诱导公式(二)
诱导公式2(新编201912)
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不要发生意外事故 C．把百年奥运圣火首次传递到地球之巅，标志着中国各族人民倾力办好奥运会的巨大热情。 D．优秀的诗篇以潜移默化的方式，提高人们的精神境界，净化人们的灵魂。 199．对下列病句修改不正确的是（）（3分） A．上中学以来，他一直始终参加学校田径队训练
在我的老家，管做乡宴的厨师叫“大师傅”，平日里，他们与土地为伍，与粮食蔬菜相伴，并无异于常人之处。只有在喜事场上，他们才被主家以“天地君亲师”中的“师”称呼，身份便有了些许特殊。 ③只见“大师傅”马步扎得稳当，一只炒锅盈握在手，翻炒之间尽显如虹气势，“
砧板”和“传菜”臂助左右，不敢怠慢。或许，他们不知“八珍”是何烹饪之术，更叫不出几道“满汉全席”中的菜品名号，不论是批切锲斩，还是煎炒烹炸，全靠代代传续，耳濡目染，他们用娴熟的烹饪技艺制作出富有地方风味的菜肴，灵趣中透出憨鲁，粗粝中带着精细，一如他们性
来。大爷一声令下，大家抖擞起精神，火速“备宴”。搅动鸡蛋的嘚嘚声，切葱姜末发出的唰唰声，“粗斩细剁”肋条肉形成的马蹄声，给鲤鱼、光鸡过油响起的噼里啪啦声……各种声音融汇在一起，抑扬顿挫，和谐悦耳。小院子的花花草草也被这气氛所感染，欢快地摇曳着。 ⑨薄暮
时分，“备宴”收尾，建春哥和伯父送来糖茶，表示感谢。大家围坐在八仙桌旁，讲古说今，大爷话不多，深邃的眼神让人捉摸不透。晚九点左右，大家散去，大爷斜躺在连椅上，不一会儿就响起了沉重混沌的鼾声。 ⑩第二天，阳光灿烂，天气晴好。唢呐声声，鞭炮齐鸣。建春哥迎来
⑥虽然日记里不乏无病呻吟，⑦也有不少狂妄的长篇大论，⑧并且更多的是对平凡生活的感受，⑨对自我的反省和鼓励。 A． B． 阅读下面一段文字，修改其中语病。（标明序号并写出修改后的句子）（3分） ①写日记的一个好处是能留下自己成长过程中的点点滴滴。②我保持写日记
诱导公式(2)-课件
cosα=x，
cos(π+α)=−x，
tanα= ；
tan(π+α)=
−
−
= ；
x
对称轴
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
y
O
P1(x,y)
x
对称轴
直线 y=x
诱导公式？
y
O
P1(x,y)
x
问题1：作P1关于直线 y=x的对称点P5，以OP5为
终边的角 与角 有什么关系？
2.公式五和六的作用是什么？
知识上，又学会了两组诱导公式；
思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的
化归思想；诱导公式所揭示的是终边
具有某种对称关系的两个角三角函数
之间的关系.主要体现了化归和数形结
合的数学思想.
公式五和六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
课后作业
课本P194 练习2,3.
tan(−)＝−tan . tan(−)＝−tan .
tan(＋)＝tan .
结合诱导公式一和二、三、四我们就可以将
π
任意范围内的角的三角函数值转化到 [0, ) 间的
2
角的三角函数值求解，而这三组诱导公式的应用
也是今后我们解决三角函数问题的重要手段.
回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以
诱导公式（2）
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
通过之前的学习，我们利用了圆的对称性以及三角函
数的定义，推导出诱导公式二、三、四.
