容斥原理之重叠问题教师版
小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)
教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
2014年暑假 三年级 精英班 第12讲 重叠问题 教师版
第十二讲 重叠问题知识要点：重叠问题是数学上非常常见的一类数学问题，它要用到数学中的一个非常重要的原理：容斥原理，即当两个(或多个)计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分。
解决重叠问题时，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画图（韦恩图），借助图形进行思考，找出哪些是重叠的和重叠的次数，明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
1、当两个计数部分重叠时，可从它们的单项和中减去重叠的部分，得出总数。
2、当三个计数部分重叠时，可以从单项和中减去双项重叠部分，再加上三项重叠部分，得出总数。
一、基础应用：【例1】 学校组织三年级(4)同学去听报告，小虎的座位从左向右数是第18个，从右向左数是第13个。
请问这一排座位共有多少个？【解析】 由于从左向右数与从右向左数,小虎被算了两次，去掉一次即可。
故这一排座位共有 1813130+-=（个）。
【例2】 三(3)班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，王华的位置从前数是第4个，从后数是第6个；从左数、从右数都是第3个。
三(3)班共有学生多少人？【解析】 每列有人 4619+-=（人），每行有人3315+-=（人），因此三(3)班共有学生9545⨯=（人）。
【例3】 按要求回答下列问题，每两段中间重叠部分都是6厘米。
（1）若两张一样的纸条粘合成更长的纸条长30厘米，两张纸条原来各有多长？（2）若7张一样的纸条粘合成更长的纸条长118厘米，7张纸条原来各有多长？【解析】 （1）两张纸条原来各长 (306)218+÷=（厘米）；（2）7张纸条的总长度为118(71)6154+-⨯=（厘米），每张纸条长154722÷=（厘米）。
【例4】 为了迎接六一儿童节，学校组织了长跑和游泳两项比赛，每个人至少参加一个项目。
已知三年级(2)班的同学参加运动会的情况是：有28人参加长跑比赛，有25人参加游泳比赛，两项都报名的有10人，请问三年级(2)班共有多少同学参加运动会？【解析】 我们可画下列的韦恩图：通过图不难得出，三(2)班参加运动会的同学有 28251043+-=（人）。
专题09 重叠问题(解析)【网店：教师学科网资料】
2022-2023学年学校三班级思维拓展举一反三精编讲义专题09 重叠问题学问精讲专题简析：三（1）班预备给参与班级绘画竞赛的16位同学和参与朗读竞赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，由于有5位同学既参与了绘画竞赛，又参与了朗读竞赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排解原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排解重复部分。
解答重叠问题的应用题，必需从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
典例分析【典例分析01】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？【思路引导】依据题意，画出下图：8面10面面从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
【典例分析02】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？【思路引导】依据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。
【典例分析03】 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
假如这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？【思路引导】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
小学奥数-容斥原理(教师版)
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容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数,蝙蝠跑过去对仙鹤说;“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了,结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了,结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问:“森林中共有鸟类和兽类多少种?”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报:“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说:“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种.”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）:当两个计数部分有重复时,为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么， A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数.即A∪B∪C = A+B+C - A∩B —B∩C —C∩A + A∩B∩C容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和.15+12—4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
三年级数学人教版重叠问题课件
8 人 语 杨 李 刘 陈 王 张 丁 赵 爱 文明芳红东华伟旭军
9 人 数 杨 李 刘 王 于 周 陶 卢 朱
志
晓
学明芳红明丽晓伟强东
这两个小组没有 17人呀？
语杨李刘陈王张丁赵
文 明 芳 红 东17爱华－伟 3旭 ＝军 14
数杨李刘王于周陶卢朱
志
晓
8 ＋ 9 学 明 芳 红 明 丽 晓 伟 强 东
义务教育课程标准人教版教科书三年级下期（数学广角）
重 叠问题
执教： 时代小学 吕红洋
游戏一：把一个苹果 装进两个圈，使每个 圈里都有一个苹果， 该怎样装？
游戏二：把三个苹果 装进两个圈，使每个 圈里都有两个苹果， 该怎样装？
游戏三：小组合作: 按得到水果的人分类， 该怎样装在圈里？
三(1)班参加语文、数学课外小组学生名单
语文小组
数学小于周 陶卢朱
志
小
明丽晓 伟强东
脑筋急转弯：
两位父亲和两位儿子一起 去吃面，只要了三碗面， 请问这是怎么回事？
小升初22次课程19-容斥原理-教师版
1 / 13在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
要计算两个集合B A 、中元素的总数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求B A +（意思是把A B、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去重复的元素个数，即减去“B A 、共有”（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）。
即：共有AB B A -+容斥原理 内容分析知识结构模块一：二者容斥 知识精讲2 / 13 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，即阴影面积。
