习题 16 数学分析全套课件
数学分析课件第16章
§1 傅立叶级数 §2 傅立叶积分
§1 傅立叶级数
1.1 三角级数与周期函数 1.2 以 2π为周期的函数展为三角函数 1.3 以 2l为周期的函数展为三角级数
1.1 三角级数与周期函数
三角级数
a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
（16.1－1）
定义1 定义1 周期函数
f ( x + T ) = f ( x ), x ∈ (−∞, +∞ ), T > 0
? 问题：将周期函数展为三角级数 (设 f ( x)是 ∞,+∞) 上的周期函数，周期为2π 设 f ( x )在 [ −π , π ] 上可展为三角级数。 ∞
a0 f ( x) = + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) 2 n =1
π
则
am =
∫ π f ( x) cos mxdx.(m = 1, 2,3L) π
−
1
π
同理:
bn =
∫ π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2,3L) π
−
1
π
(16.1－12)
定义2 定义2
1 π an = ∫ f ( x) cos nxdx.(n = 0,1L) π −π b = 1 π f ( x) sin nxdx.(n = 1, 2 L) n π ∫−π
(16.1－3)
如何根据 f ( x )来分析确定诸系数 an , bn ?
常用公式： 常用公式：
∫ π cos nxdx = 0,∫ π sin nxdx = 0,
− −
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16+17
1 ⎧ 2 2 ( x , y ) ≠ 0,0) ⎪( x + y ) sin 2 f ( x, y) = ⎨ x + y2 ⎪ 0 ( x , y ) = (0,0) ⎩
在 ( 0,0) 处的可微性与偏导数的连续性． 47．设函数 u = f ( x , y ) 满足拉普拉斯方程
12．求下列函数的全微分． (1) z = x y
2 3
(2) z =
xy x−y ⎛ x+ y⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 1 − xy ⎠
(3) z = arcsin 13．求 z = xy sin 14．求 z =
y x 1 x + y2
2
(4) z = arctan⎜ ⎜ 在点 (0,1) 的全微分．
y ，当 x = 2 ，y = 1，Δx = 01 . ，Δy = −0.2 时的全增量 Δz 与全 x du ； dt
2 2 2
(3) u = ln( x +
y 2 + z 2 ) 从点 A ( 1 , 0 , 1 ) 到点 B ( 3 , − 2 , 2 ) 的方向.
2 2
27. 求函数 z = x + y 在点 p ( 1 , 2 ) 处的最大方向导数. 28. 求下列函数的梯度 (1) z =
4 + x 2 + y 2 在点 ( 2 , 1 ) ;
(2) z = x y − xy ，其中 x = u cos v，y = u sin v ，求
3
∂ 2z 17．设 z = yf ( x − y ) ，求 2 ． ∂y
2 2
18．求由下列方程确定的函数 y ( x ) 的导数． (1) x + 2 xy − y = a (3) xy − ln y = a
中科大史济怀数学分析课件 16.1-16.9
supp f {x I : f ( x ) 0}
是零测集,则 f 在 I 上可积,并且 f d 0 .
I
证: I supp f 是闭集,并且是零测集.由于 f 在开集 I \ I supp f
I o \ supp f 上恒等于零,故 f 在 I \ I supp f 上连续,从而 f 的
练习题 16.1( P204 ) 1,3,5.
288
§16.2
定理 16.8
二元可积函数类
若 f 是二维有界闭区间 I 2 上的连续函数,则它必在 I
上(Riemann)可积.
证: 由 f 在 I 上的一致连续性和二重积分可积性定理的条件(1).□ 定义 16.2
设 E 2 是一个点集.若 0 ,总存在可数个二维开区
第 16 章
二重积分的几何背景
多重积分
设 f 0 是有界闭区域 D 2 上的连续函数,
如何计算如下图所示的曲顶柱体的体积V ?(假定体积V 存在, D 有面 积)
(1) 将 D 分割成 k 个小闭区域 {Di :1 i k} ,以 ( Di ) 表示 Di 的面 积,记 max diam( Di ) ；
1i k
(2) 对每个小闭区域 Di ,任取 i Di ,建立和式
f ( ) ( D ) ,
i 1 i i
k
则
min f (D ) ( D ) V , f ( ) ( D ) max f (D ) ( D ) ；
i 1 i i i 1 i i i 1 i i
i i i 1 i 1 i i i
k
k
这说明, lim f (i ) ( Di ) V .□
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
数学分析16
y
有界闭区域; 有界闭区域;
{( x, y) | x + y > 0}
无界开区域. 无界开区域.
