二次函数与一元二次方程的关系
初中数学一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是，而一元二次方程的一般形式是.显然当二次函数中时就能得到一元二次方程，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系.一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！1.利用一元二次方程解决二次函数问题：（1）对于二次函数来说，当时，就得一元二次方程，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程的取值与二次函数图像与轴的交点坐标的情况之间的关系：①当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，抛物线与轴有两个交点；②当时，一元二次方程有两个相等的实数根，抛物线与轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；③当时，一元二次方程没有实数根，抛物线与轴没有交点（抛物线要不全部在轴上方，要不全部在轴下方）.c bx ax y ++=2)0(≠a 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a c bx ax y ++=2)0(≠a 0=y 02=++c bx ax )0(≠a x ac b 42-=∆x 042>-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042=-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x 042<-=∆ac b 02=++c bx ax c bx ax y ++=2x x x(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程有两个不相等的实数根、时，抛物线与轴交于两点A(,0)、B(,0)，此时有，·.此时抛物线与轴两交点的距离为： AB==（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与与直线（当时为一次函数的图像，当时为平行于轴或与轴重合的一条直线）的交点情况.2.利用二次函数解决一元二次方程问题一方面，反过来，我们可以根据抛物线与x 轴的交点情况去判断一元二次方程的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！ 例1（福州市中考题）已知二次函数的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 x 02=++c bx ax 1x 2x c bx ax y ++=2x 1x 2x a bx x -=+211x ac x =2x 21x x -221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=c bx ax y ++=2b kx y +=0≠k 0=k x x b y =c bx ax y ++=202=++c bx ax c bx ax y ++=2分析：a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点情况，抛物线的对称轴由a、b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．本题中，由于抛物线开口方向向下，因此a＜0；抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方，因此c＞0；由于抛物线对称轴在y轴右侧，所以x=－b2a＞0，所以b＞0；由于抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0．a＋b＋c是x＝1时的函数值，而图像上点（1，a＋b＋c）在x轴上方，所以a＋b＋c＞0．答案：D．技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a、b、c、x＝－b2a、a＋b＋c、b2－4ac等与抛物线的位置特征之间的关系．例2（徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x轴交于点（2008，0）和（2009，0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到． 答案：B ．技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．例3（镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为.分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设，则原方程可化为，因为这个关于必有实数根，所以，解得，所以（即x ＋y ）的最大值为4.答案：4.技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x ＋y ”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数的取k y x =+0322=-++k x x x 0)3(44≥--=∆k 4≤k k k值范围问题来解决，有异曲同工之效．例4（日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx＋c ＜0的解集是.分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－1＜x ＜3答案:－1＜x ＜3.技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象在x 轴上（下）方的点所对应的x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或＜0）的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标． 例5（咸宁市中考题）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值． 分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函2y x bx c =+-x m 3m -0m ≠243c b =1x =数的关系来解决．解：（1）证明：法一：依题意，，是一元二次方程的两根． 根据一元二次方程根与系数的关系，得，． ∴，，∴．法二：由题意得，①—②得，因为，所以．代入①得，所以，所以，，所以．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为，可得（下同法二）．（2）解：法一：依题意，，∴． 由（1）得． ∴．∴二次函数的最小值为．法二：因为函数图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0），所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线， 所以，所以，故抛物线与x 轴的两交点为、，所以抛物线的解析式为，当时，，∴二次函数的最小值为．技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．例6（杭州市中考题）定义[]为函数的特征数,m 3m -20x bx c +-=(3)m m b +-=-(3)m m c ⨯-=-2b m =23c m =224312c b m ==⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m 0482=+-bm m 0m ≠m b 2=0222=-+c m m 23m c =2124m c =22123m b =243b c =2)3(2m m b x -+=-=m b 2=12b -=2b =-2233(2)344c b ==⨯-=2223(1)4y x x x =--=--4-x m 3m -m x -=1=-m 1-=m )0,1(-)0,3(32)3)(1(2--=-+=x x x x y 1=x 4321-=--=最小y 4-,,a b c 2y ax bx c =++下面给出特征数为[2m,1-m,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(，)；②当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于；③当m<0时，函数在x>时，y 随x 的增大而减小；④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m,–1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(，)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m ×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为=，当m ＞0时，=＞，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－＝＝，∴在对称轴左侧，即当时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当时，y 随x 的增大而减小.