反常积分(广义积分)
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反常积分
x arcsin a 0
t
lim t a
t arcsin a 0 π arcsin 1 2
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例5.20 求 (1) 0
1
3 dx dx dx (2) (3) 2 2 1 x 0 1 x ( x 1) 3 1
当上式右边两个广义积分都收敛, 称广义积分收敛.
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例5.19
a
dx a2 x 2
0
(a 0)
解：
lim x a
1
a2 x 2
x a为被积
函数的无穷间断点，于是
a
dx a x
2 2
0
lim a
t
t
dx a2 x 2
0
lim t a
b
lim ln( x a ) b q1 t , t a , q 1 1 q ( x a) b 1 q lim (b-a) t t a 1 q 1 q ,q 1
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则称此极限为函数 f (x) 在 (a, b] 上的反常积分, 记作
b a
f ( x )dx, 即
b a
f ( x )dx lim f ( x)dx
Aa A
b
此时也称反常积分
b a
b a
f ( x )dx 收敛, 否则就称反常积分
f ( x )dx 发散. a称为瑕点 .
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
5.4 反常积分
x → −∞
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
∫a
+∞
f ( x ) dx = F ( x )
= F (+∞ ) − F (a ) = F (b) − F (−∞ ) = F (+∞) − F (−∞)
8
∫−∞ f ( x) dx = F ( x) ∫−∞ f ( x) dx = F ( x)
+∞
∫
+∞
a
f ( x)dx = lim
u →+∞ a
∫
u
f ( x)dx.
4
例1. 求曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积。 解： 面积的含义可理解为Βιβλιοθήκη A=∫+ ∞ dx
1 y= 2 x
A
b
1
x
2 b
1 dx A = lim ∫ 2 = lim − b → + ∞ x 1 b→ +∞ 1 x 1 = lim 1 − = 1 b → + ∞ b
u →+∞ a
lim
∫
u
f ( x)dx = J ,
(1)
则称此极限J为函数 f ( x)在 [a, +∞) 上的无穷限反常积分 (简称无穷积分), 记作
并称
∫
+∞
J =∫
+∞
a
f ( x)dx,
+∞
a
f ( x)dx, 收敛.
如果极限(1)不存在, 称 即：
∫
+∞
∫
a
f ( x)dx 发散.
a
f ( x)dx = lim
反常积分
1 x
b 1
y
1 x2
A
1b
lim 1 b
1 b
1
2
定义1. 设 f (x)C[a, ), 取b a, 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
12
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积 可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx
lim 2 x 0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
11
定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
1 0
1 dx 。 1 x2
y
y 1 1 x2
解：∵ lim 1 ， x1 1 x2
(0, 1)
o ∴ 1
1
1
课件：反常积分
dx发
散,
1
1
1 x
dx也
发
散.
思考题(2)
求位于x轴上方,直线x 1右侧,曲线y 2 1 x2
下方的平面图形的面积.
解
所求面积
1
1
2 x
2
dx
2arctan
x 1
22
4
.
2
三、小结与教学要求:
◆掌握无穷限的广义积分
a
f
( x)dx,
b
f
( x)dx,
f
(
x
)dx.
◆掌握无界函数的广义积分（瑕积分）
若lim b ta t
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在(a,b]上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
b
lim
ta t
f ( x)dx,
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
类似地, 设f ( x)在[a,b)上连续, 点b为f ( x)的瑕点,
若lim t tb a
f
( x)dx存在,
则称此极限为f ( x)在[a,b)上的反常积分, 记作ab f ( x)dx,
即
b
a
f ( x)dx
t
lim
tb a
f ( x)dx.
此时,也称广义积分收敛; 否则,称广义积分发散.