o
x
(3)聚点
是平面上的一个点集, 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的一个 点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无限多个 聚点. 点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点. ,
说明: 说明: (1)内点一定是聚点; 内点一定是聚点; (2)边界点可能是聚点; 边界点可能是聚点; 例如, 例如, {( x, y) | 0 < x2 + y2 ≤ 1} 既是边界点也是聚点 边界点也是聚点. (0, 0) 既是边界点也是聚点.
z = f ( x, y) (或记为 z = f (P)).
---自变量 自变量, ---因变量 因变量. 定义域, 点集 D ---定义域,x,y ---自变量,z ---因变量 定义域
W = {z z = f ( x, y), ( x, y) ∈ D}
值域. --- 值域.
是平面上的一个点集, 定义 1 设 D是平面上的一个点集,如果对于每个点
说明: 说明: (1)内点一定是聚点; 内点一定是聚点; 边界点可能是聚点; (2)边界点可能是聚点; 例如, 例如, {( x, y) | 0 < x2 + y2 ≤ 1} 既是边界点也是聚点 边界点也是聚点. (0, 0) 既是边界点也是聚点. (3)点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 例如, 例如, {( x, y) | 0 < x2 + y2 ≤ 1} 是聚点但不属于集合. (0, 0) 是聚点但不属于集合. 例如, 例如, {( x, y) | x2 + y2 = 1} 边界上的点都是聚点也都属于集合. 边界上的点都是聚点也都属于集合.
§16.1平面点集与多元函数数学分析课件(华师大四版)高教社华东师大教材配套课件
*1.平面点集的一些基本概念 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平{}=(,)(,).E x y x y P 满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应. (,)x y 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数义域是坐标平面上的点集, 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集, 平面点集记作后退 前进 目录 退出由于二元函数的定因此在讨论二元函数例如：(i) 全平面:{}=-∞<<+∞-∞<<+∞2R (,)|,.(1)x y x y {}222(ii)(,).C x y x y r 圆:=+<(2){}=≤≤≤≤(iii)(,),,S x y a x b c y d 矩形:(3) 00(iv)(,):A x y δ点的邻域{}00(,)||,||()x y x x y y δδ与方形.-<-<=⨯[,][,].S a b c d 也常记作：{}-+-<22200(,)()()()x y x x y y δ圆形Cx y O r (a) 圆 CSx yO a b c d∙A δx y O (a) 圆邻域∙A δxy O (b) 方邻域由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一因此通常用“点 A 的 邻 δ并用记号或 来表示. (;)U A δ()U A 点 A 的空心邻域是指:{}22200(,)0()()()x y x x y y δ圆<-+-<{}0000(,)||,||,(,)(,)(),x y x x y y x y x y δδ-<-<≠方或 并用记号()(;)()U A U A δ或 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,方邻域之内(反之亦然),{}00(,)0||,0||.x y x x y y δδ<-<<-<注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 2.点和点集之间的关系 以下三种关系之一 :2R A ∈2R E ⊂任意一点 与任意一个点集之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 0,(;),U A E δδ∃>⊂使则称点 A E 的内部, 记作 int E .错在何处? )(ii) 外点——若0,(;),U A E δδ∃>⋂=∅使则称 点 A 是 E 的外点； c (;)(;)U A E U A E δδ≠∅≠∅且0,δ∀>(iii) 界点—— 若恒有 c 2R \E E =( 其中), 则称点 A 是 E 的界点; .E ∂的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 注 E 的内点必定属于 E ; E 的外点必定不属于 E ; E 的界点可能属于 E , 也可能不属于 E . 并请注意: 称为 E 的外部.由 E 的全体外点所构成的集合 由 E E E ∂⊂c E 只有当 时, E 的外部与 才是两个相同的集合.图 16 – 3x yO 12{}22(,)14.(4)D x y x y =≤+<例1 设平面点集（见图 16 – 3）满足 的一切点也224x y +=221x y +=满足的一切点是 D 的界点, 它们都属2214x y <+<满足的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于 D . 