在∵<,所以当x>时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线31382341313821x x -a ∆=m m 2)13(2+=m m 213+21x x -m m m 2123213+=+322b a 122m m--⨯1144m -m x 4141-<m x 4141->141144m -41y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m ≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确． 答案：B.技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.例7（2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：、、、 、，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我们利用二次函数图像来帮助分析，0522=++ax x 0402>-=∆a 04402>-+-a a 14402<-+-a a 04402>---a a 14402<---a a解法将简单得多．令，如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知，解得．再根据可得．根据图像特征可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得，可解得．这样就能得到a 的取值范围是．答案：．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．例8（潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，522++=ax x y 04>-a 0<a 0402>-=∆a 102-<a ⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a 213->a 102213-<<-a 102213-<<-a也就是两函数图像两个交点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由解得、，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32． 答案：C ．技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．例9（2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数的图象与线段AB 恰有一个交点，则的取值范围是．分析：要注意抛物线与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式解得．当时，，不合题意；当时，，符合题意．⑵抛物线与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （）、D （），则．若只有点D 在线段AB 上，则，，显然，不合题意；若只有点C 在线段AB 上，则⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y ⎩⎨⎧=-=4211y x ⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ()233y x a x =+-+a ()233y x a x =+-+()233y x a x =+-+012)3(2=--=∆a 0∆=323a =±323a =+123x x ==-323a =-123x x ==()233y x a x =+-+0,1x )0,(2x 21x x <321=x x 101<<x 212≤≤x 321<x x，．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x 轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以，解得．当当点D 与点A 重合时，由，得，此时，，符合题意；当点D 与点B 都重合时，由，得，此时，，不符合题意．综上所述，的取值范围是≤，或者．答案：≤，或者技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．例10（全国初中数学联合竞赛试题）设是大于2的质数，k 为正整数．若函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．解：由题意知，方程的两根中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，从而有①211≤≤x 22>x ⎩⎨⎧<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a 112a -<<-031)3(12=+⨯-+a 1a =-11=x 32=x 032)3(22=+⨯-+a 12a =-21=x 232=x a 1-12a <-3a =-1-12a <-3a =-p 4)1(2-+++=p k px x y 04)1(2=-+++p k px x 04)1(2=-+++p k px x 21,x x 4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则.因为为整数，如果中至少有一个为整数，则都是整数.又因为为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中m 为非零整数），则由①式可得，故，即．又，所以，即② 如果m 为正整数，则，，从而，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则，，从而，与②式矛盾.因此，时，方程不可能有整数根． 综上所述，．技巧提升：由于方程两根之和为质数，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的1k =0)2(22=-++p px x 2-2p -1k >01>-k 12x x p +=-21,x x 21,x x p 2|1+x p 2|2+x p 2|1+x p 12x mp +=212k x m-+=121(2)(2)k x x mp m-+++=+1214k x x mp m-++=+12x x p +=-14k p mp m--+=+41)1(=-++mk p m (1)(11)36m p +≥+⨯=10k m->1(1)6k m p m-++>(1)0m p +<10k m-<1(1)0k m p m-++<1>k 04)1(2=-+++p k px x 1=k p特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程的根应为，要使得其根为整数，根的判别式的值必须是完全平方数．由于是质数，因此当的值是完全平方数时，关于的二次三项式必然等于（为非负整数），也就是说应成为关于的一个完全平方式，因此可得其，可解得，（舍去）．三．学力训练检测自己能力，体验成功乐趣！ 1．选择题：（1）（天津市中考题）已知二次函数()的图象如图10-6所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4（图10-6）（图10-7）（图10-8）（2）(百色市中考题)二次函数ｙ＝－ｘ2＋bx ＋ｃ的图象如图10-7所示，下列几个结论：①对称轴为ｘ＝2；②当ｙ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y ＝－ｘ(x －４)；④当04)1(2=-+++p k pxx216)1(42++-±-=p k p p x 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p p 16)1(42++-p k p 2)(n p ±n 16)1(42++-p k p p 064)1(162=-+=∆k 11=k 32-=k 2y ax bx c =++0a ≠240bac ->0abc >80a c +>930a b c ++<x ≤0时，y 随x 的增大而增大.其中正确的结论有（） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①③④ D ．①③（3）（“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）A ．B ．C ．D ．（4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x2＋6x －274的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ．6 C ．7 D ．82．填空题：（1）（新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．