波导理论的量子力学基础

（经典电动力学 ） 方法二 方法二（ 经典电动力学） ： 先用电磁场理论计算该透射波的能流密度[8]
(14)
S=
1 Re( E ' '* ×H ' ' ) 2 1 2
Sx =
ε0 2 − 2k E' '0 e µ0
n 2 sin 2 θ i −1 z
n sin θ i
Sz = 0 ； Sy = 0
6
E w w c2 c2 c = = = = = <c p g S S cn sin θ i n sin θ i c2 w
与(14)一致。这里， “相速度”
(14')
ω 与能流速度的乘积为 β ω ω ⋅ cn sin θ i = c = c 2 � � � � k kn sin θ i � � �� � �
[1]. 杰克逊， 《经典电动力学》 ，John Wiely & Sons, ，第2版，Chap 8.53 [2]. Griffiths, D.J., Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition, Prentice-Hall, Chaps 2.6; 2.33 [3]. 张立刚、宁辉、邵浩、陈昌华、宋志敏， 《矩形开口波导天线特性的数值模拟》, 强激 光与粒子束，21卷第4期, p503-506(2009) [4]. 陈代兵, 范植开, 黄华, 《开口波导有效接收面积的测量》, 强激光与粒子束，16卷第4 期, p474-476(2004) [5]. Feinberg, G., Possibility of Faster-Than-Light Particles, Phys. Rev. 159, 1089–1105 (1967) [6]. Wang, Z.Y., Tachyonic equations to reduce the divergent integral of QED, arXiv:0911.2359 [7]. 张克潜、李德杰， 《微波与光电子学中的电磁理论》 ，电子工业出版社，第2版，6.2章 [8]. 郭硕鸿， 《电动力学》 ，高等教育出版社，第1版，133页,2.21式 [9]. Nimtz, G., Stahlhofen, A.A., Macroscopic violation of special relativity, arXiv:0708.0681
ω 小于无边界空间中电磁波的相速 β
度c=
1 ω 。其实， “相速度” 慢正说明了运动速度 V 快。比如，在一个典型的对称 β ε0 µ0
平面介质波导 (图.2) 里[7]
4
真空 (ε 0 , µ 0 )
a
介质 (ε , µ )
−a
真空 (ε 0 , µ 0 ) 图2. 平板介质波导
考虑最简单的情况：外层的光疏介质是真空。 ω > l
π ( l 代表整数) 时 2a εµ − ε 0 µ 0
τ 2 > 0 , 这种情况下表面电磁波的力学速度 V = c 1 +
τ 2c 2 肯定大于 c . ω2
介质波导的工作原理是全反射，让我们仔细研究全反射现象中的能流。为方便计，也设光 疏介质为真空( 图.3 )：
光密介质；折射率 n 波矢
>1
入射角 θ i
全反射光
kn > k
Goos-Hanchen 位移 2∆
x
真空：折射率 波矢
n =1
透射光相位常数 β = kn sin θ i 透射电场 E ' '
k
z
图3. 全反射
5
(光学结合量子理论 )：在真空中透射电磁波的相位常数 β = kn sin θ i ，故 方法一 方法一( 光学结合量子理论)
接着，我们计算透射的电磁场能量密度如下：
1 2 w = we + wm = ε 0 E' '0 e −2 k 2
由此，能流速度为
n 2 sin 2 θ i −1 z
Sx 1 = n sin θ i = cn sin θ i > c w ε0 µ0 Sz =0 w Sy w
=0
与第一种方法给出的 cn sin θ i > c 完全相同。至于单个光子得能动量比，
显然，对真空中的任何电磁场，无论 E 、 B （或 H ）的分布如何复杂，该结果恒成立。 自由空间中， V p = V = c ； “快波” V p > c ，能量速度 V =
c2 <c； “慢波 ” V p < c ， Vp
V=
c2 > c. Vp
8
假如不是在真空而是绝缘介质里，则 ε 0 → ε ， µ0 → µ ，
E = ℏω 不能小于它的静能 ℏ ωc .