公式三
公式四
公式二
课件4：5.3 诱导公式(二)
[解] 方程 5x2－7x－6＝0 的两根为 x1＝－35，x2＝2， 因为－1≤sin α≤1，所以 sin α＝－35. 又 α 是第三象限角，所以 cos α＝－45，tan α＝csoins αα＝34， 所以sinco－sα2π－－32απscinosπ232＋π－α α·tan2(π－α)＝sinπ2s－inααccoossαπ2＋α·tan2α ＝cossinαα－cossinαα·tan2α＝－tan2α＝－196.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________. 1 [因为 11°＋79°＝90°，所以 sin 79°＝cos 11°， 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
4．化简 sin32π＋α＝________. －cos α [sin32π＋α＝sinπ＋π2＋α ＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
＝sin sin
θ＋cos θ－cos
θ＝左边，所以原等式成立． θ
(2)左边＝cocsosθsπ2i＋n－θsθintaπ2n＋－θθ＝co－s sθisninθcθotasnθθ
＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
【规律方法】 三角恒等式的证明的策略 1遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左 边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则. 2常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法， “1”的代换法.
(3)正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若 sinπ2＋θ<0，且 cosπ2－θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
正弦、余弦的诱导公式2
例：求 cos 225 的值
0
诱导公式（ 诱导公式（三）：
sin( −α ) = − sin α
cos(−α ) = cos α tan(−α ) = − tan α
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例：求 sin(-
π
6
)的值
(− sin)(− cos α ) 解 : 原式= (− cos α ) sin(π − α )[− sin(π + α )]
sin α cos α = (− cos α ) sin α [−(− sin α )]
1 =− sin α
下面我们利用公式2和公式3，推出1800 -α 与α的三角函 数之间的关系。
因为
sin(180 − α ) = sin[180 + (−α )] = − sin(−α ) = −(− sin α ) = sin α
0
0
cos(180 − α ) = cos[180 + (−α )]
0
0
于是又得到一组公式 (公式四)：
0 0
= cos(1800 − 210 )
= − cos 210 = −0.9336
17 π π (2) sin(− π ) = sin( − 3 × 2π ) = sin 3 3 3
3 = 2
例6 化简 sin(2π − α ) cos(π + α ) cos(π − α ) sin ( 3π − α ) sin(−α − π )
课前复习
诱 ⋅ 360o + α ) = sin α cos( k ⋅ 360 + α ) = cos α
(完整版)诱导公式总结大全(2),推荐文档
半角的正弦、余弦和正切公式 sin^2(α/2)＝(1－cosα)/2 cos^2(α/2)＝(1＋cosα)/2 tan^2(α/2)＝(1－cosα)/(1＋cosα) tan(α/2)=(1—cosα)/sinα=sinα/1+cosα
两角和差公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ )/(1－tanα ·tanβ) tan（α－β）＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ)
诱导公式 1
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角 n·(π/2)±α 的三角函数转化为角 α 的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设 α 为任意角， π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之 间的关系 ： sin（π＋α）＝－ sinα cos（π＋α）＝－ cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－ sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之 间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－ cosα tan（π－α）＝－ tanα
课件3：5.3 诱导公式(二)
＝－tacnoαsαsisninααcosα＝－tanα则 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或 从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定 义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练 掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
名师提醒 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．
[针对训练] 1．已知 cosθ＝－35，则 sinθ＋2π＝________. [解析] sinθ＋2π＝cosθ＝－35. [答案] －35
[针对训练] 3．求证：ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1. [证明] 右边＝－2sin32π1－ －θ2s·in－2θsinθ－1＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2θsinθ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2iθnθ－1＝cos－2θ2＋cossinθ2sθin－θ－2si1n2θ
＝ssiinn2θθ＋－ccoossθ2θ2＝ssiinnθθ＋－ccoossθθ＝左边，所以原等式成立.
