空间向量及其运算和空间位置关系 练习题
高中空间向量练习题及讲解讲解
高中空间向量练习题及讲解讲解### 高中空间向量练习题及讲解#### 练习题一：空间向量的坐标运算题目：设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。
解答：向量加法遵循坐标的分量相加原则。
对于向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +b_3) \)。
将给定的向量坐标代入公式，得到：\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]#### 练习题二：空间向量的模长题目：已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量\( \vec{c} \)的模长。
解答：空间向量的模长可以通过以下公式计算：\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]#### 练习题三：空间向量的夹角题目：设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。
解答：空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角可以通过向量的点积来求得，公式为：\[ \cos \theta = \frac{\vec{d} \cdot \vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|} \]首先计算点积：\[ \vec{d} \cdot \vec{e} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 3 = 2 + 2 + 3 = 7 \]然后计算模长：\[ |\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]\[ |\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \]代入公式计算夹角的余弦值：\[ \cos \theta = \frac{7}{\sqrt{6} \times \sqrt{14}} \]最后，通过反余弦函数求得夹角\( \theta \)。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为。
【答案】为ｚ轴，则【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１（），，，（）。
所以，。
因为，所以，由此推出。
又，，从而有。
【考点】(1)空间向量的坐标运算及空间两点间距离公式的应用；（2）利用二次函数思想求最值。
2.是坐标原点，设，若，则点的坐标应为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设点B(x,y,z),由于，且，故可知点的坐标应为，故选B.【考点】空间向量的坐标运算点评：主要是考查了空间中向量的坐标的代数运算，属于基础题。
3.已知向量，若,则______。
【答案】【解析】因为，所以，显然所以【考点】本小题主要考查共线向量的数量关系，考查学生运用公式的能力.点评：向量共线是空间向量的常考内容，记清楚关系直接代入计算即可，难度不大.4.已知，，则的最小值是A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为，，则则利用二次函数的性质得到最小值为，选C5.在直三棱柱中，，已知G与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）.若，则线段DF长度的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，1 2 ），G（ 1 2 ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）∴ GD =(-，y，-1)， EF =(x，-1，- )∵GD⊥EF，∴x+2y-1=0，∴x=1-2yDF2= x2+y2 = (1-2y)2+y2 = 5y2-4y+1 =" 5(y-2" 5 )2+1 5 ∵0＜y＜1∴当y="2" 5 时，线段DF长度的最小值是又y=1时，线段DF长度的最大值是 1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：[ ，1)．故选A．6.已知a=（1,1,0），b=（-1,0，2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是（）.A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以7.空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（）A．平面B．直线C．圆D．线段【答案】D【解析】解：因为A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则说明A,B，C三点共线，解：设点C的坐标为（x，y，z ），由题意可得（x，y，z ）=（3α-β，α+3β，0 ），再由α+β="1" 可得x=3α-β=3-4β，y=α+3β=1+2β，故有 x+2y-5=0，故点C的轨迹方程为x+2y-5=0，则点C的轨迹为直线，故选B.8.在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（x，4，3）为顶点的是以BC为斜边的直角三角形，则实数x的值为。
2020年高考数学一轮复习考点44空间向量及其运算和空间位置关系必刷题(理)(含解析)
考点44 空间向量及其运算和空间位置关系1．（河北省示范性高中2019届高三4月联考数学理）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，90BAD BCD ∠=∠=︒，60ADC ∠=︒且AD CD =，1BB ⊥平面ABCD ，122BB AB ==．（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求1BC 与平面11B C D 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析； （2）35【解析】（1）证明：∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA ， 又∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∴AB ＝AC ， ∴△ABD ≌△CBD ，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∴△AOD ≌△COD ，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°， ∴AC ⊥BD ，又因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，又1,BB BD B ⋂=所以AC ⊥平面1BB D ， 因为1B D ⊂平面1BB D ，所以1AC B D ⊥.