正弦函数的图像(五点法)
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第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版
第6讲 正余弦函数图像及其性质知识梳理1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：)0,0( )1,2(π )0,(π )1,23(-π)0,2(π2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。
由正弦函数图像可知： （1）定义域：R（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,22,22ππππ；（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ； （6）对称中心：（0,πk ）；（7）对称轴：2ππ+=k x（8）最值：当且仅当,22ππ+=k x y 取最大值1max =y ；当且仅当,232ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
（9）最小正周期：π2=T一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2注意：1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ（6）对称中心：（0,2ππ+k ）（7）对称轴：πk x =（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。
正弦函数、余弦函数的图像 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
思考1: 根据函数 = , ∈0,2
= , ∈ 的图象吗？
3
当 ∈ [2, 4], [−2, 0],…时，函数 = 的图象如何？
y
1
4
3
2
o
2
3
4
1
y sin x, x [0, 2]
sin(x 2k) sin x, k Z
函数y=-cosx的图
象与函数y=cosx的
图象有什么关系？
三、课堂小结
1. 理解用定义来画正弦函数的图象；
2. 理解用平移法画余弦函数图象；
3. 掌握正弦函数、余弦函数图象及特征；
三、课堂小结
五点法
4 、重点掌握正弦曲线、余弦曲线
图象变换法
3
2
2
x
0
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=cosx
横轴五点排均匀，
上下顶点圆滑行；
上凸下凹形相似，
游走酷似波浪行.
y
1
(3)连线
o
2
-1
3
2
2
x
二、例题讲解
例题1. 用“五点法”作下列函数的简图：
(1) y 1 sin x, x [0, 2]
(2) y cos x, x [0, 2]
( 1 ) = 1 + , ∈ [0,2]
2.如何从定义出发研究三角函数的图像？
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到
原来的位置，这一现象可以用公式来表示
sinx 2 sin x, cosx 2 cos x
3
探究1:在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，
= , ∈ 的图象吗？
3
当 ∈ [2, 4], [−2, 0],…时，函数 = 的图象如何？
y
1
4
3
2
o
2
3
4
1
y sin x, x [0, 2]
sin(x 2k) sin x, k Z
函数y=-cosx的图
象与函数y=cosx的
图象有什么关系？
三、课堂小结
1. 理解用定义来画正弦函数的图象；
2. 理解用平移法画余弦函数图象；
3. 掌握正弦函数、余弦函数图象及特征；
三、课堂小结
五点法
4 、重点掌握正弦曲线、余弦曲线
图象变换法
3
2
2
x
0
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=cosx
横轴五点排均匀，
上下顶点圆滑行；
上凸下凹形相似，
游走酷似波浪行.
y
1
(3)连线
o
2
-1
3
2
2
x
二、例题讲解
例题1. 用“五点法”作下列函数的简图：
(1) y 1 sin x, x [0, 2]
(2) y cos x, x [0, 2]
( 1 ) = 1 + , ∈ [0,2]
2.如何从定义出发研究三角函数的图像？
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到
原来的位置，这一现象可以用公式来表示
sinx 2 sin x, cosx 2 cos x
3
探究1:在[0,2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
正弦余弦函数的图象
陈经纶中学
高一备课组
复习
y r=1 α O M P(x,y)
y＝sinα= MP (正弦线 正弦线) 正弦线
x
y＝cosα=OM (余弦线 余弦线) 余弦线
正弦函数、 正弦函数、余弦函数
y=sinα y=sin x
一般地，我们用x表示自变量，即x表示角的大小， 表示自变量， 表示角的大小， 一般地，我们用 表示自变量 表示角的大小 表示函数值， 用y表示函数值，这样，我们就定义了任意角的 表示函数值 这样， 正弦函数y=sinx，其定义域为 正弦函数 ，其定义域为R.