题型三 诱导公式的综合应用 【典例 3】 (1)已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值． (2)已知 cosα＝－45，且 α 为第三象限角． 求 f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sin2π－α的值． [思路导引] (1)6π－α＋56π＋α＝π；23π－α＝π－3π＋α；π3＋α＋6π－α ＝π2.可利用以上互余、互补关系求解；(2)利用诱导公式化简求值．
第一章 1.2.4诱导公式(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
1.2.4（二）
公式一～三归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等 于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数
本 课 时 栏 目 开 关
值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． π 公式四～五归纳： ± α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦 2 (正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号， 简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、 符号象限定”． π 五组诱导公式可以统一概括为“k· ± α(k∈Z)”的诱导公式．当k 2 为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前 面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶 不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
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探究点二 诱导公式五
1.2.4（二）
本 课 时 栏 目 开 关
(1)公式内容： π π sin2－α＝cos α，cos2－α＝sin α， π π tan2－α＝cot α，cot2－α＝tan α. (2)公式推导： 方法1：利用公式二和公式四可得： π π sin2＋－α ＝ cos(－α) ＝ cos α ， sin2－α＝ π π cos2＋－α －α＝ ＝ －sin(－α) ＝ sin α ， cos 2
α； α；
α.
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[典型例题] 例1
本 课 时 栏 目 开 关
1.2.4（二）
π 3 π 2π 3π 已知cosα＋6＝ ， ≤α≤ ，求sinα＋ 3 的值． 2 5 2
诱导公式(二)
4.5.2 诱导公式（二）
1.诱导公式3：180°－α→α：
sin（180°－α）＝sinα，cos（180°－α）＝－cosα，tan（180°－α）＝－tanα
2.诱导公式4：180°＋α→α：
sin（180°＋α）＝－sinα，cos（180°＋α）＝－cosα，tan（180°＋α）＝tanα
3.诱导公式的记忆口诀：函数名称同，符号象限定（判断符号时，可将
角α看作锐角）
一、选择题
1.下列式子正确的是（
A ）.
A. sin（180°－θ）＝sinθ
B. cos（180°＋θ）＝cosθ
C. tan（－θ）＝tanθ
D. cos（－θ）＝－cosθ
2.下列式子错误的是（
D ）.
A. sin（180°＋50°）＝－sin50°
（6）tan170°＝tan（ 180°－10° ）＝
cos70°
－tan10°
2.根据范例，计算下列各式的值.
3
2
（例：cos150°＝cos（180°－30°）＝－cos30°＝－ ）
（1）sin300°＝sin（
360°－60° ）＝
（2）tan225°＝tan（ 180°＋45° ）＝
（3）cos120°＝cos（
180°－60° ）＝
－
－sin60° ＝
tan45° ＝
3
2
1
－cos60° ＝
1
－2
三、解答题（计算）
1.sin240°
解：原式＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－
2.tan210°
解：原式＝tan（180°＋30°）＝tan30°＝
高二数学诱导公式2
在直角坐标系中，α与α+2kπ(k∈Z)的终 边相同，由三角函数的定义，它们的三角函 数值相等，
公式（一）
cos( k 2 ) cos sin( k 2 ) sin
tan( k 2 ) tan
这组公式可以统一概括为的形式，
f ( 2k ) f ()(k Z)
特征：两边是同名函数，且符号相同.
作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 0º~360º之间角的正弦、余弦、正切
公式（二）:
sin(－α)=－sinα, cos(－α)=cosα; tan(－α)=－tanα.
y
P(x,y)
x O
-
P'(x,-y)
－α与α的正弦相反，余弦相等，正切相反。
公式(三):
y
P(x,y)
-
x
O
π-α与α的正弦相等，余弦相反，正切相反。
例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 5
4
解：（1）cos210º=cos(180º+30º)
=－cos30º
3 2
（2）sin
5
4
=sin(π+ )
=－sin
4
4
2 2
例2．求下列各式的值：
（1）sin(
sin(π+α)=－sinα, cos(π+α)=－cosα; tan(π+α)=tanα.
y P(x,y)
x
+ O
P'(-x,-y)
π+α与α的正弦相反，余弦相反，正切相等。
公式(四):
sin(π－α)=sinα, cos(π－α)=－cosα; tan(π－α)= －tanα.
5.3 诱导公式 课件(2)(共29张PPT)
37π 5π
(4)tan
·sin－ 3
6
π
π
＝tan6π＋ ·sin－2π＋
6
3
π
π
3
3 1
＝tan ·sin ＝ × ＝ .
