范德蒙德行列式——简单明了

M 44
a11 = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 , A = (− 1)4+ 4 M = M . 44 44 44 a 33
行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余 子式和唯一的一个代数余子式. 子式和唯一的一个代数余子式 引理: 如果一个阶行列式D的第 引理 如果一个阶行列式 的第 i 行元素除 aij 外 都为零, 那么, 都为零 那么 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij 的乘积, 的乘积 即 D = aij Aij . a11 a12 ⋯ a1 j −1 a1 j a 1 j +1 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 j −1 a 2 j a 2 j +1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i −11 a i −12 ⋯ a i −1 j −1 a i −1 j a i −1 j +11 ⋯ a i −1n D= a ij ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 0 a i +11 a i +12 ⋯ a i +1 j −1 a i +1 j a i +1 j +1 ⋯ a i +1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a nj −1 a nj a nj +1 ⋯ a nn = aij Aij .
行列式按行(列 展开 §1.6 行列式按行 列)展开
一、余子式与代数余子式
引例, 引例 考察三阶行列式 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33 − a13 a 22 a 31, a 31 a 32 a 33 = a11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a12 (a 23 a 31 − a 21a 33 )
= (− 1)
a ij a ij ⋮
i + j −2
⋯
0 ⋮
⋯
0 ⋮
a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn a ij a ij ⋮ ⋯ 0 ⋮ ⋯ 0 ⋮
= (− 1)
i+ j
a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行 的第 行第 行 行 交换, 交换 得 0 ⋯ a ⋯ 0 a ij ij ⋮ ⋮ ⋮ i −1 D = (− 1) a i −1,1 ⋯ a i −1, j ⋯ a i −1,n ⋮ ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nj ⋯ a nn 把D的第 j 列依次与第 j –1列, 第 j –2列, ···, 第1列 的第 列 列 列 交换, 交换 得 a ij 0 ⋯ 0 aij ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ i −1 j −1 a i −1, j ⋯ a i −1, j −1 ⋯ a i −1,n D = (− 1) ⋅ (− 1) ⋮ ⋮ ⋮ a nj ⋯ a n , j −1 ⋯ a nn
(1)
1 1 1 0 x 2 − x1 x 3 − x1 Dn = 0 x 2 ( x 2 − x1 ) x 3 ( x 3 − x1 ) ⋮ ⋮ ⋮ n n 0 x 2 − 2 ( x 2 − x1 ) x 3 − 2 ( x 3 − x1 )
有:
⋯ ⋯ ⋯
1 x n − x1 x n ( x n − x1 ) ⋮ n ⋯ x n − 2 ( x n − x1 )
a1 j −1 a1 j a1 j + 1 a 2 j −1 a 2 j a 2 j +1 ⋮ ⋮ ⋮ a i −1 j −1 a i −1 j a i −1 j +11 a ij −1 a ij a ij +1 a i +1 j −1 a i +1 j a i +1 j +1 ⋮ ⋮ ⋮ a nj −1 a nj a nj +1 ⋯ a1 j −1 a1 j +1 ⋯ ⋯ a 2 j −1 a 2 j +1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ a i −1 j −1 a i −1 j +1 ⋯ ⋯ a i +1 j −1 a i +1 j +1 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ a nj −1 a nj +1 ⋯
定理3: 行列式等于它的任一行(列 的各元素与其 定理 行列式等于它的任一行 列)的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和, 对应的代数余子式乘积之和 即 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n); D = a1iA1i + a2iA2i + ··· + aniAni ( i =1, 2, ···, n). 证: a11 a12 ⋯ a1 n ⋮ ⋮ ⋮ D = a i 1 + 0 + ⋯ + 0 0 + a i 2 + ⋯ + 0 ⋯ 0 + ⋯ + 0 + a in ⋮ ⋮ ⋮ a n1 an2 ⋯ a nn
⋯ a1 n ⋯ a2n ⋮ ⋯ a i −1n ⋯ a in ⋯ a i +1n来自百度文库⋮ ⋯ a nn a1 n a 2n ⋮ a i −1n a i +1 n ⋮ a nn
代数余子式. 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式 a11 a12 a13 a14 例如 a 21 a 22 a 23 a 24 D= a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a11 a12 a14 M 23 = a 31 a 32 a 34 , A23 = (− 1)2+ 3 M 23= − M 23 . a 41 a 42 a 44 a 21 a 23 a 24 M 12 = a 31 a 33 a 34 , A = (− 1)1+ 2 M = − M . 12 12 12 a 41 a 43 a 44
则根据归纳假设得证: 则根据归纳假设得证 Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) ∏ ( x i − x j )
= ∏ ( x i − x j ).
