范德蒙德行列式——简单明了
[整理版]范德蒙行列式及其应用
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范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。
它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。
级行列式中，第错误！未找到引用源。
行（或第错误！未找到引用源。
列）的元素除错误！未找到引用源。
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范德蒙德行列式推导过程
范德蒙德行列式推导过程范德蒙德行列式是一种矩阵计算方法，主要用于解决线性代数中的问题。
在许多数学领域中都有广泛的应用，因此了解范德蒙德行列式的推导过程是非常重要的。
在本文中，我们将讨论范德蒙德行列式的基本定义和一些关键的推导步骤。
首先，范德蒙德行列式是一个由$n$个数$x_1,x_2,\ldots,x_n$构成的$n\times n$的方阵，该方阵的行列式记作$D$，即：$$D = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}\\\end{vmatrix}$$那么，我们该如何推导这个行列式呢？首先，我们需要理解一些基本的矩阵求行列式的规则。
对于一个$n\times n$的方阵$A$，它的行列式记作$|A|$，定义为：$$|A|=\sum_{\sigma\inS_n}\text{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^na_{i,\sigma_i}$$其中$\sigma$是$S_n$中的一个置换，$\text{sgn}(\sigma)$表示它的奇偶性，$a_{i,\sigma_i}$表示矩阵$A$中第$i$行第$\sigma_i$列的元素。
当矩阵$A$的所有行都是等差数列时，即：$$a_{i,j}=a_{1,j}+(i-1)d$$其中$d$是等差数列的公差。
此时，我们可以通过对第一列进行数学归纳来计算$|A|$。
为简洁起见，我们假设$d=1$。
当$n=2$时，矩阵$A$可以写成：$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,1}+1\\a_{1,1} & a_{1,1}+1\\ \end{bmatrix}$$此时，$$|A|=\text{sgn}(1,2)\prod_{i=1}^2a_{i,\sigma_i }-\text{sgn}(2,1)\prod_{i=1}^2a_{i,\sigma_i}$$ $$=a_{1,1}+1-a_{1,1}=1$$当$n=3$时，矩阵$A$可以写成：$$A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,1}+1 &a_{1,1}+2\\ a_{1,1} & a_{1,1}+1 & a_{1,1}+2\\a_{1,1} & a_{1,1}+1 & a_{1,1}+2\\ \end{bmatrix}$$此时，$$|A|=\text{sgn}(1,2,3)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma _i}+\text{sgn}(1,3,2)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}+\t ext{sgn}(2,1,3)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}$$ $$-\text{sgn}(2,3,1)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}-\text{sgn}(3,1,2)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}-\text{sgn}(3,2,1)\prod_{i=1}^3a_{i,\sigma_i}$$ $$=(a_{1,1}+1)(a_{1,1}+2)-a_{1,1}(a_{1,1}+2)+(a_{1,1})(a_{1,1}+1)-2(a_{1,1}+1)(a_{1,1}+2)+a_{1,1}(a_{1,1}+2)+a_{1,1}( a_{1,1}+1)$$$$=a_{1,1}^2-a_{1,1}+1$$接下来，我们可以考虑应用这个归纳规律到范德蒙德行列式上。
范德蒙德行列式经典例题
范德蒙德行列式经典例题
范德蒙德行列式是超过三个未知数的线性方程组的一种简捷的求解方法，因为英国数学家范德蒙德（Thomas Fermont）发现此方法而得名，也称费马的行列式法，简写为F-L方法。
范德蒙德行列式是一种表格-数学形式，通过寻找满足增广矩阵=0的解，求出线性方程组的解。
这种实用技术在数学上有其自身的独特性，例如解非齐次线性方程组，解大型线性方程组等等。
它的优点是简单，易于使用，不需要数学推理的能力，通过轻松的计算，就可以找到答案。
范德蒙德行列式的典型应用就是对三元线性方程组求解。
这里有一个经典例题来介绍：令x+y+z=3, x-y-z=1, 2x+z=5，求解x,y,z的值：
根据范德蒙德行列式求解此例题，可以将方程组用增广矩阵表示出来：
|1 1 1 | |x | |3 |
|-1 -1 -1 | * |y | = |1 |
|2 0 1 | |z | |5 |
解增广矩阵，我们可以将它进行初等变换：
|1 1 1 | |1 0 -2 | |x | |3 |
|-1 -1 -1 | * |0 1 3 | * |y | = |1 |
|2 0 1 | |0 0 -1 | |z | |5 |
最后，我们得到：
x=4， y=-1，z=2
经过以上的例题，我们对这种求解三元线性方程组的方式有了详尽的了解。
范德蒙德行列式可以有效地、快速地求解含有三个未知数的线性方程组，最重要的是，不需要数学推理能力，只需要简单的计算就可以得到所有答案。
范德蒙德行列式的应用
前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。
行列式本身有着悠久的历史。
行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。
早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。
1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。
同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。
莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。
1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。
范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。
范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。
范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。
他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。
自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。
19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。
第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。
他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。
1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。
1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。
而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。
最小二乘法 范德蒙德行列式
最小二乘法范德蒙德行列式
摘要：
1.最小二乘法简介
2.范德蒙德行列式的概念
3.最小二乘法与范德蒙德行列式的关系
4.应用实例
正文：
【1.最小二乘法简介】
最小二乘法是一种数学优化技术，用于通过最小化误差的平方和来寻找最佳拟合函数。
在各种科学和工程领域中，例如经济学、物理学、统计学等，最小二乘法都有着广泛的应用。
【2.范德蒙德行列式的概念】
范德蒙德行列式，又称范德蒙德矩阵，是由一组数构成的矩阵，其元素是这些数的乘积。
范德蒙德行列式在数学中有着广泛的应用，包括线性代数、微积分、概率论等领域。
【3.最小二乘法与范德蒙德行列式的关系】
最小二乘法与范德蒙德行列式之间的关系主要体现在最小二乘法的解的求解过程中。
在最小二乘法中，我们需要求解一个线性方程组，而这个方程组的解可以直接由范德蒙德行列式来表示。
具体来说，如果一个线性方程组的系数矩阵的范德蒙德行列式不等于0，那么这个方程组就有唯一解，这个解可以直接由范德蒙德行列式求出。
【4.应用实例】
我们可以通过一个简单的实例来说明最小二乘法和范德蒙德行列式的应用。
假设我们有一组数据，描述的是一个二次函数y=ax^2+bx+c 的输出，而我们知道这个二次函数的某些点（x1, y1），（x2, y2），（x3, y3）。
我们的目标是找到这个二次函数的系数a、b、c。
这个问题就可以通过最小二乘法和范德蒙德行列式来解决。
我们首先通过最小二乘法构造一个线性方程组，然后通过范德蒙德行列式求解这个方程组，就可以得到系数a、b、c 的值。
范德蒙的行列式
范德蒙的行列式范德蒙的行列式是线性代数中的重要概念之一，它广泛应用于数学、工程、物理等领域。
它的发现与发展不仅推动了行列式理论的进步，也为解决实际问题提供了强有力的工具。
首先，让我们来了解一下行列式的基本概念。
标准的范德蒙行列式是一个n阶矩阵，其中每个元素都是从一个给定的集合中（通常是实数或复数）选择的。
它的特点是具有一定的排列规律，这些排列规律决定了行列式的计算方式。
行列式的排列规律由范德蒙命名，他是17世纪时期的法国数学家。
行列式的计算结果是一个标量，它可以用于描述矩阵的性质和变换的特性。
行列式的计算涉及到元素的排列和符号的确定。
对于一个n阶行列式，它包含n个元素，首先需要将这些元素进行全排列，然后根据排列的奇偶性来确定每个排列的符号。
具体而言，如果排列的逆序数为偶数，则符号为正；如果逆序数为奇数，则符号为负。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的数量。
逆序对是指在一个排列中，如果一个数的序号比它右边的数的序号小，则称这两个数构成一个逆序对。
通过计算每个排列的符号，并将每个排列的元素按照一定的规则进行相乘，最后将所有结果相加，就得到了行列式的值。
行列式的值不仅能够揭示矩阵的性质，还能帮助我们解决方程组、计算面积和体积等实际问题。
例如，在线性代数中，如果一个n阶矩阵的行列式的值为零，那么这个矩阵是奇异的，意味着它不可逆。
这对于解决方程组的存在唯一性以及求逆矩阵等问题非常重要。
此外，行列式的值还可以用来计算多边形的面积和体积。
对于二维平面上的多边形，只需要取多边形的顶点坐标，利用范德蒙的行列式公式，就能够计算出多边形的面积。
对于三维空间中的物体，只需要取物体的顶点坐标，同样可以使用范德蒙的行列式公式计算出物体的体积。
了解了行列式的基本概念和计算方法后，我们不难发现行列式在数学、工程、物理等领域的应用广泛而深入。
在数学领域，行列式是线性代数的基础，它广泛应用于矩阵理论、线性方程组的解法以及向量空间的推导等方面。
广义Vandermonde行列式
