2m，则DE的长为7m．【分析】利用同一时刻物体高度与影长比值相等进而得出答案．【解答】解：∵AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，EF＝4.2m，∴＝，则＝，解得DE＝7，即DE的长为7m．故答案是：7m．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的性质，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．6．（2022秋•北碚区校级期中）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b 元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元．【分析】由题意可得a（50+b+c）＝3800，再由a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，求出b+c＝140，a＝20，则满足条件的有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，分别列出方程求解讨论即可．【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了1200+1200+1400＝3800（元），即a（50+b+c）＝3800，∵a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，∴185＝50+67+68≤50+b+c≤50+72+73＝195，∴50+b+c＝190，a＝20，即b+c＝140，a＝20，∴有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，①，整理得23x+6y＝520，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；②，整理得11x+2y＝240，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；③，整理得21x+2y＝440，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴，∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；④，整理得3x+y＝70，∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，∴或或或，∴当x＝19，y＝13时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，故答案为：1350．【点评】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．7．（2022春•沙坪坝区校级期中）“如果华佗再世，崇洋都被医治，外邦来学汉字，激发我民族意识…”最近，刘畊宏的键身操刷爆全网，掀起了一股全民健身热潮，《本草纲目》健身操让众多网友直呼酸爽．最出圈的《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量之比为4：3：6，三首曲目时长之比为3：2：2．走红以后，根据众多网友的反馈，刘教练对健身操的动作与曲目时长都进行了重新编排．重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量比之前降低了，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为之前的《公公偏头疼》和《本草纲目》的卡路里每分钟消耗量总和，《龙拳》的卡路里总消耗量减少，《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量与《龙拳》减少的卡路里消耗量之比为2：3，《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，且占三首曲目卡路里消耗总量的10%，则重44：89．【分析】设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，根据题意，分别求出《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），再根据题意建立方程，求解方程即可．【解答】解：设《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目每分钟卡路里的消耗量分别为4k，3k，6k，三首曲目时长分别为3t，2t，2t，∴总消耗的热量为4k•3t+3k•2t+6k•2t＝30kt，则重新编排后，《龙拳》每分钟卡路里的消耗量为3k•（1﹣）＝2k，《本草纲目》每分钟卡路里的消耗量为6k•＝8k，设重新编排后，《公公偏头疼》、《龙拳》、《本草纲目》三首曲目三首曲目时长分别为a、b、c，∴《龙拳》卡路里的总消耗量为2bk，《公公偏头疼》卡路里的总消耗量为8kc，∴《龙拳》减少的卡路里的消耗量为3k•2t﹣2kb＝6kt﹣2kb，∵《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量与《龙拳》减少的卡路里的消耗量之比为2：3，∴《公公偏头疼》增加的卡路里的消耗量为（6kt﹣2bk）＝k（3t﹣2b），∵《本草纲目》增加的卡路里消耗量是《公公偏头疼》增加的卡路里消耗量的2倍，∴《本草纲目》增加的卡路里的消耗量为k（3t﹣2b），∴重新编排后三首曲目卡路里消耗总量为3k•2t﹣（6kt﹣2kb）+4k•3t+k（3t﹣2b）+6k•2t+k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b），∴k（3t﹣2b）＝6k（6t﹣b）×10%，∴t＝b，∴8kc﹣12kt＝k（3t﹣2b），解得b：c＝44：89，故答案为：44：89．【点评】本题考查了方程的实际应用，能够根据题意建立方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（202214倍，求这个多边形的边数；（2）已知一个多边形的每一个内角的度数都等于144°，求这个多边形的边数．【分析】由多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数），多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，（n﹣2）×180°＝4×360°，∴n＝10，答：这个多边形的边数是10．（2）∵这个多边形的每一个内角的度数都等于144°，∴这个多边形的每一个外角的度数都等于180°﹣144°＝36°，∴这个多边形的边数为：360°÷36°＝10．【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）；多边形的外角和等于360°．9．（2023春•潜江月考）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是20肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高16肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是30肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．【解答】解：通过建模把距离转化为线段的长度．由题意得：AB＝20，DC＝16，BC＝30，设BE为x肘尺，EC为（30﹣x）肘尺，在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2＝AB2+BE2＝202+x2，DE2＝DC2+EC2＝162+（30﹣x）2，又∵AE＝DE，∴202+x2＝162+（30﹣x）2，∴x＝12.6，答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根12.6肘尺．【点评】本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．10．（2022春•锦江区期末）成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．（1）求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；（2）小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．