1、先包含——B A +重叠部分C 计算了2次，多加了1次；2、再排除——C B A -+把多加了1次的重叠部分C 减去。
【例1】把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【难度】★【答案】87【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由容斥原理“共有AB B A -+”知，焊接后这根铁条长3853487+-=厘米。
【例2】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【难度】★【答案】42【解析】根据容斥原理“共有AB B A -+”得：32281842+-=（人）。
C BA 例题解析3 / 13【例3】五年级二班共有学生40人，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，这个班有多少人同时参加了语文和数学兴趣小组？【难度】★★【答案】17【解析】根据容斥原理“共有AB B A -+”得：40=28+29-语数共有语数共有=28+29-40=17人要计算三个集合C B A 、、中元素的总数，可分以下三步进行：第一步：分别计算集合C B A 、、的元素个数，然后加起来，即先求C B A ++（意思是把C B A 、、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去重复的元素个数，即减去“共有共有共有AC BC AB ++”（意思是“排除” 了重复计算的元素个数）；第三步：上面的差加上C B A 、、共有的元素个数（意思是把第二步作差中减掉的C B A 、、共有元素重新包含进来）即：共有共有共有共有ABC AC BC AB C B A +---++图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数。
小学数学_智慧广场《重叠问题》教学课件设计
脑筋急转弯
两个爸爸和两个儿子去动物园 游玩，他们只买了3张票便顺 利的进入了动物园，这是为什 么？
爷爷 爸爸 儿子
约翰.韦恩 （John Venn）是十 九世纪英国的哲学家和数学家，他 在1881年发明了韦恩图。
他能不 能够到 风筝?
四年级一班订《开心学堂》和《探索天 地》两种杂志，每人至少订一种，其中订 《开心学堂》的有25人，订《探索天地》 的有20人，两种都订的有10人，全班有多 少人？
开心学堂25人 探索天地20人
10人， 合唱的有30人，参加这两项演出的一共 有35人，两项都参加的有多少人？
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现实生活 （排队的经验）
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韦恩图
第十五讲 重叠问题
第15讲重叠问题一、知识要点和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．公式法：运用容斥原理一：C＝＝A＋B－AB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题．运用容斥原理二：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．图象法：不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．二、例题精讲例1某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？解如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数．再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．根据容斥原理一得：40－（23＋27－17）＝40－33＝7（人）答：有7位学生两题都没有做对．例2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？解根据题意先作图（图15－1）：图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有21－7＝14（人）．（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋13－7＝27（人）．（3）没有参加竞赛的一共有48－27＝21（人）．例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解如图15－2，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56＋75－100＝31（个）．图15-2当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人．例4某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语．而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科．问有多少同学只喜欢语文？解如图15－3：设只喜欢语文、外语的有x人．图15-3根据容斥原理二得：100＝58＋52＋38－（6＋12＋12＋x＋12＋4）＋12解得x＝14．58－6－12－14＝26（人）答：只喜欢语文的同学有26人．例5分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？解我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数．因为1001＝7 × 11 × 13．在1至1000中：7的倍数有［1000 ÷ 7］＝142（个）11的倍数有［1000 ÷11］＝90（个）13的倍数有［1000 ÷13］＝76（个）7 × 11的倍数有［1000 ÷77］＝12（个）7 ×13的倍数有［1000 ÷91］＝10（个）11×13的倍数有［1000 ÷143］＝6（个）7 × 11 ×13的倍数有［1000 ÷ 1001］＝0（个）根据容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的数共有142＋90＋76－12－10－6＋0＝280（个）．那么，1至1000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的数共有；1000－280＝720（个）．也就是说分母是 1001的最简真分数有720个． 由于若1001N （N ＜1001）是最简真分数，那么10011001N 也是最简真分数．这样 720个最简真分数的和等于720 ÷ 2＝360．答：分母是1001的最简真分数有720个．它们的和是360．例6 某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解 设同时选学法、日语有x 人．图 15-4根据题意得：21 ＋（19 －x ）＋（10－4－5）＝34解得：x ＝7所以，同时选学法语和日语的有7人．例7 某班学生中78％喜欢游泳，80％喜欢玩游戏机，84％喜欢下棋，88％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解 该班学生中：不喜欢游泳的有1－78％＝22％不喜欢玩游戏机的有1－80％＝20％不喜欢玩下棋的有 1－84％＝16％不喜欢看小说的有1－88％＝12％那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的：22％＋20％＋16％＋12％＝70％所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是1－70％＝30％．练 习 题A 组1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有 24人，其中语文、数学都得优的有12人．全班得优的共有多少人？2．50名学生答A 、B 两题，其中没答对A 题的有 12名，而答对A 题，没答对B 题的有30名，那么A 、B 两题都答对的有多少人？3．某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人．