广义Vandermonde 行列式作者：袁敏 指导老师：舒阿秀摘要 Vandermonde 行列式是行列式的一种特殊形式，而广义Vandermonde 行列式是Vandermonde行列式的一种推广形式，在实际应用中占有十分重要的地位，如在Hermite 插值问题适定性证明等问题中都可以用到它. 本文主要在Vandermonde 行列式基础上介绍广义Vandermonde 行列式及其性质、计算与应用，并在此基础上加以适当推广，介绍增次广义Vandermonde 矩阵的含义和一些相关性质.关键词 Vandermonde 行列式 广义Vandermonde 行列式 增次广义Vandermonde 矩阵1引言在高等代数中，行列式是一个极其重要的概念，而Vandermonde 行列式又是行列式的一种特殊形式，目前许多文献都对它进行了广泛的研究并得到了许多丰富的成果. 本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式及其性质、应用等进行一些归纳和讨论.1.1 Vandermonde 行列式的定义称形如12322221231111123111...1........................n nn n n n nD a a a a a a a a aaaa----=(1.1)的行列式为n 级范德蒙德（V andermonde ）行列式.1.2 性质任意的(2)n n ≥级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差i α-j α(1)j i n ≤<≤的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写成123222212311111123111...1......()..................n nijj i nn n n n na a a a a a a a a a aaaa≤<≤----=-∏由这个结果立即得出，V andermonde 行列式为零的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.2 广义Vandermonde 行列式 2.1 定义设m 维向量21(;)(1,,,...,)m F m λλλλ-=,它对λ的一阶导数为()2(;)0,1,2,...,(1)m F m m λλλ-'=- （2.1）同样可以定义(;)F m λ对λ的k 阶导数()(;)k F m λ，显然，当k m ≥时，()(;)k F m λ是零向量，令(1)F(,)1F (,)1!1F (,)(;;)2!...1F (,)(1)!d d mm m m F d m m d λλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （2.2）考虑如下的Vandermonde 型的12(...)t d d d m +++⨯阶矩阵11221212F(;;)F(;;)(,,...;,,...;)...F(;;)t t t t d m d m V d d d m d m λλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3） 这里,1,2,...,i d N i t ∈=.显然，当12...t d d d m +++=时，1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ是m 阶方阵.当i λ在（2.3）式中不出现时，约定0i d =，这里仍写成121112111212(,,...,,,...,;,,...,,,...,;)(,,...;,,...;)i i t i i t t t V d d d d d m V d d d m λλλλλλλλ-+-+≡ （2.4）显然，行列式1212(,,...;,,...,;)t t V d d d m λλλ是通常的Vandermonde 行列式2111121222121211...1...(,,...,)()...............1...n n n i j j i n n n n n V λλλλλλλλλλλλλλ--≤<≤-==-∏的一种推广，即当12...1t d d d ====时，有121212(,,...;,,...;)(,,...),tt tV m V d dd λλλλλλ=.以下称1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ为广义Vandermonde 行列式.2.2 性质定理 设12121,1,...,1,...t t d d d d d d m ≥≥≥+++=且，则有 1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ=1223341......2131132422....1()()()()()()()t t t t d d d d d d d d d t t dt t λλλλλλλλλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅⋅-⎢⎥⎣⎦------- （2.5）证明 将1212(,,...;,,...;)t t V m d d d λλλ的第1,2,...,2,1m m --列各乘以1()λ-，然后分别加到第,1,2,...,2m m m --列，并按第1行展开得到一个1m -阶行列式，设为1V ，也即11212(,,...;,,...;)t t V V m d d d λλλ==111111121122113211211112122212122122121112112221132212121()().........() (00)0...1...()()().........()1.........m m m d d m d m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ----------------------22211321211122221111112212.....................000...1...()....................()()........()0...1...t t t tm d d m d m m m t t tt t t t d m d d m d m m C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ--------------------（1V 是1m -阶） 显然1V 的第一行是1m -维向量1(;1)F m λ-，1V 的第二行是1132121(0,1,,...,)m m C C λλ--， 1V 的第三行是2243121(0,0,1,,...,)m m C C λλ--，………1V 的第11d -行是1111221121(0,0,...,0,1,,...,)d d m d d m C C λλ-----. 从而知1V 的前11d -行是11(;1;1)F d m λ--，又易知21λλ-是1V 的第1d 行各元素的公因子，故第1d 行可变成（将21λλ-提到行列式的外边相乘）：222222;1(1,,,...,)()m m F λλλλ--=.再把第1d 行乘以1-加到第11d +行上去，得第11d +行为()()1011011021212113222112221211321221222120,(),(),...,()0,,(),...,()m m m m m m C C C C C C CC C c c λλλλλλλλλλλλλλλ------------=---它也有公因子21λλ-，也提到行列式外边相乘，这时，第11d +行变成11322222(0,1,,...,)(;1)m m C C F m λλλ--'=-. 再把第11d +行乘以1-加到第12d +行，于是第12d +行变成为()()2122122132432221432312323122224221321232120,0,(),(),...,()0,0,(),(),...,()m m m m m m m C C C C C C C CC C C C λλλλλλλλλλλλλλλ----------------，它也有公因子21()λλ-，可提到行列式外边相乘，这时，第12d +行变为21(;1)2!F m λ''-，这样一直进行到第121d d +-行（共2d 次）为2(1)221(;1)(1)!d F m d λ---，而提出到行列式外面的因子为221()d λλ-，同理，可依次得到1V 的其余121m d d --+行，最后得出1122112112122F(;1;1)F(;;1)()...F(;;1)()(,,...,;1,,...,;1)ii td i i t t td i t t i d m d m V d m V d d d m λλλλλλλλλλ==---=--=---∏∏即有212122111212(,,...;,,...;)()...()V(,,...,;1,,...,;1)tt t d d t t t V m d d d m d d d λλλλλλλλλλ=---- （2.6）反复用（2.6）式即得（2.5）式：()1211212112122123231212123(,,...;,,...;)()V(,,...,;1,,...,;1)...=()V(,,...,;,,...,;)...=()()...()ii j i t t t td it t i d t d i t t i d dt t d d d i j t t i j V m d d d m d d d m d d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-===---=⎛⎫--= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏∏1.t d -于是定理得证.2.3 应用在Hermite 插值问题适定性的证明中将用到广义Vandermonde 行列式，下面我们将介绍这个应用.首先，我们陈述一下Hermite 插值问题.对1,2...,()i s s z +=∈ ,设i x R ∈是第i 个插值结点,且s 个结点互异；设ix z +∈是关于第i 个结点的插值重度，记()k i y R ∈为关于第i 个结点k 阶导数的任意给定参数(0,1,...,1)i k α=-，确定满足条件：()()()(0,1,...,1;1,...,)k k n i i i p x y k i s α==-=的一元n 次多项式()n p x ，其中01,1si i n Z n α=∈+=∑，且称上条件为Hermite 插值条件；称满足Hermite 插值条件的一元n 次多项式()n p x 为Hermit 插值多项式.现在我们给出Hermite 插值问题的直观性证明.定理2.1[1] Hermit 插值多项式是存在唯一的.证明 记一元多项式()n p x 为01()...n n n p x c c x c x =+++，其中(0,1,...,)i c i n =为待定系数，利用上Hermite 插值条件可得如下关于待定系数01,,...,n c c c 的方程组1()111...,!0,...,1;1,...,.k k k n k k k k i k n i n i i C c C x c C x c y k k i s α-++⎧+++=⎪⎨⎪=-=⎩ 显然上方程组的系数矩阵为广义Vandermonde 矩阵V ，利用定理2.1由插值结点互异知，广义Vandermonde 行列式不等于0，从而上方程组的解存在且唯一.定理2.2 Hermit 插值多项式可表为111111,,...,,...,()/,...,,...,,...,ns n s s s x x x x p x V x x y V αααα⎡⎤=-⎛⎫⎢⎥⎣⎦ ⎪⎝⎭其中(1)(0)(1)111(,...,);(,,...,),(1,...,)1!(1)i T s i i i i i y y y y y y y i s αα-===- .证明 参见文献[1].另外，在图书流通管理中可应用广义范德蒙德（V andermonde ）行列式的纵向思维过程；关于WJ-A VE5数字特技机在电视节目制作过程中的使用可应用广义范德蒙德（Vandermonde ）行列式的统计运算功能；目前许多行业，如饲料工业上的应用、肉碱在畜禽水产养殖上的应用、计算机应用基础课程教学模式的探讨、计算机辅助教学课件的应用分析等等，都在利用数学模拟计算方法包括广义范德蒙德（V andermonde ）行列式在内的一系列的基础数学理论，以精确的理论数据进行可维护的实践操作. 另外上定理可将控制论中许多关于iA e 的计算得到简化.3 增次广义Vandermonde 行列式 3.1 定义对于第2节中给出的广义范德蒙德行列式的定义（2.4），若去掉1212(,,...;,,t V d d λλλ...;t d )m 的第1,...,r k k 列，11...,1r k k m r m ≤<<≤≤≤，而在末尾增加诸i λ次数顺序为,...,1m m r +-的列，则所得矩阵称为增r 次广义Vandermonde 矩阵，记为111(,...,;,...,;;,...,)t t r V d d m k k λλ=111111112221111111131311111112212112111111122221.........01..........................................00.........1.........1...rrrrrrk k k k m rk k k k m r k k k k m r d m d rm r C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222212222313111111122222222212112......01..........................................000.........1...............................rr rrrrk k k km rk k k k m rk k k k m r d m d r m r C C C C C C C λλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+111111222131311111112222111...........1.........01 (00).........1.........rrrrrrt t k k k k m rt t t t t t t k k k k m rt k t k t k tk t m r td m d r m r t C C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ---+-----+---+--+-+⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.2性质Laplace 定理的引理 行列式D 的任一k 阶子式M 与它的代数余子式A 的乘积MA 中的每一项都是D 的一项，而且符号一致.