1
当波导尺寸趋于无穷大时， 上述公式退化为自由空间中熟知的结果： 静质量 m 0 ∝ ω c → 0 , 速度 V → c ，能动量关系 E → pc . 该理论完全基于麦克斯韦方程组，非零的静质量来自 边界条件，与所谓的重光子Proca方程无关(后者即使在无边界空间中静质量依然不为零)， 所以不违反任何已知的物理规律如规范不变性和库仑力的平方反比律。 另外，该力学方法给出的光子运动速度 V 正好等于电磁场理论计算出的波导内电磁波能 流速度[1]
2
=
ℏω c = ℏω ωc / ω
(3)
总动量： p =
m0V V2 1− 2 c c
= ℏβ
(4)
E ω = = p β
ω2 1 − c2 ω
>c
也就是说，波导里的光子可以看作是一个具有非零静质量 m 0 = ℏω c / c 2 的实物粒子。波 导的高通滤波性即只允许频率 ω 大于截止频率 ω c 的电磁波通过可以解释为光子的总能量
结论 虽然波动理论有很多速度定义如相速度、 群速度等， 但只有能流速度才对应力学里的运动 速度 V ，比如： 自由空间、同轴线等传输电磁场能流速度
S 1 = =c w ε 0 µ0
闭合波导里电磁场的能流速度
P = U
∫∫ S dxdy = c ∫∫ w dxdy
1－
ω c2 <c ω2
全反射时表面电磁波能流速度
1 1 .此时 → ε0 µ0 εµ
（C =
Vp ⋅ V =
w S S E×H 1 ⋅ = = = = C2 g w g εE × B εµ
1 ） εµ
只要“相速度”满足 V p <
C2 ， 仍有 V > c . 表面波天线等一般都工作在空气中， c
C=
1 1 与真空值 c = 只相差万分之几，还是很容易实现 V > c . ε 0 µ0 ε0 µ0
4ω 2 (ω c2 − ω 2 ) 2 2 d⎫ 2 2 2 ωc4 sh 2 ⎧ ⎨ ωc − ω ⎬ + 4ω (ωc − ω ) c ⎩ ⎭
shx =
e x − e− x 2
(10)
(11)
一般情况下波长比波导长度大许多即 ωc2 − ω 2 衰减的经验公式 T ∝ exp( −2 ωc2 − ω 2
ω 2 = β 2c 2 − τ 2 c 2
比例系数也是 ℏ 2 . 单个量子的力学性质为：
(13)
静能： m 0 c 2 = ℏτc
运动速度： V = c 1 +
τ 2c 2 >c ω2
= ℏω
总能量： E =
m0c 2 V2 −1 c2 m0V V2 −1 c2
总动量： p =
= ℏβ
这种表面波又被称为 “慢波” ，是因为它的所谓相速度
1.
波导与“慢子”(tardyon)
普通波导是研究闭合空间中的电磁波，色散关系为 ω 2 = β 2 c 2 + ωc2
(1)
β 代表纵向波矢 k // ，在微波理论中称之为相位常数。 《费曼物理学讲义》给出了一种新的
研究方法：用于描述亚光速粒子的相对论力学里，单粒子能量和动量表达式为
E=
m0c 2
相反，开放波导的表面电磁波的色散关系 ω 2 = β 2 c 2 − τ 2 c 2 对应描述超光速粒子的快子
2 4 能动量方程 E 2 = p 2 c 2 − m0 c ； “相速度”
ω < c 而能流速度(运动速度) V 大于 c . 人 β
们印象中的“慢波”其实才是真正超光速的快波。
9
参考文献
d >> 1 ，所以严格解(6)可近似为呈指数 c
d ). c
3
2.
表面波导(开波导 )与“快子”(tachyon)
超光速理论里，快子的能量、动量公式为[5][6]
E=
m0c 2 V2 −1 c2 m0V V2 −1 c2
p=
它们之间的关系
2 4 E 2 = p 2 c 2 − m0 c
(12)
巧的是，确实存在一类“表面电磁波”，色散公式与之相应
P = U
∫ ∫ S dxdy = c ∫ ∫ w dxdy
1−
ωc2 <c ω2
(5)
实际上， 可以证明这是一个普遍的结论。 电磁场具有波粒二象性： 波动图像的能流速度
S w
（ S 是坡印亭矢量 E × H , w 代表电磁场的能量密度）对应粒子图像里光子的运动速度 V ，
粒子速度用其动量来定义：
T
1=R+T R 图1. 波导对电磁波的散射
ω > ωc 时 d⎫ ⎧ ωc4 sin 2 ⎨ ω 2 − ωc2 ⎬ c⎭ ⎩ R= d ⎫ 2 2 2 2 2 ωc4 sin 2 ⎧ ⎨ ω − ωc ⎬ + 4ω (ω − ωc ) c⎭ ⎩
(8)
T=
4ω 2 (ω 2 − ωc2 ) 2 2 d⎫ 2 2 2 ωc4 sin 2 ⎧ ⎨ ω − ωc ⎬ + 4ω (ω − ω c ) c ⎩ ⎭
<c >c
相比之下，在闭合波导中
ω2 ⋅ c 1 − c2 = c 2 ω2 � �ω � � 1 − c2 � ω � � �� � <c c
ω >c β
虽然早已有学者猜测倏逝波可能超光速 [9]，但他们误以为发生在垂直方向上。从上述分 析可知，超光速能流其实沿着界面传播（图. 4） 。
7
图4.