（2）以AC ，BD 的交点O 为原点，过O 作平行于1AA 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由（1）及122BB AB ==，知1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,0,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v，1112B C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，()12,0,2B D =--u u u u v.设平面11B C D 的法向量为(),,n x y z =v ，由11100B C n B D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u v v，得1022220x y x z ⎧-+=⎪⎨⎪--=⎩，所以x x z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，令1z =-，得1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭v .设1BC 与平面11B C D 所成的角为θ，则11332223sin cos ,753n BC θ-+⨯-==⨯u u u uv v 2105=.2．（湖北省2019届高三4月份调研考试数学理）已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD ==，4BC =，5AC =.（1）当AP 变化时，点C 到平面PAB 的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°时，求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 19【解析】（1）由3AB =，4BC =，5AC =知222AB BC AC +=，则AB BC ⊥，由PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD 得PA BC ⊥，由PA AB A ⋂=，PA ，AB ⊂面PAB ， 则BC ⊥面PAB ，则点C 到平面PAB 的距离为一个定值，4BC =.（2）由PA ⊥面ABCD ，AB 为PB 在平面ABCD 上的射影，则PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，则45PBA ︒∠=，所以3PA AB ==.由//AD BC ，AB BC ⊥得AB AD ⊥，故直线AB 、AD 、AP 两两垂直，因此，以点A为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得()0,0,3P ，()0,3,0D ，()3,4,0C ，于是()0,3,3DP =-u u u v ，()3,1,0DC =u u u v，设平面PDC 的法向量为()1,,n x y z =u v ，则11·0·0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，即33030y z x y -+=⎧⎨+=⎩，取1x =，则3y =-，3z =-，于是()11,3,3n =--u v ；显然()21,0,0n u u v=为平面PAD 的一个法向量，于是，()()121222212·19cos ,19133n n n n n n ===+-+-r r r rr 分析知二面角A PD C --的余弦值为1919-. 3．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，DAB 60︒∠=，AD 2=，AM 1=， ME 2=，E 为AB 的中点.（1）平面ADNM ⊥平面ABCD（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（27 【解析】（1）证明：由题意知，四边形ADMN 为矩形，所以AM AD ⊥， 又∵四边形ABCD 为菱形，E 为AB 中点， 所以1AM =，1AE =，2ME =222AE AM ME +=，所以AE AM ⊥，又AE AD A ⋂=，所以AM ⊥平面ABCD ，又AM ⊂平面ADNM ， 所以平面ABCD ⊥平面ADNM（2）假设线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，在AM 上取一点P ，连接EP ，CP .由于四边形ABCD 是菱形，且60DAB ︒∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥. 又四边形ADMM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，∴DN ⊥平面ABCD ， 所以建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - 则()0,0,0D ，()3,0,0E，()0,2,0C，()3,1,Ph -，则()3,2,0CE =-u u u v ，()0,1,EP h u uu v =-，设平面PEC 的法向量为()1,,n x y z =u v，则11·0·0cE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u v u vu u u v u v ，∴320x y y hz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y h =，则()12,3,3n h h u v =，又平面DEC 的法向量()20,0,1n =u u v，所以1212212·33cos ,73n n n n n n h ===+u v u u vu v u u v u v u u v ，解得7h =， 所以在线段AM 上存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π，此时7h =.4．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且2AB AC PA ==，点E ，F 分别是AD 和PB 的中点.（Ⅰ）求证//EF 平面PCD ； （Ⅱ）求二面角B EF C --的余弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；23.【解析】（Ⅰ）如图，取PA 的中点M ，连结EM ，FM ，则////FM AB CD ，//EM PD . ∴平面//EFM 平面PCD ，∴//EF 平面PCD ；（Ⅱ）以AC 的中点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴， 建立空间直角坐标系，不妨设1PA =，则2AB AD ==， 得()0,3,0B -，()1,0,0C ，13,,02E ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，131,,22F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 得133,,022BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，131,,222BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v .设平面BEF 的法向量为()1,,n x y z =u v ，则110n BE n BF u v u u u vu v u u u v ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()133,1,23n =u v ， 同理可得平面CEF 的法向量为()11,3,6n =u v，∴121223cos 5n n n n u v u u vu v u u v θ⋅==，∴二面角B EF C --的余弦值为235.5．