空间平面与平面的位置关系教案

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平面与平面之间的位置关系教案

平面与平面之间的位置关系教案

平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系,包括平行和相交两种情况。

2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交,并能够运用这个知识解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:平面与平面平行的判定与性质,平面与平面相交的判定与性质。

2. 教学难点:如何判断两个平面是否平行或相交,以及如何在实际问题中运用这个知识。

四、教学方法1. 采用讲授法,讲解平面与平面之间的位置关系的定义、判定和性质。

2. 利用多媒体展示实例,帮助学生直观理解平面与平面之间的位置关系。

3. 引导学生进行实践操作,培养学生的动手能力。

4. 设计具有针对性的练习题,巩固所学知识。

五、教学过程1. 导入:通过生活实例引入平面与平面之间的位置关系,激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入:讲解平面与平面平行的判定与性质。

3. 实例分析:利用多媒体展示实例,让学生直观理解平面与平面平行的判定与性质。

4. 课堂练习:设计具有针对性的练习题,让学生巩固所学知识。

5. 新课导入:讲解平面与平面相交的判定与性质。

6. 实例分析:利用多媒体展示实例,让学生直观理解平面与平面相交的判定与性质。

7. 课堂练习:设计具有针对性的练习题,让学生巩固所学知识。

8. 总结与拓展:总结本节课所学内容,引导学生思考平面与平面之间的位置关系在实际问题中的应用。

9. 课后作业:布置适量作业,让学生进一步巩固所学知识。

10. 教学反思:对课堂教学进行总结,针对学生的掌握情况,调整教学策略。

六、教学评价1. 评价内容:学生对平面与平面之间位置关系的理解,包括平行和相交的判定与性质。

2. 评价方法:通过课堂练习、课后作业和课堂讨论等方式进行评价。

3. 评价指标:a. 学生能够准确判断平面与平面的位置关系;b. 学生能够运用所学知识解决实际问题;七、教学反馈1. 收集学生作业、练习和测试成绩,分析学生对平面与平面之间位置关系的掌握情况。

教学设计2:8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

教学设计2:8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中点与直线有两种关系:点在线上,点在线外如图中A在线AB上在线A’B’外.点与平面位置关系有两种:点在面上,点在面外如图A在平面ABCD上A不在BB’C’C’上.2.空间中直线与直线的位置关系不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线平行直线(无交点).共面直线:相交直线(一个交点);异面直线(无交点).3.异面直线的画法:4.异面直线所成的角如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a'∥a,b'∥b,我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).为了简便,点O通常取在两条异面直线中的一条上,例如,取在直线b上,然后经过点O作直线a'∥a,a'和b所成的锐角(或直角)就是异面直线a与b所成的角.5.练习一、已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点,那么MN与AB所在的直线是异面直线吗?解:是,因为两条直线既不相交也不平行.练习二、如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'中.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?(2)直线BA'和CC'的夹角是多少?6.空间中直线与平面的位置关系:直线在平面内(无数个公共点);直线与平面相交(一个公共点);直线与平面平行(没有公共点).7.空间中平面与平面的位置关系:两个平面平行(没有公共点);两个平面相交(有一条公共直线).8.探究:如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,连接A'B,D'C,请你举出一些图中直线与平面的位置关系.平面ABCD//平面A'B'C'D',平面AA'DD'//平面BB'CC',AA '//平面BB'CC',A'B//平面CC'DD'等.9.例一:如图用符号表示下列图形中的直线、平面之间的位置关系.解:在(1)中α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B在(2)α∩β=l,.a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P10.例二:如图,AB∩α=B,A∉α,a⊂α,B∉a.直线AB 与a具有怎样的位置关系?为什么?解:直线AB与a是异面直线.理由如下:若直线AB 与a不是异面直线,则它们相交或平行,设它们确定的平面为β,则B∈β,αβ⊂由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α,因此平面平面α与β重合,从而ABα⊂, 进而A∈α,这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.补充说明:例二告诉我们一种判断异面直线的方法:与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.11.例3:已知a,b,c是三条直线,如果a与b是异面直线,b与c是异面直线,那么a与c有怎样学生思考例三学生独立思考例5并回答段炼学生立体感段炼学生独立解决问题能力的位置关系?并画图说明.解:直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面.如图(1)(2)(3).总结:判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法:由定义判断两条直线不可能在同一平面内.(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB 与l是异面直线(如图).12.例4:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系.解:(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)平面AMD1与平面BNC相交.12.例5:在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.证明:∵在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,∴AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,∴G∈AA1,G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1,BE⊂平面BEF,∴G∈平面ACC1A1,G∈平面BEF,∴平面ACC1A1与平面BEF相交.总结:判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点,如果没有公共点,则两平面平行;如果可以找到一个公共点,则两平面相交.1.空间中直线与直线位置关系.。

