岩石力学-岩石弹性本构关系
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将εx, εy,分别对y和X求二阶导数，然后相加
变形协调方程或相容方程
将本构方程代入相容方程，消去相容方程中的变形分 量 。对于平面应力问题
由平衡微分方程得： 将以上二式分别对X及y求导，然后相加得
代入（4-12）简化以后得
对平面应变问题
当体力为常量时，两种平面问题的相容方程都可简化为 拉普拉斯算子
将（4－24）式代入（4－15）式得
展开上式，得
这就是用应力函数中表示的相容方程，它是一个重调和方程。
4.2.5空间问题基本方程
空间问题的平衡微分方程：
空间问题的几何方程：
空间问题本构方程：
则第二式满足 ξ（X，y）也是任意函数
使方程组（4-18）的两式同时满足，
如果取
可以使（4-21）式满足， φ（x,y）也是任意函数 将（４—22）式代入（4－19）式和（4—20）式 可得通解
将通解（4—23）式与特解（4—17）式叠加，可得平衡微分方程的全解
函数φ（x，y）称为应力函数，或称艾瑞函数。
4.2 岩石弹性本构关系
4.2.1平面应力与平面应变问题
平面应力问题：外力沿Z方向无变化
σz=0，τzx=0, τzy=0 平面应变问题：任何一个横截面在Z方向都没有位移，也就是
w ＝0，所有变形都发生在于xy面平面内。
εz=0 τzx=0, τzy=0
4.2.2平面弹性本构关系
在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可知
同样可以由∑Fy=0得出另一个方程 则平面问题的应力边界条件为：
弹性力学平面问题的基本方程 平衡微分方程（4-2） 几何方程（4-3） 本构方程 （4-7）
4.2.4平面问题的求解
按应力求解、按位移求Βιβλιοθήκη Baidu和混合求解
按应力求解时，变换基本方程和边界条件为应力分量 的函数，求出应力分量后；代入平面问题的岩石弹性本构关 系；求出变形分量，再代入几何方程求出位移分量。
设物体的体积力为自重（X＝0；Y＝－ρg＝－P）,则平面问 题的解答归结为求下列三个微分方程的积分，并满足其边界 条件,
平衡微分方程：
相容方程：
方程（4．16）是一个非齐次微分方程； 其解是相应齐次方程的通解与非齐次方程组特解之和 特解可以取为
齐次方程组的通解
如取
可以满足上列方程组的第一式，其中ψ（x，y）是任意 函数，再取
按位移求解时，变换基本方程和边界条件为位移分量函 数，求出位移分量以后，代入几何方程求出变形分量，再代入 本构方程求出应力分量。
在混合求解时，变换部分基本方程和边界条件为只包含部 分未知函数，先求出这部分未知函数以后，再用适当方程求出 其他的未知函数。
按应力求解平面问题时所需要的微分方程 平面问题的几何方程
位移边界条件：设us，vs为物体的边界位移． u0 ,v0表示边界点在x，y轴方向的给定位移，则位移边
界条件为us= u0 vs = v0
应力边界条件
物体在边界上所受的面力是已知的在物体的边 界上取一斜面，N代表斜面AB的外法线的方 向， X Y表示边界上给定的面力在x，y轴方 向的分量。设AB的长度为ds；垂直于图平面 的尺寸为1，列出∑Fx=0 平衡方程：
式中，E为物体的弹性模量；υ为泊松比；G为剪切弹性模量，而
在平面应变问题中，因τyz＝τzx＝0， 故γyz＝γzx＝0 。又因εz=0 可知σz = υ（σx+σy）
平面应变问题的本构方程:
在平面应力问题中，因为σz =τzx=τyz=0 ；
平面应力问题的本构方程:
4.2.3边界条件
位移边界条件、应力边界条件、应力位移混合 边界条件
变形协调方程或相容方程
将本构方程代入相容方程，消去相容方程中的变形分 量 。对于平面应力问题
由平衡微分方程得： 将以上二式分别对X及y求导，然后相加得
代入（4-12）简化以后得
对平面应变问题
当体力为常量时，两种平面问题的相容方程都可简化为 拉普拉斯算子
将（4－24）式代入（4－15）式得
展开上式，得
这就是用应力函数中表示的相容方程，它是一个重调和方程。
4.2.5空间问题基本方程
空间问题的平衡微分方程：
空间问题的几何方程：
空间问题本构方程：
则第二式满足 ξ（X，y）也是任意函数
使方程组（4-18）的两式同时满足，
如果取
可以使（4-21）式满足， φ（x,y）也是任意函数 将（４—22）式代入（4－19）式和（4—20）式 可得通解
将通解（4—23）式与特解（4—17）式叠加，可得平衡微分方程的全解
函数φ（x，y）称为应力函数，或称艾瑞函数。
4.2 岩石弹性本构关系
4.2.1平面应力与平面应变问题
平面应力问题：外力沿Z方向无变化
σz=0，τzx=0, τzy=0 平面应变问题：任何一个横截面在Z方向都没有位移，也就是
w ＝0，所有变形都发生在于xy面平面内。
εz=0 τzx=0, τzy=0
4.2.2平面弹性本构关系
在完全弹性的各向同性体内，根据胡克定律可知
同样可以由∑Fy=0得出另一个方程 则平面问题的应力边界条件为：
弹性力学平面问题的基本方程 平衡微分方程（4-2） 几何方程（4-3） 本构方程 （4-7）
4.2.4平面问题的求解
按应力求解、按位移求Βιβλιοθήκη Baidu和混合求解
按应力求解时，变换基本方程和边界条件为应力分量 的函数，求出应力分量后；代入平面问题的岩石弹性本构关 系；求出变形分量，再代入几何方程求出位移分量。
设物体的体积力为自重（X＝0；Y＝－ρg＝－P）,则平面问 题的解答归结为求下列三个微分方程的积分，并满足其边界 条件,
平衡微分方程：
相容方程：
方程（4．16）是一个非齐次微分方程； 其解是相应齐次方程的通解与非齐次方程组特解之和 特解可以取为
齐次方程组的通解
如取
可以满足上列方程组的第一式，其中ψ（x，y）是任意 函数，再取
按位移求解时，变换基本方程和边界条件为位移分量函 数，求出位移分量以后，代入几何方程求出变形分量，再代入 本构方程求出应力分量。
在混合求解时，变换部分基本方程和边界条件为只包含部 分未知函数，先求出这部分未知函数以后，再用适当方程求出 其他的未知函数。
按应力求解平面问题时所需要的微分方程 平面问题的几何方程
位移边界条件：设us，vs为物体的边界位移． u0 ,v0表示边界点在x，y轴方向的给定位移，则位移边
界条件为us= u0 vs = v0
应力边界条件
物体在边界上所受的面力是已知的在物体的边 界上取一斜面，N代表斜面AB的外法线的方 向， X Y表示边界上给定的面力在x，y轴方 向的分量。设AB的长度为ds；垂直于图平面 的尺寸为1，列出∑Fx=0 平衡方程：
式中，E为物体的弹性模量；υ为泊松比；G为剪切弹性模量，而
在平面应变问题中，因τyz＝τzx＝0， 故γyz＝γzx＝0 。又因εz=0 可知σz = υ（σx+σy）
平面应变问题的本构方程:
在平面应力问题中，因为σz =τzx=τyz=0 ；
平面应力问题的本构方程:
4.2.3边界条件
位移边界条件、应力边界条件、应力位移混合 边界条件