（河南省六市2019届高三第二次联考数学理）如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）14- 【解析】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒， 所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，(0,0,23P ，()2,0,0B -，所以(0,2,23DP =-u u u v ，()2,0,0CD =u u u v，由（1）知，AQ uuu v为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点， 所以(3Q -，所以(3AQ =-u u u v，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =v，由00n CD n DP u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =v.所以23cos ,3331AQ nAQ n AQ n⋅==+⋅+u u u v vu u u v v u u u v v 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 6．（天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二理）如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，60ADE ∠=o ，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==,4CF =，点G 是棱CF 上的动点.（Ⅰ）当3CG =时，求证//EG 平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G AE D --所成角的余弦值为2211，求线段CG 的长. 【答案】（Ⅰ）见解析；33（Ⅲ）4233-【解析】（Ⅰ）由已知得//CG DE 且CG DE =， 则四边形CDEG 为平行四边形 //CD EG ∴Q 四边形ABCD 为平行四边形 //CD AB ∴ //AB EG ∴又EG ⊄平面ABF ，AB Ì平面ABF //EG ∴平面ABF（Ⅱ）过点A 作AO DE ⊥交DE 于点O ， 过点O 作//OK CD 交CF 于点KQ 平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE I 平面CDEF DE =，AO ⊂平面ADEAO ∴⊥平面CDEFCD DE ⊥Q OK DE ∴⊥以O 为原点建立如图的空间直角坐标系则()0,1,0D -，()0,2,0E ，()3,1,0C -，()3,3,0F ，(003A ,,，(3B 设平面ABCD 的法向量为(),,m x y z =v，()3,0,0DC =u u u v ，(3DA =u u u v00m DC m DA u u u v v u u u v v ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即3030x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1z =- 3y ∴=，0x = ()3,1m ∴=-v又(3,2,3BE =--u u u v 33cos<,8m BE m BE m BE⋅∴>==⋅u u u v v u u u v vu u u v v ∴直线BE 与平面ABCD 33（Ⅲ）()0,4,0CG CF λλ==u u u v u u u v，01λ≤≤ ()3,41,0G λ∴-设平面AEG 的法向量为(),,p x y z =v，(0,2,3AE =-u u u v ，()3,43,0EG λ=-u u u v00p AE p EG ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即()2303430y z x y λ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩，令3y = 3z ∴=34x λ=-(34,3,23p λ∴=-v又可取平面AED 的法向量()1,0,0q =v()24322cos<,114321p q p q p qλλ⋅->===⋅-+v v v vv v解得()214433λ-=42433λ∴=± 42433CG CF λλ∴===±4CG ≤Q 4233CG ∴=-7．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是等腰直角三角形，2,2BC BD AB ===，且,AB CD O ⊥为CD 中点，如图.（1）求证：平面ABO ⊥平面BCD ； （2）若二面角A CD B --的大小为3π，求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）427【解析】（1）证明：BCD ∆是等腰直角三角形，2,BC BD O ==为CD 中点，BO CD ∴⊥,,AB CD AB BO B CD ⊥⋂=∴⊥Q 平面ABOCD ⊂Q 平面,BCD ∴平面ABO ⊥平面BCD（2）CD ⊥Q 平面,ABO CD AO ∴⊥AOB ∴∠为二面角A CD B --的平面角，3AOB π∴∠=2,,BO AB BO ABO =∴=∴∆Q 为等边三角形，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0,0,0,2,0,0,B C ()116,,0,2,022A D ⎛ ⎝⎭()116,,,2,0,0,22BA BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 136,,22AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v设平面ABC 的法向量(),,n x y z =r ，则0,0,BA n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即11602220x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩取()0,6,1n =-r设AD 与平面ABC 所成角为θ，则3664222sin cos ,1719672n AD θ+===⨯++⨯u u uv r 故AD 平面ABC 所成角的正弦值为427.8．（天津市部分区2019年高三质量调查试题二数学理）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，24AC BC EB DC ====，90ACB ∠=︒，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点.(1)证明：//PQ 平面ACD .(2)求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； (3)求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题答案及解析1.三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】以为原点，分别,,为, , 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，, ，则由，得出，，，.