定理3.1 11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ-=⋅. （3.1） 证明 11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ是111(,...,,;,...,;1;1)t t t V d d m λλλ++的按最后一行展开式中项11k t λ-+的系数1×(1)m k++-，而13221341112131132422111112121(,...,,;,...,;1;1)()()()()()()...()()(,,...;,,...;)()t t tti id d d d t t t t td d d d d d d t t t t i i td t i t t i V d d m V m d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+=+=⎡⎤+=--⋅⋅⋅-⎣⎦⎡⎤⎡⎤⋅--⋅⋅⋅-⋅⋅--⎣⎦⎣⎦=⋅-∏∏.再由韦达定理知11()i td t i i λλ+=-∏中11k t λ-+的系数为(1)1(1)m k k τ----，所以1(1)11111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(1)(1)m k m k t t t t k V d d m k V d d m λλλλτ++---=⋅-⋅-.化简即得（3.1）式.推论3.1 111111(,...,;,...,;;)(,...,;,...,;)(...)t t t t t t V d d m m V d d m d d λλλλλλ=⋅++. 推论3.2 当12...1t d d d ====时，有：111(,...,;1,...,1;;)(,...,)t t k V m k V λλλλτ-=，且仅当k t =时，有111(,...,;1,...,1;;)(...)()t t ijj i tV m t λλλλλλ≤<≤=++-∏.推论3.3 若()i j i j λλ≠≠，则1212(,,...;,,...;)t t V d d d m λλλ的秩为m . 推论3.4 若1(),0i j k i j λλτ-≠≠≠，则11(,...,;,...,;;)t t V d d m k λλ的秩为m . 推论3.5 若12(),(...)0i j t i j λλλλλ≠≠++≠时，1(,...,;1,...,1;;)t V m t λλ的秩为m . 推论3.6 若11(),(...)0i j t t i j d d λλλλ≠≠++≠时,11(,...,;,...,;;)t t V d d m m λλ的秩为m .定理3.2 12121112111221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)()t t t t k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ----=-.证明 设1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++按最后两行展开后， 121221121111111112121122k k k k k k t t t t t t k k t t λλλλλλλλ------++++++--++=- 的系数为12,k k D ，则1212121112,(,...,;,...,;;;)(1)m m k k t t k k V d d m k k D λλ+++++=-从而112111122111(,...,,,;,...,,1,1;2)(,...,;,...,;)()()()jit t t t t t ttd d t i t j t t i j V d d m V m d d λλλλλλλλλλλλ++++++==+=⋅---∏∏.注意到11()i td t i i λλ+=-∏,展开式中111211,k k t t λλ--++的系数分别为11111212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----；而21()jtd t j j λλ+=-∏展开式中221222,k k t t λλ--++的系数分别为22221212(1),(1)m k m k k k ττ-+-+----，于是1121(,...,,,;,...,,1,1;2)t t t t V d d m λλλλ+++中121112,k k t t λλ--++的系数是12121212(1)(1)m k m k k k ττ-+-+-----12122121(1)(1)m k m k k k ττ-+-+----.由Laplace 定理的引理知：121212121111211121221(,...,;,...,;;;)(,...,;,...,;)(1)()(1)k k t t t t m m k k k k k k V d d m k k V d d m λλλλττττ--+++++----=⋅--⋅-化简上式即得定理成立.推论3.7 若12121221(),ij k k k k i j λλττττ----≠≠≠，则11(,...,;,...,;)t t V d d m λλ的秩为m .3.3 计算例1 计算234623524234623523461012346001361510123461x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =.解63232V (x ,y ,z ,u ;3,2,1,1;7)()()()()()()y x z x z y u x u y u z =------. V是V(x,y,z,u;3,2,1,1;7)的按最后一行展开式中5u 项系数⨯6+7（-1），得63267632()()()[(32)](1)()()()(32).V y x z x z y x y z y x z x z y x y z +=----++⨯-=---++例2 计算236725645236725623671012367013152110123671x x x x x x x x x x x x V y y y y y y y y y zz z z z =. 解 6323213V (x ,y ,z ,u ,v ;3,2,1,1,1;8)()()()()()()(y x z xz yu x u y u z v x=------- 21()()()v y v z v u ---V 是V(x,y,z,u,v;3,2,1,1,1;8)的按最后两行展开中45455445u u u v u v v v=-项系数5678(1)+++⨯-，得321()()()u x u y u z ---中43,u u 的系数为2343(1),(1)ττ--，54,v v 的系数为254(1),(1)ττ--，所以6322453()()()()V y x z x z y τττ=----.结 束 语本文主要在Vandermonde 行列式的基础上对广义Vandermonde 行列式的概念、性质及其应用等加以归纳和讨论，并在此基础上适当推广，讨论了增次广义Vandermonde 行列式的含义、性质与计算. 由于广义Vandermonde 行列式的应用较为广泛，目前在这方面的研究已经取得了丰硕的成果，对此本文不再深入讨论.参考文献[1] 盛中平. 林正华, 广义Vandermonde行列式及其应用[J]，高等学校计算数学学报，3（1996），217-225.[2] 邱建霞. 吴康，广义Vandermonde行列式的再推广[J]，西华师范大学学报(自然科学版)，25：3（2004），328-332.[3] 王向东,，广义Vandermonde行列式[J]，佛山科学技术学院报，19：1（2001），1-4.[4] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式[J]，大学数学，21：3（2005），85-90.[5] 邱建霞，增次广义Vandermonde行列式的计算[J]，高等数学研究，9：1（2006），19-21.[6] 普丰山. 陈军，广义Vandermonde行列式及其应用[J]，河南科学，24：5（2006），26-28.[7] SEYMOURL Inpschut. Schaum’s outline of Theory and problems of Linear Algebra [M]. McGraw 2 Hill Book Company, 1968Generalized Vandermonde DeterminantAuthor: Yuan Min Supervisor: Shu AxiuAbstract: Vandermonde determinant is a special determinant, and generalized Vandermonde determinant is promotion of Vandermonde determinant which is important in practical application. For instance, it can be used to solve the question of qualitative property of Hermit interpolation. In this paper , we introduced the property , calculation and application of generalized Vandermonde determinant, extended appropriately ,and introduced the definition and property of generalized additional involution Vandermonde matrixesKey words: Vandermonde determinant; generalized Vandermonde determinant;generalized additional involution Vandermonde matrixes。
范德蒙行列式及其应用
范德蒙行列式及其应用1 预备知识定义1.1)133(]1[p121211112111,n n n n n nx x x D x x x n x x x ---⋯⋯=,⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做 的阶范德蒙行列式.12111121111212111n i i i n i i i n n n n nx x x D n x x x x x x x x x ---+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯叫做阶准范德蒙行列式.定理1.2)133(]1[p ∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法一)133(]1[p由n D 的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以1x ,并由行列式的展开定理可得递推公式111312)())((----=n n n D x x x x x x D Λ,其中1-n D 是n x x x Λ32的n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．证明 方法二将n D 看作系数与121,,-n x x x Λ有关,未知量是n x 的一元多项式．则当)1,,2,1(-==n i x x i n Λ时,0=n D ．所以121,,-n x x x Λ是n D 的根,所以,)1,2,1()(-=-n i D x x n i n Λ．又因为当j i ≠时,1),(=--j n i n x x x x ,所以*---=-)())()((12121n n n n n n x x x x x x x x x g D ΛΛ另一方面,如果将n D 按最后一列展开,可知道, n D 是n x 的n-1次多项式,且1-n n x 项的系数是n-1阶范德蒙行列式12122212111nn n n n nx x x D x x x ----⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯与*可比较得 )(211n n x x x g D Λ=-．因此1121)())((-----=n n n n n n D x x x x x x D Λ；同理22122111)())((---------=n n n n n n D x x x x x x D Λ；依似类推,最后有)(1212x x D D -=．又因为11=D ,所以∏≤≤≤-=ni j jin x x D 1)(．另外利用行列式的性质可推得n 阶范德蒙行列式的性质)1(]2[p 性质1 若将n D 逆时针旋转ο90,可得值为 n n n D 2)1()1(--．性质2 若将n D 顺时针旋转ο90,可得值为n n n D 2)1()1(--．性质3 若将n D 旋转ο180,可得值为n D ．2 范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1 简单变形 例1 计算()()()()11111nnn a a a n D a a a n -⋯-⋯⋯⋯⋯=-⋯-⋯解 由范德蒙行列式性质3得!)