二项式定理二项式定理的应用教案
二项式定理的应用教案人教版
针对以上难点，教师应采取以下教学方法：
（1）通过具体实例讲解二项式定理的定义和通项公式，让学生在实际问题中体会二项式定理的应用。
（2）通过 step-by-step 的讲解，让学生理解二项式定理的证明过程，尤其是数学归纳法的证明过程。
4. 数据分析：学生能够从实际问题中收集和处理数据，运用二项式定理对数据进行分析，从而得出结论。
在教学过程中，我将注重引导学生参与课堂讨论，鼓励他们提出自己的观点和思路，培养学生的批判性思维和问题解决能力。同时，通过解决实际问题，提高学生的创新意识和实践能力，使他们在数学学习中获得持续发展的能力。
教学难点与重点
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的整式乘法、因式分解等内容，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为二项式定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解二项式定理的定义、通项公式及展开式，结合实例帮助学生理解。
突出二项式定理的重点，强调二项式定理的难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的二项式定理内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 二项式定理的定义与通项公式
- 二项式定理的定义：$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$
当堂检测：
1. 请简述二项式定理的定义和通项公式。
2. 请解释二项式定理的展开式，并给出一个具体的例子。
高中数学《二项式定理》教案
二项式定理教案
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握二项式定理①能根据组合思想及不完全归纳，得出二项式定理和二项展开式的通项。
②能正确区分二项式系数和某一项的系数。
③能正确利用二项式定理对任意给定的一个二项式进行展开，并求出它的特定项。
2．过程与方法：通过定理的发现推导提高学生的观察，比较，分析，概括等能力。
（二）教学重点与难点
重点：二项式定理的发现，理解和初步应用。
难点：二项式定理的发现。
（三）教学方法
启发诱导，师生互动
（四）教学过程。
二项式定理的理解和应用教案
二项式定理的理解和应用教案一、引言二项式定理是数学中重要的一条公式，它在代数、组合数学等领域具有广泛的应用。
本教案将带领学生深入理解二项式定理，并通过实例展示其实际应用。
二、二项式定理的概念1. 二项式的定义：二项式是具有形式 (a + b)^n 的代数表达式，其中a 和b 是实数，n 是一个非负整数。
2. 二项式定理的表述：对于任意非负整数 n，有以下等式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的组合数。
三、二项式定理的理解1. 二项式展开：通过二项式定理，可以将一个二项式展开为一组系数和幂次的组合。
2. 组合数的计算：组合数 C(n, k) 表示从 n 个元素中选择 k 个元素的方法数，可以通过杨辉三角、公式或递推方式计算。
四、二项式定理的应用1. 二项式定理在代数中的应用：a. 多项式展开：利用二项式定理，可以将多项式展开为一组系数和幂次的组合。
b. 多项式系数的求解：二项式定理中的系数可以用于求解特定幂次下的项数。
c. 方程求解：通过二项式定理，可以解决一些特定形式的方程。
2. 二项式定理在组合数学中的应用：a. 计算组合数：利用二项式定理中的组合数公式，可以高效地计算组合数，解决组合问题。
b. 概率计算：通过计算组合数，可以计算出概率问题中的可能性。
3. 二项式定理在实际问题中的应用：a. 统计学中的二项分布：二项式定理可以用来解决二项式分布问题，从而对一些离散事件进行概率计算。
b. 工程中的二项式展开：通过二项式定理，可以将一些工程问题转化为代数问题，从而求解最优解。
五、教学活动设计1. 概念讲解与举例：通过讲解二项式定理的定义和表述，并结合简单的例子来帮助学生理解。
2. 练习与讨论：提供一些二项式展开的例题，让学生尝试自行展开并与同学讨论答案，加深对二项式定理的理解。
《二项式定理应用》教案
《二项式定理应用》教案
教学目标：
1、知识与技能：能根据展开式的形式特点，归纳总结出系数和的求法
会应用求系数和的方法解决问题
2、过程与方法：通过对方法的发现提高学生的观察、分析、比较、概括等能力
3、情感、态度与价值观：
培养学生认真审题、缜密思考、自主探索、勤于动手、合作交流的学习习惯.