至于能量传输速度
S ，不必每次都通过电场强度 E 和磁感应强度 B 计算，有更简便的方 w
2
法。从上面的例子可以看出，它和相速度的乘积永远是常数 c . 普遍证明如下： 相速度
Vp =
ω ℏω E w = = = β ℏβ p g S w
能量速度 V =
Vp ⋅ V =
E×H w S S 1 ⋅ = = = = c2 g w g ε0 E × B ε0 µ0
(6.125)
其中， w = NE （ N 是光子数密度） ； g = Np 是电磁场的动量密度 εE × B
所以相速度、 群速度等大于真空光速并不代表突破了光障 （Withayachumnankul,W., Fischer, . IEEE . B.M., Ferguson, B., et al, A Systemized View of Superluminal Wave Propagation, P roc roc. IEEE.
1−
V2 c2
p=
m0V
1−
V2 c2
(2)
E 2 = p 2c 2 + m02c 4
显然， (1)与(2)之间呈一一对应关系，比例系数就是 ℏ 2 （约化普朗克常数的平方） 。于是 我们有
静能： m 0 c 2 = ℏωc
2 运动速度： V = c 1 − ω c /ω2 < c
总能量： E =
m0c 2 V 1− 2 c
98(10), 1775–1786 (2010)） ， 能流速度
S > c 才是真正的超光速 V > c . 只在某些特殊条件下 w
比如自由空间里，它们可以是相等的。
2
现在可计算微波通过波导时的反射率 R 和穿透率 T .把这个系统当作量子力学的一 维有限方势垒[2] 来处理 (图.1) ，则有
自由空间
(9)
它们的数值随波导长度 d 的变化而振荡， 周期为半波长。 这与文献[3],[4]的结果相符。
ω < ωc d⎫ ⎧ ωc4 sh 2 ⎨ ωc2 − ω 2 ⎬ c⎭ ⎩ R= 2 2 d⎫ 2 2 2 ωc4 sh 2 ⎧ ⎨ ωc − ω ⎬ + 4ω (ω c − ω ) c⎭ ⎩ T=
S = cn sin θ i > c w
力学里的运动速度 V （波动理论的能流速度）大于 c 才是真正的超光速。
2 普通闭合波导中电磁波的色散关系 ω 2 = β 2 c 2 + ω c 对应亚光速粒子的相对论能动量方程
E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4 ； “相速度”
ω > c 而电磁场的能流速度(光子运动速度) V 小于 c . β
E
p2c 2
2 4 m0 c
于是 "静质量"
m0 = n 2 sin 2 θ i −1
ℏk c
wk.baidu.com
运动速度为 V = cn sin θ i > c 总能量
E=
m0c 2 V2 −1 c2 m0V V2 −1 c2
= ℏkc = ℏω
总动量
p=
= ℏkn sin θ i = ℏβ
E ω c = = <c p β n sin θ i
双棱镜
裸露的金属导线可以表面波方式传输电磁场能量，称为“索末菲线”(Sommerfeld wire) [10]~[12]（图 . 5） 。表面波天线[13]也是很好的实验对象 [14]~[17], 它们的色散方程形式都是
ω 2 = β 2c 2 − τ 2 c 2 .
图5.
Sommerfeld wire
ω 2 = k 2c 2
= β 2 c 2 − ( n 2 sin 2 θ i − 1) k 2 c 2 1 , 所以 ( n 2 sin 2 θ i − 1) k 2 c 2 > 0 ，这正对应快子的 n
由于全反射的入射角 sin θ i > sin θ c = 能量-动量关系(12)：
2 2 2 2 2 ℏ ω =ℏ β c − (n 2 sin 2 θ i −1) ℏ 2 k 2 c 2 � � � � ���� ���� � 2
S S p p c g g S V = ⎯质能方程 ⎯⎯ ⎯→ = ⎯⎯⎯→ = = E E E w w m 2 c p p g
2
S 2 =c * g
(6)
* Jackson, J.D., Classical Electrodynamics, 2nd edition,
John Wiley & Sons, (6.109), (6.118),