沪教版八年级数学-特殊的平行四边形-讲义

知识精要

一、特殊的平行四边形

1、矩形：有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理

图形性质定理判定定理

矩形1、四个角都是直角；

2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形1、四条边都相等；

2、对角线互相垂直，每条对角线平分

一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形1、四个角都是直角，四条边都相等；

2、对角线相等，且互相垂直，每条对

角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；

2、有一个内角是直角的菱形。

三、梯形

（一）梯形的有关概念

1、四边形的演变与汇总

2、 梯形：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形

注：（1）梯形是特殊的四边形。 （2）有且只有一组对边平行。

3、 梯形中平行的两边叫做梯形的底，短边为上底，长边为下底，与位置无关，不平行的

两边叫做梯形的腰，梯形两底之间的距离叫做梯形的高，它是一底上的一点向另一底作的垂线段的长度。 4、 梯形的分类

梯形⎪

⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形

：

（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形 （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形

（二）梯形的性质

1. 一般梯形的性质：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A+∠B=︒180，∠C+∠D=︒180

2. 直角梯形具有的特征

在直角梯形ABCD 中，若AD ∥BC ，∠B=︒90，则∠A=︒90，∠C+∠D=︒180 3. 等腰梯形具有的性质

（1）性质定理1：等腰梯形同一底上的两个内角相等 （2）性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等

（3）等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，等腰梯形的对称轴是两底中点所在的直线。

4. 等腰梯形的判定 （1）利用定义：

（2）判定定理l ：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形

（3）判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形

热身练习：

1. 如图，矩形的周长为24cm ，一边中点与对边两顶点边线成直角，则矩形的两邻边分别为

4 cm 和

8 cm 。

2. 等腰梯形的高是腰长的一半，则底角为 （ A ）

A.30°

B. 45°

C.60°

D. 90°

3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形，其中一定能拼成的图形是 （ B ） A ．①②③ B ．①④⑤ C ．①②⑤ D ．②⑤⑥

4. 一组对边平行，并且对角线互相垂直且相等的四边形是( B )

A．菱形或矩形 B．正方形或等腰梯形 C．矩形或等腰梯形 D．菱形或直角梯形5. 如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP= 30°。

(5题图) （6题图）（7题图）

6. 如上图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF. 若CD＝6，则AF等于（ A ）

A． B． C． D．8

7.如上图所示，正方形ABCD中∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC的度数为( C )

A ．45° B．60° C．70° D．75°

8．如右图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD=AD，若∠DCB=110º，∠CBD=30º，那么∠ADB等于（ C ）A.80º B.90º C.100º D.110º

9．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是( B ) A．60 B．100 C．150 D．200

10.如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，

且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（ B ）

A.75°

B.60°

C.45°

D.30°

11．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH 的面积是( B )

A．30 B．34 C．36 D．40

精解名题

例1．如图，已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥AC 交BC

于E ，DF ∥BC 交AC 于F .请问四边形DECF 是菱形.吗?说

明理由.

答：DECF 是菱形。 ∵ DF ∥BC ∴∠ECD=∠CDF 又∠ECD=∠DCF ∴∠DCF=∠CDF ∴DF=CF

∵DE ∥AC ，DF ∥BC ∴DECF 是平行四边形 ∴DE=EC=CF=FD ∴DECF 是菱形。

例2．如右下图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC

于E ，CF ⊥BD 于F 。求证：BE=CF 。

证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OB=OC 又BE ⊥AC ，CF ⊥BD ， ∴∠BEO=∠CFO=90º ∵∠BOE=∠COF ∴△BOE ≌△COF ∴BE=CF

例3. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=1，BC=4，AC=3，BD=4，求ABCD S 梯形。

分析：本题采用平移一条对角线的方法，把已知线段都归结到一个三角形中去。 解：延长BC 至E 点，使CE=AD ，连DE

∵AD ∥CE ，∴四边形ACED 是平行四边形，∴AC=DE=3 过D 作DF ⊥BC 于F 点， ∵AD ∥BC ∴12ADB S AD DF =

⋅△ 1

2

DCE S CE DF =⋅△ ∴ADB DEC S S =△△，又DB BDC ABCD S S S =+△A △梯形 ∴BDC DCE BDE S S S S =+=△△△梯形

在△BDE 中，∵BD=4，DE=3，BE=BC+CE=5 ∴2

2

2

BD DE BE +=， ∴△BDE 是直角三角形 ∴11

43622

BDE S BD DE =

⋅=⨯⨯=△ ∴6ABCD S =梯形 B C

D

A