是 D 的内点; 于D ;点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分， 是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 ()U A 内都 含有 E 中的点， 注1 聚点本身可能属于E ，也可能不属于E .注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 ()U A 内都含有 E 中的无穷多个点”.即在点 A 的近旁 则称点 A 是点集 E 的聚点．d ();E E '或作 d E E 又称 为 E 的闭包, 记作 .E 例如, 对于例1 中的点集 D , {}d 22(,)14.D x y x y D =≤+≤=其中满足 224x y += 的那些聚点不属于D , 而其余 所有聚点都属于 D .(ii) 孤立点—— 若点 A E ∈, 但不是 E 的聚点（即 有某δ > 0, 使得 (;)),U A E δ=∅则称点 A 是E 的孤立点. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记它的导集与闭包同为为聚点; 例2 设点集 {}(,),.E p q p q 为任意整数= 显然, E 中所有点 ( p , q ) 全为 E 的孤立点; 并有d ,int ,.E E E E =∅=∅∂=3. 一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集.注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.E 为闭集. 在前面列举的点集中, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E(),E E =即则 称 E 为闭集. 这时也称{}222(,)C x y x y r =+<是开集，{}(,),,S x y a x b c y d =≤≤≤≤是闭集{}2R (,)|,x y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞{}=≤+<22(,)14D x y x y 既不是开集又不是闭集.开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.d(),E =∅即若 E 没有聚点 既是开集又是闭集，则称 E 为开域. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域.不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 在平面点集中, 只有 R 2与 是既开又闭的. 即 E 中任意两 简单地说, 开域就是非空连通开集.它是 I 、 III 两象限之并集. 不具有连通性, 0,r ∃>有界点集——对于平面点集 E , 若 使得(;),E U O r ⊂其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 为有界点集. 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. 是闭域, {}(,)|0,(5)G x y xy =>上页诸例中, C 是开域, S 是闭域, R2 既是开域又又如 虽然它是开集, 但因 否则就为无界点集 (请具体写出定义). D 是区域 (既不是开域又不是闭域). 所以它既不是开域, 也不是区域. 则称 E此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映. 所谓点集 E 的直径, 就是1212,()sup (,),P P Ed E P P ρ∈=其中ρ(P 1, P 2) 是 P 1 (x 1, y 1) 与 P 2 (x 2, y 2)之间的距 离, 即22121212(,)()()P P x x y y ρ=-+-于是, 当且仅当 d (E ) 为有限值时, E 为有界点集. E 为有界点集的另一等价说法是: [,][,].a b c d E ⨯⊃存在矩形区域例3 证明: 对任何 2R ,S ⊂S ∂恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, S ∂为的任一聚点， （即亦为 S 0x S ∈∂的界点）. 0x 为此 0,ε∀>由聚点定义，0(;).y U x S ε∈∂S S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４ ⋅根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,).P P P P P P ρρρ≤+0x 设 欲证 存在的点. 内既有 S S (;)U y δ的点, 又有非 S 0x 0,x S ∈∂为 的界点, 即 也就证得 S ∂为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2dR ,S S⊂导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) S 0(;)U x ε内既有 的点, 又有非 S 的点. y 0(;)(;),U y U x δε∀⊂再由 为界点的定义, 在 由此推知在 的任意性,所以, 由 εS S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４⋅证 下面按循环流程来分别作出证明.d E E E =① 已知 为闭集( 即 ), 欲证E .E E E =∂,,p E p E E 为此或是的聚点或是的孤立点.