上移1 上移1个单位
横坐标不变， 横坐标不变， 纵坐标伸长 为原来的2 为原来的2倍
沿x轴翻折
四、小结 小结
正弦、 正弦、余弦函数的图象
几何法 五点作图法（作图常用此法） 五点作图法（作图常用此法）
1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
●
-1 -2
3π 2
●
●
2π
x
练习（ ） 练习（2） 画y=-cosx，x∈[0, 2π]的简图 ， ∈ π 的简图 解：按五个关键点列表 π 3π π 2π x 0 2 2 cosx -cosx
y 1
1 -1
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y=-cosx x∈ 2 ] [0, π
●
o
-1
●
π
●
2
π
y=cosx x∈ [0, 2π ]
y 1
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
π
2
−
o -1
高一备课组
复习
y r=1 α O M P(x,y)
y＝sinα= MP (正弦线 正弦线) 正弦线
x
y＝cosα=OM (余弦线 余弦线) 余弦线
正弦函数、 正弦函数、余弦函数
y=sinα y=sin x
一般地，我们用x表示自变量，即x表示角的大小， 表示自变量， 表示角的大小， 一般地，我们用 表示自变量 表示角的大小 表示函数值， 用y表示函数值，这样，我们就定义了任意角的 表示函数值 这样， 正弦函数y=sinx，其定义域为 正弦函数 ，其定义域为R.
上移1 上移1个单位
横坐标不变， 横坐标不变， 纵坐标伸长 为原来的2 为原来的2倍
沿x轴翻折
四、小结 小结
正弦、 正弦、余弦函数的图象
几何法 五点作图法（作图常用此法） 五点作图法（作图常用此法）
1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
●
-1 -2
3π 2
●
●
2π
x
练习（ ） 练习（2） 画y=-cosx，x∈[0, 2π]的简图 ， ∈ π 的简图 解：按五个关键点列表 π 3π π 2π x 0 2 2 cosx -cosx
y 1
1 -1
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y=-cosx x∈ 2 ] [0, π
●
o
-1
●
π
●
2
π
y=cosx x∈ [0, 2π ]
y 1
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
π
2
−
o -1
正弦函数、余弦函数的图像 课件
探究点一
五点法作图
当(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1，(2π，0)这五点 描出后，正弦函数 y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状就基本 上确定了．
当(0,1)，π2，0，(π，－1)，32π，0，(2π，1)这五点 描出后，余弦函数 y＝cosx，x∈[0,2π]的图像的形状就基 本上确定了． 在精确度要求不高的情况下，画正弦函数和余弦函数的图 像常用“五点法”作图．
[错因] 在 y＝tanx·cosx 中，定义域为 x|x≠kπ＋π2，因此 在[0,2π]中 ，x≠π2，32π，图像中应挖去两个点(π2，1)，(32 π，－1)，错解的原因是没有考虑定义域．
[正解] 如图所示
法二：(利用单位圆中三角函数线)： 如图(2)，在 0≤x＜2π 中满足 sinx≥12的角 x 的集合为 {x|π6≤x≤56π}；因此当 x∈R 时， 集合为{x|2kπ＋π6≤x≤2kπ＋56π，k∈Z}．
求满足 sin(x＋π4)≤12的 x 的范围．
解：令 z＝x＋π4，sinz≤12，在同一坐标系中作出 y＝sinz 与直线 y＝12的图像，如图，然后观察在区间长度为 2π 上的情况，在[－32π，π2]内适合 sinz≤12的 z∈[－76π，π6]， 根据诱导公式(一)，知当 z∈[－76π＋2kπ，π6＋2kπ](k∈Z)，
＝sinx 的图像向 左平移π2 单位长度便可． (2)用“五点法”画出余弦曲线 y＝cosx 在[0,2π]上的图像时
所取的五个关键点分别为： (0,1) ，π2，0 (π，－1) ， 32π，0 ，(2π，1)
正弦曲线和余弦曲线有什么区别与联系？ 提示：正弦曲线和余弦曲线形状相同，只是位置不同．
即－76π＋2kπ≤x＋π4≤π6＋2kπ，k∈Z. ∴－1172π＋2kπ≤x≤－1π2＋2kπ，k∈Z. 即适合 sinx＋π4≤12的 x 的范围为： x∈[－1172π＋2kπ，－1π2＋2kπ](k∈Z)．
正余弦函数的图象
. . . . . . 2 5 π 7 4 3 5 11 2 x X
. . . 3 6
63 23 6
五点法作函数y=cosx,x[0,2] 的简图
x
0
cosx 1
2
0
-1
3 2
2
0
1
Y
1.