于是向量，，所以，令，，则.因为对称轴为，所以关于为递增函数，关于为递增函数.又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.【考点】立体几何与空间向量.2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.已知，，，三角形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，所以,故选B．【考点】1．空间向量夹角公式；2．三角形面积公式．4.已知＝(2,4,5)，＝(3，x，y)，若∥，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【答案】D【解析】因为∥，所以，所以x＝6，y＝．【考点】空间向量的平行．5.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是上一点，且，可得又因为是的重心，所以而，所以，所以，选A.【考点】1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.6.已知，当取最小值时，的值等于（）A．B．－C．19D．【答案】A【解析】根据空间中两点间的距离公式可得设，，故，根据二次函数的图像可知，该函数的最小值在对称轴上取到，所以当取最小值时，的值等于，选A.【考点】1.空间中两点间的距离问题；2.二次函数的图像与性质.7.设点关于原点的对称点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.【考点】1.关于原点对称的两个点的坐标；2.空间中两点间的距离公式.8.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.9.已知，则的最小值是_______________．【答案】【解析】根据题意，由于，则可知，结合二次函数性质可知当t=时，根号下取得最小值，即可知答案为【考点】向量的数量积点评：主要是考查了运用向量的数量积来求解向量的模长的运用，属于基础题。
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题
高二数学空间向量基本定理与坐标运算试题1.已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )A．B．C．4D．8【答案】B．【解析】首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【考点】向量模的运算；利用正弦定理表示三角形的面积．2.点关于原点对称的点的坐标是．【答案】【解析】空间直角坐标系中点的对称关系:,可得.【考点】空间直角坐标系中点的对称关系.3.在空间直角坐标系中，点P（1,3，-5）关于平面xoy对称的点的坐标是（ )A．（-1,3，-5）B．（1,3，5）C．（1,-3，5）D．（-1,-3，5）【答案】B【解析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点（x，y，z）关于平面xoy对称的点坐标为（x，y，-z），可知答案是B.【考点】空间直角坐标系点的对称问题.4.已知向量，且∥，则实数的值为．【答案】.【解析】由已知得=（k+1,2k+2，k+2），=（-1，-2，-3），再由两向量共线的充要条件知=，建立方程解得k=.【考点】（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的充要条件.5.已知向量，，且，那么等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以，解得，所以，选答案A.【考点】空间向量平行的坐标关系.6.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为,选A7.已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为△ABC中BC边上的中线故选B.【考点】空间中两点之间的距离点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．8.为空间的两个不同的点，且，空间中适合条件的点的集合表示的图形是 .【答案】经过点且与垂直的平面【解析】设点M（x,y,z），那么可知设A（0，0，0），B（0，0，1），，由则可知（x,y,z）（0，0，1）=1，z=1，可知表示的图形为过点B的与AB垂直的平面。
《空间向量》期末复习(21道)
空间向量及其坐标运算1.向量a=(2,-3,1)，b=(2,0,3)，c=(0,0,2)，则a + 6b - 8c =2.在空间直角坐标系O-xyz中，A(-1,-1,-1) B(1,1,1) 那么|AB| =3.若a=(0,-2,-1)，b=(2,0,4)，a与b的夹角的余弦值为4.向量a=(-3,2,5)，b=(1,x,-1)，且a·b= 2，则x的值为5.已知向量a=(3,-2,1)，b=(-2,4,0)，则4a + 2b =6.已知a=(1,0,-1)，b=(-2,0,2)，则两向量的位置关系是7.已知i j k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，且a=-i+j-k，a的坐标是8.设A(3,3,1)，B(1,0,5)，则线段AB的中点M的坐标为9.在空间直角坐标系O-xyz中，i j k分别是x轴，y轴，z轴的正方向上的单位向量，向量a=2i -j + k，b=4i + 9j + k，则这两个向量的位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定10.已知a=(1 , 5 ,-2)，b=(m,2,6)，若a⊥b，则m的值为11.向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,2)，且ka + b与2a-b互相垂直，则k的值是（）12.已知i j k是空间直角坐标系O-xyz的坐标向量，并且OB = -i + j - k，则B点的坐标为（）13.已知a=(2,-1,3) ，b=(-4,2, x)，且a⊥b，则x的值为14.已知a=(0,-2,-1)，b=(2,0,4)，则a·b等于15.已知a=(1,-2,1)，a -b=(-1,2,-1)，则b=16.已知a=(0,-2,-1)，b=(2,0,4)，则|a|与|b|分别是17.已知a=(2,-1,1)，b=(1,1, -3)，则a·b等于18.已知a=(3,0,1)，b=(-1,0,m)，若a∥b，则m等于19.已知a=(2,-3,1)，则下列向量中与a平行的是20.已知a=(15 , 5 ,-1)，b=(3, 1,r)，若a∥b，则实数r等于21.已知a=(1,2,-2)，b=(-2,-4,4)，则a·b的位置关系A.平行B.相交C.垂直D.不确定。
《空间向量及其运算的坐标表示》同步练习及答案
《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。
2025高考数学一轮复习-7.5-空间向量及空间位置关系-专项训练【含答案】
线 BD 折起,得到二面角 A'-BD-C',若二面角 A'-BD-C'的大小为 60°,则 A'C'=
.
14.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2AC=2,且∠ACD=90°,将△ABC 沿 AC 折起,使 AB 与 CD
所成的角为 60°.
(1)求Ᏸ · ;
(2)求点 B,D 间的距离.