∀∈∂d d,p E E E p E ∈⊂∈若，则由得；E E ∂⊂从而，E 于；d c c int()E E E E E E E E ==⇒∂⇒=① ② ③ ⇑ 反之显然有 .E EE ⊂∂综合起来, 便证得 int .E E E =∂而孤立点必属*2R .E ⊂例4 设 试证 E 为闭集的充要条件是：c int ().c E E E E E =∂=或.EE E ∂⊂故E EE =∂，c int ().c E E =② 已知 欲证 为此 c ,,p E p E ∀∈∉则外点, ,0,(;).U p E δδ∃>=∅按定义使c (;),U p E δ⊂c c c c int ().int ().E E E E ⊂=有这就证得反之显然③ c c d int (),.E E E EE ==已知欲证c (,,p E p E ∈∈据条件可证若不然从而由d,E ∈c >0,(;),U p E δδ∃⊂故使),p E 与为的聚点相矛盾d d ..E E E E E ⊂=故这就证得从而 c int (),p E ∈条件推知,E E p E ∂⊂而由故必为的cc c ,int().p E E E ⊂故是的内点即p ∀为此注 此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用“ EE E =∂”来定义 ( 只是使用 起来一般不如“ d E E E =”方便, 有许多便于应用的性质 )．(ii) 闭集与开集具有对偶性质 集; 过讨论来认识 E . c E 利用此性质, 有时可以通开集的余集为闭集. ——闭集的余集为开 因为有关聚点例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；D (ii) 要判别一个点集 是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即\D D D “若为开域,则必为闭域”.∂答 (i) 例如取 {}(,)|0,S x y xy =≥ 这是一个非空连),S GG =∂坐标轴) 的并集 (即 从而 G 不是开域,但因它是 {}(,)|0G x y xy =>与其边界 (二 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义).通闭集.E 为一开域, 据定义F 则为闭域； ,D E E F ≠∂=D 故不是闭域，(a)中的点集为 D ; D(a).F EE =∂中的点集为 F(c)(ii) 如图所示, E(b)(b)中的点集为E D =易见然而(\).D D D ∂∂∂从而与不一定相同定义11. 平面点列的收敛性定义及柯西准则 系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到 R 2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础.2{}R n P ⊂20R P ∈设为一列点, 为一固定点. 00,N ,,(;),n N n N P U P εε若使当时∀>∃∈>∈+则称点列 { P n } 收敛于点 P 0 , 记作R 2上的完备性定理论的基础. 00lim ().n n n P P P P n →∞=→→∞或反映实数 构成了一元函数极限理000(,)(,),n n n P P x y x y 当与分别为与时显然有000lim lim lim ;n n n n n n P P x x y y →∞→∞→∞=⇔==且0(,),n n P P ρρ若记=同样地有0lim lim 0.n n n n P P ρ→∞→∞=⇔=由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈证（必要性） 0lim ,n n P P →∞=设N ,()N n N n p N +∃∈>+>当也有时,00(,),(,).22n n p P P P P εερρ+<<应用三角形不等式, 立刻得到00(,)(,)(,).n n p n n p P P P P P P ρρρε++≤+<1,0,ε∀>则由定义恒有2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈当 (6) 式成立时, 同时有||(,),n p n n n p x x P P ρε++-≤<||(,).n p n n n p y y P P ρε++-≤<这说明{ x n }和{ y n }都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 从而由点列收敛概念, 推知{P n }收敛于点 P 0(x 0, y 0).证（充分性） 00lim ,lim ,n n n n x x y y →∞→∞==设0}6{,n P E P E ⇔⊂为的聚点存在各项互异的例0lim .n n P P 使得→∞=( 这是一个重要命题, 证明留作习题.)定理16.2（闭域套定理）2. 区域套定理.设 { D n } 是 R 2中的一列闭域, 它满足： 1(i),1,2,;n n D D n +⊃=(ii)(),lim 0.n n n n d d D d →∞==则存在唯一的点0,1,2,.n P D n ∈=图 16 – 7nD ∙∙n pD +∙nP n pP +0P 证 如图16 – 7所示,,1,2,.n n P D n ∈=,n p n D D 由于因此+⊂,,n n p n P P D +∈从而有(,)0,.n n p n P P d n ρ+≤→→∞由柯西准则知道存在 20R ,P 使得∈任意取定 n , 对任何正整数 p , 有 .n p n p n P D D ++∈⊂0lim .n n P P →∞=任取点列 再令 ,p →∞由于 D n 是闭域, 故必定是闭集,推论因此 D n 的聚点必定属于 D n , 0lim ,1,2,.n p n p P P D n +→∞=∈=0P 最后证明的惟一性. 