())()((111∏∏∏=≤≤≤≤≤≤=-=---=nk ni j ni j k j i i a j a D例2 计算n+1阶行列式211111111112122222222221111111111nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a b a b a b a b a a b a b a b a b D a a b a b a b a b ---+++++++++⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(+=n i a ni Λ,就可以得到转置的n+1阶范德蒙行列式,于是()111b nnn i iji j i n D a b =≤<≤+=-∏∏例3 计算行列式2111111212222221111n n n n n nn n x x x x x x x x x x D x x x x x ---⋯-⋯-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯-解 从第i 行提取公因子)1,,2,1(1+=-n i x x i iΛ,然后再把第1列加到第2列,之后再把第2列加到第3列,⋯,再把第n-1列加到第n 列,就得到n 阶范德蒙行列式,于是()111nii j i j i ni x D x x x =≤<≤=--∏∏．例4 计算行列式()()()()()()11112122221222212221111n nnnn n n n n n n n n n n n D n n n n ----⋯--⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯--⋯⋯解 由范德蒙行列式性质得()()()()()()()()12111111112122212122221222n n n n n n nnnn n n n n D n n n n n n n n +----⋯--⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯--⋯--()1!nn =-1!2!⋯2.2 升阶法求解 例1 计算n 阶行列式221111222222221*********n n n n n n n n n n n n nnnnx x x x x x x x D x x x x x x x x --------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⋯⋯解 将D 升阶为下面的n+1阶行列式221111112212222212211111122122111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----+-----------⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∆=⋯⋯⋯既插入一行与一列,使1+∆n 是关于x x x x n ,,,21Λ的n+1阶范德蒙行列式,此处x 是变数．于是∏≤≤≤+----=∆ni j j in n x xx x x x x x 1211)()())((Λ,故1+∆n 是一个关于x 的n 次多项式,它可以写成{}ΛΛ++++-+-=∆-≤≤≤+∏12111))(1()(n n n ni j j in x x x x x x x．另一方面,将1+∆n 按其第n+1行展开,既得Λ+-+-=∆-+≤≤≤+∏11211)1()(n n n ni j j in Dx x x x,比较1+∆n 中关于1-n x的系数,既得∏≤≤≤-+++=ni j j in x xx x x D 121)()(Λ．例2 计算211122222111111111nnnnnnx x x x x x D x x x ++++++=+++L L L LL LL解 将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变21112100011111111nnnn nx x x D x x x +++=+++L L L L LL LL把第一列乘以-1分别加到其它的列得21112111111n n n n n x x x D x x x ---=L L L L L L L L 把第一行拆分得2211111122200011111111nn n n nn nnn nx x x x x x D x x x x x x =-L L L L LL L L L L L L L L LL第一个行列式按第一行展开提取i x 后为n 阶范德蒙行列式,第二个行列式为1n +阶范德蒙行列式()()()111121nniijijii j i nj i ni D x x x x x x =≤≤≤≤==----∏∏∏∏p p()()11121n ni i i j i i j i nx x x x ==≤≤⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∏∏∏p2.3 套用定理法求解 定理 2.3.1()12121211111211112121111,2,3,1n i n in i i i i p p p n n p p p i i i n n n n nx x x D x x x D i n x x x x x x x x x -----+⋯+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯-⋯⋯⋯⋯⋯⋯∑其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,∑-in p p p x x x Λ21表示()n i -阶排列和,nD 为n 阶范德蒙行列式． W证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明 证明 ()i 在行列式1+i D 中第1i +行和()1n +列相应的元素．考虑()1n +阶范德蒙行列式()122222121111121211111111121111n n i i i i ni i i i n i i i i n n n nnx x x x x x x x f x D x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯==⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯()()()()213111n x x x x x x xx --⋯--()()()3222n x x x x xx -⋯--⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ()n x x -=()()()()121n ijj i nxx x x x x x x ≤<≤--⋯--∏ )(*()ii 由()*式的两端,分别计算多项式()f x 中i x 项的系数．在()*式的左端,由行列式计算得,ix 项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式()()()()()111,11111i n i n i n i i A D D ++++++++=-=-在()*式的右端,由多项式计算得,由12,,n x x x ⋯为()0f x =的n 个不同根,根据根与系数的关系,ix 项的系数为()()()1212110,1,2,1nnn in i p p p ij p p p j i na x x x xx i n --⋯≤<≤=-⋯-=⋯-∑∏其中i p p p x x x -Λ21是1,2,3,⋯,n 中()n i -个数的正序排列,i p p p x x x -Λ21表示()n i -阶排列和．()iii 比较()f x 中i x 项的系数计算行列式1i D +,因为()*式的左右端i x 项的系数应相等,所以 ()()()12121111n in ii nn ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+-+⋯≤<≤-=-⋯-∑∏ ()()121211n in ii p p p ij p p p j i nD x x x xx --+⋯≤<≤=⋯-**∑∏()()1212110,1,2,1n nn ii p p p n p p p D x x x D i n -+⋯=-⋯=⋯-∑定理得证．利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式,简便易行． 例1计算准范德蒙行列式1234562222221234564444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a aaaaaa=解 由定理,因为6,3,n i ==所以()123123416p p p ij p p p j i D a a a aa ≤<≤=-=∑∏()()12312445616ijj i a a a a a a a a a a a ≤<≤++⋯+-∏．可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单．3 范德蒙行列式在其它方面的应用例1设()21211112111111,1n n n n n n x x x a a a p x a a a ------⋯⋯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯其中121,n a a a -,⋯是互不相同的数．(1)由行列式定义,说明()p x 是一个1n -次多项式； (2)由行列式的性质求()p x 的根．证明（1）将()p x 按第一行展开知它是x 的多项式,又1n x-的系数为()11n +-乘以一个范德蒙行列式,其值不为零（因为i a 互异）,故()p x 为关于x 的1n -次多项式． （2）取()1,2,i x a i n ==⋯,则行列式两行相同其值为零,即有()0i p a =,故121,n a a a -,⋯是()p x 的全部根．例2 设()112n n f x a a x a x-=+++L 011,,,n εεε-L 为全部的n 次单位根,证明：()()()123112211132011345122341n n nn n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a D f f f a a a a a a a a a a εεε-------==L L L L L L LL L L L L证明 令ε为n 次原根,且假定()0,1,1iji n εε==-L 用范德蒙行列式()()()()212124211111111111n n n n n n εεεεεεεεε------∆=L L L L LLL LL左乘D ,再从每列分别提出()()()111,,n f ff εε-L 即得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111212121111111111n n n n n n n n n n f f f f f f D f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεε----------∆==∆L L L L L LLL因为0∆≠,所以()()()()()()1101n n D f ff f f f εεεεε--==LL ．只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧,便可以很好地应用范德蒙行列式了．例3 如果n 次多项式()21121n n n n n o f x a a x a x a x a x ---=+++++L 有1n +个不同的根,那么()0f x ≡．证明 设121,,n x x x +L 是()f x 的1n +个不同的根,则有2111211112112222221112111100n n n n n o n nn n n o n n n n n n n n o n a a x a x a x a x a a x a x ax a x a a x a x a x a x --------+-+++⎧+++++=⎪+++++=⎪⎨⎪⎪+++++=⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L 上式可看作1n +个未知量10,,,n n a a a -L 1n +个方程的齐次线性方程组．其系数行列式为()2111222211121111101n n n ijj i n n n n n x x x x x x D x x x x x +≤≤++++==-≠∏p L L L L LLLL所以上式只有零解．即1100,n n a a a a -=====L 也就是说()0f x ≡.。