（2）（玉溪市中考题）如图10-9是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①＞0；②++＜0；③2-＜0；④2+8＞4中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y =x 2-2006|x |+2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于2y x mx n =++51249173612)0(2≠++=a c bx ax y c a b c a b b a a c__________．(4)（全国初中数学联合竞赛题）二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，，则．3.（佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程的根在图上近似的表示出来（描点）； （3）观察图象，直接写出方程的根．（精确到0.1）（图10-10）4.（长沙市中考题）已知：二次函数的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为、，求的范围．c bx x y ++=2x y AC AB 3=︒=∠30CAO c =xx y 22-=122=-x x 122=-x x22y ax bx =+-1x 2x 12||x x -5.（肇庆市中考题）已知二次函数的图象过点（2，1）．（1）求证：； （2）求的最大值；（3）若二次函数的图象与轴交于点，，，，的面积是，求．6．(2007年全国初中数学联合竞赛试题)设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线与动直线有公共点，，且.（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值. 8．（全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数的图象经过两点P ，Q .（1）如果都是整数，且，求的值. （2）设二次函数的图象与轴的交点为A 、B ，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整12+++=c bx x y P 42--=b c bc x 1(x A )02(x B )0ABP ∆43b n m ,2≠m mt x mt x y 3)3(2--+=x 1d nt x n t x y 2)2(2+-+-=x 2d 21d d ≥t n m ,2y x =c x t y --=)12(),(11y x ),(22y x 3222221-+=+t t x x 2y x bx c =+-(1,)a (2,10)a ,,a b c 8c b a <<,,a b c 2y x bx c =+-x y x 20x bx c +-=数，求△ABC 的面积.第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案 1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2)②、④；（3）0；(4)．3.解：（1）如图所示；（2）如图所示，抛物线与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数； （3）方程的根为-0.4、 2.4.4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k ≠0)．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ． ∴一次函数的表达式为y ＝－bx ． （2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2 由得①∵△＝19x x y 22-=122=-x x 122=-x x≈1x ≈2x 2(2)2y bxy b x bx =-⎧⎨=-+-⎩22(2)20ax a x +--=224(2)84(1)120a a a -+=-+>∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解， ∴两函数有两个不同的交点．（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴ ∴或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2，∴2>a>1 令函数，∵在1<a<2时y 随a 增大而减小， ∴，∴． 5.解：（1）∵的图象过点（2，1） ∴ ∴（2） 当时，此时， ∴当时，有最大值，最大值为2。
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系一、概述二次函数和一元二次方程是数学中常见且密切相关的概念。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的紧密联系，揭示二者的数学性质和应用领域。
二、二次函数首先，我们先来了解二次函数的基本定义和特点。
二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，x为自变量，f(x)为因变量。
1. 对称性：二次函数的图像是以抛物线为特征的。
具体而言，当a > 0时，抛物线开口朝上，称为“上凸”；当a < 0时，抛物线开口朝下，称为“下凸”。
二次函数的抛物线通过其顶点，具有对称性。
2. 零点与轴交点：二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，通常表示为x₁、x₂。
零点对应于函数图像与x轴的交点，其y坐标为0。
零点与轴交点也是二次函数的重要特征。
3. 导数与凹凸性：二次函数的导数为二次函数的斜率，通过导数的正负可以判断函数的增减性。
二次函数的凹凸性由它的二阶导数决定，即通过二阶导数的正负可以判断函数的凹凸方向。
三、一元二次方程接下来，我们来了解一元二次方程的定义和性质。
一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
一元二次方程的解将给出二次函数和坐标轴的交点。
1. 解的判别式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其中Δ = b² -4ac被称为判别式。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程无实数根。
2. 方程的应用：一元二次方程在实际问题中具有广泛的应用。
例如，抛体运动、抛物线轨迹、规律推理等都可以通过建立一元二次方程来进行数学建模和求解。
四、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的联系和对应关系。
通过对二次函数的分析和图像的观察，我们可以将二次函数与一元二次方程进行对应，从而推导出它们之间的关系。
浅谈二次函数与一元二次方程的联系
浅谈二次函数与一元二次方程的联系摘要：二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
探索二次函数的图象的作法和性质的过程，能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。
通过学生之间的交流互动，进行图象与图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系。
一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处，更多的地方需要在实践中去慢慢体会，并理解函数的意义,记住函数的几个表达形式，注意区分。
关于一元二次方程的学习任务，并要求学生们独立完成，从而让学生有针对性地进行课程学习，最终提高学生的学习效率和质量。
完善初中数学课程评价标准，从而提高数学课堂的教学质量，老师要根据每一位学生的心理特点、学习能力以及成果进行综合评价，并根据最终的评价结果给予学生适当的鼓励和支持，以增强学生的学习自信心。
关键词：动手实践自主探索合作交流自身思维营造高效一元二次方程与二次函数它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。
这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，方程中的很多知识点可以运用在函数中。
函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，形式虽然不同，但它们之间有着密切的关系。
它们在形式上几乎相同，二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数与一元二次方程的解答方法都需要学生进行独立的分析和总结，才能有效地加深学生对方程的学习和理解。
初中数学课程标准指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。
内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程的关系
(1) y=x2-x;
(2) y=-x2+6x-9;
(3) y=3x2+6x+11.