0,1,2,,n P D n '∈=若还有 则由0000(,)(,)(,)20,,n n n P P P P P P d n ρρρ''≤+≤→→∞0000(,)0,.P P P P ρ得到即''==对上述闭域套 { Dn },0,N ,N n N ε+∀>∃∈>当时,0(;).n D U P ε⊂则得注 把 { D n } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.E定理16.3（聚点定理）证 现用闭域套定理来证明.有界, 故存在一个闭正方形 . 1D E ⊃如图 16 – 8 所示, 把 D 1分成四个 相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多1D 2D 图16 –8若 2R E ⊂为有界无限点集,由于 E 则在其中至少 个点,在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.把它记为 D 2.E 1D 2D 3D 图16 –8 D 2 如上法分成四个更小的正方形,其中又至少有一个小闭正方形D 3含如此下去, 得到一个闭正方形序列：123.D D D ⊃⊃⊃很显然, { D n } 的边长随着n →∞而趋于零. 有 E 的无限多个点.定理16.3（聚点定理）若 2R E ⊂为有界无限点集, 在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.推论最后, 由区域套定理的推论, 0,,n ε∀>当充分大时0(;).n D U M ε⊂又由 D n 的取法, 知道 0(;)U M ε中含有 E 的无限多个点, 任一有界无限点列 2{}R n P ⊂必存在收敛子列 {}.k n P ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 于是由闭域套定理, 存在一点0,1,2,.n M D n ∈=这就证得了M 0 是 E 的聚点.定理16.4（有限覆盖定理）注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 {}α∆改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 1.ni i D =⊂∆().D αα⊂∆即盖了 D 12,,,,n ∆∆∆个开域 它们同样覆盖了D , 即设 2R D ⊂为一有界闭域 ,为一族开域 , {}α∆{}α∆则在中必存在有限 它覆q E ⇒qE 证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 , q E 又因 的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E ．.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 必有聚点.证 (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列 {},k P E ⊂||(,),1,2,.k k P O P k k ρ=>=.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 0lim .k k P P →∞=现把 看作 , {}k P q E 由条件 的聚点 (即 ) 必q E 0P 属于 E , 所以 E 为闭集.易见{}k P 这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 为此设 P 0 为 E 的任一聚点, 由聚点的等价定义, 存在各项互异的点列使 {},k P E ⊂再证 E 为闭集. 使得定义2 设平面点集 ,若按照某对应法则 f , 2R D ⊂一点 P ( x , y ) 都有惟一确定的实数 z 与之对应 , 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 R 的一个映射 ), 记作:R.(7)f D →1. 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 R 到 R 的映射是一元函数, R 2到 R 的映 射则是二元函数.二元函数应关系. D 中每 ( 或称 f 为D 到与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称()(,)z f P z f x y ==或 为 f 在点 P 的函数值;值域, 记作()R.f D ⊂为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量.也可记作(,),(,);z f x y x y D =∈或点函数形式(),.z f P P D =∈全体函数值的集合为 f 的 通常把 P 的坐标 x 与 y 称在 xOy 平面上的投影.例8 函数 25z x y =+的图像是 R 3 中的一个平面, 其定义域是 R 2, 值域是 R.当把和它所对应的 一起组成 (,)x y D ∈(,)z f x y =三维数组 ( x , y , z ) 时, {}3(,,)|(,),(,)R S x y z z f x y x y D ==∈⊂就是二元函数 f 的图像.