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式的证明及其应用work Information Technology Company.2020YEAR范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2范德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式1121121111---n nn n na a a a a a(1)称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式.由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥阶范德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积. 2.2范德蒙德行列式的证明 2.2.1用递推法证明12112211120011111221111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→−---)()()()()()(12132312221133122123121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→−---展开按上式112312)())((----=n n D a a a a a a仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故)()()())()(())((112242311312j i ni j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=-------=∏≤<≤-2.2.2用Laplace 定理证明已知在n 级行列式nnnjn in iji n j a a a a a a a a a D111111= 中,除第i 行（或第j 列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积ij ij A a D =,在113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((------=n nn n nn n a a a a a a a a a a a a D等式右边的第二个因子是1-n 阶行列式,用1-n D 表示,则上式中111312)())((----=n n n D a a a a a a D同样地,可以得到2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D此处2-n D 是一个2-n 阶范德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312-------=n n n n n a a a a a a a a a a a a D)(1j i ni j a a -=∏≤<≤3范德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3>n 时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n 维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例 1.设V 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数n m ≥,则在V 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关]7[.证明:因为n F F ≅,所以只须在n F 中考虑.取)3,,3,3,1(121-=n a))3(,,3,1(2122-=n a))3(,,3,1(1m n m m a -= 令.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(312112*********1m k k k D n k n k k k n k k k n k n nnnk≤≤≤≤≤=---121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111---=n k k k n k k k n k k k n n n nD 是范德蒙行列式 且0≠n D ,所以n k k k a a a ,,,21 线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例 2.设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有个互异的特征值n λλλ,,,21 ,则与σ可交换的V 的线性变换是12,,,,-n e σσσ 的线性组合,这里e 为恒等变换.证明:由题意,由于σ是n 维向量V 上的线性变换,由线性变换的定义得n i i i i ,,2,1,)( ==αλασ,假设{}F k k V i ∈=|αλ是δ的不变子空间.根据不变子空间的特点,δ是与σ可交换的线性变换.令112210--++++=n n x x x e x σσσδ 且n i k i i i ,,2,1,)( ==αασ,则有以下方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=------111012121021111101n n n n nn n n n x x x k x x x k x x x k λλλλλλ （2） 由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j 1j i ni D λλ-∏=≤<≤,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,-n e σσσ 这n 个向量线性无关,题目得证. 3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例 3.设n n x c x c c x f +++= 110)(.若()f x 至少有1+n 个不同的根,则0)(=x f .证明:取121,,,+n x x x 为()f x 的1+n 个不同的根.则有由齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++++000121211022222101212110n n n n n nn n n x c x c x c c x c x c x c c x c x c x c c (3) 其中n c c c ,,,10 看作未知量.且0)(1≠-∏=≤<≤j i ni j x x D .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010====n c c c .即)(x f 是零多项式. 3.4微积分中的应用例4.设)(y f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在2阶导数]2[.证明:在b x a <<上有)(21)()()()(''c a b a f b f a x a f x f f=-----.这里),(b a c ∈证明:在],[b a 上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222b f b bx f x x a f a a y f y y y F =是范德蒙行列式,而函数)(y F 满足中值定理条件: 因)()()(y F x F a F ==.由中值定理,在),(b a 内存在b x x x a <<<<21，使0)()(2''1''==x F x F .故存在),(21x x c ∈,使0)(''=c F .即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''==b f b b x f x x a f a ac f c F .按行列式定义展开,即得所证. 3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式例5.计算nn n n n n n D 222333222111= 解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n ,由行列式的相关性质,得1212121333122211111321---⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n n D仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n 阶范德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n D n!1!2)!2()!1(! --=n n n (2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111n b b b n b n b b b b b D n n n n n nn ------=---+ 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1+n 行依次与上面的每一行交换至第1行,第n 行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(+=+++-+-+n n n n n 次交换 得到1+n 阶范德蒙行nn nn n n n n n n b b b n b b b nb b b D)()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(--------------=+n b n b b b b n b b b b b n n !1k nk =∏=(3)用拆行（列）计算行列式n 阶行列式中的i 行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++++++++++=分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得:342433233222312124423322221143211111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++ (4) 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得:34243323322231212423222143211111a a a a a a a a a a a a a a a a ++++ (5) 再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:343332312423222143211111aaaaa a a aa a a a因为该行列式为4阶范德蒙行列式,故)(11114134333231242322214321j i i j a a a a a a a a a a a a a a -∏==≤<≤ (4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式444422221111d c b a dcbad c b a D =分析：D 不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出D 的值. 解：构造5阶范德蒙行列式按第五列展开得45534523525155x A x A x A x A A D ++++= 其中3x 的系数为D D A -=-=+5445)1(又利用范德蒙行列式的结果得))()()(())()()()()((5d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b D ----⨯------= ])([))()()()()((34 ++++-⨯------=x d c b a x c d b d b c a d a c a b其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=4结束语范德蒙德行列式还可以应用于数学其他科目上.例如:在数学分析中,我们可以用它来构造高阶无穷小量,在线性代数中,我们可以用它来解决向量组线性相关性的证明问题.范德蒙行列式广泛的作用更加激发了我们深入探索它的欲望.我们希望在掌握相关的基础课程和基本理论之上，研究范德蒙行列式,用科学技术指导实践,更好的服务社会,促进经济发展.参考文献:[1]范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用[J].吉林师范大学学报,2015.2(1) [2]万勇,李兵.线性代数[M].上海:复旦大学出版社,2006. [3]何江妮.范德蒙德行列式的证明及其应用[J].科教文化.[4]Kenneth C ．Louden ．Compiler Construction Principles and Practice[M]．北京:机械工业出版社,2002.4444433333222225a 11111x d c b a x dc b a xd c b a x d c b D =[5]徐杰.范德蒙行列式的应用[J].科技信息,2009（17）.[6]SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)[M].NeW York:Columbia University,1988.[7]刘彦信.高等代数(第三版)[M].西北工业大学出版社,2004.[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2003.[9]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its ApplicationAbstract:This paper introduces the definition of n-order Vandermonde determinant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications.Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application- 10 -。