平面与平面的位置关系优秀教案

平面与平面的位置关系优秀教案

平面与平面的位置关系一、教学目标1.了解两个平面之间存在的位置关系;掌握两个平面平行的判定方法以及面与面平行的性质定理,并且能够运用面面平行的判定、性质定理证明空间中的平行问题。

2.类比学习,理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义,会求两个平行平面间的距离。

3.熟悉线线、线面、面面平行的转化,进一步理解等价转化思想在解决立体几何问题中的运用,并提高空间想象能力。

二、教学重难点重点:面面平行的判定、性质的理解及应用。

难点:线线平行、线面平行、面面平行的相互转化。

三、教学设计引入:1.观察教室中的四周墙壁,这四个平面两两之间是什么关系?2.翻阅手中的书,两页书纸所在平面具有哪几种位置关系? 两个平面的位置关系定义:如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行。

思考:(1)、平面α内有一条直线与平面β平行,则βα//吗? (2)、平面α内有两条直线与平面β平行,则βα//吗? (3)、平面α内有无数条直线与平面β平行,则βα//吗?β a(4)、平面α内任意一条直线与平面β平行,则βα//吗? (5)、平面α内有两条相交直线分别与平面β平行,则βα//吗? 探究:面面平行的判定 问题:如果两个平面平行,那么(1)、一个平面内的直线是否平行于另一个平面? (2)、分别在两个平面内的两条直线是否平行? 两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.符号语言:},,////,//a b a b A a b αααβββ⊂⊂=⇒ 图形语言:简记为:线面平行⇒面面平行α 两个平面平行的性质定理如果两个平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行符号语言:b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα图形语言:简记为:面面平行⇒线线平行补充:与两个平行平面都垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线。

它夹在这两个平行平面间的线段,叫做这两个平行平面的公垂线段。

空间平面与平面的位置关系

空间平面与平面的位置关系

二、两个平面平行的判定
1.一个平面内的一条 直线平行于另一个平 面,能否推出这两个平 面平行? (不能)
2.一个平面内的两条 直线平行于另一个平 面,能否推出这两个平 面平行? (不能)
3.无数条呢? (不能)
二、两个平面平行的判定
已 , 知 , : , , 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交
公路
问题
1、在平面几何中“角”是怎样定义的?
答:从平面内一点出发的两条 o • 射线所组成的图形叫做角。
2、定理1?
A
答:如果一个角的两边和另一
个角的两边分别平行,那么这
两个角相等或互补。
B
想一想 B
B B
B
O
A
B
B B
? 两个面组成的图形

半平面及二面角的定义
1、半平面:平面内的一条直线,把这个平面分成
b
上节回顾:
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。
相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
异面直线所成的角 平移,转化为相交直线所成的角
公理4: 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.
空间中,如果两个角的两边分别对应平行, 等角定理:
三、两个平面平行的性质
2.两个平面平行的性质定理
面面平行的性质定理:如果两个 平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
//
即:
a
a // b
b
如何证明? 简 记 为 “ 面 面 线 平线 行平 行 ”
a
b
线线平行
线面平行
面面平行