适当运用激励、幽默的教学语言激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心教学重点：二项式定理中的求和问题
教学难点：理解求不同系数和的方法
教学方法：引导学生由二项式展开形式，观察、启发、探究相结合的教学方法，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对二项式定理
的全面理解。
二项式定理的应用导学案
二项式定理的应用导学案一、知识背景1.二项式定理二项式定理又叫做牛顿定理，是代数中的一个基本公式。
它描述的是一个二次幂的多项式被展开后各项系数的规律。
当幂为自然数时，用二项式定理展开后可以帮助我们方便地计算出原式的各项系数。
2.二项式定理的公式(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k其中，C_n^k是组合数，表示从n个不同元素中取k个元素的不同组合数数目。
3.二项式定理的应用二项式定理最常见的应用是展开幂函数。
在实际应用中，展开幂函数可以简化数学计算，简化问题的形式。
同时，二项式定理也是概率与统计学科中重要的基础知识，通过计算组合数的计算，可以推导出诸多与随机现象相关的公式。
二、应用导学1.现实应用\mathcal{Case\ Study}小云生病了，医生建议她吃一种辅助药。
这种辅助药有两种口味，分别是橙子味和柠檬味，分别标志为O和L。
医生建议小云每天至少吃7粒此类药，而且每天要至少吃3粒橙子味药，另外，为了保持口味新鲜，每天两种药至少要吃一种。
问题是：小云要吃完所有这种辅助药，一共要多少种方案呢？\mathcal{Solution}按照题目中要求的计算，首先给出小云每天至少吃7粒药的方案数：(O+L)^7=C_7^0O^7C_7^1O^6L+C_7^1O^6L^1C_7^1O^6L+C_7^2O^ 5L^2+C_7^3O^4L^3+C_7^4O^3L^4+C_7^5O^2L^5+C_7^6O^1L^6+ C_7^7L^7因为每天要至少吃3粒橙子味药，所以从上述式子中减去：“一天不吃橙子味药”和“一天只吃1粒橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]再从上述式子中减去“每天都只吃柠檬味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1最后，因为每天两种药至少要吃一种，所以要减去“一天只吃柠檬味药”和“一天只吃橙子味药”的方案数：(O+L)^7-[\sum\limits_{i=0}^1C_7^iL^{7-i}+(O+L)^6]+1-\sum\limits_{i= 0}^1C_6^i(O+L)^5将计算结果带入计算器，得到总方案数为14006种。
二项式定理 教案
二项式定理教案教案标题：二项式定理的引入与应用教案目标：1. 引导学生了解二项式定理的概念和公式；2. 帮助学生理解二项式定理的证明过程；3. 培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾多项式的定义和展开；2. 提问：你们是否遇到过类似于(a+b)²的表达式？这个表达式有什么特点？探究：1. 解释二项式定理的概念和公式：(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿb⁰ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ +C(n,2)aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n)a⁰bⁿ；2. 通过具体例子展示二项式定理的应用，如展开(a+b)³和(a+b)⁴，并与学生一起推导出展开式；3. 引导学生思考二项式定理的证明过程，帮助他们理解组合数学中的概念。
巩固与应用：1. 给学生一些练习题，要求他们利用二项式定理展开给定的表达式；2. 提供一些实际问题，要求学生运用二项式定理解决，如计算某个数的平方、立方等；3. 鼓励学生思考二项式定理在数学和其他学科中的应用，如概率论、统计学等。
总结：1. 概括二项式定理的概念和公式；2. 强调二项式定理在数学中的重要性和应用价值；3. 鼓励学生继续深入学习数学知识，拓展应用领域。
教案评估：1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度；2. 收集学生完成的练习题和解决实际问题的答案，评估他们对二项式定理的掌握程度；3. 针对学生的表现，提供个别辅导和反馈，帮助他们进一步提升。
教学资源：1. 板书或投影仪展示二项式定理的公式和例子；2. 练习题和实际问题的工作纸；3. 教材和参考书籍。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更高阶的二项式定理，如帕斯卡三角形和二项式系数的性质；2. 引导学生研究二项式定理的证明过程，拓展他们的数学思维和推理能力；3. 鼓励学生将二项式定理应用于更复杂的数学问题和实际情境中，培养他们的创新思维和问题解决能力。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
二项式定理的应用 教案
二项式定理的应用一、概述二项式定理是人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-3的第二章的课程内容，共包含两个课时。
“二项式定理的应用”是在前面学习的二项式定理的基础上对涉及二项式定理的相关题目进行解题训练和研究的课题。
二、教学目标分析1.知识与技能（1）能熟练的运用二项式定理进行解题；（2）能准确熟练的运动二项式定理的通项进行解题；（3）熟练掌握二项式定理的相关性质。
2.过程与方法（1）引导学生通过观察、分析、归纳，自主总结出二项式定理的相关性质；（2）通过习题的训练使学生能熟练的运用二项式定理的性质及二项式的通项解决相应的问题；（3）通过观察法使学生了解到从简单到复杂，由特殊到一般的学习过程，也使学生学会通过自身的观察来分析问题、解决问题，进而找出规律。
3.情感态度与价值观(1)使学生了解到学习数学的科学性及解题的技巧；(2)使学生学会分析问题的方法和思路。