python 范德蒙德行列式-概述说明以及解释
python 范德蒙德行列式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述Python 范德蒙德行列式是一种常用的数学工具，它在线性代数和统计学等领域发挥着重要作用。
范德蒙德行列式是由荷兰数学家亨利·范德蒙德于1772年引入的，在当今的数据分析和机器学习中广泛应用。
范德蒙德行列式可以用来描述向量或数据集中元素之间的关系。
它是一个特殊的行列式，由一组向量的各个元素的乘积所组成。
具体而言，给定一个向量集合X = [x1, x2, ..., xn]和一个向量y = [y1, y2, ..., yn]，范德蒙德行列式定义为：x1^0 x2^0 ... xn^0x1^1 x2^1 ... xn^1... ... ... . ..x1^n x2^n ... xn^n其中，^表示幂运算。
通过计算范德蒙德行列式，我们可以得到一组向量之间的特定关系，比如它们是否线性相关或者是否存在关联性。
这对于数据分析和机器学习中的特征选择和模型评估等任务非常重要。
范德蒙德行列式在Python中可以通过多种方式进行计算。
在NumPy 和SciPy等科学计算库中，我们可以利用现有的函数或方法来直接计算范德蒙德行列式。
此外，还可以使用Python中的列表推导式来快速生成范德蒙德矩阵并进行计算。
这些方法提供了灵活和高效的方案来处理范德蒙德行列式。
在本文中，我们将详细介绍范德蒙德行列式的概念、计算方法和实际应用。
首先，我们将介绍范德蒙德行列式的基本概念和定义，并探讨其几何和统计学意义。
然后，我们将介绍使用Python进行范德蒙德行列式计算的方法，并给出相应的代码示例。
最后，我们将通过实际案例展示范德蒙德行列式在特征选择、模型评估和数据压缩等领域的应用。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解范德蒙德行列式在Python中的应用以及其在数据分析和机器学习中的重要性。
同时，读者还将学会如何使用Python编写代码来计算范德蒙德行列式，并能够灵活应用于实际问题中。
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙行列式的证明及其应用在高等代数中，范德蒙行列式是一个具有特殊形式和重要性质的行列式。
它不仅在理论上有着深刻的意义，而且在实际的数学问题求解中也有着广泛的应用。
范德蒙行列式的形式如下：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix}＼接下来，我们先来证明范德蒙行列式。
证明范德蒙行列式通常使用数学归纳法。
当\（n ＝ 2\）时，范德蒙行列式为：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2＼end{vmatrix} ＝ x_2 x_1＼假设\（n 1\）阶范德蒙行列式成立，即：＼＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_{n 1} ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 2} ＆ x_2^｛n 2} ＆ x_3^｛n 2} ＆＼cdots ＆ x_{n 1}＾｛n 2}＼end{vmatrix} ＝＼prod_{1\leq i ＜ j\leq n 1} （x_j x_i)＼对于\（n\）阶范德蒙行列式，将其按第一列展开：＼begin{vmatrix}1 ＆ 1 ＆ 1 ＆＼cdots ＆ 1 ＼＼x_1 ＆ x_2 ＆ x_3 ＆＼cdots ＆ x_n ＼＼x_1^2 ＆ x_2^2 ＆ x_3^2 ＆＼cdots ＆ x_n^2 ＼＼＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＆＼cdots ＼＼x_1^｛n 1} ＆ x_2^｛n 1} ＆ x_3^｛n 1} ＆＼cdots ＆ x_n^｛n 1}＼end{vmatrix} ＝＼sum_{k ＝ 1}＾n （－1)＾｛1 ＋ k} 1 ＼timesM_{1k}＼其中\（M_{1k}＼）是原行列式中第一行第\（k\）列元素的余子式。
范德蒙行列式证明
范德蒙行列式证明范德蒙行列式是数学中的经典问题，它是由荷兰数学家范德蒙在18世纪提出的。
范德蒙行列式是一个n阶方阵，其中每个元素的值为ai^(j-1)，其中i表示这个元素所在的行，j表示这个元素所在的列。
范德蒙行列式在代数学、组合数学和概率论等领域都有广泛的应用。
在证明范德蒙行列式的时候，我们可以采用数学归纳法的思想。
假设我们已经证明了n-1阶范德蒙行列式的公式，那么我们就可以通过对第n行进行展开，将n阶范德蒙行列式转化为n-1阶范德蒙行列式的形式。
具体来说，我们可以将n阶范德蒙行列式中的第n行展开为：| a1^(n-1) a2^(n-1) ... an^(n-1) || a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) || ... ... ... || a1 a2 ... an |然后，我们可以将这个展开式中的每一项乘以第n列对应的元素an，得到：an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) |an * | a1^(n-3) a2^(n-3) ... an^(n-3) |... ... ... . ..an * | a1 a2 ... an | 接着，我们可以将这个新的n阶行列式按照第n列展开，即：an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) |+ (-1)^(n+1) * a1 * | a2^(n-2) a3^(n-2) ... an^(n-2) |+ (-1)^(n+2) * a2 * | a1^(n-2) a3^(n-2) ... an^(n-2) |+ ... + (-1)^(n+n) * an-1 * | a1^(n-2)a2^(n-2) ... an-1^(n-2) |+ (-1)^(n+n+1) * an * | a1^(n-2) a2^(n-2) ...an-1^(n-2) |可以看到，这个展开式中的每一项都是一个n-1阶的范德蒙行列式，因此根据数学归纳法的假设，我们可以用n-1阶范德蒙行列式的公式来计算这些项，最终得到n阶范德蒙行列式的公式：| a1^(n-1) a2^(n-1) ... an^(n-1) || a1^(n-2) a2^(n-2) ... an^(n-2) || ... ... ... || a1 a2 ... an |= ∏(1 <= i < j <= n) (aj - ai)这是一个非常优美的公式，它能够用一个简单的表达式来表示任意阶数的范德蒙行列式。
范德蒙行列式的证明及其应用
范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2范德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式1121121111---n nn n na a a a a a(1)称为n 阶的范德蒙（Vandermonde ）行列式.由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的(2)n n ≥阶范德蒙行列式等于n a a a ,,21这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积. 2.2范德蒙德行列式的证明 2.2.1用递推法证明12112211120011111221111a a a a a a a a a a D n n n n n n n n r a r r a r r a r n n n n n -----------−−−−−−→−---)()()()()()(12132312221133122123121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n c ---------−−−→−---展开按上式112312)())((----=n n D a a a a a a仿上做法,有2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D 再递推下去,直到11=D .故)()()())()(())((112242311312j i ni j n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D -=-------=∏≤<≤-2.2.2用Laplace 定理证明 已知在n 级行列式 nnnj n in ij i nj a a a a a a a a a D 111111=中,除第i 行（或第j 列）的元素ij a 以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace 定理得:此行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积ij ij A a D =,在113121122322213211111----=n nn n n nnn a a a a a a a a a a a a D中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的1a 倍,得)()()(0)()()(0011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---根据上述定理)()()()()()(1213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n n n n n n n n ---------=---把每列的公因子提出来,得223223211312111)())((------=n nn n nn n a a a a a a a a a a a a D等式右边的第二个因子是1-n 阶行列式,用1-n D 表示,则上式中111312)())((----=n n n D a a a a a a D同样地,可以得到2224231)())((-----=n n n D a a a a a a D此处2-n D 是一个2-n 阶范德蒙行列式,一直继续下去,得)()())(())((122311312-------=n n n n n a a a a a a a a a a a a D)(1j i ni j a a -=∏≤<≤3范德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当3>n 时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n 维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例1.设V 是数域F 上的n 维向量空间,任给正整数n m ≥,则在V 中存m 个向量,其中任取n 个向量都线性无关]7[.证明:因为n F F ≅,所以只须在n F 中考虑.取)3,,3,3,1(121-=n a))3(,,3,1(2122-=n a))3(,,3,1(1m n m m a -=令.1,)3()3(31)3()3(31)3()3(3121121212222111m k k k D n k n k k k n k k k n k n nnnk≤≤≤≤≤=--- 121212)3()3(31)3()3(31)3()3(31222111---=n k k k n k k k n k k k n n n nD 是范德蒙行列式 且0≠n D ,所以n k k k a a a ,,,21 线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例2.设数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有个互异的特征值n λλλ,,,21 ,则与σ可交换的V 的线性变换是12,,,,-n e σσσ 的线性组合,这里e 为恒等变换.证明:由题意,由于σ是n 维向量V 上的线性变换,由线性变换的定义得n i i i i ,,2,1,)( ==αλασ,假设{}F k k V i ∈=|αλ是δ的不变子空间.根据不变子空间的特点,δ是与σ可交换的线性变换.令112210--++++=n n x x x e x σσσδ 且n i k i i i ,,2,1,)( ==αασ,则有以下方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=------111012121021111101n n n n nn n n n x x x k x x x k x x x k λλλλλλ （2） 由于线性方程组的系数矩阵的行列式)(j 1j i ni D λλ-∏=≤<≤,所以方程组（2）有唯一解,即就是12,,,,-n e σσσ 这n 个向量线性无关,题目得证. 3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例 3.