求两项活动都参加的共有多少人？只参加足球活动一项的有多少人？只参加排球活动一项的有多少人？4．一个班级常识、数学期中考试得100分的共21人，其中常识得100分的12人，数学得100分的17人，两门课程都得100分的有多少人？5．某班共50人．参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？6．育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人．全班学生共有多少人？7．京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班共40人，没有采集标本的有多少人？8．工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有19人，求全厂共有多少工人？B 组9．在1至10 000中不能被5或7整除的自然数共有多少个？10．外语学校共有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英日语的有5人，能教法日语的有3人，能教英法语的有4人，三种都能教的有2人，只能教法语的有多少人？11．某班有学生50人，有人学会骑车，有人学会游泳，已学会骑车的有35人，两样都会的有15人，没有一样也不会的学生，那么会游泳的有多少人？12．图15－5中A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积．图15-513．学校教导处对100名同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧．其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看的有12人，只喜欢看电影的有多少人？14．求从1到1995中能被5整除，也能被6或7整除的自然数的个数．15．某学校有学生1050人，其中600人订阅《语文报》，450人订阅《数学报》，有210人订阅《科技报》，全校学生中有350人订阅两种报刊，有88人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊？16．在自然数中，不超过105，且与105互质的数共有多少个？测试题1．有50名同学在操场上活动，其中有18名是女生，活动的项目是短跑和打球，如果有31名同学打球，有14名男生短跑，那么女生打球的有多少人？2．某小学六年级共有120名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有135人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣，有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8人既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人？3．某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6个人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4．甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每一个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？5．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？6．甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水？7．前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛．有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛．问只参加独唱比赛的有多少人？8．某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语有20人，既教英语又教法语有15人，既教日语又教法语有13人，有7人英语，日语和法语三门课都会教．则不教这三门课的外语教师有多少人？9．某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑自行车，42人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？10．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和．11．夏日的一大，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有3个人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁．其中一定有多少个人什么冷饮也没有要？12．某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生．参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了．那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？13．求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数．14．全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三项运动项目没有人全会．至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．如果全班有6个人数学不及格，问：（1）全班数学成绩优秀的有几名？（2）全班有几个人既会游泳又会滑冰？15．若干个人参加语文和数学两科竞赛，其中参加数学竞赛的占竞赛总人数的23，参加语文竞赛的占竞赛总人数的34，两科都参加的有45人．参加数学竞赛而未参加语文竞赛的有多少人？16．六年级开展跳绳和跳高竞赛，已知参加竞赛的人数正好占全年级人数的25，参加跳高的占全体参加竞赛人数的25，参加跳绳的占全体参加竞赛人数的34，两项都参加的有12人．问参加跳绳和跳高竞赛的各有多少人？全年级共有多少人？。
四年级下册数学试题-奥数培优专题：03容斥原理(4年级培优)教师版
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B)原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C 类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）两根完全相同的木条，各长100厘米，将两根木条中间钉在一起后成了一根长木条，中间钉在一起的重叠部分长10厘米，现在这根长木条的长度是多少？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：两根木条钉在一起，其中一根木条10厘米的部分将另一根木条10厘米的部分遮住了，那么在统计总长时这遮住的10厘米需要扣除。
步骤：100+100－10=190（厘米）难度系数：A某班共有36人，参加书法小组的有12人，参加折纸小组的有14人，有5人两个小组都参加。
这个班既没参加书法小组，也没参加折纸小组的有多少人？（思维潜能P86）（中环杯培训题）解析：图中长方形的覆盖面积表示全班的人数，即36人。
图中两个圆形分别表示折纸小组的人数与书法小组的人数，则两个圆圈的覆盖面积表示至少参加一个小组的总人数，其余部分则表示即没有参加书法小组也没有参加折纸小组的人数。
步骤：12+14－5=21（人）36－21=15（人）植树节某校除一年级外，其他四个年级共有120人参加了植树活动。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(一)-带答案解析
容斥原理之重叠问题（一）1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
六年级下册数学试题-容斥原理-人教版