.
O
π.
π
.3π 2π X
-1
2
.
2
例题: 画出下列函数的简图：
(1)y=1+sinx, x[0,2 ]；
(2)y=-cosx, x [0,2 ]
●
0
2 5 ●
●
●
●
x
6 32 3 6
●
●
●
-1
3.五点法作函数y=sinx,x[0,2] 的 简图
x
0
sinx 0
2
1
0
3 2
2
-1
0
. 1 Y
.
O
π
.
π 3π
.
2πX
2
-1
2.
4、余弦函数y=cosx, x R 图像
y cosx, x [0,2]
.y Y 1.
O0
6
-1
. . π
32
1
0
-1
用五点法作出简图
y 1
. y cosx , x [0,2π]
O
-1 .
π .
2
π
.3 π
2
2π x
.
y cosx , x [0,2π]
小结:
1.由单位圆中正弦线画出正弦函数图象;
2.正弦函数与余弦函数图象的关系;
正弦函数的图像和性质
正弦曲线
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
x
y
1
-1
如何画出正弦函数 y=sin x(x∈R) 的图象呢？
思考与交流:图中,起着关键作用的点是那些?找到它们有什么作用呢?
找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!
如下表
x
y=sin x
0
0
1
0
-1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
．
．
．
．
．
五点法
五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点
例题分析
x
y=sin x
y=-sin x
0
0
1
0
-1
0
0
-1
0
1
0
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
描点得y=-sin x的图象
y=sin x x∈[0,2π]
y=-sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x; (2)y=1+sin x.
函数y=sinx
5.2正弦函数的图像
1、正弦线
设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线
1
-1
0
y
x
●
●
●
正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角 与 终xx点的轴A余的作弦 正x轴线 半的“ 轴垂竖 成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就 把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方 法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们 平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是 余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x
0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象 分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o
-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
的打“×”.
(1)正弦函数y=sin x的图象关于x轴对称.( × )
(2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × )
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
？
画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个
数.
？
解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角
,- ,(1,0),(10,1) ,并用光滑曲线连接得到
坐标系内描出
y=lg x的图象,如图.
由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3.
答案:D
？
反思感悟
1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方
1+2sin x
0
1
1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1
-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1
,- ,(2π,1),
然后用光滑的曲线连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
图象,如图所示.
？
(2)列表:
x
cos x
2+cos x
描点连线,如图.
0
1
3
0
2
π
-1
1
0
2
2π
1
3
？
反思感悟
1.“五点法”是画与三角函数有关的函数的图象的常用方
(1)正弦函数y=sin x的图象关于x轴对称.( × )
(2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × )
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
？
画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个
数.
？
解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角
,- ,(1,0),(10,1) ,并用光滑曲线连接得到
坐标系内描出
y=lg x的图象,如图.
由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3.
答案:D
？
反思感悟
1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方
1+2sin x
0
1
1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1
-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1
,- ,(2π,1),
然后用光滑的曲线连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
图象,如图所示.
？
(2)列表:
x
cos x
2+cos x
描点连线,如图.