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系一、教学内容分析二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形,它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后,研究的一种空间的角,二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识,对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养,乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.二、教学目标设计理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题.三、教学重点及难点二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.四、教学流程设计五、教学过程设计一、新课引入1.复习和回顾平面角的有关知识.平面中的角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角图形结构射线—点—射线表示法∠AOB,∠O等2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义,及其共同特征.(空间角转化为平面角)3.观察:陡峭与否,跟山坡面与水平面所成的角大小有关,而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中,能够转化为两个平面所成角例子非常多,比如在这间教室里,谁能举出能够体现两个平面所成角的实例?(如图1,课本的开合、门或窗的开关.)从而,引出“二面角”的定义及相关内容.二、学习新课(一)二面角的定义平面中的角二面角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角课本P17图形结构射线—点—射线半平面—直线—半平面表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β(二)二面角的图示1.画出直立式、平卧式二面角各一个,并分别给予表示.2.在正方体中认识二面角.(三)二面角的平面角平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成,它有一个旋转量,它的大小可以度量,类似地,"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成,它也有一个旋转量,那么,二面角的大小应该怎样度量?1.二面角的平面角的定义(课本P17).2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.[说明]①平面与平面的位置关系,只有相交或平行两种情况,为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要来研究二面角的度量问题.②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比,用“平面角”去度量.③二面角的平面角的三个主要特征:角的顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边分别与棱垂直.3.二面角的平面角的范围:(四)例题分析例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC,以它的高AD为折痕,将其折成一个的二面角,求此时B、C两点间的距离.[说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况.②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变?例2 如图,已知边长为a的等边三角形所在平面外有一点P,使PA=PB=PC=a,求二面角的大小.[说明] ①求二面角的步骤:作—证—算—答.②引导学生掌握解题可操作性的通法(定义法和线面垂直法).例3 已知正方体,求二面角的大小.(课本P18例1)[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法.(五)问题拓展例4 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?[说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.三、巩固练习1.在棱长为1的正方体中,求二面角的大小.2. 若二面角的大小为,P在平面上,点P到的距离为h,求点P到棱l的距离.四、课堂小结1.二面角的定义2.二面角的平面角的定义及其范围3.二面角的平面角的常用作图方法4.求二面角的大小(作—证—算—答)五、作业布置1.课本P18练习14.4(1)2.在二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10,求它到棱的距离.3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠,使二面角A-BD-C 成的二面角,求A、C两点的距离.六、教学设计说明本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生,而是考虑到知识的形成过程,设法从学生的数学现实出发,调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫,学生的主动探究,使学生经历概念的形成、发展和应用过程,有意识地加强了知识形成过程的教学.。

空间点,直线,平面之间的位置关系教案.

空间点,直线,平面之间的位置关系教案.

§2.1.1 平面一、教学目标:1、知识与技能(1)利用生活中的实物对平面进行描述;(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图;(3)掌握平面的基本性质及作用;(4)培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法(1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识;(2)让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点:1、平面的概念及表示;2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点:平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板四、教学思想(一)实物引入、揭示课题师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印象,你们能举出更多例子吗引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时,教师对学生的活动给予评价。

师:那么,平面的含义是什么呢这就是我们这节课所要学习的内容。

(二)研探新知1、平面含义师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师:在平面几何中,怎样画直线(一学生上黑板画)之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

D C BA α如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画(打出投影片)课本P41 图 说明平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。

平面与平面之间的位置关系教案

平面与平面之间的位置关系教案

平面与平面之间的位置关系教案一、教学目标1. 让学生理解平面与平面之间的位置关系,包括平行和相交两种情况。

2. 让学生掌握如何判断两个平面是否平行或相交,以及如何求解平面之间的交线。

3. 培养学生的空间想象力,提高解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 平面与平面平行的判定与性质2. 平面与平面相交的判定与性质3. 平面之间的交线求解4. 实际案例分析三、教学方法1. 采用讲授法,讲解平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。

2. 利用多媒体课件,展示平面与平面之间的位置关系,增强学生的空间想象力。

3. 结合实例,让学生通过动手操作,巩固所学知识。

4. 开展小组讨论,培养学生的合作能力。

四、教学步骤1. 引入新课:通过生活中的实例,如墙角、桌面等,引导学生思考平面与平面之间的位置关系。

2. 讲解平面与平面平行的判定与性质:引导学生了解平面与平面平行的定义,讲解判定方法和性质。

3. 讲解平面与平面相交的判定与性质:引导学生了解平面与平面相交的定义,讲解判定方法和性质。

4. 讲解平面之间的交线求解:引导学生了解如何求解平面之间的交线,讲解方法和相关公式。

5. 实例分析:给出实际案例,让学生动手操作,巩固所学知识。

五、课后作业1. 复习平面与平面之间的位置关系的基本概念、判定方法和性质。

2. 练习求解平面之间的交线,提高解题能力。

六、教学评估1. 课堂问答:通过提问,了解学生对平面与平面之间位置关系的理解和掌握情况。

2. 课后作业:检查学生的课后作业,评估学生对平面与平面之间位置关系的判定方法和性质的掌握程度。

3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,了解学生的合作能力和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 引导学生思考平面与平面之间位置关系在现实生活中的应用,如建筑、设计等领域。

2. 介绍三维建模软件,让学生尝试运用所学知识进行简单的三维模型设计。

3. 推荐相关书籍和在线资源,鼓励学生深入研究平面与平面之间位置关系的应用。

高一数学空间平面与平面的位置关系教案

高一数学空间平面与平面的位置关系教案

一、教学内容:空间平面与平面的位置关系二、学习目标1. 了解空间平面与平面的位置关系;2. 掌握空间平面间位置关系的判定定理及其简单应用,了解定理的证明;3. 掌握空间平面间位置关系的性质定理及其简单应用,掌握定理的证明;4. 通过一些典型题,掌握空间位置关系证明的常用方法;5. 了解二面角求解的一些方法。