容斥原理一、两量重叠问题求两个集合并集的元素的个数，从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+ ．图示如下：一、两量重叠问题例1、(北京市第二实验小学期末模拟)两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C -- 计算时都被减掉了．3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+ ．举一反三、有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是多少平方厘米。
例2、实验小学六年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？举一反三、一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？例3、有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？举一反三、某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？例4、甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？举一反三、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?二、三量重叠问题例5、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？举一反三、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？2、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．例6、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？举一反三、如图，已知甲、乙、丙3个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，而3个圆覆盖的总面积为73．求阴影部分的面积．例7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？C BA 10举一反三、如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？【巩固习题】1、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？2、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．3、在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？4、某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?真题练习：(2017长郡双语）：1、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？（2017年麓山国际）：2、某班有学生46人其中28人学电脑，35人学美术有37人学钢琴，有40人学奥数，那么可以肯定这个班至少有多少人四项都学。
容斥原理之重叠问题(一).教师版
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 目翊匸知识要点一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算•求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB=A+B-AnB （其中符号 “”读作并”，相当于中文 和”或者 或”的意思；符号 “” 读作 交”，相当于中文 且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下 部分， 部分， B 表示大圆部分,B 表示大圆部分,:A 表示小圆 C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： APIB ,即阴影面积.图示如下：A 表示小圆 C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： ADB ,即阴影面积. 1. 先包含一一A+B 重叠部分A^B 计算了 2次，多加了 1次;2. 再排除一一A + B-AriB 把多加了 1次的重叠部分 A PIB 减去.包含与排除原理告诉我们， 第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 来，加在一起）; 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 要计算两个集合 A B 的并集AUB 的元素的个数，可分以下两步进行： A + B （意思是把A 、B 的一切元素都 包含”进C=AnB （意思是 排除”了重复计算的元素个数）. 二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和 =A 类元素的个数 +B 类元素个数+C 类元素个数-既是A 类又是B 类 的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为：AUBUC =A +B+c-AnB-Bnc-Anc +AnBnc .图示如下： cfpBflC1.先包含：重叠部分2•再排除：重叠部分图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数, 大圆表示C 的元素的个数. A + B +CA PIB 、B PIC 、CriA 重叠了 2次，多加了 1 次. A +B +C -AnB-BdC -AnCA DB PIC 重叠了 3次，但是在进行 A +B +C —A PIB —B PIC —AD C 计算时都被减掉了.再包含： A +B + C — A^B — B^C — A PIC +A n BR C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳A 、圆B 分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示_________________________________________________【考点】两量重叠问题【难度】1星【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3题 【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【答案】数学、音乐实验小学四年级二班， 参加语文兴趣小组的有 组都参加•这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组?参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的人 -两个小组都参加的人，即：28 +29-12=45（人）•45人例题精讲两量重叠冋题【例2】 四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时, 那么该班有学生 【考点】两量重叠问题【关键词】希望杯，四年级， 【解析】【答案】 小华报: 18;当从右向左报数时，小华报： 13.该班学生人数为:30名 _________________ 名。
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1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-1.容斥原理之重叠问题（一）1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
用圆A、圆B分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表示________。
