反常积分(广义积分)

10
例
2
证明无穷积分
1 a x p dx
(a 0)当 p 1时收
敛，当 p 1时发散.
证
(1)
p 1,
1 a x p dx
a
1 dx x
ln
x
a
,
(2) p 1,
a
1 x p dx
x1 1
p
p
a
, p
p
a
1
,
1 p
1
因此当 p 1时无穷积分收敛，其值为 a ；
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
23
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
13
定义 5.2 设函数 f ( x)在区间(a,b]上有定义，而在点a
的右邻域内无界．对于 0， f ( x) [a ,b]，则
称极限 lim b f ( x)dx为无界函数 f 在(a, b]上的积分，也 0 a
称瑕积分，记作
b a
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
0 a
当极限存在时，称瑕积分收敛；当极限不存在时，
称瑕积分发散.
若 f ( x)在[a,c)U(c,b]上有定义，c 为瑕点（奇点），可
类似地定义无界函数 f ( x)在[a,b]上的积分及其敛散性：
b
c
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b c
其中c为任意实数
f ( x)dx收敛
6
注意
f ( x)dx
c
f ( x)dx
f ( x)dx
c
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b c
lim
c f ( x)dx 与 lim
b
f ( x)dx
a a
b c
只要有一个极限不存在 , 就称
当q 1时瑕积分发散.
19
P227.例 5.6
b 1
a (x-a)q dx
, q 1
(b-a
)1-q
1 q
,
q
1
20
EX
解
计算
1
1
ln xdx
0
ln xdx x
由此，求数列的极限：lim
ln x 1
1
dx 1
n
n n! n
0
0
0
lim ln n n! lim( 1 ln n! ln n)
第3章 一元函数积分学及其应用
第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程
2013年01月04日
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
第5节 反常积分 (广义积分)
定积分
推广
广义积分
积分限有限 被积函数有界
1 x
1 2
发散 .
0 1 1
,∴1积 分x收敛0
18
例6
证明瑕积分
1
0
1 xq
dx
当q
1时收敛，当
q 1时发散.
证 (1) q 1,
1
0
1 xq
dx
1
0
1 x
dx
ln
x
1 0
,
(2) q 1,
1
0
1 xq
dx
x1q 1 1 q0
, 1 1 q
,
q q
1 1
因此当q 1时瑕积分收敛，其值为 1 ； 1q
n
n
n n
1 lim (ln1 ln 2 ln n nln n)
n n
=e-1
lim 1 [(ln1 ln n) (ln 2 ln n) (ln n ln n)] n n
11 2
n
lim (ln ln ln )
n n n
n
n
1
ln
xdx
x ln
x
1
1
dx 1
0
0
0
a
0 a
0 c
右边两个极限均存在 , 就称
收敛 ;
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
15
注意 设函数 f ( x)在区间(a,b)上有定义，两端点 a,b是
瑕点．任取 0, 0， f ( x) [a ,b ]，
则瑕积分
b
a
f
(
x
)dx
：
b
f ( x)dx lim
c
f ( x)dx lim
f
( x)dx
lim
0
b
f ( x)dx
a
如果上述极限存在, 称瑕积分
收敛 ;
称此极限为f 在(a, b] 上的积分值.
如果上述极限不存在, 就称瑕积分 定义5.2中的a称为瑕点（奇点）．
发散 .
14
若函数 f ( x)在[a,b)上有定义，b为瑕点（奇点），可类 似地定义无界函数 f ( x)在[a,b)上的积分及其敛散性：
为f (x)在无穷区间[a,+∞)上的积分,简称无穷积分,
记作
f ( x)dx a
lim
b
f ( x)dx
b a
如果上述极限存在, 称无穷积分
收敛 ;
称此极限为f 在[a,+∞)上的积分值.
如果上述极限不存在, 就称无穷积分
发散 .
5
类似地，可定义 f ( x)在无穷区间(,b]上的积
分及其敛散性：
发散 .
7
根据反常积分定义,容易导出以下性质.
性质1.1(线性性质)
设a , b ∈ R, + f ( x)dx 及 + g( x)dx收敛 则
a
a
+
+
+
a [a f ( x) b g( x)]dx a a f ( x)dx b a g( x)dx
性质1.2 若 f 在任何有限区间 [a, u] 上可积,则
b
f ( x)dx
a
0 a
0 c
右边两个极限均存在 , 就称
收敛 ;
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
其中 c (a c b)
16
则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b)
F
(a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
f ( x) dx
与
f ( x) dx (b a ),
a
b
同时收敛或同时发散，且
b
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx.
8
引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似牛–莱公式的计算表达式 :
f ( x)d x F ( x) a
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
则~~~称~~f~(~x~)~在~~各~~自~~的~~~无~~穷~~区~~间~~上~~~的~~积~~.
22
（2） 无界函数的积分
①
b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
0 a
f ( x)在a的右邻域(a,a )内无界
②
b
f ( x)dx lim
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a
)
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
17
例4. 计算广义积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a arcsin1 0
2
例5. 讨论广义积分
的收敛性 .
解下: 述所11解以dxx2法广是义0否1积dx1x正分x2 确110:1dxx21
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
当极限存在时，称无穷积分收敛；当极限不存在
时，称无穷积分发散.
类似地，可定义 f ( x)在无穷区间(,)上的积
分及其敛散性：
c
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b c
lim c f ( x)dx 与 lim b f ( x)dx 同时存在
5.1 无穷区间上的积分 5.2 无界函数的积分
2
第5节 反常积分 5.1 无穷区间上的积分-无穷积分 5.2 无界函数的积分-瑕积分 5.3 无穷区间上积分的审敛准则
5.4 无界函数积分的审敛准则
4
5.1 无穷区间上的积分
定义5.1 设f ( x)在[a , )上有定义，任取 b a , f ( x) [a , b]，则称极限
b
f ( x)dx
a
0 a
f ( x)在b的左邻域(b ,b)内无界
③
b
f ( x)dx lim
c
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
0 a
0 c
•
(c (a,b)，f ( x)在c的邻域U (c, )内无界
各~~个~~积~~~分~~的~~~右~~边~~~积~~分~~~都~时 百度文库~~, 则称f ( x)在各自的区间上是可积的.
p1
当 p 1时无穷积分发散.
11
例3 计算积分
解 原式 t e p t p
1 p2
e p t
1 p2
1 e p t d t p0
12
5.2 无界函数的积分-瑕积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
21
反常（广义）积分小结
(1)无穷区间上的积分
①
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a
b a
② b
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
③
f ( x)dx lim
c
f ( x)dx lim
b
f ( x)dx
a a
b c
(c为实数)
当各个积分的右边积分都时,
F() F(a)
b f (x)d x F(x)
f (x)d x F(x)
F(b) F () F() F()
9
例1. 计算广义积分
解: 思考:
[ arctan x ] ( ) 22
y
y
1 1 x2
o
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对无穷积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质否, 则会出现错误 .