①用含a的式子表示b；②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．【分析】（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；（2）①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．【解答】解：（1）设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，由题意得，，解得x＝150，经检验x＝150是原分式方程的根并符合实际意义，所以2x＝2×150＝300，答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．（2）①根据题意可知：300a+150b＝7500，整理得：b＝50﹣2a；②设销售利润为w元，则w＝（380﹣300）a+（180﹣150）b＝80a+30（50﹣2a）＝20a+1500，w是关于a的一次函数，a＞0，所以w随着a的增大而增大，∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，∴，解得10，a为正整数，所以当a＝16时利润最大，最大利润w＝20×16+1500＝1820，所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．11．（2022秋•宜兴市期末）好学的丽丽用所学知识测量路灯的高度．如图，丽丽和爸爸站在路灯AD下，爸爸的身高EF＝1.8m，丽丽的身高MN＝1.6m．爸爸的影子BF＝3m，丽丽的影子CN＝2m，两人相距FN＝16m，求路灯AD的高度．【分析】根据相似三角形△EBF∽△ABD的对应边成比例可得答案．【解答】解：∵EF∥AD，∴△EBF∽△ABD．∴．∴＝．∴．同理：，∴，∴．∴．∴AD＝7.2m．答：路灯AD的高度为7.2m．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．12．（2022春•武汉期末）如图1，已知直线l1∥l2，点A、B在直线l1上，点C、D在l2上，线段AD交线段BC于点E，且∠BED＝60°．（1）求证：∠ABE+∠EDC＝60°；（2）如图2，当F、G分别在线段AE、EC上，且∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，标记∠BFE为∠1，∠BGD为∠2．①若∠1﹣∠2＝16°，求∠ADC的度数；【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的外角的性质解答即可；（2）①设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解；②利用①中的方法，设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y，通过计算k∠1+∠2，令计算结果中的x的系数为0即可求得结论．【解答】（1）证明：∵l1∥l2，∴∠ABE＝∠ECD．∵∠BED＝∠ECD+∠EDC，∠BED＝60°，∴∠ABE+∠EDC＝60°；（2）解：①∵∠ABF＝2∠FBE，∠EDG＝2∠GDC，∴设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．∴3x+3y＝60°，∴x+y＝20°．∵∠1+∠FBE＝∠BED＝60°，∠2+∠EDG＝∠BED＝60°，∴∠1+∠FBE＝∠2+∠EDG，∴∠1﹣∠2＝∠EDG﹣∠FBE，∵∠1﹣∠2＝16°，∴2y﹣x＝16°．∴，解得：．∴∠ADC＝3y＝36°．设∠FBE＝x，∠GDC＝y，则∠ABF＝2x，∠EDG＝2y．∴∠ABE＝3x，∠EDC＝3y．由①知：x+y＝20，∴y＝20﹣x，∵∠1＝∠BED﹣∠FBE＝60﹣x，∠2＝∠BED﹣∠EDG＝60﹣2y，∴k∠1+∠2＝k（60﹣x）+60﹣2y＝60k﹣kx+60﹣2（20﹣x）＝（2﹣k）x+60k+20，∵k∠1+∠2为定值，∴2﹣k＝0，∴k＝2，∴此时k∠1+∠2＝60×2+20＝140°，∴当k＝2时，（k∠1+∠2）为定值，此时定值为140°．故答案为：2；140°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，利用方程或方程组的思想解答是解题的关键．题型二：建立函数模型解决实际问题一．选择题（共4小题）1．（2023度）不同而有不同的数值，某次实验测得音速y（米/秒）与气温x（℃）的部分数据如表：气温x（℃）05101520…音速y（米/秒）331334337340343…下列说法不正确的是（）A．气温是因变量，音速是自变量B．y随x的增大而增大C．当气温是25℃时，音速是346米/秒D．气温每升高5℃，音速增加3米/秒【分析】结合表格信息运用函数的概念进行求解．【解答】解：由题意得，气温是自变量，音速是因变量；而y随x的增大而增大，气温每升高5℃，音速增加3米/秒，故当气温是25℃时，音速是346米/秒，故选：A．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识．2．（2022秋•亳州期中）已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50）B．y＝50﹣x（0≤x≤50）C．y＝25﹣x（0＜x＜25）D．y＝25﹣x（0≤x≤25）【分析】根据长方形周长的计算方法进行列式、求解．【解答】解：由题意得2（x+y）＝50，解得y＝25﹣x（0＜x＜25），故选：C．【点评】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能正确理解问题间数量关系进行求解．3．（2022•涧西区一模）如图①，点A、B是⊙O上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（）A．B．C．5D．【分析】从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，由勾股定理逆定理可知，OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时t＝2，走过的角度为90°，可求出点P运动的速度，当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，进而求解．【解答】解：从图2看，当x＝2时，y＝AP＝6，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为AP＝3，当x＝0时，OB2+OA2＝AP2，∴△OAB是直角三角形，且OA⊥OB，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，此时x＝2，走过的角度为90°，则走过的弧长为×2π×r＝，∴点P的运动速度是÷2＝（cm/s），当t＝m时，AP＝OA＝OB，即△OAP是等边三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠BOP＝360°﹣90°﹣60°＝210°，此时点P走过的弧长为：×2π×r＝，∴m＝÷＝，故选：D．【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．4．（2021秋•梁溪区校级期中）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分（如图1），画2条直线，最多能把白纸分成4部分（如图2），画3条直线，最多能把白纸分成7部分（如图3），当在一张白纸上画15条直线，最多能把白纸分成的部分是（）A．120B．121C．122D．123【分析】设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，当x＝1时，y＝2，当x＝2时，y＝4，当x＝3时，y ＝7，所以y与x满足了二次函数，然后进行计算即可．【解答】解：设直线的条数为x，最多能把白纸分成了y部分，由题意得：y＝ax2+bx+c，则，解得：，y＝x2+x+1，∴当x＝15时，代入y＝x2+x+1得，y＝121，故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据数据判断它们满足的是什么函数是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2021春•北镇市期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，点M，N从A点出发，点M沿线段AB运动，点N沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随之停止运动）．