6
3 3
2 2
解题方法（利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：）
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
[跟踪训练一]
.
α 直线 y＝x 对称.
六、诱导公式六
π
＋α 型诱导公式(公式六)：
2
π
sin ＋α＝
2
cos α
π
cos ＋α＝
2
－sin α
；
.
小试牛刀
25π
1．(1)sin
＝________；
6
7π
(2)tan－ ＝________.
π 1
tan(α＋2kπ)＝
(k∈Z)；
tan α (k∈Z)．
提醒 1：α＋2kπ 与 α 终边相同角.
二、诱导公式(二)
终边关于 x 轴对称的角的诱导公式(公式二)：
sin(－α)＝ －sin α
cos(－α)＝
；
cos α ；
tan(－α)＝ －tan α
.
提醒 2：-α 与 α 关于 x 轴对称.
π
(2)cos－ ＝cos－6π＋ ＝cosπ－
6
6
6
π
3
原创2：1.2.4 诱导公式(二)
y 的终边
P(x,y)
α
O
A(1,0) M
x
探究点2
结论：
sin α y
sin α y
锐角三角函 数可以用终边 与单位圆的交 点的坐标来表
r cos x
r
tan y
x
r=1
cos x
tan y
x
示。
探究点3
推广——任意角三角函数的定义 y
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交
于点P(x,y)，则:
sin MP
OP
y =r
P(x, y)
cos OM = x OP r
P(x, y)
OM
A(1,0)
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tan MP
OM
y =
x
思考：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值 会随之改变吗？
引入课题
问题2：设转动度后小明离地 面的高度为h, 为00～900,试着 P2 写出h和的关系式。
问题3：当推广到任意角后，
3
2
cos 5 x 1
3
2
tan 5 y 3
3x
y
5
3
1
O2
A
3
r 1 1 2
x
B
P
1 2
,
3 2
拓展提升：
已知 的终边经过点 P0 (3,4)
求 角的正弦,余弦和正切值。
M0
M
O
P(x,y) P0(-3,-4)
课堂练习
1、角的终经过点P(2,3)，则有(C、D)
A、sin 2 13 B、cos 13
5、若sin tan 0,则的终边在( D )
诱 导 公 式(二) 课件(41张)
当k＝2n＋1，n∈Z时， 原式＝cos （2n＋1）π＋π3＋α ＋ cos （2n＋1）π－π3－α ＝cos π＋π3＋α ＋cos π－π3－α ＝－cos π3＋α －cos π3＋α ＝－2cos π3＋α . 所以化简所得的结果为(－1)k2cos π3＋α .
5．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝________．
【解析】f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3 2
.
答案：－
3 2
＝2si2nsαicno2αs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α
，
所以 f－263π
＝ tan
1 －263π
＝ tan
1 －4π＋6π
＝1 tan
π 6
＝
3.
答案： 3
诱导公式在三角形中的应用
【典例】在△ABC中，sin
A＋B－C 2
C．±(sin θ－cos θ)
D．sin θ＋cos θ
【解析】选A.因为 1－2sin （π＋θ）sin 32π－θ ＝ 1－2sin θcos θ ＝ （sin θ－cos θ）2 ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈2π，π ，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.
2．sin 105°＋cos 165°的值为________． 【解析】sin 105°＋cos 165°＝sin (90°＋15°)＋cos (180°－15°)＝cos 15°－cos 15° ＝0. 答案：0
诱导公式(二)
1 5 （2）已知 cos ，求 cos 的值． 6 3 6
变:
求 sin( ) 3
的值.
公式三 sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan 公式五
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式六 sin( ) cos 2 cos( ) sin 2
证明：左边=
cos ( ) 2
cos( ) 2
sin
右边
练习：证明
3 （ 1 ） sin( ) cos 2 3 (2) cos( ) sin 2
例题:化简
11 sin(2 ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 9 cos( ) sin(3 ) sin( ) sin( ) 2
三角函数
1.3 三角函数的诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ), cos( 2k ) cos ( k Z ), tan( 2k ) tan ( k Z ).