的所有棱长均为
2,
∠
A1AB=
∠A1AC=
π 3
,
点
E,F
满足Ᏸ
1 2
ᏰᏰ1,
1 2
,则| |=
.
9.如图,已知 E,F,G,H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)用向量法证明:E,F,G,H 四点共面.
(2)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有
则
| |2=( Ᏸ Ᏸ
)2= Ᏸ2 Ᏸ 2
2×2×2cos < Ᏸ, >,
2+2 Ᏸ·Ᏸ +2Ᏸ · +2 Ᏸ· =22+12+22+0+0+
所以| |2=13 或 5,解得| |= 13或 5,即点 B,D 间的距离为 13或 5
15.A
A.2 2
B. 10
பைடு நூலகம்
C.2 3
D. 14
5.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点 O,有
1 6
Ᏸ
1 3
1 2
,则 P,A,B,C 四点共面
空间向量的运算练习题
空间向量的运算练习题一、空间向量的定义及基本运算法则在空间解析几何中，向量是指具有大小和方向的量，它常用有向线段表示。
与二维向量类似，三维空间中的向量也具有加法和乘法等运算法则。
1. 向量的定义空间中的向量可以用坐标表示。
假设空间中存在两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则有向线段AB就可以表示为向量a，其坐标表示为a=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
2. 向量的加法设有两个向量a=(x1, y1, z1)和b=(x2, y2, z2)，它们的加法运算定义为a+b=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
3. 向量的乘法a) 数乘：向量a与实数k的数乘运算定义为ka=(kx1, ky1, kz1)。
b) 点乘：向量a与向量b的点乘运算定义为a·b=x1x2+y1y2+z1z2。
c) 叉乘：向量a与向量b的叉乘运算定义为a×b=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
二、空间向量的运算练习题1. 给定向量a=(2, 3, 5)和向量b=(-1, 4, 2)，求向量c=a+b的坐标表示。
解答：根据向量加法的定义，可知c=a+b=(2+(-1), 3+4, 5+2)=(1, 7, 7)。
2. 给定向量a=(3, 1, 2)和向量b=(2, -2, 4)，求向量c=a-b的坐标表示。
解答：根据向量加法的定义，可知c=a-b=(3-2, 1-(-2), 2-4)=(1, 3, -2)。
3. 给定向量a=(2, -1, 3)，求向量-b的坐标表示。
解答：根据数乘的定义，向量-b的坐标表示为-b=(-2, 1, -3)。
4. 给定向量a=(3, 2, -1)和向量b=(-1, 4, 2)，求向量c=a·b的结果。
解答：根据点乘的定义，可知c=a·b=3*(-1)+2*4+(-1)*2=6。
5. 给定向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, -1, 2)，求向量c=a×b的坐标表示。
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算基础知识梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝______.(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔______________⇔____________，____________，______________， a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝____________________________________________________.设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝________________________. 典例探究题型一 空间向量的线性运算例1、如图所示，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，设AA1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A1N →；(3)MP →＋NC1→.变式： 在例1的条件下，若AE →＝12EC →，A1F →＝2FD →，试用a ，b ，c 表示EF →.题型二 共线、共面向量定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA→＋OB →＋OC →＋OD →).题型三 空间向量性质的应用例2、已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →，(1)若|c|＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求实数k 的值；(4)若λ(a ＋b)＋μ(a －b)与z 轴垂直，求λ，μ应满足的关系.跟踪测试一、选择题1．以下四个命题中正确的是( )．A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向 量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb ＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾． 答案 B2．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝ ( )． A ．－4B ．－2C ．4D ．2解析 ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)， ∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 答案 D3．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )． A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C4.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )． A ．0 B.12 C.32D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 A5．如图所示，在长方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )．A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 A6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 二、填空题7. 设R ，向量，且，解析 . 答案8. 在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝________.解析 如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝0. 答案 09．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析 由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故,x y ∈()()()4,2,,1,1,-===y x //,⊥_______=2402,//(3,1)242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确． 答案 ①②10．如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________． 解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c . OA 与BC 所成的角为θ，OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2.∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解 (1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， ∴四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．12．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．解 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A （0，－22a,0）， B （22a,0,0），C （0，22a,0），D （0,0，22a ），E （0，－24a ，24a ）， F （24a ，24a,0）.(1)|EF →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－24a 2＝34a 2，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a 2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°.13．如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ， BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →) ＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．14．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