例3.求下列二次函数的对称轴：
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的交点坐标是(-7，0)、(-3，0)；
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 点 (2，5)、(4，5)；
例6.已知抛物线y=x2-mx+m-2. (1)判断此抛物线与x轴有无交 点；
(2)当抛物线的顶点到x轴的距 离为1.25时，求函数解析式.
例7.已知下表.
(1)求a,b,c的值,并在表内空格处填入 正确的数.
(②2)画请你出根函据数上y=面a的x2结+b果x判+c断的: 图象,由 ①图aa实x是象x2数2+否+确b值b存xx定;++在若cc,当实不的>0x数存值?取x在为,什使，0?么二请若实次说存三数明在项值理,求式由时出.,这个
x
0
ax2
ax2+bx+c 3
1
2
1
3
例8.已知二次函数 y=2x2-4x-6. (1)求它的图象与x轴的交点; (2)X为何值时,y>0?
例9.已知函数y=x2+4x+3,请先画 出这个函数的图象,再观察图象, 回答下列问题.
(1)当x在什么范围内取值时,函数 的图象都在x轴的下方?
(2)当x在什么范围内取值时,函数 值y随x的增大而减小?
二次函数
一、二次函数与一元二次方程的关系
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关 系：
二次函数与一元二次方程不等式的关系表格
二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系可以通过表格的形式进行总结。下面是一个简单的表格：
概念
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
定义
y = ax^2 + bx + c
ax^2 + bx + c = 0
ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)或ax^2 + bx + c < 0 (a < 0)
图像Байду номын сангаас
抛物线
交点或无实根
与x轴的交点或区间
根的性质
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时有两个实根，有时有一个实根，有时无实根
有时在区间内恒成立，有时不恒成立
判别式
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
Δ = b^2 - 4ac
根与系数的关系
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
x1 + x2 = -b/a, x1 * x2 = c/a (当有两个实根时)
无特定关系(但与方程的根有关)
最值问题
可能存在最小值或最大值，取决于a的正负和Δ的值
无特定最值问题(但与方程的解有关)
可能存在区间内的不等式恒成立问题，取决于a的正负和Δ的值
这个表格简要概述了二次函数、一元二次方程和不等式之间的关系。
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
2.二次函数解析式求法
例1、二次函数与一元二次方程
1、抛物线 与 轴有个交点，因为其判别式 0，相应二次方程 的根的情况为．
2、函数 （ 是常数）的图像与 轴的交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
2.已知关于x的方程ax2+bx+c称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）。
3.已知二次函数y=-x2+（3-k）x+2k-1的图像与y轴的交点位于（0,1）的上方，则k的取值围（）。
6．已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的正半轴的交点在 的下方．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是个．
2.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数 的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且 ．
（1）求点A与点B的坐标；（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
1.不论x为何值，二次函数y=ax2+bx+c的值恒为负的条件（ ）。
A.a＞0，b2-4ac＜0B .a＞0，b2-4ac＞0C.a＜0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＞0
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0) 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根 △=b2-4ac>0。
二次函数,与一元二次方程的关系
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式 ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次” 之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果 相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4
6、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在 轴下方的条件是（ D ） （A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0 （C）a＞0 b2-4ac＞0 （D）a＜0 b2-4ac＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
一、探究
探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交 点A、B的坐标。 解：∵A、B在轴上， ∴它们的纵坐标为0， ∴令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x23x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物 线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（ x1，0）， B（ x2，0） y
x1 O A
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 判别式Δ ＝b2-4ac y=ax2+bx+c(a ax2+bx+c=0(a≠0) ≠0)
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，并强调它们在解题和图像分析中的作用。
一、一元二次方程的定义及求解方法一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
一元二次方程的求解通常借助于求根公式，即：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
这个公式被称为“二次根公式”。
为了更好地理解二次根公式的应用，我们举一个例子：求解方程x²+3x-4=0。
根据二次根公式，我们可以得到两个解：x₁=(-3+√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=-4，x₂=(-3-√(3²-4×1×(-4)))/(2×1)=1。
因此，该方程的解集为{x|x=-4或x=1}。
二、二次函数的定义及图像特征二次函数是一种特殊的函数形式，它的一般表达式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向和形状与a的正负有关。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像还具有以下特征：当自变量x的取值在无穷小区间内变化时，函数值f(x)也在相应的范围内连续变化；二次函数的对称轴是与抛物线关于顶点对称的轴线；顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