AB【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第3题【解析】阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐【答案】数学、音乐【例 2】四（1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小华报：18；当从右向左报数时，小华报：13.那么该班有学生______________名。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第2题【解析】该班学生人数为：1813130+-=（名）。
【答案】30名【例 3】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？C BA【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人，即：28291245+-=(人)．【答案】45人【巩固】芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚．建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义．如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．【答案】21人【巩固】四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．⑴问语文数学都写完的有多少人？⑵只写完语文作业的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】⑴由题意，有48642-=(人)至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生有：+-=(人)．3020428⑵只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即30822-=(人)．【答案】22人【巩固】四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第6题【解析】至少一项不会的最多有(46-30)+(46-28)=34,那么两项都会的至少有46-34=12人【答案】12人【例 4】如图，圆A表示1到50这50个自然数中能被3整除的数，圆B表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数是。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第4题【解析】阴影部分是A和B共有的，即1到50这50个自然数中能被3×5＝15整除的数，即15，30，45 【答案】15，30，45【例 5】学校为了丰富学生的课余生活，组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部，同学们踊跃报名参加，其中有321人报名参加乒乓球俱乐部，429人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有50人既报名参加了乒乓球俱乐部，又报名参加了篮球俱乐部，还有23人什么俱乐部都没报名，问该学校共有名学生．【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第5题【解析】3214295023723+-+=人【答案】723人【例 6】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数．根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为1223530+-=(人)．所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是463016-=(人)．【答案】16人【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26221236+-=(人)，所以，两项比赛都没有参加的人数为：45369-=(人)．【答案】9人【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】解答【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：1018721+-=(人)．【答案】21人【例 7】全班50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28人有直尺，有三角板的人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有____人。
【考点】两量重叠问题【难度】1星【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第8题【解析】有三角板的学生共50-28=22（人），其中女生22-14=8（人），那么有直尺的女生有31-8=23（人）。
【答案】23人【例 8】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？两部分都有错的只做对第二部分的只做对第一部分的两部分全对的【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对的人数．B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数．已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：251213-=(人)．又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19136-=(人)必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人．【答案】6人【例 9】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出，全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数，至少会一项的人数为：+-=(人)，全班人数为：35944+=(人)．20251035【答案】44人【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有-=(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有321814++=(人)．281810-=(人)．由此得到参加棋类比赛的人有14181042或者根据包含排除法直接得：32281842+-=(人)．【答案】42人【例 10】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【考点】两量重叠问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数．长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46640-=(人)，而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：4018715--=(人)．【答案】15人【例 11】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【考点】两量重叠问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的．如图，用圆A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃．因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68526060+-=(块)，这是两个丙组擦的玻璃数．60230÷=(块)．丙组擦了30块玻璃．乙组擦了：683038-=(块)玻璃，甲组擦了：523022-=(块)玻璃．【答案】甲组擦了：523022-=(块)玻璃，乙组擦了：683038-=(块)玻璃，丙组擦了30块玻璃。