空间向量及其运算 知识点+例题+练习
教学过程自我检测1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则x＝_________，y＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→用a，b，c表示为________．3．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.4．下列4个命题：①若p＝x a＋y b，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p＝x a＋y b；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题是________(填序号)．5．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一空间基向量的应用例1已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为教学效果分析教学过程棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题教学效果分析教学过程例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．教学效果分析教学过程1．向量法解立体几何问题有两种基本思路：一种是利用基向量表示几何量，简称基向量法；另一种是建立空间直角坐标系，利用坐标法表示几何量，简称坐标法．2．利用坐标法解几何问题的基本步骤是：(1)建立适当的空间直角坐标系，用坐标准确表示涉及到的几何量．(2)通过向量的坐标运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果解释相关几何问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面．其中不正确命题的序号为________．2．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB→·AC→＝0，AC→·AD→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD的形状是______________三角形．3. 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角等于________．4．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.5.在直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把教学效果分析直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为________．6.如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF →＝λ(AB →＋DC →)，则λ＝________.7.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是________．(填所有正确的序号)8.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．二、解答题(共42分)9.如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝23，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．11. 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．自主梳理1．(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ，使b ＝λa (4)OM →＋xMA →＋yMB →1 (5)x e 1＋y e 2＋z e 32．(1)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (2)a ＝λb a 1＝λb 1 a 2＝λb 2 a 3＝λb 3 (λ∈R )a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(3)a 21＋a 22＋a 23a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2自我检测 1.16 －32解析 ∵a ∥b ，∴2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.2．－12a ＋12b ＋c解析 B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－A 1B 1→＋A 1A →＋⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AD →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .3.97解析 ∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，∴|AC ′→|2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2AB →·AD →＋2AD →·AA ′→＋2AA ′→·AB →＝32＋42＋52＋2×3×4×cos 60°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝97，∴|AC ′→|＝97. 4．①③解析 ①正确．②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．③正确．④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．5．共面解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →， 即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 课堂活动区例1 解题导引 欲证a ⊥b ，只要把a 、b 用相同的几个向量表示，然后利用向量的数量积证明a·b ＝0即可，这是基向量证明线线垂直的基本方法．证明 如图所示.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .∵OM →＝12(OB →＋OC →)＝12(b ＋c )，ON →＝12(OA →＋OC →)＝12(a ＋c )，∴PM →＝PO →＋OM →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(b ＋c －a )， QN →＝QO →＋ON →＝－12b ＋12(a ＋c )＝12(a ＋c －b )．∴PM →·QN →＝14[c －(a －b )][c ＋(a －b )]＝14[c 2－(a －b )2]＝14(|OC →|2－|BA →|2) ∵|AB →|＝|OC →|，∴PM →·QN →＝0. 即PM →⊥QN →，故PM ⊥QN .变式迁移1 23解析 设{AB →，AC →，AD →}为空间一组基底， 则AF →＝12AB →＋12AC →，CE →＝12CA →＋12CD →＝12CA →＋12(AD →－AC →)＝－AC →＋12AD →.∴AF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →·⎝⎛⎭⎫－AC →＋12AD →＝－12AB →·AC →－12AC →2＋14AB →·AD →＋14AC →·AD →＝－14AB →2－12AC →2＋18AB →2＋18AC →2＝－12AC →2.又|AF →|＝|CE →|＝32|AC →|，∴|AF →||CE →|＝34|AC →|2.∴cos 〈AF →，CE →〉＝AF →·CE →|AF →||CE →|＝－12AC →234|AC →|2＝－23.∴异面直线AF 与CE 所成角的余弦值为23.例2 解题导引如图所示，建立坐标系后，要证MN 平行于平面EBC ，只要证MN →的横坐标为0即可．(1)证明 如图所示，以BA →、BC →、BE →为单位正交基底建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，D (1,1,0)， E (0,0,1)，B (0,0,0)， 设AN AE ＝DM DB＝λ，则MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝λBD →＋DA →＋λAE → ＝λ(1,1,0)＋(0，－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0，λ－1，λ)．∵0<λ<1，∴λ－1≠0，λ≠0，且MN →的横坐标为0. ∴MN →平行于平面yBz ，即MN ∥平面EBC .(2)解 由(1)知|MN →|＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝ 2⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，MN 取得长度的最小值为22.