三、二次函数与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程之间存在着密切的关系。
具体来说，当我们给定一个二次函数f(x)=ax²+bx+c时，如果我们要求解f(x)=0的解，就相当于求解一元二次方程ax²+bx+c=0的解。
同样地，当我们给定一个一元二次方程ax²+bx+c=0时，如果我们要分析该方程的图像，就可以将它转化为二次函数f(x)=ax²+bx+c，并通过分析f(x)的图像来获得有关方程的信息。
二次函数的综合应用
设自变量 ； 建立函数表达式 ； 决这类问题的一般步骤是： 第一步： _________ 第二步： ________________ 确定自变量取值范围 配方法 求出 顶点坐标公式 或________ 第三步： __________________；第四步：根据_____________
最值(在自变量的取值范围内)．
解：(1)从上往下依次填：1000－10x；－10x2＋1300x－30000. (2)由题意，得－10x2＋1300x－30000＝10000， 解得 x1＝50，x2＝80. 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润． 1000－10x≥540， (3)根据题意，得 解得 44≤x≤46. x≥44， ∵利润 w＝－10x2＋1300x－30000＝－10(x－65)2＋12250， ∴a＝－10＜0，对称轴为直线 x＝65， ∴当 44≤x≤46 时，y 随着 x 增大而增大． ∴当 x＝46 时，w 最大，w 最大值＝8640 元． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元．
解：(1)w＝xq－p＝－2x2＋140x－500. (2)当 x＝25 时，w＝1750(元)． (3)w＝－2(x－35)2＋1950，∴当 x＝35 时，利润最大，为 1950 元．
7．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔 开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包 括门)总长为 27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为多少？
易错警示 易错易混点：确定实际问题中的最值与自变量的取值范围 【例题】 某商品的进价为 40 元， 售价为每件 50 元， 每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价涨 1 元，那么每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 65 元)．设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元． (1)求 y 与 x 之间的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大的月利润 是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以 上结论请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要内容，它们之间有着密切的关联。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指具有一元二次项的函数，通常表示为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。
1. 零点：二次函数的零点是函数图像上与x轴交点的x值。
通过求解f(x) = 0的一元二次方程，可以找到二次函数的零点。
2. 领域：二次函数的定义域是所有实数，范围则由抛物线的开口方向和顶点的纵坐标决定。
3. 对称轴和顶点：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，恒过于顶点，可由方程x = -b/2a求得。
4. 函数值：给定x的值，可以通过代入函数表达式计算得到对应的y值。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。
1. 解的个数：一元二次方程的解的个数可能为0、1或2个，具体取决于方程的判别式Δ的值。
若Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；若Δ < 0，则方程无实数解，只有复数解。
2. 解的性质：一元二次方程的解对应于二次函数的零点，也就是函数图像与x轴的交点。
三、二次函数和一元二次方程之间存在着密切的联系。
具体来说，可以通过以下几点来说明它们的关系：1. 零点与方程的根：二次函数的零点对应于一元二次方程的根。
当二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点为x1和x2时，对应的一元二次方程为ax^2 + bx + c = 0，并且方程的解为x1和x2。
2. 方程与函数图像的交点：一元二次方程的解对应于二次函数图像与x轴的交点。
如果一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有两个实根x1和x2，那么二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像将与x轴相交于点(x1,0)和(x2,0)。
二次函数与一元二次方程间的关系教案(完美版)
21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的联系. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.让每个人平等 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x …-2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04…观察上表可以发现,当x 分别取-2.5和-2.4时,对应的y 由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x 使y=0,即有方程x 2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x 2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x 2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x 2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A 、B 的横坐标就是方程x 2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是 .【答案】x 1=1,x 2=-5 2.判断下列二次函数的图象与x 轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性质去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。
二次函数与一元二次方程的关系
解：（1）-1 x 3．
（2）设y=x2 -1，则y是x的二次函数．
a=1 0,抛物线开口向上．
又 当y=0时，x2 -1=0，
∴
＞0
∴△＞0，
∴无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
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能力提升
5.已知二次函数 y kx2 6x 7 的图像与X轴
ห้องสมุดไป่ตู้
有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
课后练习
1.已知抛物线y x2 6x a与x轴有两个交点,则a的取值范围是多少? 2.已知抛物线y=x2 px q与x轴的两个交点为(2, 0), (3, 0),则p、q的 值分别是多少? 3.已知二次函数y x2 kx k 2. (1)判别上述抛物线与x轴的交点情况; (2)设抛物线与x轴交点之间的距离为2 5,求k的值. 4.设二次函数的图象与x轴交于A, B两点,与y轴交点点C,线段OA与OB 的长的积等于60(点O是坐标原点), 求m的值.