三、学习者特征分析在前面学习了二项式定理及其通项之后，同学们对二项式定理及其通项有了一定的了解，也有了一定的分析方向，二项式定理及其通项的运用相对来说比较简单，只要掌握了一定的方法之后运用二项式定理及其通项解答相关题目还是比较容易的。
四、教学策略选择与设计(1)回顾阶段：首先对前面学习过的二项式定理及其通项的相关性质进行回顾，包括二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数。
（2）引入阶段：对前面学习的内容进行了复习之后，先给出一些简单的二项式让学生进行展开，然后归纳总结二项式定理可能会考到的习题目类型。
（3）运用阶段：在熟练掌握二项式定理及其通项的基础上，针对不同类型的题目进行针对性的训练，进行的方式采用：老师讲解一个题目，然后学生自己做类似的3个题目。
（4）巩固阶段：课程结束后，布置一些相关的作业，让学生对课堂上所学的知识、方法和技巧进行复习和巩固。
五、教学资源与工具设计人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修2-3教材、多媒体教室黑板。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
二项式定理教案
二项式定理教案教案标题：二项式定理教案教案目标：1. 了解并理解二项式定理的概念2. 掌握使用二项式定理展开二项式的技巧和方法3. 掌握使用二项式定理计算组合数的方法4. 运用二项式定理解决实际问题教学重点：1. 二项式定理的概念和公式2. 通过例题训练学生使用二项式定理展开二项式并计算组合数的能力3. 引导学生从实际问题出发，应用二项式定理解决问题的能力教学难点：1. 理解和运用二项式定理展开二项式的思维方式2. 理解并掌握二项式定理计算组合数的方法教学准备：1. 教师准备好教学课件、黑板和粉笔2. 学生准备好教科书、笔和纸教学过程：步骤一：导入（5分钟）- 引入二项式定理的概念，通过一个简单的例子向学生展示二项式定理的作用和重要性。
步骤二：概念讲解（10分钟）- 介绍二项式定理的定义和公式，解释每个符号的含义。
- 强调二项式定理在展开二项式和计算组合数方面的作用。
步骤三：展开二项式（15分钟）- 通过一些简单的示例引导学生运用二项式定理展开二项式，解释每一步的计算过程。
- 给予学生足够的练习机会，检查他们是否掌握了展开二项式的方法和技巧。
步骤四：计算组合数（15分钟）- 解释二项式定理在计算组合数方面的应用，介绍组合数的概念和计算方法。
- 通过练习题让学生熟练掌握计算组合数的方法。
步骤五：应用实例（15分钟）- 提供一些实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
- 鼓励学生思考如何将实际问题转化为二项式定理的计算过程。
步骤六：总结和评价（5分钟）- 总结二项式定理的概念、公式和应用方法。
- 鼓励学生讲解自己的学习心得，并进行互动评价。
拓展活动：- 提供一些进阶的练习题，以加深学生对二项式定理的理解并提高应用能力。
- 鼓励学生自主探索更多关于二项式定理的应用和拓展知识。
教案扩展：- 可以设计一个小组活动，要求学生选择一个实际问题，并运用二项式定理解决问题，最后进行展示和讨论。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》一、教学目标1.了解二项式定理的定义和公式2.掌握应用二项式定理求解数学问题的方法3.培养学生的数学思维和解决实际问题的能力二、教学内容1. 二项式定理的定义二项式定理是指：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数。
2. 二项式定理的公式二项式定理的公式为：$$(a+b)^n = \\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$$其中n为非负整数，a和b为任意实数或复数，$C_{n}^{k} $表示组合数，计算公式为：$$C_{n}^{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$$其中n!表示n的阶乘，计算公式为：$$n! = 1 \\times 2 \\times 3 \\times ……\\times n$$3. 应用二项式定理求解数学问题的方法1.直接将a和b代入公式计算2.通过变形将问题转化为求和式3.应用组合恒等式计算三、教学方法1. 讲授法通过讲解定义、公式和应用方法，让学生了解二项式定理的基本概念和计算方法。
2. 例题教学法通过讲解例题，帮助学生理解和掌握二项式定理的应用方法，增强解题的能力。
3. 课堂练习法通过课堂练习，帮助学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 讨论法通过小组讨论或全班讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
四、教学过程1. 介绍二项式定理的定义和公式教师向学生介绍二项式定理的定义和公式，让学生了解该定理的基本概念和计算方法。
2. 讲解二项式定理的应用方法教师通过讲解例题，向学生讲解二项式定理的应用方法，帮助学生掌握如何应用二项式定理来解决数学问题。
3. 课堂练习教师在课堂上进行练习，让学生巩固所学的知识和技能，提高解题能力。
4. 学生小组讨论教师安排学生小组讨论，让学生分享解题思路和经验，增加互动性和合作性。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
二项式定理的应用教案
二项式定理的应用（二）高二 邓志钊一、教学目标：1.知识与技能：能利用二项式定理求余数问题，能利用二项式定理证明整除问题，利用“赋值法” 求展开式部分项系数及二项式系数和。
2.过程与方法：使学生领悟并掌握方程的思想方法，赋值法，构造法，并通过变式提高学生的应变能力，创造能力及逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心。
二、本节内容分析及命题趋势：高考对本单元的特点是基础和全面，每年对本单元知识点的考查都没有遗漏。
估计每年一道排列组合题，一道二项式定理题是不会变的，试题难度仍然回维持在较易到中等的程度。
二项式定理的试题是多年来最缺少变化的试题，今后也很难有什么大的改变。