三、知识要点1. 空间平面与平面的位置关系(1)平面与平面平行(无公共点),记作α//β;(2)平面与平面相交(有且仅有一条公共直线),记作α∩β=a;它们的图形表示如下:2、平面和平面平行的判定(1)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;(2)判定定理(推论):如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内两条相交直线分别平行,则这两个平面平行。

3、两个平面平行的性质(1)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(2)性质定理:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.(3)性质:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。

(4)性质:夹在两个平行平面间的平行线段相等。

4、两个平行平面间的距离定义:夹在两个平行平面间的垂线段的长5、两个平面垂直的判定(1)定义:相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面;(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

(3)判定定理:如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

6、两个平面垂直的性质(1)性质定理:若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

(2)性质:两个相交平面都和第三个平面垂直,则它们的交线也和第三个平面垂直。

7、二面角(1)二面角的定义:从同一条直线出发的两个半平面所形成的图形;(2)二面角的平面角:过棱上任意一点分别在两个面内作棱的垂线,则垂线所形成的角称为二面角的平面角,α∈[0,π]。

2025届高考数学一轮复习教案:立体几何-空间点、直线、平面之间的位置关系

2025届高考数学一轮复习教案:立体几何-空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,了解四个基本事实和一个定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.考情分析考点考法:以空间几何体为载体,考查基本事实及其结论在判断位置关系、交线问题、求角中的应用.求异面直线所成的角是高考的热点,在各个题型中均有所体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.四个基本事实基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.符号:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号:P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.符号:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.3.空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a ∥b a ∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a ∩b =A a ∩α=A α∩β=l 其他关系图形语言-符号语言a ,b 是异面直线a ⊂α-【微点拨】(1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:,【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号14231.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合B.经过两条相交直线,有且只有一个平面C.两两相交的三条直线共面D.若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线【解析】选ACD.A中的两个平面可能相交;B正确;C中的三条直线相交于一点时可能不共面;D中的两条直线可能是平行直线.2.(易错题)若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【解析】选B.由题意知,直线l与平面α相交,则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系,因而只有选项B是正确的.3.(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则()A.直线BC1与DA1所成的角为90°B.直线BC1与CA1所成的角为90°C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】选ABD.如图,连接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因为AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1⊂平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,连接B1C,则B1C⊥BC1,因为CD∩B1C=C,CD,B1C⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1⊂平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确.连接A1C1,交B1D1于点O,则易得OC1⊥平面BB1D1D,连接OB,因为OB⊂平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,则易得BC1=2a,OC1=22,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C错误.因为C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正确.4.(必修二P134例1变形式)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为正方形.【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD.(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12BD,所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考点·分类突破】考点一空间位置关系的判断[例1](1)(多选题)下列选项正确的是()A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥l【解析】选AD.对于选项A,可设l1与l2相交,这两条直线确定的平面为α;若l3与l1相交于B,则交点B在平面α内,同理,l3与l2的交点A也在平面α内,所以AB⊂α,即l3⊂α,选项A正确.对于选项B,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,选项B错误.对于选项C,空间中两条直线可能相交、平行或异面,选项C错误.对于选项D,若直线m⊥平面α,则m垂直于平面α内所有直线.因为直线l⊂平面α,所以直线m⊥直线l,选项D正确.(2)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH 与MN异面.答案:②④【解题技法】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.两直线位置关系的判断【微提醒】平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线.【对点训练】1.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【解析】选C.由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B均错误;若c与a,b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a∥b,与a,b为异面直线矛盾,D错误.2.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线.上述命题中错误的是__________(写出所有错误命题的序号).【解析】由基本事实4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错误;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错误;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④错误.