诱导公式 一：
函数名不变， 符号看象限
（将α看成锐角）
诱导公式 二： sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan . 诱导公式 四：
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式 二或四
的三角函数
锐角三 角函数
公式五
复习初中知识
cos60 sin45 cos45 sin 60 cos30
5.3诱导公式(二)课件(人教版)
cos( + ) = − cos
tan( + ) = tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式三：终边关于轴对称的角
sin(−) = −sin
cos(− ) = cos
tan(−) = − tan
高中数学必修第一册
知识巩固
公式四：终边关于轴对称的角
高中数学必修第一册
典例精析
例1 证明：
3
（1）(
2
− ) = − ；
3
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = .
典例精析
变式1 证明：
5
（1）(
2
− ) = ；
7
（2）(
2
高中数学必修第一册
+ ) = ；
典例精析
变式1 证明：
与角有什么关系？
y
P5
O
高中数学必修第一册
P1
x
问题探究
探究：3.直角坐标系中关于直线 = 对称的两个点的坐标之
间有什么关系？
y
y
P5
P1
P1
O
O
x
P5
y
y
x
P5
O
x
O
x
P5
P1
高中数学必修第一册
P1
知识小结
公式五：终边关于 = 对称的角
sin( − ) = cos
2
教材P195综合运用T7
在△ABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由：
（1）( + ) = ； （2）( + ) = ；
三角函数的诱导公式(二)(附答案)
三角函数的诱导公式（二）[学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导 ，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．知识点一 诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 思考1 根据任意角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，推导诱导公式五．思考2 根据π2＋α＝π－(π2－α)这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六．知识点二 诱导公式的理解、记忆与灵活应用公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”． 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．思考 请你根据上述规律，完成下列等式． sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α.题型一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值． 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式证明恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立．跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立． 题型三 诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限的角， ∴cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265，∴f (α)＝265. (3)f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12. 跟踪训练3 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－－132＝－223.∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)] ＝－sin(α－75°)＝223.诱导公式的应用例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， －sin α＝－2sin(π2－α)，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos (π2－α)－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α) ＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－133．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 ． 4．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α； (3)tan(5π－α)．5．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值．一、选择题1．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A ．－25B ．－15 C.15 D.252．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m25．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13 D ．－23 二、填空题7．式子cos 2(π4－α)＋cos 2(π4＋α)＝ .8．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝ .9．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)，化简f (α)＝ .10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin (π2－α)－2cos (π2＋α)－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ .三、解答题11．已知角α终边经过点P (－4,3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．12．已知sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝35，求sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)．当堂检测答案1．答案 C解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.2．答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 3．答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.5．解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38，∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.课时精练答案一、选择题 1．答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2．答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.3．答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.4．答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5．答案 C解析 由cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32，又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.6．