解得x =-1,x =1．
1
2
由此得抛物线的大致图象如图所示:
观察函数图象可知：
当x -1或x 1时，
二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题
二次函数与一元二次方程教学案二次函数与一元二次方程之间的联系 1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 ∙bx ∙ c =O 是二次函数y=a χ2∙b χ∙c 当函数值y=0时的特 殊情况.图象与X 轴的交点个数：①当A . =b 2 -4ac 0时，图象与X 轴交于两点A X i,0，B X 2,0 （X^-X 2）,其中的X l ，X 2是一兀二次方程ax? ∙ bx C =0 a 严0的两根.这两点间的距离② 当应-0时，图象与X 轴只有一个交点; ③ 当.—：0时，图象与X 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在X 轴的上方，无论X 为任何实数，都有y ∙0 ； 2'当a <0时，图象落在X 轴的下方，无论X 为任何实数，都有y ：：：0.2. 抛物线y =ax 2 ∙ bx C 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为（0， C ）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；2例：二次函数y = x — 3x+2与X 轴有无交点？若有，请说出交点坐标；若 没有，请说明理由：⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a , b ，C 的符号，或由二次函数中a , b ， C 的符号判断图象的位置，要 数形结合；⑶二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称 的点坐标，或已知与X 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 总结:⑴一元二次方程ax 2 bx ^0的实数根就是对应的二次函数AB 二 X ? - X i I 二b 2 -4acy = ax2 bx c 与X轴交点的_____ .⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为人、X2）⑶二次函数y =ax___________ .【例1】已知：关于X的方程mχ2-3（m T）x *2m-3=0 .（1求证：m取任何实数时，方程总有实数根；⑵若二次函数y1 =mx2 -3（m-1）x，2m-1的图象关于y轴对称.①求二次函数％的解析式;②已知一次函数W =2x-2 ,证明：在实数范围内，对于X的同一个值，这两个函数所对应的函数值y≥ y2均成立；⑶在⑵条件下，若二次函数y^ax2 bx c的图象经过点（-5 ,0）,且在实数范围内，对于X的同一个值，这三个函数所对应的函数值yι≥ y3 ≥ y2 ,均成立，求二次函数y^ax2bx c的解析式.【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。
初中数学 一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系
初中数学一元二次方程的根与二次函数的图像有什么关系一元二次方程的根与二次函数的图像之间存在着密切的关系。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
而二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
下面我们将详细说明一元二次方程的根与二次函数的图像之间的关系：1. 根的性质与图像的交点：一元二次方程的根表示方程在x轴上的解，即方程的解与x轴的交点。
而二次函数的图像表示了函数在平面上的走势，其中与x轴的交点即为函数的零点。
因此，一元二次方程的根与二次函数的图像在x轴上的交点是相对应的。
例如，考虑一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
通过求解该方程，我们可以得到两个根x = 1 和x = 3。
与之对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点也是1和3。
2. 根的数量与图像的形状：一元二次方程的根的数量与二次函数的图像的形状之间存在着关系。
具体而言，根的数量与二次函数的图像与x轴的交点的数量相对应。
a) 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，对应的二次函数的图像与x轴有两个交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴交点处的y值分别大于0和小于0。
