有效数字及其运算简便法则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字及运算法则
★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确 定的。它一方面反映了数量的大小,同时也 反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数 字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而 第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的， 但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位 位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100
有效数字及运算法则
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大 相对误差最大的数相适应 乘除法 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致 即与有效数字位数最少的一致) 即与有效数字位数最少的一致
a) 数字前 不计，数字后计入 : 0.02450 数字前0不计， 不计 b) 数字后的 含义不清楚时，最好用指数形式表 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式 用指数形式表 含义不清楚时 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) × × a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分 自然数可看成具有无限多位数 如倍数关系 可看成具有无限多位数 如倍数关系、 数关系)；常数亦可看成具有无限多位数 亦可看成具有无限多位数， 数关系 ；常数亦可看成具有无限多位数，如
异常值的取舍－Q检验法 异常值的取舍－ 检验法
• Q检验法
1、数据从小到大排列：x1，x2，…，xn-1，xn 2、求出最大值与最小值之差（极差） xn－ x1 3、算出异常值数据与邻近数据之差（邻差）： xn－ xn-1或x2 －x1 4、计算统计量Q计：（邻差除以极差）
xn − xn−1 x2 − x1 Q = 或 计= Q 计 xn − x1 xn − x1
π ,e
有效数字位数的确定
• • • • • • 1.0008，43.181 ， 0.1000，10.98% ， 0.0382，1.98×10-10 ， × 54， 0.0040 ， 0.05， 2×10-5 ， × 3600， 100 ， 5位 位 4位 位 3位 位 2位 位 1位 位 位数含糊不确定
有效数字运算规则
有效数字及其运算规则
三. 有效数字的运算规则 1. 加减运算 先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再 进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。 例：计算 50.1 + 1.45 + 0.5812 =? 修约为： 50.1 + 1.4 + 0.6 = 52.1 先修约，结果相同而计算简捷。
20:21:33有效数字修约原则：
在取舍有效数字位数时，应注意以下几点）
（1）在分析化学计算中，经常会遇到一些分数、整数、倍
数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或大于8，则有效数
字的位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算结果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
5
20:21:33
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意以下几点） （4）有关化学平衡计算中的浓度，一般保留二位或三位
有效数字。pH值的小数部分才为有效数字，一般保留一 位或 二位有效数字。 例如,[H+]=5.210 -3 mol·-1 ，则pH = 2.28 L
20:21:33
12
四.有效数字规则在分析化学中的应用 1．正确地记录测试数据（25mL,25.00mL) —反映出测量仪器精度 注意： (１)容量分析量器：滴定管(量出式)、移液管(量出式)、 容量瓶，体积取 4 位有效数字。 (２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。 (３)标准溶液的浓度，用 4 位有效数字表示。
20:21:33
2
有效数字及其运算规则
一.有效数字 2．数字零在数据中具有双重作用： （1）若作为普通数，是有效数字 如 0.3180 4位有效数字 3.18010 -1 （2）若只起定位作用，不是有效数字。 如 0.0318 3位有效数字 3.1810 -2 3．改变单位不改变有效数字的位数： 19.02 mL → 19.0210-3 L
有效数字及运算法则
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
有效数字与运算法则
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位 位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
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注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
第三节有效数字及其运算规则案例
准确数字
可疑数字 绝对误差 相对误差ห้องสมุดไป่ตู้
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数 字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位 有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
说明: 以有效数字位数最少的数为准 把其他数据修约为相同位数
小测
1.一个分析工作者获得3个极接近的平行测 定的结果，问可能得出下面什么结论： （1）偶然误差很低 （2）系统误差很低 （3）所用试剂很纯 （4）平均值是准确的
2.若分析结果的精密度很好，准确度很差， 可能是下面哪几种原因造成的： （1）操作中未发生机械损失（如溶液溅出） （2）使用为校正的砝码 （3）称样量记录有差错 （4）使用试剂不纯
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％） 为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分 析结果的平均偏差，标准偏差和变异系 数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数 字位数大于两位的请修约为两位 （1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和 最后一位可疑数字构成
例 ： 滴 定 读 数 20.30mL ， 四 位 有 效 数 字 , 其 中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,
