韦达定理(精品讲解与专题练习)

方程
x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0
3
1 -2
第一段的总结
一元二次方程的根与系数的关系： 那么X1+x2=
b , X1 a
（韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
-
x2=
X1+x2=
c a
X1x2=
2x2-4x+10=0
提示你：能用韦达定理的条件为△≥0
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
1 k 2
解得k1=0 , k2=4
如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么X1+X2= －P , X1X2= q
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6 (3) x1 = 7
, x2 =
7
(4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2Hale Waihona Puke Baidu q 3
5
x1+x2= - 3 , x1 · x2= 解： 由韦达定理，得 ∴p= -3(x1+x2) q=3 x1 · x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 (4)p= 12 q= -21 q= -3

5 2
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= k 1 2 k 3 ( ) 4 1 ∴ 2 2 解得k1=9,k2= -3
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、韦达定理及证明
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 则x1+1= 3 , ∴ x1=
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 =4
x1+x2=3 x1+x2=0
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 1 1 2 2 求： (1) x x (2) x +x
1 2
。
解： 由题意可知x1+x2= -
,
(1)
1 x 1

1 x 2
=
x1 x 2 x1 x 2
=
2 x x2=-3 31 · 2 2 3 3 = 9
又x1 1=
●
m 3
16 3,
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · x2=
3 2 3 )+1= 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解： 由韦达定理，得
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+(
解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k ∴ x1 ＝－3 即2 x1 ＝－6
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解二： 设方程的另一个根为x1. 由韦达定理，得
x1 ＋2= k+1
解这方程组，得
4ac 4a 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
c = a
（一用）：说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、 x2 - 2x - 1=0 2、 2x2 3x +
1 =0 2
x1+x2=2 x1+x2=
3 2
x1x2=-1 x1x2= x1x2=0
4 x1x2= 3 1 4
k 1 ,x 2 1x2= k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4， 求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即-8k+4≥0
由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
韦达定理
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。 他是第一个引进系统的 代数符号，并对方程论 做了改进的数学家。
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
第一段
做准备：
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
1
2
(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2 ∴x12+x22
＝(x1＋x2)2
-2x1x2
＝(-
22 ) 3
-2×(-3)＝6
4 9
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
第二段 韦达定理的证明：
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
+
=
2b 2a
X1x2=
=
b a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
X=
2.方程合家欢，（
十字相乘 ）
是首选。
第一段
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 X1+x2 7 -3 3 - 2 两根积 x 1x 2 12 -4 -1