排序不等式 课件

备注 同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和
同序和a1b1＋a2b2＋a3b3＝220最大，反序和a1b3＋a2b2＋ a3b1＝180最小．
2．排序不等式的一般情形 一般地，设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2， b3，…，bn，且它们满足： a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn， 若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排 列，则和数a1c1＋a2c2＋…＋ancn 在a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn同序时最大， 反序时最小，即：
(1,2,3) (30,45,25)
(1,2,3) (45,25,30)
(1,2,3) (45,30பைடு நூலகம்25)
练习：220
和 S1＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝______ S2＝a1b1＋a2b3＋a3b2＝______ S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3＝______ S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1＝______ S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2＝______ S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1＝______ 205 215 195 185 180
设 a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn 为任意
两组实数，证明：如果 a1≤a2≤…≤an 且 b1≤b2≤…≤bn
或 a1≥a2≥…≥an 且 b1≥b2≥…≥bn，则
a1b1＋a2b2n＋…＋anbn≥a1＋a2＋n …＋anb1＋b2＋n …＋bn.
证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn， 则由排序原理得 a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn， a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1， a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b3＋a2b4＋…＋an－1b1＋anb2， ……
排序不等式
1．基本概念
一般地，设有两组数：a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，我们考察 这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们
知道共有6个不同的和数，它们是：
对应关系
(a1，a2，a3) (b1，b2，b3) (a1，a2，a3) (b1，b3，b2) (a1，a2，a3) (b2，b1，b3)
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1 ＋…＋anb1，等号当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时 成立．
设 a，b 都是正数，求证：
ba2＋ba2≥ba＋ba.
分析：观察不等式找出数组，并比较大小，并 用排序原理证明．
证明：由题意设 a≥b＞0， 则 a2≥b2，1b≥1a，所以ab2≥ba2， 根据排序原理，知 ab2×1b＋ba2×1a≥ab2×1a＋ba2×1b，
和 S1＝a1b1＋a2b2＋a3b3 S2＝a1b1＋a2b3＋a3b2 S3＝a1b2＋a2b1＋a3b3
备注 同序和 乱序和 乱序和
(a1，a2，a3) (b2，b3，b1) (a1，a2，a3) (b3，b1，b2) (a1，a2，a3) (b3，b2，b1)
S4＝a1b2＋a2b3＋a3b1 S5＝a1b3＋a2b1＋a3b2 S6＝a1b3＋a2b2＋a3b1
即ba2＋ba2≥ba＋ba.
设 a1，a2，…，an 是 n 个互不相同的正整数，求证： a1＋2a22＋3a32＋…＋nan2≥1＋12＋13＋…＋1n
分析：a1，a2，…，an 是 n 个互不相同的正整数，因此 它们可以从小到大地排序，观察问题中的式子，可以猜想到
与 a1，a2，…，an 对应的另一列数是 1，212，312，…，n12， 由此可以联想到用排序不等式证明的思路．
上式等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时成立．
1．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的 修复时间依次为4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，每台机床停产
1 min损失5元，经合理安排损失最少为( A )
A．420元 B．400元 C．450元 D．570元
a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1. 将上述 n 个式子相加，得 n(a1b1＋a2b2＋…＋anbn) ≥(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)． 上式两边除以 n2，得 a1b1＋a2b2n＋…＋anbn≥
a1＋a2＋n …＋anb1＋b2＋n …＋bn.
解析：设 b1，b2，…，bn 是 a1，a2，…，an 的一个排列， 且满足 b1＜b2＜…＜bn.因为 b1，b2，…，bn 是互不相同的正 整数，故 b1≥1，b2≥2，…，bn≥n.
又因 1＞212＞312＞…＞n12， 故由排序不等式，得
a1＋2a22＋3a32＋…＋nan2≥b1＋b222＋b332＋…＋bnn2
乱序和 乱序和 反序和
根据上面式子猜想，在这6个不同的和数中，应有结 论：
同序和a1b1＋a2b2＋a3b3最大，反序和a1b3＋a2b2＋ a3b1最小．
练习：计算下列各组数并找出其中最大最小的数：
对应关系
(1,2,3) (25,30,45)
(1,2,3) (25,45,30)
(1,2,3) (30,25,45)
≥1×1＋2×212＋3×312＋…＋n·n12
＝1＋12＋13＋…＋1n.
点评：在证明不等式的过程中，往往将“n个互不 相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是 证明中常常使用的一个技巧．本题较难之处是如何想到 构造新的排列b1，b2，…，bn，这需要考生从正确的方向 进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的 条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等 式创造条件．
2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5 件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少
和最多花的钱数为( C )
A．19元，24元
B．20元，19元
C．19元，25元
D．25元，27元
3．设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.