有效数字运算法则
有效数字运算法则
有效数字是指数字中真正起作用的数字，通常为除去末尾的零之外的数字。
在进行数字运算时，必须遵守有效数字的运算法则，以确保结果的准确性和可靠性。
以下是有效数字运算法则的一些重要原则：
1. 保留至少与原始计算中最少有效数字相同的有效数字。
例如：在1.23+4.567中，1.23有2个有效数字，4.567有4个有效数字，因此结果需保留2个有效数字，即5.8。
2. 在乘法和除法中，结果的有效数字总是等于两个数的有效数字之和或之差的较小值。
例如：在2.3456 x 7.8中，第一个数有4个有效数字，第二个数有2个有效数字，因此结果需保留2个有效数字，即18。
3. 在加法和减法中，结果的有效数字总是等于两个数中小数点后数字最少的有效数字。
例如：在1.23+4.567中，第一个数小数点后有2位数字，第二个数小数点后有3位数字，因此结果需保留2位数字，即5.8。
4. 对于存在指数的数字，指数部分的有效数字总是保留在结果中。
例如：在2.34 x 10^3中，指数部分的有效数字为1位，因此结果需保留3位有效数字，即2340。
总之，有效数字运算法则是进行数字运算的重要原则。
只有遵守这些法则，才能确保结果的准确性和可靠性。
有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测得的数字
1. 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字 例：滴定读数20.30mL，最多可以读准三位 第四位欠准（估计读数）±1% 2. 在0~9中，只有0既是有效数字，又是无效数字 例： 0.06050 四位有效数字 定位 有效位数 例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三位 3．单位变换不影响有效数字位数 例：10.00[mL]→0.0010H，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的 位数取决于小数部分（尾数）数字的位数，整数部 分只代表该数的方次 例：pH = 11.20 → [H+]= 6.3×10-12[mol/L] 两位 5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位 例：90.0% ，可示为四位有效数字 例：99.87% →99.9% 进位
二、有效数字的修约规则
1．四舍六入五留双 例：0.37456 ， 0.3745 均修约至三位有效数 字 0.37 0.37 4 5 2．只能对数字进行一次性修约 例：6.549， 2.451 6.5 一次修约至两位有效数字 2.5
3．当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果 变差，从而提高可信度
例：s = 0.134 → 修约至0.14，可信度↑
三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 =52. ？ 1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 保留三位有效数字 2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以 相对误差最大的数为准） 0.32 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？ 8 δ ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 保留三位有效数字 RE ±0.8% ±0.4% ±0.009%
有效数字及运算法则
找出下列正确的数据记录：
(4)用量程为100 mA，刻有100小格的0.1级表测量 电流，指针指在80小格上；用量程为100V，刻 有50小格的1.0级表测量电压，指针指在40小格 上，数据如下：
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500
物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
100 0.1 __0_.1_×__1_02__,
式子的前一项 100 0.1 __1___。
有效数字及其运算规则
6. pH、pM、pK等对数值，有效数字位数仅取 决于小数部分数字的位数。
如：pH=2.70,应为两位有效数值。 pH=2.70 即[H+]=2.010-3 两位不是三位 7. 有效数字单位变化时，不能改变有效数字的 位数。
20.00mL0.02000L
例题
看看下面各数的有效数字的位数:
的滴管插入试管里FeSO4溶液的底部
参考答案：B、D
2006年福建 （初赛） 容量分析计算及有效数字
五、（10分）含有SO3的发烟硫酸试样1.400g溶 于水后用0.8050 mol/L NaOH溶液滴定时消耗 36.10 ml。假设试样中不含其它杂质，已知
M（SO3）=80.06
M（H2SO4）=98.08，
有效数字及其运算规则
一、有效数字(significant figure)
概念：分析工作中实际上能测量到的数字。 包括：除最后一位为可疑数字，其余的数字 都是准确的。 可理解为：在可疑数字的位数上有±1个单位 的误差。
如：分析天平称量：1.21 23 (g)（万分之一） 滴定管读数：23.26 (mL)
1.0008
43181
0.1000
10.98%
0.0382
1.98×10-10
54
0.0040
0.05
2×105
3600
100
位数模糊
pH=11.20对应于[H+]=6.3×10-12 二位有效数字
三、数字修约规则
在计算一组准确度不同（即有效数字位 数不同）的数据时，应按照确定了的有效数 字将多余的数字舍弃。 舍弃多余数字的过程称为“数字修约”。
求试样中SO3和H2SO4的百分含量(要求正确保
有效数字运算规则是什么
有效数字运算规则是什么
有效数字是在整个计算过程中⼤致维持重要性的近似规则。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“有效数字运算规则是什么”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
有效数字
具体地说，是指在分析⼯作中实际能够测量到的数字。
能够测量到的是包括最后⼀位估计的，不确定的数字。
我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。
把测量结果中能够反映被测量⼤⼩的带有⼀位存疑数字的全部数字叫有效数字。
数据记录时，我们记录的数据和实验结果真值⼀致的数据位便是有效数字。
规定有效数字是为了体现测量值和计算结果实际达到的准确度。
有效数字运算规则
1.加减法：先按⼩数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进⾏加减计算，计算结果也使⼩数点后保留相同的位数。
2.乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进⾏乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。
有效数字的舍⼊规则
1、当保留n位有效数字，若后⾯的数字⼩于第n位单位数字的0.5就舍掉。
2、当保留n位有效数字，若后⾯的数字⼤于第n位单位数字的0.5 ，则第位数字进1。
3、当保留n位有效数字，若后⾯的数字恰为第n位单位数字的0.5 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后⾯的数字，若第n位数字为奇数加1。