答案:②③④考点二基本事实及其应用[例2]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和C1D1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)BE,DF,CC1三线共点.【证明】(1)如图,连接EF,BD,B1D1,因为EF是△B1C1D1的中位线,所以EF∥B1D1,因为BB1与DD1平行且相等,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四点共面;(2)因为EF∥BD,且EF≠BD,所以直线BE和DF相交,延长BE,DF,设它们相交于点P,因为P∈直线BE,直线BE⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因为P∈直线DF,直线DF⊂平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因为平面BB1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三线共点.【解题技法】1.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.2.共面、共点问题(1)先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)利用确定平面的定理,如由点构造平行直线、构造相交直线等.【对点训练】1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.所以γ与β的交线必经过点C和点M.2.已知空间四边形ABCD(如图所示),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD 上的点,且CG=13BC,CH=13DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接EF,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为CG=13BC,CH=13DC,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因为平面EFHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共点.考点三异面直线所成的角[例3](1)如图所示,圆柱O1O2的底面半径为1,高为2,AB是一条母线,BD是圆O1的直径,C是上底面圆周上一点,∠CBD=30°,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()A.33535B.43535C.3714D.277【解析】选C.连接AO2,设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E,连接CE,易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角,连接CD(图略),在Rt△BCD 中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=B2+B2=7,CE=B2+B2=5,所以在△CAE中,cos∠CAE=B2+B2-B22B·B==3714,即异面直线AC与BD所成角的余弦值为3714.(2)(2023·武汉模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为()A .33B .55C .1010D .3010【解析】选D .设AB =2,取A 1B 1的中点F ,连接C 1F ,DF ,DE ,则B 1F =12A 1B 1,因为D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DE ∥AB ,DE =12AB ,因为A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB ,所以DE ∥B 1F ,B 1F =DE ,所以四边形DEB 1F 为平行四边形,所以DF ∥B 1E ,所以∠C 1DF 为异面直线C 1D 与B 1E 所成的角或补角.因为AB ⊥BC ,AB =BC =AA 1=2,D ,E 分别为AC ,BC 的中点,所以DF =B 1E =12+22=5,C 1F =12+22=5,C 1D =(2)2+22=6,所以cos ∠C 1DF =121D ==3010.【解题技法】求异面直线所成角的方法(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.(2)求异面直线所成角的三步:一作、二证、三求.①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.【对点训练】1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π4D.π6【解析】选D.如图,连接A1C1,BC1,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为2,则PB=6,PC1=2,BC1=22,则PB2+P12=B12,在Rt△PBC1中,因为sin∠PBC1=B1B1=2=12,所以直线PB与AD1所成的角为π6.2.如图,在圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD, SO=OB=3,SE=14SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为()A .222B .53C .1316D .113【解析】选D .如图,过点S 作SF ∥OE ,交AB 于点F ,连接CF ,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角.因为SE =14SB ,所以SE =13BE.又OB =3,所以OF =13OB =1.因为SO ⊥OC ,SO =OC =3,所以SC =32.因为SO ⊥OF ,所以SF =B 2+D 2=10.因为OC ⊥OF ,所以CF =10.所以在等腰△SCF 中,tan ∠CSF =113.即异面直线SC 与OE 所成角的正切值为113.【加练备选】平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD =m ,α∩平面ABB 1A 1=n ,则m ,n 所成角的正弦值为()A .32B .22C .33D .13【解析】选A .如图所示,过点A 补作一个与正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF 1E ,则m ,n 所成的角为∠EAF 1.因为△AF 1E 为正三角形,所以sin ∠EAF 1=sin 60°=32.。

空间中平面与平面位置关系

空间中平面与平面位置关系
2.1.4 空间中平面与平 面之间的位置关系
甘南县第一中学 数学组 吴越峰
一。教学目标
1.知识与技能 (1)了解空间中平面与平面位置关系 (2)培养学生的空间想象能力. 2.过程与方法 让学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理
解、掌握
3.情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性,、
提高学生的学习兴趣.
二、教学重点与难点
平面与平面的相交和平行定义理解及作图
一、两个平面的位置关 系
第一、二层的底面α和β无 论怎样延伸都没有公共点;
前、后两面房顶γ和δ只 有一条交线AB.
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
(1)两个平面平行 如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面
互相平行. (2)两个平面相交
(1)a与 内所有的直线平行;(2)a与 内无数条直线
平行;(3)a与 内任何一条直线都不垂直;
(4)a与 的距离等于 , 间的距离,
其中正确的命题的序号是
D'
C'
A'
B'
D
C
A
B
两个平面之间的关系有且只有两种: (1)两个平面平行――没有公共点; (2)两个平面相交――有一条公共直线。 想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画? 画两个互相平行的平面时,要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行
图1
图2

×
小结:空间中面与面的位置关系
图形

图1
图2
研探新知:
提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢? 观察思考:
(1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