通常该图像是一空间曲面, f 的定义域 D 是该曲面 三维点集例9 的定义域是xOy 平面上的22=-+1()z x yxy zOz1=z2=是全体非负整数, 它的图像示于图 16 – 11.图16 – 112. 若二元函数的值域是有界数集, 则称函数 ()f D f 在 D 上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . ()f D f 若是无界数集, 则称函数 在 D 上为一无界 函数 ( 如例8、10、11 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使否则,(z c c =(,),z f x y =解 用为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程22222222()().x y x y c x y x y c x y x y-=-=++或*例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 )试用等高线法讨论曲面(,)z f x y = 的形状. 2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x yx y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩当 0c =xO y 时, 得 平面上的四条直线0,0,,.x y y x y x ====-当0c ≠时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. cos ,sin ,x r y r θθ==得到22sin44,4sin4.r c r c θθ==或如图16 – 12 所示,族等高线.若把它化为极坐标方程, 即令0,1,3,5c =±±±所对应的一 为+1+1+1+1 +3 +5+3 +5 +3+5+3 +5- 1- 1 - 3- 5 - 3 - 5 - 1- 3- 5- 1 - 3 - 50 00 0 0 0 0 0xy-55-55-10-50510图 16 – 13由此便可想象曲面的大致形状如图 16 – 13 所示, “山脊” 在鞍点处相汇.所有 n 个有序实数组12(,,,)n x x x 的全体称为 n维向量空间, 简称 n 维空间, 记作 R n. 序实数组 12(,,,)n x x x 称为 R n 中的一个点; 实数 12,,,n x x x 是这个点的坐标.设 E 为 R n中的点集, 若有某个对应法则 f , 中每一点 12(,,,)n P x x x 都有唯一的一个实数 y 与之对应, :R,f E n 元函数其中每个有则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作使 E n 个1212(,,,),(,,,),n n y f x x x x x x E =∈也常写成(),.y f P P E =∈或 对于后一种被称为 “点函数” 的写法, 它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同时, 还可把二元函数的很多论断推广到 (3)n ≥元函数中来.以便仿照1. 试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域等集合是数直线上怎样一些点集？2. 设E, F分别是 R2 中的开集和闭集．试问在R3中E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？3. R 中的单调有界性定理和确界原理, 为什么在R2 中没有直接对应的命题？4. 为什么说“在一切平面点集中，只有 R2 与是既开又闭的点集”？5. 前面正文中有如下命题：设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使试为之写出证明．2R ,D A D ⊂“若是AB 点,则直线段与D D∂AB图 16 – 14,B D 的内点是的外(16-14.)参见图6. :试讨论有哪些方法可用来论证如下命题D ∂至少有一交点.”。
数学分析课件
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
《数学分析》PPT课件
当n无限增大时,xn 无限接近于1.
8
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小,只要n充分大,
则要看 xn 1小到什么要求.
n
yn
b,
且 a b, 则存在 N , 当 n N时，有 xn yn .
26
• Thm 3.6 若对任意正整数 n, 有xn yn ,
且
lim
n
xn
a,
lim
n
yn
b,
则 a b.
• Remark
（1）因为数列的前有限项不影响数列的 极限，故上不等式的条件可减弱为：
“若 N 0,
当 n N 时，xn yn ”；
积仍为无穷大;
∗ 用无零值有界变量去除无穷大仍为无穷大.
例 求 lim ( x 1 x) x
解 lim ( x 1 x) x
32
无穷小与无穷大
注 (1) 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将 lim f ( x) 认为极限存在.
x x0
(3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 无穷大一定是无界函数, 但是无界函数 未必是某个过程的无穷大.