若f ( x)在[a,b]上除c点外处处连续,且c为瑕点,则定义
b
a
x
1
,
(2) p 1,
1 1 x p dx
x1 1
p
p
1
反常积分的概念
反常积分的概念
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
几何意义：
反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。
例如的几何意义是：位于曲线
之下，X轴之上，直线x=0和x=a之间的图形面积，而x=a点的值虽
使无穷，但面积可求。
类型：
1.无穷区间反常积分
每个被积函数只能有一个无穷限，若上下限均为无穷限，则分区间积分。
2.无界函数反常积分
即瑕积分，每个被积函数只能有一个瑕点，多个瑕点则分区间积分。
3.混合反常积分
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。
对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
敛散性判断：
反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。
首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限
而言，当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶
次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a+时，f(x)必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
反常积分(广义积分)
t
即
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
t a
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
4
反常积分
(2) 设f ( x)在(, b]上连续, 取t b
如果极限lim b f ( x)dx 存在, 则称这个极限值 t t
为f
t2
f ( x)dx
称反常积分
t t1
1
f (x)dx
t2 0
收敛;否则称反常积分
f
( x)dx
发散.
6
反常积分
注 为了这方时便反起常见积, 分规的定收: 敛与发散取决于F ( )
和对F反(常 积)是分否可存用在如.下的简记法使用N--L公式, 若F ( x)是连续函数f ( x)的原函数.
第七节 反常积分(广义积分)
improper integral 无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
函数与 函数
小结 思考题 作业
第五章 定积分
1
反常积分
积分区间有限 常义积分 被积函数有界
广推
反常积分 积分区间无限 常义积分的极限
被积函数无界
2
反常积分
一、无穷区间上的反常积分 (广义积分)
对于反常积分来说, 对称区间上的性质 不成立的.
注 x , x 各不相关.
sin xdx 0
12
反常积分
1
1.计算
e
x
ln 2
dx x
解
e
1 x ln2
dx x
e
1 ln 2
广义反常积分简单提
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0 a2x2
l im 0arcsaxina0 l im 0arcas ain0
2
.
例 6证 明 广 义 积 分 01x1qd当 xq1时 收 敛 ， 当
q1时 发 散 .
证 (1)q1,
11
0 x q
dx
1
0
1 x
dx
lnx10
,
(2)q1,
1
0
1 xq
1
dx x2
.
解
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
al ima011x2dxbl im0b11x2dx
al im arctxa 0 anbl im arctxab0n
al im arctaanbl im arctban22.
例2
计算广义积分
2
1 x2
c
b
l i0a m f(x )d x l i0c m f(x )dx
否 则 ， 就 称 广 义 积 分 a b f ( x ) d 发 散 . x
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
a dx
例5
计算广义积分 0
a2x2
(a0).
解
lim 1 , xa0 a2x2
x a 为 被 积 函 数 的 无 穷 间 断 点 .
第四节 广义（反常）积分
• 一、无穷限的广义积分 • 二、无界函数的广义积分 • 三、小结
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
反常积分的理解
反常积分的理解
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
反常积分就是积分区间是无界的，也就是区间可以有无穷大，也可以是有限区间函数在某点处无界。
反常积分的出现，是因为在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。
反常积分和定积分的区别：
反常积分可能出现积分区间无界的情况，而定积分只能在有限的区间上积分。
反常积分的被积函数可能存在瑕点（即无界点），而定积分的被积函数都是有界的。
反常积分可能出现积分后结果为无穷大的情况，而定积分的积分结果总是有限的。
反常积分和定积分的联系：
反常积分和定积分都是用来计算面积的。
反常积分的结果可能是一个数，也可能是一个无穷大，而定积分的结果是一个数。
反常积分和定积分的计算方法有很多相似之处，如换元法、分部积分法等。
反常积分的应用：
在物理学中，反常积分被广泛应用于处理具有无限大能量或质量的系统的问题。
在经济学中，反常积分可以用来计算具有无限时间跨度的投资或消费的累积效应。
在工程学中，反常积分可以用来分析具有无限大尺寸或无界范围的系统的性质。
5.6反常积分
(jdjj)
2. 定义 2:设函数 f ( x ) 在区间( , b]上连续，a b ，如
果极限 lim a f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
a b
在无穷区间( , b]上的广义积分，记作 f ( x )dx .
b
即： f ( x )dx lim
b
b
其中 F () lim F ( x).
x
Solution.