b) 当一元二次方程有两个相等的实数根时，对应的二次函数的图像与x轴有一个交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴交点处的y值等于0。
c) 当一元二次方程没有实数根时，对应的二次函数的图像与x轴没有交点，即图像开口向上或向下，并且与x轴永远不相交。
例如，考虑一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
根据判别式D = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4大于0，我们可以判断该方程有两个不相等的实数根。
与之对应的二次函数y = x^2 - 4x + 3的图像开口向上，并且与x轴的交点处的y值分别大于0。
3. 根的位置与图像的顶点：一元二次方程的根的位置与二次函数的图像的顶点之间存在着关系。
一元二次方程与二次函数相互关系浅析
摘要：中学教学的重要内容之一是二次函数，同时也是初高中课程延续和重要连接点，在中考中也是重要的考察点。
二次函数与一元二次方程之间存在着具体到抽象的关系，掌握二者之间的转化，掌握抽象到具体，特殊性到普遍性的规律，以此为指导应用到习题应用中去，从而提高解决问题的效率。
关键词：二次函数一元二次方程二次函数的应用是初中教学的重要内容之一。
掌握好二次函数的基本规律，进而能够实现二次函数在实际学习过程中的应用，充分利用好二次函数与一元二次方程的关系尤为重要。
在初中数学教学中，二次函数与一元二次方程的相互之间的转换规律，从抽象的方程到具体的图形，从可视化的图形到数学语言的表达，二者在相互转化和关联中使得学生常步入误区。
片面孤立的看待二者，导致知识点之间不能成为有机的整体，基础知识虽很熟练，但综合问题的求解思路又变得无所适从，不能从表象的问题中看到实际考察的本质而陷入困境。
学生掌握住二者之间的概念、性质，实际意义、转换规律，利用二者相互转换关系灵活巧妙的解决问题，从而提高解题效率，收到事半功倍的效果，同时将两者之间知识点的相互融合，有利于数学本质规律和语言的理解和应用。
下面就两者的关系和应用作如下探讨：一、抛物线与y =ax 2+bx +c （a ≠0）其一元二次方程的系数a 、b 、c 的联系1.对于抛物线的开口方向由a 的符号来决定：当a <0时抛物线开口向下；当a >0抛物线开口向上。
2.抛物线的对称轴是平行于y 轴的一条直线，而系数b 和a 的符号决定这条直线在y 轴的左侧还是右侧：当ab >o 时，对称轴直线x =-b 2a <0在y 轴的左侧；当ab <o 时，对称轴直线x =-b 2a >0，在y 轴的右侧；当b =0时，对称轴为y 轴。
3.二次函数抛物线与y 轴的相交交点的位置由c 来决定；当c >O 时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上；当c <O时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，当c =O 时，与y 轴的交点在原点处。
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随堂演练
练习
1. 求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：
（1） y=x2-x-2；
答案：x1=-1，x2=2.
（2） y=9x2+12x+4； （3） y=x2-2x+1.
答案：x =-23. 答案：x=1.
2. 已知函数y=x2-4x+3. （1）画出函数的图象； （2）观察图象，当x取哪些值时，
例2 求抛物线y=x2+2x+1与x轴的交点的横坐标.
解 x2+2x+1=0. 即 (x+1)2=0. 解得 x1=x2=-1. 因此，抛物线y=x2+2x+1与 x轴的交点的横坐标为-1.
例3 抛物线y=x2+2x+2与x轴有交点吗？
解 x2+2x+2=0. 这里 a=1，b=2，c=2， b2-4ac=22-4×1×2=4-8＜0. 这个一元二次方程没有实数解， 因此抛物线y=x2+2x+2与x轴没有交点.
分析 从例1受到启发，一元二次方程x2-2x-1=0 的解就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的 横坐标. 因此我们可以先画出这条抛物线，然后 从图上找出它与x轴的交点的横坐标. 这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
例1 求抛物线y=4x2+12x+5与x轴 的交点的横坐标.
解 y =x2-2x-1 = (x2-2x+1-1)-1
b2-4ac=(-18)2-4×1×20=244. 因此
x
=
18± 2×
244 1
=
18±
2 2
61 = 9±
61≈9± 7.81.
从而 x1≈1.19，x2≈16.81.
答：当铅球离地面高度为1.5m时，它离初 始位置的水平距离约为1.19m或17.81m.