变式迁移2 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连结NE . 则点N 、E 的坐标分别为 ⎝⎛⎭⎫22，22，0、(0,0,1)．∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.又点A 、M 的坐标分别为(2，2，0)、⎝⎛⎭⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1.∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线． ∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)得，AM →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，B (0，2，0)， ∴DF →＝(0，2，1)，BF →＝(2，0,1)． ∴AM →·DF →＝0，AM →·BF →＝0.∴AM →⊥DF →，AM →⊥BF →， 即AM ⊥DF ，AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，且DF ，BF 在平面BDF 内， ∴AM ⊥平面BDF .例3 解题导引 建立适当的空间直角坐标系后，写出各点坐标．第(1)题证明FG →与平面BOE 的法向量n 垂直，即FG →·n ＝0即可．第(2)题设出点M的坐标，利用MF →∥n 即可解出，然后检验解的合理性．(1)证明如图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)． 由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 所以平面BOE 的法向量n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0.又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE . (2)解 设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)， 则FM →＝(x 0－4，y 0，－3)．因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－94，即点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫4，－94，0.在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0，x －y <8.经检验，点M 的坐标满足上述不等式组．所以，在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE . 由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，94.变式迁移3 解(1)以点B 为原点，以BA 、BC 、BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，B 1(0,0,3a )，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ＝22AC ＝2a ，∴A (2a,0,0)，C (0，2a,0)，C 1(0，2a,3a )，E ⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1(2a,0,3a )，∴BE →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，32a ，A 1C →＝(－2a ，2a ，－3a )，cos 〈BE →，A 1C →〉＝BE →·A 1C →|BE →||A 1C →|＝－72a 2112a ×13a＝－7143143.∴直线BE 与A 1C 所成的角的余弦值为7143143.(2)假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF →＝λAA 1→＝λ(0,0,3a )＝(0,0,3λa ) (0<λ<1)，∵D 为A 1C 1的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a ，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，3a －(0,0,3a )＝⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0，B 1F →＝B 1B →＋BA →＋AF →＝(0,0，－3a )＋(2a,0,0)＋(0,0,3λa )＝(2a,0,3a (λ－1))，CF →＝CA →＋AF →＝(2a ，－2a,0)＋(0,0,3λa ) ＝(2a ，－2a,3λa )．∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF →⊥B 1D →，CF →⊥B 1F →，⎩⎪⎨⎪⎧CF →·B 1D →＝0CF →·B 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3λa ×0＝09λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝23或λ＝13∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且当λ＝13时，|AF →|＝13|AA 1→|＝a ，当λ＝23时，|AF →|＝23|AA 1→|＝2a .课后练习区1．②③④ 2．锐角解析 如图，∵DB →·DC →＝(AB →－AD →)·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →－AD →·AC →＋AD →2＝AD →2>0，同理，BD →·BC →>0，CD →·CB →>0.∴△BDC 为锐角三角形．3．60° 解析如图建立坐标系，设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)， ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22·8＝12.∴EF 与BC 1所成的角是60°. 4．16解析 由PC →＝λ1P A →＋λ2PB →得：(2a －1，a ＋1,2)＝λ1(－1，－3,2)＋λ2(6，－1，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ1＋6λ2＝2a －1－3λ1－λ2＝a ＋1，2λ1＋4λ2＝2 解得a ＝16.5．211 解析过A 、B 分别作AA 1⊥x 轴，BB 1⊥x 轴，垂足分别为A 1和B 1，则AA 1＝3，A 1B 1＝5，BB 1＝2， ∵AB →＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1B →， ∴AB →2＝AA 1→2＋A 1B 1→2＋B 1B →2＋2AA 1→·B 1B →＝32＋52＋22＋2×3×2×cos 60°＝44.∴|AB →|＝211. 6.12解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →， 又EF →＝ED →＋DC →＋CF →，∴2EF →＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)，∴λ＝12.7．①②解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋(A 1A →＋DD 1→)＝B 1D 1→≠BD 1→. 8．(1,1,1)解析 设DP ＝y >0，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，y )，E ⎝⎛⎭⎫1，1，y 2，DP →＝(0,0，y )，AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，y 2. ∴cos 〈DP →，AE →〉＝DP →·AE →|DP →||AE →|＝12y 2y 2＋y 24＝y 8＋y 2＝33. 解得y ＝2，∴E (1,1,1)． 9．证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)， BD 1→＝(3,3,3)．(3分)所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→、BE →、BF →共面．又它们有公共点B ，∴E 、B 、F 、D 1四点共面．(7分)(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z . 而BF →＝(0,3,2)，由题设，得GM →·BF →＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.(10分)∴M (0,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)． 又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0， ∴ME →·BC →＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC .又∵BB 1∩BC ＝B ，∴ME ⊥平面BCC 1B 1.(14分) 10.解 (1)如图所示，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D —xyz . 依题意，得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫12，1，0.(2分) ∴NE →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，－1， AM →＝(－1,0,1)．(4分)∵cos 〈NE →，AM →〉＝NE →·AM →|NE →|·|AM →|＝－1252×2＝－1010，。