若设AM＝AN＝xcm，阴影部分的面积为ycm2，则y与x之间的关系式为y＝﹣x2+48．【分析】因为空白部分面积可表示为x2，长方形ABCD的面积为8×6，则可表示出该函数解析式为y＝﹣x2+48．【解答】解：由题意得，该阴影部分的面积为6×8﹣x2＝﹣x2+48，故答案为：y＝﹣x2+48．【点评】此题考查了根据实际问题写出相关函数表达式的能力，关键是能准确理解题目间的数量关系．6．（2021春•普宁市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为9．【分析】连接BF，依据等边三角形的性质，即可得到点F在∠DBE的角平分线上运动；当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，最后根据CB的长即可得到CF的长．【解答】解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6 ，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝6 ×＝9．故答案为：9．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，即等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．连接BF，得到点F在∠DBE的角平分线上运动是解决问题的关键．7．（2022秋•青羊区期末）已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝8，点E、F分别是边AB、CD的中点，点P为AD边上动点，过点P作与AB平行的直线交AF于点G，连接PE，点M是PE中点，连接MG，则MG的最小值＝．【分析】方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，利用矩形性质和三角形中位线定理可得：MH＝AE＝2，再证明四边形MNPH是矩形，可得：PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，再证得△APG是等腰直角三角形，得出PG＝AP＝x，推出NG＝PG﹣PN＝x﹣2，运用勾股定理可得MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，设P（0，t），运用中点坐标公式可得M（﹣2，），利用待定系数法求得直线AG的解析式为y＝x+4，进而可得G（t﹣4，t），再运用两点间距离公式即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，过点M作MN⊥PG于点N，取AP的中点H，连接MH，EF，设AP＝x，则AH＝PH＝x，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴AB＝CD＝8，AD＝4，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD，∵PG∥AB，∴PG∥CD，∴∠APG＝∠D＝90°，∵点E、F分别是边AB、CD的中点，AB＝2AD＝8，∴AE＝AD＝DF＝4，∵点M是PE中点，点H是AP的中点，∴MH∥AB，MH＝AE＝2，∴∠PHM＝∠BAD＝90°，∵MN⊥PG，∴∠MNP＝∠MNG＝90°＝∠PHM＝∠APG，∴四边形MNPH是矩形，∴PN＝MH＝2，MN＝PH＝x，∵AD＝DF，∠D＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴∠AFD＝45°，∵PG∥CD，∴∠AGP＝∠AFD＝45°，∵∠APG＝90°，∴△APG是等腰直角三角形，∴PG＝AP＝x，∴NG＝PG﹣PN＝x﹣2，在Rt△MNG中，MG2＝MN2+NG2＝（x）2+（x﹣2）2＝（x﹣）2+，∵＞0，∴当x＝时，MG2取得最小值，∵MG＝＝＝，∴MG的最小值为，故答案为：．方法二：如图，以点D为原点，直线CD为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2AD＝8，∴A（0，4），B（﹣8，4），C（﹣8，0），D（0，0），∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴E（﹣4，4），F（﹣4，0），设P（0，t），∵点M是PE中点，∴M（﹣2，），设直线AG的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AG的解析式为y＝x+4，∵PG∥x轴交AF于G，∴G（t﹣4，t），∴MG2＝[（t﹣4）﹣（﹣2）]2+（t﹣）2＝t2﹣6t+8＝（t﹣）2+，∵＞0，∴MG2有最小值，∵MG＞0，∴MG的最小值为＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，二次函数的最值等知识，解题关键是运用函数思想解决几何问题．三．解答题（共7小题）8．（2022春•顺德区校级期中）甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：123456…通话时间t（分钟）0.150.300.450.60.750.9…电话费y（元）（1）自变量是t，因变量是y．（2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式．（3）若小明通话15分钟，则需付话费多少元？（4）若小明某次通话后，需付话费6元，则小明通话多少分钟？【分析】（1）根据函数的定义即可确定自变量与因变量；（2）根据表格信息可得每通话1分钟需付话费0.15元可求得此题结果；（3）将t＝15代入该函数解析式进行求解即可；（4）将y＝6代入该函数解析式进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可得，自变量是t，因变量是y，故答案为：t，y；（2）由题意可得，每通话10.15元，∴电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式是y＝0.15t；（3）当t＝15时，得y＝0.15×15＝2.25，故小明通话15分钟，则需付话费2.25元；（4）当y＝6时，得0.15t＝6，解得t＝40，故小明通话40分钟．【点评】此题考查了运用函数的概念解决实际问题的能力，关键是能结合题意与函数的概念进行列式、计算．9．（2022春•云岩区期中）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式．排碳计算公式：家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785开私家车的二氧化碳排放量（kg）＝耗油量（L）×2.7家用天然气二氧化碳排放量（kg）＝天然气使用量（m3）×0.19家用自来水二氧化碳排放量（kg）＝自来水使用量（t）×0.91（1）设家居用电的二氧化碳排放量为y（kg），耗电量为x（kW•h），则家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为y＝0.785x；（2）在上述关系式中，耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg；当耗电量从1kW⋅h增加到100kW•h时，二氧化碳排放从0.785kg增加到78.5kg；（3）小明家本月家居用电大约110kW•h，天然气20m3，自来水5t，开私家车耗油75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．【分析】（1）根据家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可得此题结果；（2）由家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785可解得此题结果；（3）分别按照表中提供信息分别进行求解．【解答】解：（1）由题意可得y＝0.785x，故答案为：y＝0.785x；（2）∵家居用电的二氧化碳排放量（kg）＝耗电量（kW•h）×0.785，∴耗电量每增加1kW•h，二氧化碳排放量增加0.785kg，当耗电量1kW⋅h时二氧化碳排放量为0.785kg，当耗电量100kW⋅h时二氧化碳排放量为78.5kg，故答案为：0.785kg，78.5kg；（3）110×0.785＝86.35（kg），0.19×20＝3.8（kg），0.91×5＝4.55（kg），2.7×75＝202.5（kg），答：小明家用电的二氧化碳排放量是86.35kg，天然气的二氧化碳排放量是3.8kg，自来水的二氧化碳排放量是4.55kg，开私家车的二氧化碳排放量是202.5kg．