有效数字及其运算法则
1.3 有效数字及其运算法则物理实验中要记录数据并进行运算，记录的数据应取几位，运算后应保留几位，这些要由不确定度来决定，也涉及有效数字的问题。
1.3.1 有效数字的概念任何一个物理量，既然其测量结果都包含有误差，该物理量的数值就不应该无限制地写下去。
例如，)02.037.1(±cm。
因为由不确定度0.02cm可cm应写成)02.1(±.03682知，该数值在百分位上已有误差，在它以后的数字便没有意义了。
因此，测量结果只写到有误差的那一位数，并且在位数以后按“四舍五入”的法则取舍。
最后一位虽然有误差，但在一定程度上也能反映出被测量的客观大小，也是有效的。
所以我们把能反映出被测量实际大小的全部数字，称为有效数字。
或者说，我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的1.37cm称为三位有效数字。
有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。
因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。
当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。
显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。
如0.0135 m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。
从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。
因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。
有效数字的位数多少大致反映相对不确定度的大小。
有效数字位数越多，相对不确定度越小，测量结果的精确度越高。
1.3.2 如何确定有效数字当给出（或求出）不确定度时，测量结果的有效数字由不确定度来确定。
有效数字的加减乘除混合运算
有效数字的加减乘除混合运算
有效数字是指某个数值中的所有数字，除去前导零和不确定末位之外的数字。
在进行加减乘除混合运算时，需要进行有效数字的处理，以确保结果的精确性和准确性。
以下是有效数字加减乘除混合运算的操作规则：
加法：
1.保留小数位数最少的有效数字，进行加法运算。
2.结果中的小数位数等于小数位数最少的有效数字的小数位数。
例如： 12.33 + 0.123 = 12.45
减法：
1.保留小数位数最少的有效数字，进行减法运算。
2.结果中的小数位数等于小数位数最少的有效数字的小数位数。
例如： 32.523 - 12.3 = 20.2
乘法：
1.计算乘积的有效数字个数，等于两个数有效数字个数之和。
2.结果中的小数位数等于原数小数位数之和。
例如： 3.14 × 2.5 = 7.85
除法：
1.计算商的有效数字个数，等于被除数有效数字个数减去除数有效数字个数并加1。
2.结果中的小数位数等于被除数和除数中最多的小数位数。
例如： 16.5 ÷ 3.25 = 5.08
以上是有效数字加减乘除混合运算的基本规则，通过这些规则，可以保证有效数字的准确性和精确性，从而得到正确的计算结果。
有效数字及其运算规则
1.3 有效数字及其运算规则1.3.1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。
例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1.3.2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
如：13.4748－13.471.3.3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
有效数字及其运算简便法则
有效数字及其运算简便法则有效数字及其运算法则物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际⼤⼩的全部数字，即有效数字。
但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。
哪些是能反映被测量实际⼤⼩的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。
前⾯已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。
实验数据的记录反映了近似值的⼤⼩,并且在某种程度上表明了误差。
因此，有效数字是对测量结果的⼀种准确表⽰，它应当是有意义的数码，⽽不允许⽆意义的数字存在。
如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第⼆位⼩数0.08 已不可靠，把它后⾯的数字也写出来没有多⼤意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。
测量结果的正确表⽰，对初学者来说是⼀个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表⽰测量结果的良好习惯。
⼀、有效数字的概念任何⼀个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么⼀个物理量的数值就不应当⽆⽌境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能⽐较真实的表达物理量。
因此，⼀个物理量的数值和数学上的某⼀个数就有着不同的意义，这就引⼊了⼀个有效数字的概念。
若⽤最⼩分度值为1mm的⽶尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。
其中5和6这两个数字是从⽶尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。
末尾数字3是在⽶尺最⼩分度值的下⼀位上估计出来的，是不准确的，叫做⽋准数。
虽然是⽋准可疑，但不是⽆中⽣有，⽽是有根有据有意义的，显然有⼀位⽋准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。
因此，测量值应当保留到这⼀位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。
测量结果应当⽽且也只能保留⼀位⽋准数字，故测量数据的有效数字定义为⼏位可靠数字加上⼀位⽋准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
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有效数字及其运算法则
物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。
但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。
哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。
前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。
实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。
因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。