例1. 计算
0
xe dx .
x
x
0
xe dx xd (e )
x
0
xe
x 0
e dx
x 0
x
0 0 e d ( x)
e
t a
则称此极限为 f( x )在 ( a ,b ]上的反常积分，
仍记作: a f x d x , 即
b
b
b a
f x d x lim f x d x ,
t a t
b
此时也称反常积分 a f x d x 收敛。 反之，就称此反常积分发散。
左端点为瑕点的瑕积分几何意义
dx 例4. 证明1 p ,当p 1时收敛 ,当p 1时发散 . x
Proof. 当p 1时, 1
dx dx 1 p x x
lnb 1
当p 1时,
1
dx x | 1 xp 1 p
1 p
当p 1时, 1
dx 1 dx , 当p 1时, 1 p p p 1 x x
反常积分0
故a > 0时，积分收敛；a < 0时，积分发散。
作业 P368：3(1)(6)(7) P368：
于是
W ( x ) = R 2 mg ∫
x →∞
x R
1 1 x R dr = R 2 mg ( − ) = Rmg(1 − ) r R x r2
显然，W = lim W ( x )，从而
W = −∫
+∞ R
F ( r )dr = lim( − ∫ F ( r )dx ) = Rmg
x →∞ R
x
W = −∫
+∞ R
F ( r )dr
这就是 区间无限 的一种反 常积分。 为了求出此值，取x > R，先求出物体到达x处所做的功：
W ( x ) = − ∫ F ( r )dr = − ∫ G
R R x x
Mm dr （G为万有引力常数） 2 r
而在地 表上，地 球引力就 是重力， 故
Mm R2 g F ( R ) = −G 2 = − mg ⇒ G = M r
+∞ π π = + =π = arctan x + arctan x 2 2 0 −∞ 0
例.讨论 ∫
+∞ 0
e − ax dx的敛散性.
+∞
解：当a = 0时， 1 dx显然发散； ∫
0
当a ≠ 0时，由于 ∫
+∞
0
1 e − ax +∞ , a > 0 e − ax dx = − = a a 0 +∞ , a < 0
B→ −∞ B A→ +∞ a
a
2 若 [ f 注 ： f (x)在a, +∞]上 续 F(x)是 (x)的 个 函 。 连 ， 一 原 数 则
高等数学B教学课件：反常积分
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
b
a
(
dx xa)q
当q1时
收敛；当q1时
发散。
3
例 9．计算广义积分： 2 1
2
dx . x x2
解：∵ lim
x1
∵
1
1
2
1 ， ∴ x1 是瑕点。
x x2
dx lim 11
x x2 10 1
2
d(x1) 2
(1)2 (x 1)2
2
2
lim arcsin(2x1)
10
11
1 2
, 2
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
4
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
1
1 1
x
lim arcsinx 1 lim [arcsin(1)0] arcsin1 .
0
0 0
2
它的几何解释是：由曲线 y 1 ，x 轴, y 轴及
《高数》反常积分
lim 2
0
x
1
lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
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定义2. 设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
第四节
反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
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结束
复习
1. 定积分的换元法
b
a f
( x)dx
f [ (t)](t)dt
2. 定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
提示: P256 题2
d x
2 x (ln x)k
d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k)
2
x
dx (ln x)k
(k
1 1)(ln
2)k
1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .
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结束
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x)C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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4-4 反常积分
t 常将 lim[ F ( x )]a t →+∞ ∞ 写为 [F （x）]+ a
即
∫
+∞ a
f ( x )dx = F ( x ) a
+∞
= F ( +∞ ) − F (a )
x →+∞
如上例
其中 F ( +∞ ) = lim F ( x )
− x +∞ 0
(1)
(2)
∫
+∞
0
+∞
e dx = [ − e ]
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
t t →c a
c
b
c
b
f ( x )dx
b t →c t
= lim f ( x )dx + lim f ( x )dx − ∫ + ∫
如果 ∫ f ( x )dx 或 ∫ f ( x )dx发散，则称反常积分发散． a
c b
注：一般地
t →b a
t
否 则 ， 称 反 常 积 分 ∫ f ( x ) dx发 散 ．
a
b
[ a
t b
)
定义7 设 f ( x ) 在 [a , b] 上除点 c 外连续，(a < c < b )
点c为函数f ( x )的瑕点，若积分 ∫ f ( x )dx与∫ f ( x )dx
a c
c
b
都收敛，则定义
+∞
+∞ ln x 1 ( A) ∫ dx； ( B) ∫ dx； e e x x ln x +∞ 1 +∞ 1 (C ) ∫ dx ； ( D) ∫ dx． e x (ln x ) 2 e x ln x
即
∫
+∞ a
f ( x )dx = F ( x ) a
+∞
= F ( +∞ ) − F (a )
x →+∞
如上例
其中 F ( +∞ ) = lim F ( x )
− x +∞ 0
(1)
(2)
∫
+∞
0
+∞
e dx = [ − e ]
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
t t →c a
c
b
c
b
f ( x )dx
b t →c t
= lim f ( x )dx + lim f ( x )dx − ∫ + ∫
如果 ∫ f ( x )dx 或 ∫ f ( x )dx发散，则称反常积分发散． a
c b
注：一般地
t →b a
t
否 则 ， 称 反 常 积 分 ∫ f ( x ) dx发 散 ．
a
b
[ a
t b
)
定义7 设 f ( x ) 在 [a , b] 上除点 c 外连续，(a < c < b )
点c为函数f ( x )的瑕点，若积分 ∫ f ( x )dx与∫ f ( x )dx
a c
c
b
都收敛，则定义
+∞
+∞ ln x 1 ( A) ∫ dx； ( B) ∫ dx； e e x x ln x +∞ 1 +∞ 1 (C ) ∫ dx ； ( D) ∫ dx． e x (ln x ) 2 e x ln x
反常积分课件
第五节 反常(广义)积分
一、无穷限反常(广义)积分 二、无界函数的反常(广义)积分
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
分，记作 a
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (6.28)
0 a
0 c
b
否则称反常积分 f (x)dx 发散. a
例4 计算下列广义积分
2
(1)
dx
0 4 x2
3 dx
(3)
0
2. (x 1)3
2
(2)
dx .
1 x ln x
例5
证明广义积分
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
0
b
lim a a
f
(
x
)dx
lim
b
0
f ( x)dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
当q 1时广义积分发散.
思考题
积分
1
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
一、无穷限反常(广义)积分 二、无界函数的反常(广义)积分
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，取
b
a
，如果极限
lim
b
b
a
f
(
x
)dx
存在，则称此极
限为函数 f ( x) 在无穷 区间[a,) 上 的广义 积
分，记作 a
c
b
lim f (x)dx lim f (x)dx (6.28)
0 a
0 c
b
否则称反常积分 f (x)dx 发散. a
例4 计算下列广义积分
2
(1)
dx
0 4 x2
3 dx
(3)
0
2. (x 1)3
2
(2)
dx .
1 x ln x
例5
证明广义积分
称上述两广义积分之和为函数 f ( x) 在无穷区间
(
,
)
上的广义积分，记作
f
(
x
)dx
.
0
f ( x)dx f ( x)dx 0 f ( x)dx
0
b
lim a a
f
(
x
)dx
lim
b
0
f ( x)dx
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
当q 1时广义积分发散.
思考题
积分
1
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
思考题解答
积分
1
0
5.4 反常积分
取t >a,
称为无界函数 f (x) 在区间(a , b] 上 无界函数 在区间 即
的广义积分, 的广义积分 仍然记作
广义积分 如果上式右边的极限存在, 则称广义积分∫a f (x) dx 收敛 ; 广义积分 如果极限不存在, 就称广义积分 ∫ f (x) dx 发散 .