0
1
3
0
2
π
-1
1
0
2
2π
1
3
？
反思感悟
1.“五点法”是画与三角函数有关的函数的图象的常用方
正弦函数五点作图法的五个点
正弦函数五点作图法的五个点
利用正弦函数五点作图法可以更加直观地描述出正弦函数的变化特征，比较适用于新手学习正弦函数的概念。
大家都知道正弦函数的定义如下：它在极坐标系中是一条往着极点周围转动的准半圆形曲线，它具有从正向负转折、从正负回到正值的振荡特性，与普通函数不同。
那么如何通过正弦函数五点作图法来描述正弦函数的这些特性呢？
正弦函数五点作图法主要是根据正弦函数的公式：$y=\sin x$，取其中的点，比如$(0,0)、(\frac{\pi}{2},1)、(\pi,0)、(\frac{3\pi}{2},-1)、(2\pi,0)$，然后用图形的方式绘制五点，连接起来，这便得到了正弦函数的图形。
如果按照抛物线的形态，用圆把五点连接起来，它就是一条到极点周围转动的准半圆形曲线，完全符合正弦函数的定义。
有时候，为了更加清晰地描述出正弦函数，将五点沿坐标系中心轴放大，以便把视觉上的振荡性体现出来，从而更明显地看出其从正负向转折和从正负又回到正值的特性。
另外，在五点作图法的基础上，我们岂不可以更进一步继续取点，用曲线的方式将函数的变化特征进一步描绘出来？当然，即便如此，正弦函数五点作图法依然是新手学习正弦函数理解的最佳途径。
综上，正弦函数五点作图法无疑是我们理解正弦函数的一种有效的方式。
此方法简单易操作，清晰地把正弦函数的变化特征表现出来，是教学中应用最为广泛的方法之一，有助于初学者熟练掌握正弦函数的定义与公式，有助于明确了解它的变化规律，让学习变得简单而有效。
正弦函数的图像(五点法)
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
如下图所示. y
1
0 p π 3p 2π
x
2
2
-1
例1 用五点法作函数y=sinx+1, x ∈ (0,2p) 上的图象
x
0
p
2
p
3p 2p
2
Sinx 0 1 0 －1 0
Sinx+1 1 2 1 0 1
y
2
1
x
0
p
p
3p
2p
2
2
－1
例题分析
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p3出不一p易个2描x的点值，，
( 3p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
正弦函数的图像
T=2 π / ω
正弦曲线
y
1 o -1 2π x
观察周期：
2π
观察最值：
最大值为1， 最小值为-1.
y = sin x 五点法作出 y =2 sin x 在一个周期内的图像
x y
观察周期： 2π
π/2 0 π 3π/2 2π x
0 0
π/2 2
y 2
π 0
3π/2 -2
2π 0
观察最值： 最大值为2， 最小值为-2.
正弦三角函数的图像及其变形
正弦交流电的瞬时值表达式：
e = E m sin(ωt + φ)
基本正弦函数的形式： y = sin x
五点法作出 y = sin x 在区间 [ 0, 2π ]上的图像 x y 0 0 π/2 1
y
π 0
3π/2 -1
2π 0
1 π/2 0 -1 π 3π/2 2π x
一个周期内的图像
y
1
周期
2π
最值
一个周期内的起点 原点( 0 , 0 )
o
-1
π/2
π
3π/2
x
2π
最大值为1， 最小值为-1.
y = 2 sin x
-2
o
π
π/2
3π/2 2π
2π
最大值为2， 最小值为-2.
原点( 0 , 0 )
y 1
y = sin 2x
π/2
o -1
1
π/4
π
x
π
最大值为1， 原点( 0 , 0 ) 最小值为-1.
y = sin (x+ π/2)
π -π/2
3π/2
o
正弦曲线
y
1 o -1 2π x
观察周期：
2π
观察最值：
最大值为1， 最小值为-1.
y = sin x 五点法作出 y =2 sin x 在一个周期内的图像
x y
观察周期： 2π
π/2 0 π 3π/2 2π x
0 0
π/2 2
y 2
π 0
3π/2 -2
2π 0
观察最值： 最大值为2， 最小值为-2.
正弦三角函数的图像及其变形
正弦交流电的瞬时值表达式：
e = E m sin(ωt + φ)
基本正弦函数的形式： y = sin x
五点法作出 y = sin x 在区间 [ 0, 2π ]上的图像 x y 0 0 π/2 1
y
π 0
3π/2 -1
2π 0
1 π/2 0 -1 π 3π/2 2π x
一个周期内的图像
y
1
周期
2π
最值
一个周期内的起点 原点( 0 , 0 )
o
-1
π/2
π
3π/2
x
2π
最大值为1， 最小值为-1.
y = 2 sin x
-2
o
π
π/2
3π/2 2π
2π
最大值为2， 最小值为-2.