如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08 已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。
测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。
一、有效数字的概念
任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。
因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。
若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。
其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。
末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。
虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。
因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。
测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。
有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。
因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。
当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。
显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。
如0.0135 m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。
从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。
因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。
二、直接测量的有效数字记录
物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。
仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要读出并记录。
对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。
在记录直接测量的有效数字时，常用一种称为标准式的写法，就是任何数值都只写出有效数字，而数量级则用10的n次幂的形式去表示。
1．根据有效数字的规定，测量值的最末一位一定是欠准确数字，这一位应与仪器误差的位数对齐，仪器误差在哪一位发生，测量数据的欠准位就记录到哪一位，不能多记，也不能少记，即使估计数字是0，也必须写上，否则与有效数字的规定不相符。
例如，用米尺测量物体长为52.4 mm 与52.40 mm 是不同的两个测量值，也是属于不同仪器测量的两个值，误差也不相同，不能将它们等同看待，从这两个值可以看出测量前者的仪器精度低，测量后者的仪器精度高出一个数量级。
2．根据有效数字的规定，凡是仪器上读出的数值，有效数字中间与末尾的0，均应算作有
效位数。
例如，6.003 cm , 4.100 cm 均是四位有效数字；在记录数据中，有时因定位需要，而在小数点前添加0，这不应算作有效位数，如0.0486 m是三位有效数字而不是四位有效数字，有效数字中的0有时算做有效数字，有时不能算做有效数字，这对初学者也是一个难点，要正确理解有效数字的规定。
3．根据有效数字的规定，在十进制单位换算中，其测量数据的有效位数不变，如4.51 cm 若以米或毫米为单位，可以表示成0.0451 m 或45.1 mm，这两个数仍然是三位有效数字。
为了避免单位换算中位数很多时写一长串，或计数时出现错位，常采用科学表达式，通常是在小数点前保留一位整数，用10n表示，如4.51×102m，4.51×104cm等，这样既简单明了，又便于计算和确定有效数字的位数。
4．根据有效数字的规定对有效数字进行记录时，直接测量结果的有效位数的多少，取决于被测物本身的大小和所使用的仪器精度，对同一个被测物，高精度的仪器，测量的有效位数多，低精度的仪器，测量的有效位数少。
例如，长度约为3.7cm的物体，若用最小分度值为1mm 的米尺测量，其数据为3.70cm ，若用螺旋测微器测量（最小分度值为0.01mm ）,其测量值为3.7000cm ,显然螺旋测微器的精度较米尺高很多，所以测量结果的位数也多；被测物是较小的物体，测量结果的有效位数也少。
对一个实际测量值，正确应用有效数字的规定进行记录，就可以从测量值的有效数字记录中看出测量仪器的精度。
因此，有效数字的记录位数和测量仪器有关。
三、有效数字的运算法则
在进行有效数字计算时，参加运算的分量可能很多。
各分量数值的大小及有效数字的位数也不相同，而且在运算过程中，有效数字的位数会越乘越多，除不尽时有效数字的位数也无止境。
即便是使用计算器，也会遇到中间数的取位问题以及如何更简洁的问题。
测量结果的有效数字，只能允许保留一位欠准确数字，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是如此。
根据这一原则，为了达到：①不因计算而引进误差，影响结果；②尽量简洁，不作徒劳的运算。
简化有效数字的运算，约定下列规则：
1．加法或减法运算
大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的欠准确数字的位置与参与运算各个量中的欠准确数字的位置最高者相同。
由此得出结论，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约，将应保留的欠准确数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位欠准确数字进行取舍。
这样可以减小繁杂的数字计算。
推论（1）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。
2．乘法和除法运算
由此得出结论：用有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效数字的位数与参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同。
推论（2）测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。
3．乘方和开方运算
由此可见，乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。
4．自然数1,2,3,4,…不是测量而得，不存在欠准确数字。
因此，可以视为无穷多位有效数字的位数，书写也不必写出后面的0，如D＝2R，D的位数仅由直测量R的位数决定。
5．无理常数, 的位数也可以看成很多位有效数字。
例如L＝2πR，若测量值
时，应取为 3.142。
则
6．有效数字的修约。
根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不影响最后结果应保留有效数字的位数（或欠准确数字的位置）的前提下，可以在运算前、后对数据进行修约，其修约原则是“四舍六入五看右左”，五看右左即为五时则看五后面若为非零的数则入、若为零则往左看拟留数的末位数为奇数则入为偶数则舍，这一说法可以简述为五看右左。
中间运算过程较结果要多保留一位有效数字。