a b
b
类似地 , 设 f (x)在[a, b)上连续, 且
或写成: 或写成
1 −2x +∞ 1 1 −2x −2×0 =− e = − lim e −e = . 0 2 2 x→+∞ 2
(
)
几何意义: 几何意义 广义积分 的值表示曲线
与两坐标轴所围成图形的面积, 如下图:
y
1
y = e−2x
o
t
x
例2. 计算广义积分 解:
=[arctan x] −∞
+∞
= −(− ) =π 2 2
π
π
y
y=
1 1+x2
o
x
例3. 证明广义积分 时发散 . 证:当 p =1 时有
当 p >1 时收敛 ; p≤1
= ln x 1 = +∞
当 p ≠ 1 时有
+∞
x = 1− p 1
1− p
+∞
+ ∞,
p <1
p >1
1 , p−1
1 ; 因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 p−1
则也有类似牛顿 – 莱布尼茨 公式的计算表达式 : 当f (x)在(a,b]上连续, lim f (x) =∞ 时, +
x→a
反常积分的主值
反常积分的主值
反常积分是对定积分的概念进行推广后得到的，它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。
对于在上的反常积分，有一类更特殊的积分定义为柯西主值积分，其中P.V.意为主值（Principal Value）。
上述积分的结果亦称为该积分的主值。
此外，在数学中，如果同时考虑积分区间的两端极限（无穷或函数无界点），即$lim(X →+\infty)\int(-X,X) f(x)dx$或$lim(η→0+) \int(a+η,b-η) f(x)dx$，其中$f(x)$在$a$的右领域和$b$的左领域内无界，或$lim(η→0+)(\int(a,b-η) f(x)dx+\int(b+η,c) f(x)dx)$，其中$f(x)$在$b$的领域内无界，如果收敛，则称相应的反常积分在主值意义下存在。
反常积分的主值是一个重要的概念，在数学、物理学等领域都有广泛的应用。
反常积分
0
解
0
sin xdx lim sin xdx
b b 0
极限不存在
lim cos x lim 1 cos b
b 0
b
b
故
此反常积分发散.
例3 证明:反常积分 当p 1时发散.
1
1 dx , 当p 1时收敛， p x
记作
b
f x dx
f ( x )dx alim a
称反常积分发散.
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，
规定反常积分 设f x C , ，
f ( x )dx
0
f ( x )dx
b 1 1 dx lim dx blim ln(b) , 证 (1) p 1, 1 b 1 x xp 1 1 (2) p 1, 1 x p dx blim 1 x p dx , p 1 1 p b 1 lim ( ) 1 b 1 p , p1 1 p p1
lim arctan x a lim arctan x 0
0 a b
b
lim arctan a lim arctan b
a b
. 2 2
三、无界函数的反常积分
引例: 考察如下无穷区域.
函数f ( x )无界： f ( x ) lim x 0 y y f ( x)
b a
b
f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，
称反常积分发散.
解
0
sin xdx lim sin xdx
b b 0
极限不存在
lim cos x lim 1 cos b
b 0
b
b
故
此反常积分发散.
例3 证明:反常积分 当p 1时发散.
1
1 dx , 当p 1时收敛， p x
记作
b
f x dx
f ( x )dx alim a
称反常积分发散.
b
b
f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，
规定反常积分 设f x C , ，
f ( x )dx
0
f ( x )dx
b 1 1 dx lim dx blim ln(b) , 证 (1) p 1, 1 b 1 x xp 1 1 (2) p 1, 1 x p dx blim 1 x p dx , p 1 1 p b 1 lim ( ) 1 b 1 p , p1 1 p p1
lim arctan x a lim arctan x 0
0 a b
b
lim arctan a lim arctan b
a b
. 2 2
三、无界函数的反常积分
引例: 考察如下无穷区域.
函数f ( x )无界： f ( x ) lim x 0 y y f ( x)
b a
b
f ( x )dx
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，
称反常积分发散.
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反常积分，也称为广义积分，是对定积分的推广，包括无穷区间上的积分和无界函数的积分。无穷区间上的积分是指函数在无穷区间上的积分，其定义涉及极限的概念。若函数在无穷区间上的积分存在，则称该积分收敛；否则，称其发散。瑕积分则是指函数在某点附近无界，但在其他区间上可积的情况。对于瑕积分，同样需要借助极限来定义其积分值，并判断其收敛性。文档还介绍了反常积分的线性性质，即若两个反常积分收敛，则它们的线性组合也收敛。此外，文档还通过例题展示了如何判断反常积分的收敛性，并计算其积分值。需要注意的是，对于无穷积分，只有在收敛的条件下才能使用某些性质，否则可能会出现错误。总的来说，反常积分是对定积分的重要扩展，它在数学分析、物理学等领域有着广泛的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用。