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．10．（2023春•中原区期中）已知梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，梯形的面积记为y．（1）求梯形的面积y与上底长x之间的关系式；（2）请将下面的表格补充完整，并说明当x每增加1时，y如何变化；底长x…23456…面积y…6872768084…（3）当x＝0时，y的值表示的含义是什么？【分析】（1）结合题意，运用梯形面积公式进行列式、化简；（2）分别将对应x的值代入（1）题所求函数解析式进行求解；（3）当x＝0时该梯形就变成了一个三角形，y的值表示的含义是就是该三角形的面积．【解答】解：（1）由题意得，y＝×（x+15）×8，化简得y＝4x+60，∴该梯形的面积y与上底长x之间的关系式是y＝4x+60；（2）当x＝3时，y＝4×3+60＝12+60＝72；当x＝6时，y＝4×6+60＝24+60＝84，故答案为：84；（3）当x＝0时，该图形就变成了一个三角形，∴y的值表示的含义是就是一个底为15，高是8的三角形的面积．【点评】此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能准确理解题意，正确地列式、计算．11．（2022春•碑林区校级期中）大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张8元．暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款，两种方案只能选择其中一种，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别求出两种优惠方案中y与x的关系式；（2）若听音乐会的学生人数为12人，请通过计算确定选择哪种方案更优惠．【分析】（1）根据两种消费方式分别列出对应的函数解析式；（2）将x＝12分别代入两个函数解析式进行计算比较．【解答】解：（1）由题意得，方案1中y与x的关系式为：y＝20×4+8×（x﹣4），。
2019-2020年数学必修第一册课后试题：第四章 数学建模(人教A版)
数学建模建立函数模型解决实际问题
一、数学建模活动选题
1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重．
3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．
4．估计阅读一本书所需要的时间．
5．估计一个人的血液总量．
6．决定十字路口黄灯亮的时间长度．
选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题．
选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益性等原则．
选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应．
二、数学建模活动开题
以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做开题报告，如下表：
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．
三、数学建模活动做题
做题就是研究小组建立数学模型、用数学知识解决实际问题的实践活动，在实践活动中应当按照数学建模的实施步骤进行．
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
四、数学建模活动结题
数学建模活动结束后，以小组为单位，撰写一份研究报告．以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表：。
构建数学模型解决实际问题
构建数学模型 解决实际问题——例谈新课改下的初中数学建模教学内容摘要：数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。
在初中数学教学中，教师应帮助学生树立模型思想，让学生通过对初中常见数学模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、统计、概率模型等的学习，领会数学模型的思想和方法。
教师还要引导学生根据题意建立数学模型。
使学生明白：数学建模过程就是通过运用观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决实际问题，从而使学生体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣。
关键词: 初中数学，数学建模，问题解决一、 问题提出数学新课标指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。
数学与人类的活动息息相关。
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。
”数学素养他包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。
数学建模既有“数学意识”的因素，又有“问题解决”的因素。
“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
在新课标对学习内容的要求中，又着重强调“数与代数”的教学中，应帮助学生树立模型思想，“模型”是数与代数的重要内容。
代数是表示交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从单纯关注计算转向关注模型表示与计算，因而在初中进行数学建模教学是提高学生应用意识和培养数学素养的重要途径，这也体现了新课标提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。
二、初中数学建模的过程与类型 （一）、 初中数学建模的过程解释与应用从现实生活中抽象出数学问题建立数学模型求出数学模型的结果（二）、初中数学常见数学模型及教学2.1、方程（组）模型方程（组）是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
因此，在方程（组）的教学中，应关注数学建模应用的过程，以培养学生良好的方程观念，增强学生的数学应用意识，用数学思想构造模型，解方程（组）则是另一个方面。
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
18
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
一、固体废物数据的搜集与处理 我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地 区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一 个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：
1
课前预习
课堂互动
建模选题
教材知识探究
@《创新设计》
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的 几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现 在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模 课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年 在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美 国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以 说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
数学建模 建立函数模型解决实际问题
@《创新设计》
课标要求
素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者 通过生活中具体的数学模型，进行提出问
经济领域中的数学模型，体会人们是如何 题、分析数据、建立模型、检验模型来发
借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中 展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
参数的现实意义.