而整除问题及“赋值法”是考试的热点。
三、教学过程：（1）复习回顾1、二项展开式+++=+--222110)(b a C b a C a C b a n n n n n n n ……++-r r n r n b a C ……+n n n n n n b C ab C +--112、二项展开式的通项=+1r T r r n r nb a C - （r=0,1,2,……,n ） 3、二项式定理应用（一）直接利用展开式求指定项、特定项、者有理项。
(2)创设情景，引入新课今天是星期三，则今天后的第351 天是星期几？（学生思考）思路分析：351 =2717=（28-1）17+-16117170172828C C ……+17171617)1(28C C +-⋅=28[+-15117160172828C C ……+)1(1617-⋅C ]+1 前面是7的整数倍，所以再过351天是星期四。
如果题目改为：351除7的余数是多少呢？评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切关系。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。
Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。
Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。
2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。
Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。
2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。
Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。
Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。
Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。
2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。
完整版)二项式定理教案
完整版)二项式定理教案1.3.1 二项式定理（第一课时）一、教学目标1.知识与技能1）理解二项式定理，并能简单应用。
2）能够区分二项式系数与项的系数。
2.过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3.情感与态度价值观通过探究问题，归纳假设让学生在研究的过程中养成独立思考的好惯，在自主研究中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教学重点难点1.教学重点：二项式定理及二项式定理的应用。
2.教学难点：二项式定理中单项式的系数。
三、教学设计教学过程一、新课讲授引入：让学生回顾多项式乘法法则，利用排列、组合理解，写展开式，设计意图是师生活动展开(a+b)²、(a+b)³。
学生完成：a+b)² = a²+2ab+b²a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³分析(a+b)的展开式：展开式有3项，a、b的指数分别为2、1、0，各项系数分别为1、2、1.教学过程设计意图是师生活动恰有1个因式选b的情况有C₂¹种，所以ab的系数是C₂¹；2个因式选b的情况有C₂²种，所以b的系数是C₂²；每个因式都不选b的情况有C₂⁰种，所以a的系数是C₂⁰。
思考3个问题：1.项数2.每一项a、b的指数和3.各项的系数是什么？a+b) = C₁aCb类比展开(a+b)³：a+b)³ = C₃¹a²b+C₃²ab²+C₃³b³归纳、类比(a+b)的展开式。
二、二项式定理：a+b)ⁿ = C₀aⁿ+C₁aⁿ⁻¹b+。
+Cₙbⁿ学生完成：按照a的降幂排列，解释ab的系数。
二项式定理教案
二项式定理教案一、教学目标1. 了解二项式定理的概念和公式。
2. 掌握使用二项式定理计算组合数。
3. 能够应用二项式定理解决实际问题。
二、教学重点1. 理解二项式定理的概念。
2. 掌握使用二项式定理求解组合数的方法。
三、教学难点1. 灵活运用二项式定理解决实际问题。
2. 深入理解二项式定理的证明过程。
四、教学准备1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、多媒体设备。
2. 学生准备：笔记本、习题集。
五、教学过程第一步：导入（约5分钟）通过提问方式引入，复习组合数的概念和计算方法。
例如：某班有10位学生，要从中选出3位代表参加活动，共有多少种选法？第二步：二项式定理的概念（约10分钟）1. 打开多媒体设备，展示二项式定理的公式。
2. 解释二项式定理的含义：表示一个二项式的n次方的展开式中，每一项的系数就是组合数。
3. 引导学生思考二项式定理的应用场景，与之前复习的组合数有何关联。
第三步：二项式定理的计算方法（约20分钟）1. 以具体的例子引导学生理解二项式定理的计算方法。
例如：计算 (a + b)^3 和 (a - b)^4。
2. 通过展示计算步骤，引导学生掌握二项式定理的展开式计算方法。
第四步：二项式定理的应用（约25分钟）1. 给出实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
例如：某公司有10个岗位需要安排员工，其中3个岗位需要安排女性，有多少种不同的安排方式？2. 鼓励学生积极思考，尝试解决实际问题。
第五步：二项式定理的证明（约15分钟）介绍二项式定理的证明过程，以培养学生对数学思维的训练和探究能力。
教师可以通过推导和演算的方式，以简单的情形为例，向学生阐述证明的思路和方法。
第六步：归纳总结（约5分钟）1. 鼓励学生自主总结二项式定理的关键点和计算步骤。
2. 提醒学生复习并掌握二项式定理的应用和证明过程。
六、作业布置1. 课后作业：完成课堂练习题。
2. 预习下节课内容：学习二项式定理的扩展应用。
七、教学反思本节课通过引入实际问题和计算方法的讲解，帮助学生理解和运用二项式定理。
二项式定理教案_高二数学《二项式定理》教学设计