(教案)平面与平面平行

(教案)平面与平面平行

平面与平面平行【教学目标】1.通过学习空间两平面的位置关系,培养直观想象的数学核心素养。

2.借助两平面平行的判定与性质的学习,提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。

【教学重难点】1.掌握空间两个平面的位置关系,并会判断。

2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题。

3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。

【教学过程】一、问题导入我们知道,如果平面α与平面β没有公共点,则α∥β。

同直线与平面平行类似,用定义来判定平面与平面平行并不容易,那么平面与平面平行有什么更好的判定方法呢?二、新知探究1.平面与平面间的位置关系【例1】已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交。

其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)。

③④[①错。

a与b也可能异面;②错。

a与b也可能平行;③对。

∵α∥β,∵α与β无公共点。

又∵a⊂α,b⊂β,∵a与b无公共点;④对。

由已知及③知:a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面;⑤错。

a与β也可能平行。

]【教师小结】两个平面的位置关系有两种:平行和相交,没有公共点则平行,有公共点则相交。

2.平面与平面平行的判定【例2】如图所示,在三棱柱ABC­A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EF A1∥平面BCHG。

[解](1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是∵A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面。

(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG。

高中高三数学《空间平面与平面的位置关系》教案、教学设计

高中高三数学《空间平面与平面的位置关系》教案、教学设计
4.合作学习,互补优势:
组织学生进行小组讨论,让每个学生都能参与到问题解决过程中,培养学生的合作意识和交流能力。
5.精讲精练,巩固知识:
对重点知识进行详细讲解,让学生掌握解题方法,并通过典型例题和练习题,巩固所学知识。
6.关注个体差异,因材施教:
针对学生在学习过程中出现的问题,给予个别指导,使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.两个平面垂直,第三个平面与其中一个平面相交,第三个平面与另一个平面的位置关系是什么?
c.两个平面相交,第三个平面同时与这两个平面相交,这三个平面的位置关系有哪些可能性?
要求各小组给出解答过程和结论,并在下节课上分享。
4.请同学们在课后思考以下问题,并撰写一篇关于空间平面与平面位置关系的学习心得:
1.请同学们结合教材中的例题和课堂讲解,完成课后习题第1、2、3题,强化对空间平面与平面位置关系的理解和应用。
2.设计一道关于空间平面与平面位置关系的实际问题,要求运用本节课所学的判定定理和性质进行解答。此题旨在培养学生的创新意识和解决问题的能力。
3.小组合作,共同探讨以下问题:
a.两个平面平行,第三个平面与其中一个平面相交,第三个平面与另一个平面的位置关系是什么?
3.培养学生严谨、踏实的学风,使学生认识到学习数学需要勤奋刻苦、持之以恒。
4.增强学生对数学学科的兴趣和信心,激发学生进一步学习数学的热情。
二、学情分析
本章节的学习对象为高中三年级学生,他们在之前的学习中已经掌握了空间几何的基本知识,如点、线、面的位置关系,具有一定的空间想象能力和逻辑思维能力。在此基础上,学生对空间平面与平面的位置关系这一知识点有了初步的认识,但对于判定定理和性质的理解可能还不够深入,需要通过本章节的学习进行巩固和拓展。

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思

人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学,学生将能够:1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系;2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题;3.进一步培养学生的数学思维,提高学生的空间想象能力和综合运用能力。

二、教学重点和难点教学重点:1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征;2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系;3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。

教学难点:1.掌握点、直线、平面的共面关系;2.学会在空间中画出图形;3.掌握平面间的位置关系。

三、教学过程1. 导入环节(5分钟)引导学生通过生活实际情境,复习几何学中的点、线、面的概念,并对此进行概括,展现本课内容的片面性和局限性,进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。

同时,激发学生空间想象的能力。

2. 正式教学环节(40分钟)1)点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系,并用图形进行示范。

然后,让学生自己分析和总结,归纳出点与直线的位置关系的有关性质。

例如:•点在直线上;•点在直线上的外部;•点在线的两侧;•点与直线相离。

2)点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系,老师同样先给出范例进行示范,帮助学生加深理解。

然后,再让学生自己探究和总结,归纳点与平面的位置关系的有关性质。

例如:•点在平面上;•点在平面上的内部;•点在平面上的外部。

3)直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系,为学生提供相关的图形,并进行实操。

教师同样应给学生提供足够多的机会,让学生自行探究总结,得出有关性质。

例如:•直线在平面上;•直线与平面交于一点;•直线与平面平行;•直线与平面垂直。

4)平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后,适当引入平面与平面的位置关系。

老师还是要以图形为依据,实践出多重案例,使学生理解平面与平面的位置关系的本质。

【教学设计】《第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识》(上教)