15
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[求解模型] 所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米 处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深 入沙漠65千米. [检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米 可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？
实际问题的函数建模
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到
实际问题．
数学建模过程： 实际问题 抽象概括 数学模型
推 理 演 算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
例1
某公司一年需要一种计算机元件
8000个,每天需同样多的元件用于组装 整机.该元件每年分n次进货,每次购买 元件的数量均为x,购一次货需手续费
用计算器得：a2, b1.02
这样就得到函数模型：y=21.02x.
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍
为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为
175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
解析: 将x=175代入y=21.02x，得
y=21.02175
用计算器得：y 63.98 由于 7863.981.22>1.2,
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的数据,能否建立一个恰当的函数模型, 使它能近似地反映这个地区未成年男性体重y ㎏与身 高x ㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式.
解：以身高为横坐标、体重为纵坐标,画出散点图 根据图的分布特 点,设y=a· bx这一 函数来近似刻画 其关系;
所以这个男生偏胖。
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的
经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与
住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率 20元 65％ 18元 75％ 16元 85％ 14元 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C ）
A.20元
B.18元
数学建模 建立函数模型解决实际问题
如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍
为偏瘦,那么现有这个地区某中学一个男生身高175 cm,体重
78 kg,他的体重是否正常?
分析数据 该地区未成年男性的体重与身高之间存在函数关
系,但没有现成的函数模型,因此可以根据给出的数据画出散
点图,利用图象直观地分析这组数据的变化规律,从而帮助我
【变式训练1】 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值
如下表:
身
高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体
重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
0.76
4
2
4
1
5
1.84
5
1.26
6
1.40
6
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入
A,B两种商品各多少钱才最合算.请你帮助制定一个资金投入
方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营
者下月可获得的最大纯利润.(结果精确到0.1)
分析数据 由表中数据可知,该个体经营者试销A,B两种商品
们选择函数模型.
以身高x为横坐标,体重y为纵坐标,
画出散点图如图所示.
根据散点图中点的分布情况,可考虑用y=a·bx作为刻画这个地
区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型 设函数的解析式为 y=a·bx(a>0,b>0,b≠1).
不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)代入 y=a·bx,
17-5-3 建立一次函数的模型解决实际问题课件2022-2023学年华东师大版八年级数学下册
0
10 20 40 60
V(cm3) 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3
能否据此求出V和t的函数关系？
你能不能根据表中数据猜想 V和t之间是什么函数关系？
分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点.
V(cm3)
1002.0 1001.5 1001.0 1000.5 1000.0 999.5 999.0 998.5
3.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的变化而减少.蓄水 量 V (万m3) 与干旱持续时间 t (天) 的关系如图所示，根据图象回答下列 问题： (4) 按照这个规律，预计干旱持续多少 天水库将干涸？
解：(4) 预计干旱持续 60 天水库将 干涸.