答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)] ＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.二、填空题 7．答案 1解析 原式＝sin 2[π2－(π4－α)]＋cos 2(π4＋α)＝sin 2(π4＋α)＋cos 2(π4＋α)＝1.8．答案 －13解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.9．答案 sin α解析 f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin (π2＋α)cos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.10．答案 2解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 三、解答题11．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴tan α＝y x ＝－34，11 ∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α ＝－34.12．解 ∵sin(θ－32π)＋cos(32π＋θ)＝－sin(32π－θ)－cos(π2＋θ)＝sin(π2－θ)＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝35.∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1]＝12(925－1)＝－825.∴sin 3(π2＋θ)－cos 3(3π2－θ)＝cos 3θ＋cos 3(π2－θ)＝cos 3θ＋sin 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝35×[1－(－825)]＝99125.。
第8节 诱导公式(2)
=
=
=cosθ ﹣
练习：已知角 α 的终边上有一点 P（1，3），则
为（ ）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣4
【解答】解：∵点 P（1，3）在 α 终边上， ∴tanα=3，
∴
=
=
故选：A．
的值
= =﹣ ．
例 3：化简 A．1 B．﹣1
C．tanα
D．﹣tanα
的结果为（ ）
解： 故选：B．
=
=﹣1．
练习：已知 f（a）=
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【解答】解：∵角 α 的终边经过点 P（﹣5，﹣12），则 sin（ +α）=﹣cosα=
﹣
=，
故选：C．
例 2：若 A．sinθ﹣cosθ
，化简 B．sinθ+cosθ
C．cosθ+sinθ
=（ ） D．cosθ﹣sinθ
【解答】解：∵ ∴ sinθ． 故选：D．
，∴sinθ＜cosθ．
课后练习：
1．如果 sin（π﹣α）= ，那么 cos（ +α）等于（ ）
A．﹣
B．
C．
D．﹣
解：∵sin（π﹣α）=sinα= ，那么 cos（ +α）=﹣sinα=﹣ ，故选：A．
2．若角 α 终边过点 A（2，1），则 sin（ π﹣α）=（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
解：∵角 α 终边过点 A（2，1），∴|OA|= ，则 cosα=
原式=
=﹣
=．
练习：已知 α 为第三象限角，且 f（α）=
（1）化简 f（α）； （2）若 f（α）= ，求 tan（3π﹣α）的值．
诱导公式2
3、角与角 +(2k+1)的三角函数间的关系
诱导公式三：
sin[ +(2k+1) ] sin cos[ +(2k+1) ] cos tan[ +(2k+1) ] tan
复习练习一 • 求下列三角函数值： • （1）sin(-1050º )； • (2) cos1410°
-
cos cos sin 原式 1. sin ( cos )
探究： a与a 的三角函数间的关系。 2 P(cos a,sin a),
y y=x N M
N (cos ,sin ) 由对称性 M (sin a, cos a ); 又因为点M 与N 关于y轴对称， 所以 N （ sin a, cos a） , N (cos ,sin ).
4、已知 是三角形的一个内角，且sin =
2 ，那么角 等于（ 2
）
A. 3
B. C . 或 4 4 6
3 D. 或 4 4
5、 sin135 cos 2 150 2sin 210 cos 225的值是（ 2 2 1 2 2 1 2 A. B. C. 4 4 2
2
(其中
0
4
)的形式
sin sin
180
0 0
2 90
0 0
sin(180 ) sin(1800 - ) sin(900 ) sin(90 )
0
, ,
180 - ) 90
0 0
2 90 - ) 1 90
诱导公式(2)
复习知识
1.3.2诱导公式(2)
1.3.2诱导公式（2）一教学目标1知识与技能：理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明2过程与方法：培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用3情感、态度、价值观：培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，激发学生的学习兴趣。
二教学重点、难点1教学重点：理解并掌握诱导公式2教学难点：诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式. 三教学方法：通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，更好地进行合作交流。
四教学过程Ⅰ.复习回顾公式一～公式四 函数名不变，符号看象限.Ⅱ.公式四、五的推导：由π2－α与α的终边关于直线y ＝x 对称，尝试证明： 公式五：sin （π2 －α）＝cos α，cos （π2－α）＝sin α利用公式二和公式五尝试证明：公式六：sin （π2 ＋α）＝cos α，cos （π2＋α）＝－sin α公式五和公式六可以概括为：απ±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的正弦（余弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时的原函数值的符号 Ⅲ.例题分析证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=-［例1］化简)29sin(sin(3sin(cos()211cos()2cos(cos(2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+)--)-)--+)+)-［例2］化简)1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-［例3］：已知,51cos =x 且x 是第四象限角，求)23cos(x -π的值 。
练习1：已知cos(π＋θ)＝－45 ，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）和tan θ的值分别为（ ）A. 35 ，－34B.－35 ，34C.－35 ，－34D.－35 ，－43 练习2：已知sin （π－α）－cos(π＋α)＝23 (π2＜α＜π)， 求sin α－cos α与sin 3（π2 ＋α）＋cos 3(π2＋α)的值.: 练习3：已知21)6sin(=-απ，求)32cos(απ-的值。
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课题：
1.2.4 诱导公式（二）
课型
新授课
编写
陈维照
审核
王可喜
学习目标
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径. 学习重点 掌握
απ
±2
角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路
学习难点
απ
±2
角的正弦、余弦诱导公式的推导.