【教学设计】《第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识》(上教)

《第5节 长方体中平面与平面位置关系的认识》在学习本单元之前,学生已经对长方体有了初步的认识,能辨别出哪些物体是长方体。

本单元就是进一步探究有关长方体的知识,了解长方体的元素及特征,掌握长方体直观图的画法,知道长方体中棱与棱、棱与平面及平面与平面的位置关系。

本课的教学内容是由长方体中平面与平面的位置关系,引申到空间中平面与平面的位置关系。

【知识与能力目标】掌握长方体中平面与平面的位置关系,以及空间中平面与平面的位置关系。

【过程与方法目标】在探究长方体中平面与平面的位置关系的过程中,体会认知事物的概括分类思想,培养学生初步的空间观念和空间想象能力。

【情感态度价值观目标】使学生初步建立空间观念,培养学生用数学进行交流、合作探究和创新的意识,感受数学与现实生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣。

【教学重点】理解长方体中平面与平面的平行、垂直的位置关系。

【教学难点】检验平面与平面垂直、平面与平面平行的方法。

多媒体课件。

一、复习引入问题:空间中两条不重合直线有哪几种位置关系?答:平行、相交、异面。

问题:空间直线与平面有哪几种位置关系?答:垂直、平行。

问题:检验直线是否垂直于平面的方法有哪些?答:①“铅垂线”检验;②“三角尺”检验;③“合页型折纸”检验。

问题:检验直线是否平行于平面的方法有哪些?答:①“铅垂线”检验;②“长方形纸片”检验。

教师:我们已经知道长方体中棱与棱、棱与平面的位置关系,这节课我们就一起来研究一下长方体中平面与平面的位置关系。

二、探究新知1、平面与平面垂直。

教师:在长方体ABCD-EFGH中,面EFGH、面ABFE、与面BCGF三个面中,任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象。

平面α垂直于平面β,记作:平面α⊥平面β,读作:平面α垂直于平面β。

问题:如何检验平面与平面垂直呢?教师:①可以用“铅垂线”检验。

方法:用铅垂线可以检验课桌的侧面是否垂直于地面。

如果铅垂线能紧贴课桌的侧面,那么这个课桌的侧面就垂直于地面。

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系

高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系教学内容:空间平面与平面的位置关系教学目标:1. 理解空间中两个平面的位置关系概念,包括平行、垂直、相交等。

2. 掌握判断两个平面位置关系的方法。

3. 能够应用所学知识解决相关问题。

教学重点:1. 平面的方向向量、法向量的概念;2. 判断两个平面位置关系的方法;3. 应用所学知识解决相关问题。

教学准备:1. 教材:高中数学教材;2. 教具:黑板、粉笔。

教学过程:Step 1 知识点介绍1. 介绍空间平面与平面的位置关系的概念,包括平行、垂直和相交等;2. 介绍平面的方向向量、法向量的概念,以及方向向量、法向量与平面的关系。

Step 2 判断平面位置关系的方法1. 判断两个平面是否平行的方法:a. 比较两个平面的法向量是否平行;b. 比较两个平面的方向向量是否共线。

2. 判断两个平面是否垂直的方法:a. 比较两个平面的法向量是否垂直;b. 比较两个平面的方向向量是否垂直。

3. 判断两个平面是否相交的方法:a. 比较两个平面是否有公共点;b. 比较两个平面的法向量是否平行。

Step 3 解决相关问题1. 按照所学方法,解决一些具体的例题,让学生熟悉判断平面位置关系的步骤;2. 提供一些综合性的问题,让学生巩固所学知识,培养解决实际问题的能力。