4.刘老师开车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于汽车发生故障，停下修车 耽误了一会儿.为了按时到校，老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校. 在课堂上，刘老师请学生画出汽车行进路程s(千米)与行进时间t(小时)的凳高x(cm) 37.0
桌高y(cm) 70.0
第二档 40.0 74.8
第三档 42.0 78.0
第四档 45.0 82.8
档次 高度
凳高x(cm)
桌高y(cm)
第一档
37.0 70.0
第二档
40.0 74.8
第三档
42.0 78.0
第四档
45.0 82.8
(1)小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这 个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）； (2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm， 凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由．
数学建模 建立函数模型解决实际问题
数学 必修 第一册 A
返回ห้องสมุดไป่ตู้航
谢谢观看！
Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
数学 必修 第一册 A
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
数学 必修 第一册 A
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
数学 必修 第一册 A
返回导航
第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．
高中数学的建模思想与应用
高中数学的建模思想与应用数学建模是一种应用数学的思想和方法，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并通过求解模型来解释实际问题，从而解决实际问题的一种方法。
在高中数学中，建模思想的应用越来越广泛，本文将从三个方面探讨高中数学的建模思想与应用。
一、数学建模思想的重要性数学建模思想是数学学科的核心思想之一，它能够将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，通过求解模型来解释实际问题，从而解决实际问题。
在高中数学中，建模思想的应用能够帮助学生更好地理解数学概念和公式，提高他们的解题能力和思维能力。
同时，通过建模思想的运用，学生能够更好地掌握数学知识，提高自己的数学素养和应用能力。
二、建模思想在高中数学中的应用1.函数模型的建立函数是高中数学中的一个重要概念，它能够描述变量之间的依赖关系。
在高中数学中，函数模型的应用非常广泛，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
通过建立函数模型，学生能够更好地理解函数的概念和性质，掌握函数的解题方法和应用技巧。
例如，在解决实际问题时，可以根据实际情况建立相应的函数模型，通过求解模型来得到问题的解。
2.概率统计模型的建立概率统计是高中数学中的一个重要分支，它能够描述随机现象的统计规律性。
在高中数学中，概率统计模型的应用也非常广泛，例如在解决实际问题时，可以根据实际情况建立相应的概率统计模型，通过求解模型来得到问题的解。
同时，概率统计模型还能够帮助学生更好地理解概率和统计的概念和方法，提高他们的数学素养和应用能力。
3.几何模型的建立几何是高中数学中的一个重要分支，它能够通过图形来描述空间结构和平面关系。
在高中数学中，几何模型的应用非常广泛，例如在解决实际问题时，可以根据实际情况建立相应的几何模型，通过求解模型来得到问题的解。
同时，几何模型还能够帮助学生更好地理解图形的性质和特征，提高他们的空间想象力和解题能力。
三、建模思想培养的途径在高中数学教学中，建模思想的培养需要通过多种途径来实现。
建立函数模型 解决实际问题
ｉ ＂ 表示易拉罐 的容积 ； ｔ ：
ｓ表示易拉罐的表面积 ； ｈ 表示易拉罐的总高度 ； ： ：
ｒ表示易拉罐的底面半径 ； ｌ表示易拉罐的总造价 ； ｋ 表示侧面积的单位面积造价 ； ： ： ：
一
ｌ０ — ４
：
表示上 、 下底面 的单位 面积 的造价 ； ｅ表示侧 面积的厚度 ； Ｂ ： ： ｅ表示上 、 下底面的厚度
Ｊｎ． ２ ０ ａ ，０ ８
建 立 函数 模 型 解 决 实 际 问题
陈 业 勤 张 学 兵
（ 江苏淮安信息职业技术 学院 ，江苏淮安 ２３ ０ ） ２ ０３
摘 要 以２０ ０６高教社杯全国大学生数 学建模 ｃ题为 例， 探讨如何建立函数 模型 ， 解决实际问题
关 键 词 数学模型 ； ； 函数 易拉罐 ； 设计
数学概念和方法去表现模型．
３ 函数 模 型 的建 立
研究数学模型 ， 建立数学模型 ， 进而借鉴数学模型 ， 对提高解决 实际问题 的能力 ， 以及提高 素养都是 十分重要 的， 建立 函数
模型的步骤可分为 ： １ （ ）分析问题中哪些是变量 ， 哪些是常量， 分别用字母表 示 ；２ （ ）根据所给条件 ， 运用数学 、 物理或其他知识 ， 确定等量关系 ；３ 具体写出解析式 Ｙ＝． ） 并求解． （） 厂 ， （ 例如 ：０ ６年全国高教社杯大学生数学建模 Ｃ题如下 ： ２０
１ 数学模型的含义
数学模型是对于现实世界的一个特定对象 ， 一个特定 目的 ， 根据特有 的内在规律 ， 出一些必要 的假设 ， 做 运用适 当的数学工
具， 得到一个数学结构． 简单地说 ： 就是系统的某种特征的本质的数 学表达式 （ 或是用数 学术语对部分 现实世界 的描述 ） 即用数 ， 学式子（ 如函数 、 图形 、 代数方程 、 微分方程 、 积分方程、 差分方程 等）来描述 （ 表述 、 模拟）所 研究 的客观对 象或系统在某一方面 的存在规律．
2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课件(北师大版)
实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
解:(1)根据题意,由于最大畜养量为 m 只,实际畜养量为 x 只,则畜养率为 ,故空闲率
为 1- ,由此可得 y=kx(1- )(0<x<m).
制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是(
)
(A)月接待游客量逐月增加
(B)年接待游客量逐年增加
(C)各年的月接待游客量高峰期大致在7月和8月
(D)各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较
安稳
解析:由题图可知A不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B
正确.从图视察C是正确的,D也正确,1～6月比较安稳,7～12月波动比较
),所以 L(x)=
- + -, < < 19,
-( +
), ≥ .
(2)年产量为多少万件时,该厂家在这一商品的生产中所获利润最大?最大利
润是多少?