9
数列的极限
|
xn
1 |
1 n
给定
1 100
,
由
1 n
1, 100
只要 n 100时,有
xn
1
1, 100
《数学分析》课件 (完整版)
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性 被积函数的有界性 实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的 函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数 在 有定义，在任意有限区间 上可积。若 存在，则称之为 在 上的广义积分，记为 此时亦称积分 收敛；若 不存在，则称积分 发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当 ， 均收敛时，定义 显然， 的值与 的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时 收敛， 时 发散， 时,只能于 时推得 收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数 ，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数 ，结果又如何呢？ 无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数 绝对收敛，其和为 ，设 为 的任意重排，则 亦绝对收敛，且和仍为
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运算 有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。
2016年高考数学试题(全国I卷)分析及2017年高考备考建议-(共258张PPT)
第23页，共258页。
• 概率统计重视实际应用
全国卷的概率统计问题一直对数学的应用比较重视， 并且考查的形式比较灵活，不是一成不变的，对考生的 数学阅读和建模能力要求较高。
2016年的概率统计考查了多年来没考查过的“几何 概型”，虽然难度不大，但是由于很多考生没有做好 准备，直接影响了解题的效果。再者就是解答题的阅 读量较大，语言比较难以理解，数量关系太多，图表 信息不容易翻译，这些造成了很多考生理解问题的障 碍，使用了错误的模型解答问题。
考点改变：
在概率方面，几年没有考过的几何概型，首次在高考试题中 出现，这个题目尽管不难，但是对于考生来说，属于“新”题 ；
其次是函数问题，不仅考查函数的图像，还借助于不等 式问题，考查具体的指数函数和对数函数的概念和性质 。
第6页，共258页。
再者是立体几何的难度加大，在选择题中考查了比较 复杂的面面关系和异面直线夹角问题，在以往的试题 中这种题目比较少见，因为有可能和立体几何综合题 的考点重复，而且对于学生的空间想象能力要求较高 。
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• 选择填空重视“三基”
相比于2014、2015年的试题，2016年的选择和填空题 难度有所降低，注重“三基”的考查：基础知识、基本技能 和基本的数学思想。基础知识表现在高中最常用的知识： 集合、复数、函数、解析几何、立体几何、三角函数、不 等式、概率统计等，试题以基本的概念、公式和定理为基 础来设计问题，数学思维层次相对较低，从考生的得分统 计来看，错误率高于50%的题目只有2道题，分别是第7题 和第12题，一个是函数的图像问题，一个是基于三角函数 的创新题；错误率高于30%的共7题。
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• 六大知识模块分析
数学分析习题集答案16
第4节
1．（1） A (1 − e−iωδ ) ；（2）
2a
；（3）
π
−ω2
e 4a
；（4）
1
；
iω
a2 +ω2
a
2 + iω
（5）
Aδ 2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
sin(ω − ω0 (ω − ω0 )
δ )
2 δ
2
+
sin(ω
+
ω0
)
δ 2
(ω
+
ω0
)
δ 2
⎤
⎥ ⎥
。
⎥
⎥⎦
2. 正弦变换： ω ；余弦变换： a 。
a2 +ω2
a2 +ω2
⎧
⎪0,
⎪
3．
f1
∗
f2 (x)
=
⎪1
⎨ ⎪
2
(sin
x
−
cos
x
+
e−x ),
x ≤ 0, 0< x≤ π ,
2
⎪ ⎪⎩
1 2
e
−
x
(1
+
e
π 2
),
x>π. 2
第5节
1. 提示：先将圆频率ω 写成频率形式 2πs ，再对充分大的 N ，在区间[− N , N ]以
间隔 ∆x 对被积函数抽样（参见图 16.5.2），在每个小区间内利用矩形公式近似 代替积分，则
−
1 sin n −1
(n −1)π 4
⎤ ⎥⎦
sin
nω
t
。
⎪⎧− f (π + x)
⎪
9．（1）~f (
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
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一、平面点集 内点，外点，界点，聚点，孤立点
开集，闭集，开域，闭域，区域
例1 求
{(
x,
y)
|
x
sin
1 y
}
的聚点
例2 求证 E为闭当且仅当 E c 为开
例3 设 f 是 R2上的连续函数，求证 E为开，F为闭 E {( x, y) | f ( x, y) 1}
F {( x, y) | f ( x, y) 1} 前页 后页 返回
课堂练习
1.求下列函数在指定点的重极限与累次极限
x2 y2 (1) ln( x e y ) , (0,1)
x2 y (2) x3 y2 , (0, 0)
2.讨论
3x4 y
f
( x,
y)
x6
y2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
的连续性
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二、二元函数极限与连续 四则运算
1。重极限 存在性
夹逼
等价无穷小代换
不存在：
归结原理
2。累极限 3。连续与一致连续性：
定义与结论
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例1 求下列函数在（0,0）的重极限与累次极限
(1)( x2 y )2 x2 y2
x2 y2 (1) x3 y3
例2 证明 f (x, y) sin(xy) 在 R2 上不一致连续
例3 设 f ( x, y) 在 [a,b][c,d ] 上连续, 又有函数序
列 k ( x) 在 [a,b] 上一致收敛, 且
c k ( x) d , x [a,b], k 1, 2, L .
试证 Fk ( x) f ( x,k ( x)) 在 [a,b] 上也一致收敛.
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