设n n x c x c c x f +++= 110)(.若()f x 至少有1+n 个不同的根,则0)(=x f .证明:取121,,,+n x x x 为()f x 的1+n 个不同的根.则有由齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++++000121211022222101212110n n n n n nn n n x c x c x c c x c x c x c c x c x c x c c (3) 其中n c c c ,,,10 看作未知量.且0)(1≠-∏=≤<≤j i ni j x x D .由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而010====n c c c .即)(x f 是零多项式. 3.4微积分中的应用例4.设)(y f 在],[b a 上连续,在),(b a 内存在2阶导数]2[.证明:在b x a <<上有)(21)()()()(''c a b a f b f a x a f x f f=-----.这里),(b a c ∈证明:在],[b a 上构造函数)(1)(1)(1)(1)(2222b f b b x f x x a f a a y f y y y F =是范德蒙行列式,而函数)(y F 满足中值定理条件:因)()()(y F x F a F ==.由中值定理,在),(b a 内存在b x x x a <<<<21，使0)()(2''1''==x F x F .故存在),(21x x c ∈,使0)(''=c F .即就是0)(1)(1)(1)(200)(222''''==b f b b x f x x a f a ac f c F .按行列式定义展开,即得所证. 3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题. (1)用提取公因式计算行列式例5.计算nn n n n n n D 222333222111= 解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至n ,由行列式的相关性质,得1212121333122211111321---⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n n D仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为n 阶范德蒙行列式,故)]1([)2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n D n!1!2)!2()!1(! --=n n n (2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算1111)()()1()1(1111n b b b n b n b b b b b D n nn nn nn ------=---+ 分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把1+n 行依次与上面的每一行交换至第1行,第n 行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过2)1(12)2()1(+=+++-+-+n n n n n 次交换 得到1+n 阶范德蒙行nn nn n n n n n n b b b n b b b n b b b D)()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++)]1([)]1(2)[()2)(1()1(2)1(--------------=+n b n b b b b n b b b b b n n !1k nk =∏=(3)用拆行（列）计算行列式n 阶行列式中的i 行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式3424332332223121244233222211432111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++++++++++++=分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得:342433233222312124423322221143211111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++ (4) 消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得:34243323322231212423222143211111a a a a a a a a a a a a a a a a ++++ (5)再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:343332312423222143211111aaaaa a a aa a a a因为该行列式为4阶范德蒙行列式,故)(11114134333231242322214321j i i j a a a a a a a a a a a a a a -∏==≤<≤ (4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式444422221111d c b a d c b a d c b a D =分析：D 不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出D 的值. 解：构造5阶范德蒙行列式33333222225a11111x d c b a x d c b a x d c b D =按第五列展开得45534523525155x A x A x A x A A D ++++=其中3x 的系数为D D A -=-=+5445)1( 又利用范德蒙行列式的结果得))()()(())()()()()((5d x c x c d b x b d b c a x a d a c a b D ----⨯------= ])([))()()()()((34 ++++-⨯------=x d c b a x c d b d b c a d a c a b其中3x 的系数为))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=故))()()()()()((d c b a c d b d b c a d a c a b D +++------=4结束语范德蒙德行列式还可以应用于数学其他科目上.例如:在数学分析中,我们可以用它来构造高阶无穷小量,在线性代数中,我们可以用它来解决向量组线性相关性的证明问题.范德蒙行列式广泛的作用更加激发了我们深入探索它的欲望.我们希望在掌握相关的基础课程和基本理论之上，研究范德蒙行列式,用科学技术指导实践,更好的服务社会,促进经济发展.参考文献:[1]范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用[J].吉林师范大学学报,2015.2(1) [2]万勇,李兵.线性代数[M].:复旦大学出版社,2006. [3]何江妮.范德蒙德行列式的证明及其应用[J].科教文化.[4]Kenneth C ．Louden ．Compiler Construction Principles and Practice[M]．:机械工业出版社,2002.[5]徐杰.范德蒙行列式的应用[J].科技信息,2009（17）.[6]SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)[M].NeW York:Columbia University,1988. [7]刘彦信.高等代数(第三版)[M].西北工业大学出版社,2004.[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].:高等教育出版社，2003.[9]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].：高等教育出版社，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its Application Abstract : This paper introduces the definition of n-order Vandermondedeterminant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications.Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application。
范德蒙德行列式推导过程
范德蒙德行列式推导过程范德蒙德行列式是高等数学中的一个重要概念，它在线性代数、微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。
本文将以范德蒙德行列式的推导过程为标题，详细介绍它的定义、性质和应用。
一、范德蒙德行列式的定义范德蒙德行列式是由一组数列构成的行列式，它的定义如下：$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$n$个实数或复数。
二、范德蒙德行列式的性质1. 行列式的值与行列式的行列式相等，即$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$2. 行列式的值与行列式的列列式相等，即$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\a_1^2 & a_2^2 & \cdots & a_n^2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}$$3. 行列式的值为$$\begin{vmatrix}1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_j-a_i)$$三、范德蒙德行列式的应用范德蒙德行列式在线性代数、微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。
范德蒙德行列式结论
范德蒙德行列式结论
范德蒙德行列式是一个非常重要的概念，在数学中有着广泛的应用。
其中一个重要的结论是：如果一个范德蒙德行列式中的每个元素都是非负数，那么这个行列式的值也是非负数。
这个结论在数学中的应用非常广泛，比如在概率论中，可以用它来证明一些随机变量的独立性；在代数学中，可以用它来证明一个多项式的根都在某个区间内。
此外，这个结论还被广泛应用于优化问题、组合数学、图论等领域。
由于这个结论的重要性，它也被广泛地研究和推广。
近年来，一些学者提出了一些关于范德蒙德行列式的新结论，比如一些特殊情况下的性质、逆范德蒙德行列式的表示等等。
总之，范德蒙德行列式结论是一个非常重要的数学概念，它的研究对于推动数学发展具有重要意义。
- 1 -。
范德蒙德行列式的两种形式
范德蒙德行列式的两种形式说到范德蒙德行列式，哇，真是个让人又爱又恨的数学概念。
听起来好像高深莫测，其实它就像一道美味的菜，吃的时候你会觉得特别过瘾，搞明白了之后，绝对让你有种“原来如此”的恍惚感。
想象一下，你走进一个数学课堂，教授一脸严肃地站在黑板前，开始讲解这道神秘的行列式，大家都一脸懵逼，心里想：“这又是什么玩意儿啊？”范德蒙德行列式就像一颗珍珠，表面光滑，内里却隐藏着无数的奥秘。
咱们得明白，范德蒙德行列式有两种形式，一种是直接的行列式，另一种是它的多项式表达形式。
直接的行列式，乍一看就让人觉得眼花缭乱，数不胜数的数摆在那里，感觉就像个数学版的拼图，没拼好简直难以入手。
你知道吗，范德蒙德行列式的定义就像给这些数搭建了一个家，每一个数都有它的位置，就像每个住户都有自己的房间，谁也不能打乱这个秩序。
它的形式长得就像一个大矩阵，行和列排得整整齐齐，让人看了有种说不出的满足感。
每一行的元素都是从一组特定的数中提取的，形成了一个华丽的数学舞蹈，真是让人忍不住想要鼓掌。
咱们聊聊它的多项式形式，哎呀，这玩意儿一看就更像是个数学的“调皮鬼”。
多项式表达式可不是随便说说的，它与那个直接的行列式有着千丝万缕的关系。
想象一下，范德蒙德行列式就像一场盛大的宴会，直行列式是上菜的过程，而多项式形式就像是在展示这些美食的菜单。
多项式里，每个项都在讲述一个故事，数的组合就像调料的搭配，让整个菜肴更加美味可口。
简直就像数学界的米其林星级餐厅，让人欲罢不能。
对了，别以为范德蒙德行列式只有这两种形式，它还有个特别的性质，就是它的值总是可以被简化到一种非常简便的形式。
就像你的老妈做的家常菜，总有个“绝活”，一做就好，一道简单的家常菜也能做得色香味俱全。
这种简化的过程，真是妙不可言，像是一种魔法，数学的魅力尽在其中。
这也就是为什么很多数学家对范德蒙德行列式趋之若鹜，想要一探究竟。
咱们再来聊聊它的应用，哇，那可真是一个广阔的天地。
范德蒙德行列式在很多领域都能大显身手，特别是在代数和数论中，简直就是个“万金油”。
范德蒙德行列式——简单明了
因此, D = (–1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立.