一、课前预习
预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。
（二）课前自测：
1．已知3sin(
)42π
α+=
，则3sin()4
πα-值为（ ）
A. 21
B. —2
1
C. 23
D. —23
2．cos (π+α)= —21，2
3π
<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ）
A. 23
B. 2
1 C. 23± D. —23
3. 若，则 。
（三）提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中。
疑惑点
疑惑内容
二、教学过程 （一）、【创设情境】
问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的
与
、
、
的三角
学习札记
函数关系。
设置意图：利用几何画板的演示回顾旧知及公式推导过程中所涉及的重要思想方法（对
称变换，数形结合）激发学生学习动机。
学生活动：结合几何画板的演示，学生回忆诱导公式(一)的推导过程，回答诱导公式(一)
的内容。
多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关
于y轴对称呢？
设置意图：检验学生对两种对称变换的点的坐标的变化规律的掌握程度，为后面的教学
作铺垫。
通过分析问题情境，提出本节课研究的问题。
学生活动：点P(a,b) 关于直线y=x的对称点Q的坐标为(b,a)；点P(a,b) 关于y轴的对称点R的坐标为(-a,b)。
2.探究新知：
问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为，点P 关于直线y=x的轴对称点为M，则M点坐标为，点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为，
∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？
设置意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出诱导公式，渗透对称变换思想和数形结合思想。
学生活动：学生看图口答
P （，
），M （，），N （-，
），∠XON=
N （
，
）
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价） 多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：观察点N 的坐标，你从中发现什么规律了？ 问题2：观察点N 的坐标，你从中发现什么规律了？ 设置意图：让学生总结出公式
=-，
=
（二）、【探究新知】 (三)、【例题讲解】
例1 利用上面所学公式求下列各式的值： （1）
（2）
（3）
（4）
解析：直接利用公式解决问题
解：3
sin120sin(3090)cos302=+==
o
o
o
o
2cos135cos(4590)sin 452
=+=-=-
o o o o
2
tan tan()cot3
3626
ππππ
=+=-=-
191932 cos()cos cos(4)cos()sin
4444242
ππππππ
π
-==+=+=-=-变式训练1：将下列三角函数化为到之间的三角函数：（1）（2）（3）
思考：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？
设置意图：利用已学诱导公式推导新公式。
学生活动：
例2 已知方程sin(α- 3π) = 2cos(α- 4π)，求
)
sin(
)
2
3
sin(
2
)
2
cos(
5
)
sin(
α
α
π
α
π
α
π
-
-
-
-
+
-
的值
解析：先利用诱导公式化简
解：∵sin(α- 3π) = 2cos(α- 4π) ∴- sin(3π-α) = 2cos(4π-α) ∴- sin(π-α) = 2cos(-α) ∴sinα = - 2cosα且cosα≠ 0
∴
4
3
cos
4
cos
3
cos
2
cos
2
cos
5
cos
2
sin
cos
2
cos
5
sin
-
=
-
=
-
-
+
-
=
+
-
+
=
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
原式
变式训练2：已知，求的值。
小结：
三、学习小结
四、布置作业
P33.A组4 B组 1.2题
五、巩固提高
1．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得（ ）
A. sin 2cos2+
B. cos2sin 2-
C. sin 2cos2-
D.±cos2sin 2- 2．已知3tan =
α，2
3π
απ<
<，那么ααsin cos -的值是 3．求值：2sin(－1110º) －sin960º+)210cos()225cos(2︒-+︒-＝ ． 4．已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)
sin()2
3sin(2)
2cos(5)sin(ααπ
απαπ----+-的值。