1.3.1 二项式定理教学目标1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教学重点、难点重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别学习过程一、 旧知设疑：思考:今天是5月8号，星期四,31天后的这一天是星期几？396天后的这一天是星期几？试问 天后的这一天又是星期几呢？二、新课导学探究： 二项式定理()2a b +=问题1：展开后共几项？ 我们是怎样得到这几项的？问题2：每一项的能否用一个统一的形式表示？问题3：项、项、项前的系数能否用学过的组合知识分析，表示成组合数的形式？ 2a ab 2b = （系数用组合数表示）2)(b a +问题4：按同样的道理,展开 ()3a b +=()4a b +=猜想：= n)(b a +证明：是 个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选或选，n b a )(+)(b a +)(b a +a b 由分步计数原理可知展开式共有 项（包括同类项），其中每一项都是 的形式，对于每一项，它是由 个选了， 个选了得r rn b a -)(b a +b )(b a +a 到的，它出现的次数相当于从个中取r 个b 的组合数 ，将它们合并同类n )(b a +项，就得 到展开式，这就是二项式定理． 1008二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式,共有___ ____项,n b a )(+其中各项的系数______ _ _____叫做二项式系数, 式中的______________叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，用 表示， 即思考：(1) 把代替， =b 用-b n()a b -（2）令， =1,a b x ==n (1)x +（3）当时，= 1,1a b ==n (11)+问题释疑：今天是星期四，那么 天后的这一天是星期几？三、典型例题 例1：的展开式共7项，n x x ）（12-（1）等于多少？ （2）求出二项展开式.n1008变式： 化简观察：例1中展开式常数项是多少？思考：你能否直接求出展开式的常数项？例2：对于二项式， 91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x （1）、求展开式中第四项的二项式系数；（2）、求展开式中的系数。
二项式定理的应用教学案
二项式定理的应用教学案在高中数学学习中，二项式定理是一个非常重要的概念。
它不仅在数学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的意义。
本教学案将通过具体的例子和练习，帮助学生更好地理解和应用二项式定理。
一、教学目标1. 理解二项式定理的概念和公式2. 掌握二项式定理的展开和简化方法3. 学会应用二项式定理解决实际问题4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力二、教学内容1. 二项式定理的概念和公式2. 二项式定理的展开和简化方法3. 二项式定理在实际问题中的应用三、教学步骤1. 导入引入二项式定理的概念，与学生进行互动问答，激发学生的学习兴趣。
例如，给学生一个简单的问题：“如何计算(2x+y)^3的展开式？”让学生思考和讨论。
2. 学习二项式定理的概念和公式向学生介绍二项式定理的定义和公式。
解释二项式定理的含义：任意给定两个实数a和b以及一个非负整数n，可以用二项式定理展开和简化(x+y)^n的形式。
3. 学习展开和简化的方法教授学生如何展开和简化二项式。
以具体的例子进行讲解，帮助学生理解。
例如，展示(2x+y)^3的展开步骤，让学生逐步进行计算和化简。
4. 练习和巩固提供一些练习题，让学生进行实践和巩固。
练习题可以涉及不同的幂次和变量的组合。
鼓励学生互相讨论和合作，共同解决问题。
5. 应用二项式定理解决实际问题引导学生将二项式定理应用到实际问题中。
给出一些实际问题，让学生思考如何利用二项式定理进行求解。
例如，给出一个扩展公式，让学生计算某商品在不同折扣下的价格。
6. 总结和拓展总结本节课所学内容，强调二项式定理的重要性和应用价值。
鼓励学生进一步思考和探索二项式定理的更多应用场合，并给予积极的鼓励和指导。
四、教学资源1. 教材：包含二项式定理的相关知识点和例题的数学教材。
2. 板书：用于展示公式、例题和问题解决的步骤和过程。
3. 练习题：包括二项式定理展开和应用的练习题，用于学生练习和巩固。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生课堂参与和合作的态度和水平，评价其学习的积极性和有效性。
二项式定理二项式定理的应用教案
排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案教学目标1．利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等．2．渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题．3．培养学生运算能力，分析能力和综合能力．教学重点与难点数学是一门工具，学数学的目的就是为了应用．怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系，怎样联系），是这节课的难点，也是重点所在．教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题：（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（全体学生参加笔试练习）6分钟后，用投影仪公布以上三题的解答：（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系数是（1+x）（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．其中含x5的项为：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．