二、行列式按行(列)展开法则
定理3: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和, 即
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ···+ ainAin ( i =1, 2, ···, n);
an1 an2 anj1 anj
j1 a1n
a21 a22 a2 j1 a2 j1 a2n
M ij
a i 11
a i 11
a i 12
a i 12
ai1 j1 ai1 j1
ai1 j1
ai1 j1
ai1n ai1n
an1 an2 anj1 anj1 ann
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
aij 0 0
1 i j ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
=(–1)i+j aij M11, 显然, M11恰好是aij在D中的余子式Mij,, 即M11=Mij,
§1.6 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式
引例, 考察三阶行列式
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33
D = a1iA1i + a2iA2i + ···+ aniAni ( i =1, 2, ···, n).
范德蒙德行列式的结果
范德蒙德行列式的结果
范德蒙德行列式的结果是一个数值，用于衡量在给定向量组的线性无关性方面的贡献。
在一个数域上的向量组中，行列式的值为0表示向量线性相关，而一个非零行列式的值则表明向量线性无关。
范德蒙德行列式是通过给定向量来计算它们的秩和线性无关性的一种方法。
它是由维尔纳·范德蒙德于1772年引入的，并且常常被用于解决线性代数中的问题，如计算向量组的秩和解方程组等。
对于给定的向量组，范德蒙德行列式的结果可以通过将向量放入一个行列式中来计算。
这个行列式是一个n x n的方阵，其中n是向量的数量。
每列都表示一个
向量，而每行都表示同一个向量在不同坐标轴上的分量。
求解范德蒙德行列式的结果通常使用展开定理，也可以使用高斯消元法等方法。
在一些应用中，范德蒙德行列式还可以表示为多项式的形式。
例如，在求解多项式方程的根时，使用范德蒙德行列式可以确定多项式的次数以及它的根的个数和位
置等信息。
总之，范德蒙德行列式是一种常用的线性代数工具，对于计算向量组的秩和解方程组等问题非常有用。
同时，它也可以用于其他领域，如多项式数学和统计学等。
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a11 = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 , A = (− 1)4+ 4元素都分别对应着唯一的一个余 子式和唯一的一个代数余子式. 子式和唯一的一个代数余子式 引理: 如果一个阶行列式D的第 引理 如果一个阶行列式 的第 i 行元素除 aij 外 都为零, 那么, 都为零 那么 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积, 的乘积 即 D = aij Aij . a11 a12 ⋯ a1 j −1 a1 j a 1 j +1 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 j −1 a 2 j a 2 j +1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i −11 a i −12 ⋯ a i −1 j −1 a i −1 j a i −1 j +11 ⋯ a i −1n D= a ij ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 a i +11 a i +12 ⋯ a i +1 j −1 a i +1 j a i +1 j +1 ⋯ a i +1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a nj −1 a nj a nj +1 ⋯ a nn = aij Aij .
=(–1)i+j aij M′11, 显然, 恰好是a 中的余子式M 显然 M′11恰好是 ij在D中的余子式 ij,, 即M′11=Mij, 中的余子式 因此, 故引理结论成立. 因此 D = (–1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立
二、行列式按行(列)展开法则 行列式按行 列 展开法则
⋯ a1 n ⋯ a2n ⋮ ⋯ a i −1n ⋯ a in ⋯ a i +1n ⋮ ⋯ a nn a1 n a 2n ⋮ a i −1n a i +1 n ⋮ a nn
代数余子式. 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式 a11 a12 a13 a14 例如 a 21 a 22 a 23 a 24 D= a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a11 a12 a14 M 23 = a 31 a 32 a 34 , A23 = (− 1)2+ 3 M 23= − M 23 . a 41 a 42 a 44 a 21 a 23 a 24 M 12 = a 31 a 33 a 34 , A = (− 1)1+ 2 M = − M . 12 12 12 a 41 a 43 a 44
由引理得: 由引理得 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n). 引理的结论常用如下表达式: 引理的结论常用如下表达式
D= ∑ ikA = ∑ ki Ai a ik a k
k= 1 k= 1
n
n
( i =1, 2, ···, n)
−3 −5 3 例1: 计算行列式 D = 0 − 1 0 . 7 7 2
a1 j −1 a1 j a1 j + 1 a 2 j −1 a 2 j a 2 j +1 ⋮ ⋮ ⋮ a i −1 j −1 a i −1 j a i −1 j +11 a ij −1 a ij a ij +1 a i +1 j −1 a i +1 j a i +1 j +1 ⋮ ⋮ ⋮ a nj −1 a nj a nj +1 ⋯ a1 j −1 a1 j +1 ⋯ ⋯ a 2 j −1 a 2 j +1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a i −1 j −1 a i −1 j +1 ⋯ ⋯ a i +1 j −1 a i +1 j +1 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ a nj −1 a nj +1 ⋯
位于第一行第一列时, 证: 当 aij 位于第一行第一列时 a11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ a 2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a nn 由上节例3, 即教材中的例10得 由上节例 即教材中的例 得: D = a11M11 . 又由于 A11=(–1)1+1M11=M11, 即结论成立. 从而 D = a11A11, 即结论成立 再证一般情形, 再证一般情形 此时 a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ aij D = 0 ⋯ aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nj ⋯ a nn
定理3: 行列式等于它的任一行(列 的各元素与其 定理 行列式等于它的任一行 列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和, 对应的代数余子式乘积之和 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n); D = a1iA1i + a2iA2i + ··· + aniAni ( i =1, 2, ···, n). 证: a11 a12 ⋯ a1 n ⋮ ⋮ ⋮ D = a i 1 + 0 + ⋯ + 0 0 + a i 2 + ⋯ + 0 ⋯ 0 + ⋯ + 0 + a in ⋮ ⋮ ⋮ a n1 an2 ⋯ a nn
a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋯ 0 + 0 ai 2 ⋯ 0 + ⋯+ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann an1 an2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann
+ a13 (a 21a 32 − a 22 a 31 ) a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 23 . = a11 − a12 + a13 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 33 阶行列式D中 在 n 阶行列式 中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 阶行列式叫做(行列式 行列式D 列元素划去后 留下来的 n–1 阶行列式叫做 行列式 的关于)元素 元素a 余子式, 的关于 元素 ij 的余子式 记作 Mij . 即
按第一行展开, 解: 按第一行展开 得
D = −3
0 0 0 − 1 = 27. −1 0 +5 +3 7 2 7 2 7 7
− 3 3 = 27. 7 2
如果按第二行展开, 如果按第二行展开 得
D = ( −1)( −1) 2+ 2
3 1 −1 2 1 3 −4 例2: 计算行列式D = − 5 . 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 5 1 −1 1 c1 + (− 2 )c3 − 11 1 3 −1 解: D c + c 0 0 1 0 4 3 3 0 −5 −5
= (− 1)
a ij a ij ⋮
i + j −2
⋯
0 ⋮
⋯
0 ⋮
a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn a ij a ij ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮
= (− 1)
i+ j
a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行 的第 行第 行 行 交换, 交换 得 0 ⋯ a ⋯ 0 a ij ij ⋮ ⋮ ⋮ i −1 D = (− 1) a i −1,1 ⋯ a i −1, j ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nj ⋯ a nn 把D的第 j 列依次与第 j –1列, 第 j –2列, ···, 第1列 的第 列 列 列 交换, 交换 得 a ij 0 ⋯ 0 aij ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ i −1 j −1 a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n D = (− 1) ⋅ (− 1) ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
3 −2 = −2 ⋅ 5 − 4 − 1 2 3 −7 = −10 ⋅ (− 2) 6
3 1 −2 1 4 = −10 0 − 7 2 0 6 6 5 2 = 20(− 42 − 12) = −1080. 6
推论: 行列式任一行(列 的元素与另一行 的元素与另一行(列 的对 推论 行列式任一行 列)的元素与另一行 列)的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零, 应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0, i ≠ j ; a1iA1j + a2iA2j + ··· + aniAnj = 0, i ≠ j . 把行列式D 行展开, 证: 把行列式 = det(aij) 按第 j 行展开 得 a11 ⋯ a1n ⋮ ⋮ a i 1 ⋯ a in ⋮ , D = a j 1 A j 1 + ⋯ + a jn A jn = ⋮ a j 1 ⋯ a jn ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nn 把 ajk 换成 aik (k=1, 2, ··· , n ), 当 i ≠ j 时, 可得
按第一列展开, 并把每列的公因子( 提出, 按第一列展开 并把每列的公因子 xi –x1 )提出 就 提出
1 1 ⋯ 1 x2 x3 ⋯ xn Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) ⋮ ⋮ ⋮ n n n x 2 −2 x 3 −2 ⋯ x n −2 n–1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式