Step 4 小结与拓展1. 对判断平面位置关系的方法进行总结,强调重点;2. 扩展学生思维,讨论其他类型的平面位置关系。

Step 5 课堂练习让学生进行课堂练习,巩固所学知识。

Step 6 作业布置布置相应的作业,要求学生巩固所学内容。

教学反思:本节课以空间平面与平面的位置关系为主要内容,旨在教导学生掌握判断平面位置关系的方法。

通过理论介绍和实例演练,提高了学生的理解能力和应用能力。

同时,引导学生思考其他类型的平面位置关系,拓宽了学生的思维。

平面与平面之间的位置关系》教案

平面与平面之间的位置关系》教案

平面与平面之间的位置关系》教案教学目标:1.理解两个平面的位置关系,并掌握平行的概念。

2.掌握判定两个平面平行的定理,并能够应用这些定理证明两个平面平行。

3.掌握两个平面平行的性质定理,并能应用这些定理将“线线平行”,“线面平行”和“面面平行”相互转化。

教学重难点:重点:两个平面的位置关系,平行的概念和判定定理,性质定理及其应用。

难点:判定两个平面平行的定理和性质定理的应用。

教学过程:一、问题情境情境:使用长方体模型的面和教室的不同墙面来感受两个平面之间的位置关系。

问题:根据公共点的情况,两个平面可能有哪几种位置关系?二、探究新知1.两个平面的位置关系位置关系公共点符号表示图形表示两平面平行没有公共点α//β α β两平面相交有一条公共直线α∩β ≠ φ α β2.思考:如果两个平面平行,那么:1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面?2)分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是怎样的呢?对于问题(1),根据两个平面平行和直线和平面平行的定义可知,两个平面平行时,其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面。

这也是判定线面平行的另一种方法。

对于问题(2),分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点,因此只能判定它们是平行的还是异面的。

三、课堂小结1.两个平面平行——没有公共点。

画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行。

2.如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.3.如果两个平面没有公共点,则两平面平行。

即若α∩β=φ,则α//β。

如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交。

即若α∩β≠φ,则αβ。

四、作业布置练 P50.。

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(1)空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形,它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后,研究的一种空间的角,二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识,对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养,乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.
二、教学目标设计
理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题.
三、教学重点及难点
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教学流程设计 五、教学过程设计
一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角
定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角 图形
复习回顾 引入新课
类比引导 提出问题
定理证明 会用反证法
例题选讲 定理应用
巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置
结构射线—点—射线
表示法∠AOB,∠O等
2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义,及其共同特征.(空间角转化为平面角)
3.观察:陡峭与否,跟山坡面与水平面所成的角大小有关,而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中,能够转化为两个平面所成角例子非常多,比如在这间教室里,谁能举出能够体现两个平面所成角的实例?(如图1,课本的开合、门或窗的开关.)从而,引出“二面角”的定义及相关内容.
二、学习新课
(一)二面角的定义
平面中的角二面角
定义从一个顶点出发的两条射线
所组成的图形,叫做角
课本P17
图形
结构射线—点—射线半平面—直线—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
(二)二面角的图示
1.画出直立式、平卧式二面角各一个,并分别给予表示.
2.在正方体中认识二面角.
(三)二面角的平面角
平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成,它有一个旋转量,它的大
A
C
B
D
P
小可以度量,类似地,"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成,它也有一个旋转量,那么,二面角的大小应该怎样度量?
1.二面角的平面角的定义(课本P17).
2.∠AOB 的大小与点O 在棱上的位置无关.
[说明]①平面与平面的位置关系,只有相交或平行两种情况,为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要来研究二面角的度量问题.
②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比,用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三个主要特征:角的顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边分别与棱垂直.
3.二面角的平面角的范围:[0,]π (四)例题分析
例1 一张边长为a 的正三角形纸片ABC ,以它的高AD 为折痕,将其折成一个60d 的二面角,求此时B 、C 两点间的距离.
[说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况. ②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变? 例2 如图,已知边长为a 的等边三角形ABC 所在平面外有一点P ,使PA=PB=PC=a ,求二面角A PB C --的大小. [说明] ①求二面角的步骤:作—证—算—答.
②引导学生掌握解题可操作性的通法(定义法和线面垂直法).
例3 已知正方体''''ABCD A B C D -,求二面角'''B AC B --的大小.(课本P18例1)
[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法. (五)问题拓展
例4 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60d ,山坡上有一条直道CD ,它和坡脚的水平线AB 的夹角是30d ,沿这条路上山,行走100米后升高多少米? [说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.
三、巩固练习
1.在棱长为1的正方体1AC 中,求二面角11A B D C --的大小.
2. 若二面角l αβ--的大小为30d ,P 在平面α上,点P 到β的距离为h ,求点P 到棱l 的距离.
四、课堂小结 1.二面角的定义
2.二面角的平面角的定义及其范围
3.二面角的平面角的常用作图方法
4.求二面角的大小(作—证—算—答)
五、作业布置 1.课本P18练习(1)
2.在60d
二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10,求它到棱的距离. 3.把边长为a 的正方形ABCD 以BD 为轴折叠,使二面角A-BD-C 成60d
的二面角,求A 、C 两点的距离. 六、教学设计说明
本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生,而是考虑到知识的形成过程,设法从学生的数学现实出发,调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫,学生的主动探究,使学生经历概念的形成、发展和应用过程,有意识地加强了知识形成过程的教学.。

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