师：解（1），（2）两题运用了变换和化归思想，第（2）题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a，b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值．这种用概念解题的思想经常使用．下面我们看二项式定理的一些应用．师：请同学们想一想，例1怎样解？生甲：从结构上观察，则与练习的第（3）题有相似之处，只是组合数的系数成等比数列，是否根据二项式定理令a=1，b=3，即可得到证明．师：请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演）证明：在（a+b）n的展开式中令a=1，b=3得：师：显然，适当选取a，b之值是解这一类题的关键，再看练习题．练习生乙：这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺我考虑如能用二项式定理解，应对原题做以下变换：师：分析得很透彻．这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的．首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析，将来才敢于创新，善于创新．请大家把解题过程写在笔记本上．（教师请一名同学板演）在（a＋b）6的展开式中令a=1，b=3，得师：解题过程从“在（a+b）6的展开式中令 a=1，b=3”写起就可以了．希望同学们再接再励，完成下个练习．练习师：大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗？生丙：初步观察，与上节课我们学刁的：“在（a＋b）n的展开式解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值，又注意到正项…）或r=4m＋1（m=0，1，2，…），负项出现在r=4m＋2（m=0，1，2，…）或r=4m＋3（m=0，1，2，…），而虚数单位i有以下性质：i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）．于是想在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i．师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．（教师找一位同学板演）证明：设i是虚数单位，在（a＋b）n的展开式中令a=1，b=i中得：另一方面，又有由此得到根据复数相等定义，有师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．例2 计算：1.9975（精确到0.001）．生丁：这道题若用二项式定理计算，必须把1.997看作1+0.997，这样，1.9975=（1+0.997）5．师：计算简单吗？生戊：把1.9975化为（2-0.003）5，再展开，由于精确到0.001，不必各项都计算．师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．（教师找一位同学板演）解：1.9975=（2-0.003）5=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋…由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，则|T4|＋T5＋T6|＜0.000004．所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761．师：1996年全国高考有这样一道应用题：（用投影仪示出，老师读题）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？稍候，教师问：谁想出解法了，请讲一讲．生己：设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷，耕地平均每年至多只能减少x公顷．十年后耕地亩数：104-10x，十年后总产量：M×（1+22％）（104-10x）．十年后人口：P×（1＋1％）10，依题意可以得到不等式师：实际计算时，会遇到（1＋0.01）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．（教师请一同学板演）师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成．（答案：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷）现在，我们再讨论一个新的问题．例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数．受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了．师：请同学们在笔记本上完成此题的解答（教师请一名同学板演）解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除．师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．师：仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．注意到：① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）；② n≥2，右式至少三项；这样，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．生癸：根据题设条件有n∈N，且n≥2．用数学归纳法应当可以证明．师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理，生×同学从题设条件n∈N考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明．（教师请一名同学板演）证明：①当n=2时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然9＞8．故不等式成立．