n≥ i > j ≥1
n≥ i > j ≥ 2
5 3 −1 2 0 1 7 2 5 2 例4: 计算行列式 D = 0 − 2 3 1 0 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0 解: 5 3 −1 2 0 5 3 −1 2 1 7 2 5 2 D= 0 −2 3 1 0 = (− 1)2+5 2 0 − 2 3 1 0 − 4 −1 4 0 −4 −1 4 0 0 2 3 5 0 2 3 5 0
a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋯ 0 + 0 ai 2 ⋯ 0 + ⋯+ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann an1 an2 ⋯ ann
a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann
位于第一行第一列时, 证: 当 aij 位于第一行第一列时 a11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ a 2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a nn 由上节例3, 即教材中的例10得 由上节例 即教材中的例 得: D = a11M11 . 又由于 A11=(–1)1+1M11=M11, 即结论成立. 从而 D = a11A11, 即结论成立 再证一般情形, 再证一般情形 此时 a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ aij D = 0 ⋯ aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nj ⋯ a nn
按第一列展开, 并把每列的公因子( 提出, 按第一列展开 并把每列的公因子 xi –x1 )提出 就 提出
1 1 ⋯ 1 x2 x3 ⋯ xn Dn = ( x 2 − x1 )( x 3 − x1 )⋯( x n − x1 ) ⋮ ⋮ ⋮ n n n x 2 −2 x 3 −2 ⋯ x n −2 n–1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
+ a13 (a 21a 32 − a 22 a 31 ) a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 23 . = a11 − a12 + a13 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 33 阶行列式D中 在 n 阶行列式 中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 阶行列式叫做(行列式 行列式D 列元素划去后 留下来的 n–1 阶行列式叫做 行列式 的关于)元素 元素a 余子式, 的关于 元素 ij 的余子式 记作 Mij . 即
3 −2 = −2 ⋅ 5 − 4 − 1 2 3 −7 = −10 ⋅ (− 2) 6
3 1 −2 1 4 = −10 0 − 7 2 0 6 6 5 2 = 20(− 42 − 12) = −1080. 6
推论: 行列式任一行(列 的元素与另一行 的元素与另一行(列 的对 推论 行列式任一行 列)的元素与另一行 列)的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零, 应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + ··· + ainAjn = 0, i ≠ j ; a1iA1j + a2iA2j + ··· + aniAnj = 0, i ≠ j . 把行列式D 行展开, 证: 把行列式 = det(aij) 按第 j 行展开 得 a11 ⋯ a1n ⋮ ⋮ a i 1 ⋯ a in ⋮ , D = a j 1 A j 1 + ⋯ + a jn A jn = ⋮ a j 1 ⋯ a jn ⋮ ⋮ a n1 ⋯ a nn 把 ajk 换成 aik (k=1, 2, ··· , n ), 当 i ≠ j 时, 可得
由引理得: 由引理得 D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ··· + ainAin ( i =1, 2, ···, n). 引理的结论常用如下表达式: 引理的结论常用如下表达式
D= ∑ ikA = ∑ ki Ai a ik a k
k= 1 k= 1
n
n
( i =1, 2, ···, n)
−3 −5 3 例1: 计算行列式 D = 0 − 1 0 . 7 7 2
a11 a12 ⋯ a 21 a 22 ⋯ ⋮ ⋮ a i −11 a i −12 ⋯ D= ai1 ai 2 ⋯ a i +11 a i +12 ⋯ ⋮ ⋮ a n1 a n 2 ⋯ a11 a12 a 21 a 22 ⋮ ⋮ M ij = a i −11 a i −12 a i +11 a i +12 ⋮ ⋮ a n1 a n 2
=(–1)i+j aij M′11, 显然, 恰好是a 中的余子式M 显然 M′11恰好是 ij在D中的余子式 ij,, 即M′11=Mij, 中的余子式 因此, 故引理结论成立. 因此 D = (–1)i+j aij Mij = aij Aij, 故引理结论成立
二、行列式按行(列)展开法则 行列式按行 列 展开法则
按第一行展开, 解: 按第一行展开 得
D = −3
0 0 0 − 1 = 27. −1 0 +5 +3 7 2 7 2 7 7
− 3 3 = 27. 7 2
如果按第二行展开, 如果按第二行展开 得
D = ( −1)( −1) 2+ 2
3 1 −1 2 1 3 −4 例2: 计算行列式D = − 5 . 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 5 1 −1 1 c1 + (− 2 )c3 − 11 1 3 −1 解: D c + c 0 0 1 0 4 3 3 0 −5 −5
= ( −1) 3+ 3
= ( −1)1+ 3
5 1 1 1 −1 − 11 0 −5 −5
r2 + r1
5 1 1 2 0 −6 −5 −5 0
2 2 −6 −8 = = 40. 0 −5 −5 −5
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 例3: 证明范德蒙德 行列式 1 1 ⋯ 1 x1 x2 ⋯ xn 2 2 2 Dn = x1 x 2 ⋯ x n = ∏ ( x i − x j ). n≥ i > j ≥1 ⋮ ⋮ ⋮ n n n x1 −1 x 2 −1 ⋯ x n −1 证: 用数学归纳法 1 1 = x 2 − x1 = ∏ ( x i − x j ), D2 = x1 x 2 2≥ i > j ≥1 所以, 式成立. 所以 当 n=2 时, (1)式成立 式成立 阶范德蒙德行列式, 式成立 式成立. 假设对 n-1 阶范德蒙德行列式 (1)式成立 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, 对 n 阶范德蒙德行列式 作如下变换 ri –x1ri-1 ( i = n, n–1, ··· , 2, 1 ). 得