2
解:(2)当 0<x<19 时,L(x)=- (x-18) +116,
此时,当 x=18 时,L(x)取得最大值 L(18)=116 万元.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
备用例题
[例题] 某企业常年生产一种出口产品,自202X年以来,每年在正常情况下,
该产品产量安稳增长.已知202X年为第1年,前4年年产量f(x)(万件)如下表
如何构建生活中变化的数学模型—函数
如何构建生活中变化的数学模型—函数摘要】对于数学中的函数问题，与我们的生活各个方面息息相关.要使学生更好的理解数学，就要将数学知识运用于实际生活中，使学生们能够在熟悉的生活环境中融入数学，拉近与数学间的距离，克服怕数学，逃避数学的问题。
如何将数学问题与实际生活联系起来呢？最好的办法就是在实际生活中构建数学模型，将抽象问题具体化。
本文就“如何构建生活中变化的数学模型——函数”进行详细论述。
【关键词】数学模型；生活；联系；抽象；具体化；函数一、在生活中构建数学模型的步骤首先，要提出问题，准备模型。
了解需要建模的对象，利用计算机网络或者身边的资源搜集需要建模所需要的资料，确定模型建立的目标。
知道自己需要利用模型解决怎样的问题，并用清晰的语言将所要探讨的问题表述出来。
然后，将数学模型与日常生活相联系。
根据数学问题所具有的特征找到日常生活中与之相应的特征，能恰当的模拟数学关系。
再然后，找到生活中的具体模型后，明确变量和变量间的关系。
通过生活中我们所熟悉的关系理解数学问题中的变量关系。
分析各种因素，并根据这些因素做出数学假设。
接着，根据建立好的模型计算出或者实验出所得的几个结果。
[1]得到结果后，将所得结果进行检验，判断所得结果是否符合模型目标，是否成功解决数学问题。
最后，将检验后的几个数学模型进行评比，选出最优的数学模型。
将最优结果得出后进行优化。
二、数学模型中函数的构建首先，对于实际问题进行转换：研究日常生活中问题的各个变量之间的联系，确定各个变量之间的逻辑关系，用X、Y 等分别表示所研究问题中的变化因素。
然后，建立函数模型：用 X 表示问题中的自变量，用 Y 表示问题中的因变量。
在中学数学中，一般建立的是一次函数。
最后，解出函数模型：根据实际问题所想要得到的目的，并结合问题中的特点来选择适当的函数知识来构建函数模型，解出模型的解。
三、解决函数问题的过程中还应注重的问题第一，快速定位，阅读理解的能力，通过阅读，搜索，考察，收集数据，画图，归类的方法整理问题中所涉及到的数据，弄清数据之间的关系等等。
构建数学模型 解决实际问题
构建数学模型解决实际问题随着信息时代的到来，数学与其它学科的联系更加密切，数学的应用越来越广泛，因此构建数学模型、解决实际问题已成为近几年的中考热点之一。
这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价值和社会价值，有利于考查学生分析、猜想、建模和综合应用等各方面的能力。
一、构造一元二次方程模型，解决实际问题在实际问题中，要分析具体的数量关系，抓住问题中的不变量，找出等量关系，运用数学知识解决问题。
例1、某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件。
如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件。
假设超市为使这种商品每天赚得8000元利润，商品的售价应定为每件多少元？分析：本题中的不变量是每天赚得8000元的利润，相等关系是：每件商品的利润×销售数量=8000元。
解：设该商品的售价为（50+x）元，则每件商品的利润为[（50+x）-40]元，销售量为（500-10x）件。
根据题意得：[（50+x）-40](500+10x)=8000解得：x1=10，x2=30所以，每天要赚得8000元的利润，这种商品的售价应定为每件60元或80元。
此类问题较好地体现了“问题情境——建立模型——解决问题”的数学学习模式，能较好地考查学生运用方程解决问题的能力。
二、构造函数关系，解决实际问题建立函数模型是解决有关实际问题的重要方法，要通过学生审题，把实际问题提炼出某个函数模型的过程，从而利用数学知识使问题迎刃而解。
例2、近几年，扬州先后获得了“中国优秀旅游城市”和“僵生态建设示范城市”等十多个殊荣，到扬州观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引了大量的游客前来观光。
事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物。
该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数。
已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40≤x≤70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图1所示的一次函数关系。
建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题一．单元教学内容本节主要是引导学生通过建立函数模型解决实际问题。
主要包括：在实际情境中从数学视角发现和提出问题，收集数据，分析问题，构建模型，确定参数，计算求解，检验并改进模型，最终解决实际问题。
完成数学建模活动，并根据要求撰写研究报告。
二．单元目标1.经历从实际情境中用数学的眼光发现问题，提出问题的过程，发展数学抽象素养。
2.掌握分析问题和解决问题的能力，提高“四能”。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
三．教学问题诊断分析.学生学习过一次函数，二次函教，幂函数，指数函教，对数函数等概念和性质。
对初等函数比较熟悉，初步具备建立函数模型的知识基础，但对于如何建立模型尚不明确，选择函数模型是本节课的难点,对于函数模型的选择，要让学生知道函数模型的选取是多样的，通过分析探究，交流合作，小组展示，师生释疑等环节，设计环环相扣的问题，引导学生思考，对比，选择最优模型。
四．教学支持条件分析.借用图形计算器对数据进行分析-画散点图，根据散点图选择函数模型，观察函数模型和实际数据的吻合程度，通过计算相关指数对所选函数模型进行评价，寻找最优函数模型。
五．教学过程设计.(一).课时教学内容本节主要内容是建立函数模型解决实际问题，引导学生发现生活中所蕴含的数学信息，提出数学问题，分析问题，用函数模型解决问题。
(二).课时教学目标1.会从数学视角发现生活中蕴含的数学信息，提出问题。
2.掌握分析问题，解决问题的能力。
3.经历建立模型和检验模型的过程，发展数学建模素养。
(三).教学重点与难点重点：函数模型的选择和建立难点：函数模型的选择(四)教学过程1.情境引入我们生活中有很多问题都需要用数学知识解决，比如十一假期即将到来，商场需根据以往的销售数据策划新的销售方案，从而使利润达到最大。
我们每天看的天气预报等等，这些都需用数学建模的知识。
设计意图:从实际生活出发，引入问题，让学生感受数学的应用价值，通过设疑，引入主题，让学生初步认识数学建模。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
14
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
②第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米 处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点. ③第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4 天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份(到此为止甲自带的食物和水已吃完)，第 5天走到30千米处吃1份(此处食物和水是乙留下的)，第6天走到10千米处吃1份，然后 回出发点.