4. 用图象法求一元二次方程x2+x-1=0的解 的近似值(精确到0.1).
函数值为0？ 解. (1).
(2).x1=1，x2=3.
3. 在上面掷铅球的例子中，当铅球离地面 的高度为1.5m时，它离初始位置的水平 距离是多少(精确到0.01)？
解 由抛物线的解析式得 1.5= - 1 x2+ 9 x+1， 40 20
即 x2-18x+20=0.
这里 a=1，b=-18，c=20，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2-4ac>0，∴A、B、D都正确.
∵当x=1时，y<0， ∴a+b+c<0， ∴C错误.
故选C.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
饭可以一日不吃，觉可以一日 不睡，书不可以一日不读。
——毛泽东
需要解一元 二次方程.
已知某运动员掷铅球时，铅球在
空中经过的抛物线的解析式为
y
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1.
①
其中x是铅球离初始位置的水平Biblioteka 距离，y是铅球离地面的高度.
上例表明：已知二次函数的函数值， 求对应的自变量的值时，需要解一元二 次方程.
反之，解一元二次方程能不能借 助二次函数呢？
例5 求一元二次方程x2-2x-1=0的解的近似值 (精确到0.1).
x
=
18± 2×
164 1
=
18±
2 2
41 = 9±
41≈9± 6.40.
从而 x1≈15.40，x2≈2.60.
答：当铅球离地面高度为2m时，它离初始位置 的水平距离约为2.60m或15.40m.
说一说
从掷铅球的例子可以看到，当已知抛物 线上点的纵坐标y，求该点的横坐标x时，需 要做什么事情？
例4 在上面掷铅球的例子中， 若铅球在空中经过的抛物线是
y
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1
.
当铅球离地面高度为2m时，它离初始
位置的水平距离是多少(精确到0.01m)？
解 由抛物线的解析式得
2
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1 ，
即 x2-18x+40=0.
这里 a=1，b=-18，c=40，
b2-4ac=(-18)2-4×1×40=164. 因此
所以，铅球被扔出去20m远.
因此，我们可以在直角坐标 系中画出铅球所经过的路线图. 如图所示.
探索新知
从上面例子，求铅球被扔出去多远的解 题过程中，你看到在求抛物线与x轴的交点 的横坐标时，需要做什么事情？
需要令y=0，解所 得的一元二次方程.
说一说
典例赏析
例1 求抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的横坐标.
21.3 二次函数与一元二次方程
沪科版·九年级上册
新课导入
掷铅球时，铅球在空中经过的路线是抛物线.
已知某运动员掷铅球时，铅球在空 中经过的抛物线的解析式为
y
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1.
①
其中x是铅球离初始位置的水平距 离，y是铅球离地面的高度，你能求 出铅球被扔出多远吗？
铅球的着地点A的纵坐标y=0，横 坐标x就是铅球被扔出去的水平距离，
答：x1≈-1.6， x2≈0.6.
中考链接
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列
关系式不正确的是
（ C）
A. a<0
B. abc>0
C. a+b+c>0
D. b2-4ac>0
解析∵抛物线的开口向下，∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正轴，∴c>0，
∵抛物线的对称轴x=
-
b 2a
<0，∴b<0，∴abc>0，
解 4x2+12x+5=0， 这里 a=4，b=12，c=5， b2-4ac =122-4×4×5=144-80=64.
因此
x
=
-12± 2×
64 4
=
-12± 8
8
=
-3± 2
2.
从而 x = -1 , x = -5. 1 22 2
所以抛物线y=4x2+12x+5与x轴的交点的
横坐标为
-1 2
或- 52 .
= (x-1)2-2. 对称轴是x=1，顶点坐标是(1, -2).
列表
x
1 2 2.5 3
y=(x-1)2-2 -2 -1 0.25 2
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分. 利用对称性画出图象在对称轴左边的部分. 就得到了y=x2-2x-1的图象.如图2
图2
从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标 约为-0.4或2.4，因此方程x2-2x-1=0的解的 近似值为-0.4或2.4。
由抛物线的解析式①，得
0
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1.
y
=
-
1 40
x2
+
9 20
x
+1.
①
即
x2-18x-40=0.
这里 a=1，b=-18，c=-40， b2-4ac=(-18)2-4×1×(-40)=484，
因此
x
=
18± 2×
484 1
=18±2
22
=
9±
11.
从而 x1=20，x2=-2(不合题意，舍去).