原点( 0 , 0 )
y 1
y = sin 2x
π/2
o -1
1
π/4
π
x
π
最大值为1， 原点( 0 , 0 ) 最小值为-1.
y = sin (x+ π/2)
π -π/2
3π/2
o
(完整版)正弦型函数图像及性质
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
定义域 xR
5 6 x
(1) 值域 [ －1, 1 ]
x π 2kπ(k Z ) 时，取最大值1； 2
x π 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
21-
o
π 2
π
3π
2π
2
x
1- y sin x，x [0，2 π]
x
xx
π 2
2kπ,k Z时，ymax 2 (sin x)max 2 1 3,
x
xxπ 2
2kπ,k Z时，ymin
2 (sin x)min
2 1 1.
T 2π.
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：
可以画出图像？
画 正
y
y=sinx ( x [02, ] )
弦 函 数
1
●● ●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
●
0
2 5 ●
●
x
的
6 32 3 6
●
●
图
-1
● ●●
●
像
比例一致 光滑曲线
请同学们指出图像中的关键的五个点。
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
正弦函数的图像(五点法)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]旳简图。
(1)y=-sin x;
解 (1)列表:
x
0
p
Байду номын сангаас
p
3p
2p
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
0
y=-sin x
0
-1
0
1
0
描点得y=-sin x旳图象
y y=sin x x∈[0,2π]
1
． ． ．π
0
p
2
-y1=-sin x x∈[0,2π]
． ． 3p
2
2π
x
练习
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]旳简图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3
2
1
． ． ．π
0
p
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
． ． 3p
2
2π
x
y=3sin x x∈[0,2π]
6
3
所以，换种思索途径，即采用平移线段旳措施。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，能够得到相应于 0
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p 11p
36
y
6
3
2
3
6y
p pp
6 32 2π 旳正弦线
1
0
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1
0
x -1
0
x
1
-1
二、新知
在研究三角函数的图象和性质时，我们常用弧度制来度量角， 记为χ，表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数表示为
y=sinχ, χ∈Ｒ
y
1
0
p
2
π
3p
2π
x
2
-1
y=sinχ,x ∈[ 0, 2π ]
五点法作图 (0,0) (p,0) (2p,0)
y
( p ,1) 2
6
3
因此，换种思考路径，即采用平移线段的方法。
回忆三角函数线：
A'(-1,0)
B(0,1) y
P(cos,sin) N1
x
O M A(1,0)
B'(0,-1)
把单位圆12等分，可以得到对应于
2p 5p π 7p 4 p 3p 5 p
36
6323
y
0
11 p
6y
p pp
6 32 2π 的正弦线
小结：
作正弦函数图象的简图的 方法是：
“五点法”
正弦函数y=sinx的图象 （五点法）
正弦函数：我们常用弧度制来度量角，记为χ， 表示自变量，用y表示函数值，于是正弦函数 表示为y=sinχ, χ∈Ｒ
如何来作 正弦函数 的图象呢？
平移正弦线
思考：
时（都，Ⅱ有作）唯出做一相函的对数y值应图和的象它y的值对方，应法，s是i因n1此、p我列们表=1想2、/到2描,当点x而取3、si连n0线p。=任p60意..8给66p ,1) 2
1
x
0p
π
3p
2π
2
2
-1
怎样得到y=sinχ, χ∈Ｒ的图象呢
因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数
y=sin x在区间[2kπ, 2(k+1)π] (k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]
上的函数图象形状完全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数
y=sin x(x∈ [0,2π])的图象向左,右平行移动(每次平行移动2π
2
2π
x
练习
用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。 (1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3
2
1
． ． ．π
0
p
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
． ． 3p
2
2π
x
y=3sin x x∈[0,2π]
例 用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=-sin x;
解 (1)列表:
x
0
p
p
3p
2p
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
0
y=-sin x
0
-1
0
1
0
描点得y=-sin x的图象
y y=sin x x∈[0,2π]
1
． ． ．π
0
p
2
-y1=-sin x x∈[0,2π]
． ． 3p
个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x(x∈R)的图象,如下
图所示.
y
1
0 p π 3p 2π
x
2
2
-1
例1 用五点法作函数y=sinx+1, x ∈ (0,2p) 上的图象
x
0
p
2
p
3p 2p
2
Sinx 0 1 0 －1 0
Sinx+1 1 2 1 0 1
y
2
1
x
0
p
p
3p
2p
2
2
－1
例题分析