3
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤 (1)观察实际情景：对实际问题中的变化过程进行分析； (2)发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系； (3)收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类 型； (4)选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题 化归为数学问题； (5)求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型； (6)检验模型： 利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.
1
课前预习
课堂互动
建模选题
教材知识探究
@《创新设计》
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的 几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现 在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模 课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年 在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美 国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以 说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
23
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
垃圾回收方式占比
质量(kg)
未处理(kg)
填埋(kg)
焚烧(kg)
回收(kg)
12 077.208 5 326.084 629 5 9 988.455 29 940.089 909 6 822.578 670 9
根据我们在网络上了解的知识： ①大部分的塑料都是以填埋的方式处理； ②筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃； ③塑料制品一般是填埋. 根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：
20
课前预习
课堂互动
建模选题
根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下： 网站ele.me理论单月垃圾产生量
@《创新设计》
垃圾种类 一次性筷子 塑料袋 塑料碗 锡箔 包装纸
数量
113 496
195 355 111 254 1 268 72 010
占比
23.00%
39.60% 22.55% 0.26% 14.60%
13
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
【例4】 [提出问题] 甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已 知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人 最远可深入沙漠多少千米？(要求最后两人返回出发点) [建立模型] 要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另 一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？ ①经过商议让甲走得更远(最远走4×20＝80(千米)，但回程就没有食物和水了)，需 要乙在适当的地点留下足够的食物和水.
品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地 区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的 生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的 死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分 析与讨论.
16
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
题型二 数学建模活动主要过程的探究 【例5】 关于外卖垃圾问题的分析与解决 [选题] 餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数
量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当 为今社会快速的生活节奏，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来
12
课前预习
பைடு நூலகம்
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[求解模型] 由条件得不定方程组
x＋y＋z＝10，① 9x＋5y＋2z＝61，②
②－2×①消去 z 得 7x＋3y＝41.
正整数解为xy＝ ＝29，(不合方程①)，xy＝ ＝52，
x＝5， y＝2， z＝3，
[检验结果] 验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中 5、2、3 次，总共得分 61 分.
8
课前预习
课堂互动
@《创新设计》 建模选题
@《创新设计》
[检验结果] 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况， 如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.
9
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
【例2】 [提出问题] 两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时. 现同时点燃两根蜡烛.一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两 根蜡烛燃烧了多长时间？ [建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y(厘米/ 小时)，则有y＝l＝3x； ②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R＝3r.
18
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
一、固体废物数据的搜集与处理 我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地 区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一 个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：
分析，析出其中的常量、变量及其相互关系.( √ ) 3.求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达
到解决问题的目的.( √ )
5
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[微思考] 数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？
提示 科学研究通常需要经历四个基本步骤 (1)选题； (2)开题； (3)做题； (4)结题.
22
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
根据以上的数据我们可以清楚地看到： ①饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料 袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困 难的事情. ②在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多. 二、固体废弃物处理情况 由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：
11
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
【例3】 [提出问题] 李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小 猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一 次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次. [建立模型] ①设每次不可能同时套中2个及2个以上的玩具； ②为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中 x，y，z次，x，y，z∈N＋，然后解不定方程组.
17
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[开题] 从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方 式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减 少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的 体积有关.目前，填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更 好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半 径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后， 我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场 建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.
2
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
问题 你知道什么是数学建模吗？ 提示 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识 与方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发 现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最 终解决实际问题.
6
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
题型一 数学建模主要步骤的探究 【例1】 [提出问题]在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，
警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？
7
课前预习
课堂互动
建模选题
[建立模型] 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论. (1)每条线路都有往返双向线； (2)设4条路分别为A，B，C，D； (3)以A为起始， ①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D， ②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D. [求解模型] 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数. ①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能； ②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能.
24
课前预习
课堂互动