②假设n=k（k∈N且k≥2）时，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），则当n=k ＋1时，由于左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k．右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，则左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．所以左式＞有式．故当n=k＋1时，不等式也成立．由①，②不等式对n≥2，n∈N都成立．师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题：设n∈N且n＞1，求证：（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1，a2，…，a n，总有（教师在教室巡视，过2分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过3分钟找另一名同学板演第（2）小题）师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到证明．第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．作业1．课本习题：P253习题三十一：6，7，10；2．课本习题：P256复习参考题九：15（2）．3．补充题：课堂教学设计说明1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力．。
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排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案教学目标1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等.2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力．教学重点与难点数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在．教学过程设计师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题:(1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少?（2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项．（全体学生参加笔试练习)６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答:（1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x）（2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６.其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件．第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用.下面我们看二项式定理的一些应用．师:请同学们想一想，例１怎样解？生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明.师:请同学们根据生甲所讲，写出证明．（找一位同学板演)证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得:师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题.练习生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺我考虑如能用二项式定理解,应对原题做以下变换:师：分析得很透彻.这种敢想、会想精神是每位同学都要培养的.首先是敢字，不要一见题目有些生疏就采取放弃态度；要敢于分析，才能善于分析,将来才敢于创新,善于创新.请大家把解题过程写在笔记本上.(教师请一名同学板演)在（a+b)6的展开式中令ａ＝1，b=3,得师：解题过程从“在(a+b)6的展开式中令ａ=1,b=3”写起就可以了.希望同学们再接再励，完成下个练习.练习师:大家议论一下，这道题能用二项式定理来解吗?生丙：初步观察，与上节课我们学刁的:“在(a+b)n的展开式解决．我们注意到组合数代数和的值为余弦值或正弦值,又注意到正项…)或ｒ=4ｍ+1(m=0,1,2,…)，负项出现在ｒ=4ｍ+2（ｍ=０，1，2，…）或r ＝4ｍ+3(m=0,1,2,…)，而虚数单位i有以下性质：i4m＝1，ｉ4m+1＝ｉ,i4m+2=-1,i4m+３＝－i（m∈Z)．于是想在（ａ+ｂ）ｎ的展开式中令ａ=1,b＝i.师：分析得有道理，请同学们按生丙同学的意见进行演算．(教师找一位同学板演）证明:设i是虚数单位,在（a+ｂ)n的展开式中令a=1,ｂ=ｉ中得:另一方面,又有由此得到根据复数相等定义，有师：认真分析习题的结构，运用类比与联想的思想方法，可以帮助我们找到解题的思路，下面我们研究二项式定理在数字计算方面的应用．例2 计算:1．9975（精确到０．001）.生丁:这道题若用二项式定理计算，必须把1．９97看作1+0.997,这样,1.９97５=（１+0.997)5.师:计算简单吗？生戊：把1.９９75化为(2-0．0０3）5，再展开,由于精确到0.0０1,不必各项都计算.师:按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．(教师找一位同学板演）解:1.9９7５＝（２-0.０03）5＝２5-５×24×０.003+１0×23×0.0０32-10×22×０.003＋…由于|T6|<|T5|<|T4｜≈1．０8×１0-6，则｜T4|＋T5＋Ｔ6|＜０.000０04.所以1．99７5≈32-0．24＋0.000 7２≈３1.７61.师:1９９6年全国高考有这样一道应用题：(用投影仪示出，老师读题)某地现有耕地1００0０公顷,规划１0年后粮食单产比现在增加２2%,人均粮食占有量比现在提高10％.如果人口年增长率为1％,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?稍候，教师问：谁想出解法了,请讲一讲.生己:设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷,耕地平均每年至多只能减少x公顷．十年后耕地亩数：104－10x,十年后总产量：M×（1＋２2%）(104-1０ｘ)．十年后人口:P×(1+１％)10，依题意可以得到不等式师：实际计算时,会遇到(1+0．０1）10的计算问题，请全体同学在笔记本上迅速计算出来．（教师请一同学板演)师：真迅速啊！请同学们课下把这道高考题完成．(答案:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷)现在，我们再讨论一个新的问题.例３如果今天是星期一，那么对于任意自然数n,经过23n+3＋７n＋5天后的那一天是星期几？生庚:先将此题转化为数学问题,即本题实际上寻求对于任意自然数n,2３ｎ+3+7ｎ＋5被7除的余数.受近似计算题目启发,23n+3=8n+1=（7＋1)ｎ+1,这样可以运用数，７ｎ也是7的倍数，最后余数是1加上5,是６了.师：请同学们在笔记本上完成此题的解答(教师请一名同学板演）解：由于２3n+３+7n＋5＝8n+１＋7n＋5＝(7+1）ｎ＋１+7n+５则 23ｎ+3+7ｎ+５被7除所得余数为6所以对于任意自然数ｎ，经过23n+3＋7ｎ＋5后的一天是星期日.师:请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：777７-1能被１9整除吗？（教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演)解：7７77-１=(7６＋1)77由于76能被1９整除,因此7777－1能被1９整除.师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？生辛:这是个幂的计算问题,可以用二项式定理解决.如果把777７改成(１9+58)７7，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7７７7-1能被38,或能被57，或能被76,或能被９5整除,必能被1９整除，而76与7７只差1,故欲证７777-1被19整除，只需证(76+1）77被76整除．得到了以上的解法.师:二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题例4 求证：３n＞２n-1（n+2）（n∈N，且n≥２)．师:仍然由同学先谈谈自己的想法．生壬:我觉得这道题仍可以用二项式定理解,为了把左式与右式发生联系，将3换成2+1．注意到:① 2n＋n·2n-１＝2n-1（2＋n）=2ｎ－1（n＋2);② n≥2,右式至少三项；这样,可以得到3ｎ＞2n-１（n+2)(n∈Ｎ，且n≥2）.生癸:根据题设条件有n∈N,且ｎ≥２.用数学归纳法应当可以证明．师：由于观察习题时思维起点不同,得到了习题不同解法,生×同学从乘方运算这点考虑，想到二项式定理,生×同学从题设条件n∈Ｎ考虑,想到数学归纳法.大家要养成习惯,每遇一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面．用二项式定理证明,生×同学已经讲清楚了证明过程,大家课下在笔记本上整理好，现在请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明.（教师请一名同学板演）证明：①当n=2时，左式＝3２=9，右式=２2－1（2+2）＝２×4=8,显然9＞8.故不等式成立.②假设n=k(ｋ∈N且ｋ≥2）时，不等式成立,即3k＞2k-1(ｋ＋2），则当n=k+1时,由于左式=3k+1=3·3ｋ>3·２k－1（k＋2)＝3ｋ·2ｋ-1+3·2k．右式=2(k+１)-1［(k＋1)+2］＝2k(ｋ+３）＝ｋ·2k＋３·2k,则左式-右式=（3k·２k-1＋3·2ｋ)-(k·2k+3·２ｋ）＝3k·2k-１－2ｋ·2k－1=k·2k-１＞0．所以左式>有式.故当n=k+１时，不等式也成立.由①,②不等式对n≥２，ｎ∈N都成立．师:为了培养综合能力,同学们在笔记本再演算一道习题：设n∈N且n＞1，求证：（证明过程中可以运用公式：对n个正数a1,a2，…,aｎ，总有(教师在教室巡视，过２分钟找一名同学到黑板板演第(1）小题,再过3分钟找另一名同学板演第(2)小题)师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？生寅:第(1)小题左式与右式没有直接联系,应把它们分别转化，列前n项的和，由求和公式也能得到2n-１．因此得到证明.第（2）小题左式与右式也没有直接联系.根据题目给出的公式要师:根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践中掌握．本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计算以及与其他数学知识的综合应用.当然,二项式定理的运用不止这些,凡是涉及到乘方运算(指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视．作业--1.课本习题：P25３习题三十一:6，７，10;2．课本习题:P２56复习参考题九：１5(2）.3.补充题:课堂教学设计说明1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学基本思想，如等价变换、未知转化已知,取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复习的学习习惯．2.只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能力、表达能力、分析问题解决问题能力.因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与．3.学生的回答不会像教案写的那样标准,教师要因势利导，帮助学生提高分析能力.--。