【人教版】2020年高考数学考点44空间向量及其运算和空间位置关系必刷题理
考点44 空间向量及其运算和空间位置关系1．如图，在长方体中，，，而对角线上存在一点P ，使得取得最小值，则此最小值为（ ）A ． 2B ． 3C ．D ．【答案】D2．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B3．如图，在正方体中，E为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为A． B． C． D．【答案】C【解析】取中点F,连接.平面为截面。
如下图：所以上半部分的正视图，如A选项，所以选A.4．已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是（）A． B． C． D． 32【答案】B，令，得，在上递增，在上递减，，即该三棱锥体积的最大值是，故选B.5．如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为A． B． C． D．【答案】A6．已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D，解得故选D.7．某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A． B． C． D．【答案】C8．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是( )A． 36 B． 24 C． D．【答案】D9．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A． B． C． D．【答案】A【解析】几何体为圆锥挖掉个圆台. 其表面积为：＋42＝.故选.10．正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为A． B．或 C． D．或【答案】B所以选B11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )A． B． C． D．【答案】C12．九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A．B．C．D．【答案】C故选13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A． 25π B． 26π C． 32π D． 36π【答案】C14．下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A． B． C． D．【答案】C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.15．设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【答案】D16．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.17．如图，四边形为等腰梯形沿折起，使得平面平面为的中点，连接（如图2）.图1 图2（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）,则,，又因为平面平面且平面平面，所以平面，从而．（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC.，设E点到平面BCD的距离为，，,DE与平面BCD所成角为，则.18．如图，在梯形ABCD中，，，，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，平面？证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）∴平面ACFE．设平面BEF的法向量，则，，同理可得平面EFD的法向量为，（10分）所以．又二面角的平面角为锐角，所以的平面角的余弦值为．19．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.20．已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为___________.【答案】【解析】构造一个各棱长为a的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．此球的直径为正方体的体对角线，即，由勾股定理得到,三棱锥的边长即为正方体的面对角线长为：，所以该锥体表面积.故答案为：．21．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】222．已知四面体的棱,,,则此四面体外接球的表面积__________．【答案】【解析】设BD的中点为O,如图23．已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为_______.24．已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．【答案】【解析】25．球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，则该球的表面积为____ 【答案】【解析】因为球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，所以圆柱的底面半径为2，高为3，所以外接球的半径为，有，所以球的半径为，所以球的表面积为，故答案是.。
【金榜方案】2015高考数学(理)一轮突破热点题型：第7章 第6节 空间向量的运算及空间位置关系
第六节 空间向量的运算及空间位置关系[例1] (1)如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O 为AC 的中点．①化简1A O －12AB －12AD ＝________； ②用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________.(2)向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b 的值． [自主解答] (1)①1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD ) ＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A .②OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )， ∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA ＝12AB ＋12AD ＋1AA . (2)2a ＋3b ＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2, 1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． [答案] (1)①1A A ②12AB ＋12AD ＋1AA 【互动探究】 本例中(1)条件不变，结论改为：设E 是棱DD1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA ，试求x ，y ，z 的值．解：EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝－231AA －12AD ＋12AB ＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23. 【方法规律】用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，设1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA1，BC ，C1D1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1) AP ；(2) 1A N ；(3) MP ＋1NC . 解：(1)∵P 是C1D1的中点，∴AP ＝1AA ＋11A D ＋1D P ＝a ＋AD ＋1211D C ＝a ＋c ＋12AB―→＝a ＋c ＋12b. (2)∵N 是BC 的中点，∴1A N ＝1A A ＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋12BC―→＝－a ＋b ＋12AD―→＝－a ＋b ＋12c. (3)∵M 是AA1的中点， ∵MP ＝MA ＋AP ＝121A A ＋AP ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ， 又1NC ＝NC ＋1CC ＝12BC ＋1AA ＝12AD ＋1AA ＝12c ＋a. ∴MP ＋1NC ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c.[例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM ＝14( OA ＋OB ＋OC ＋OD )． [自主解答](1)证明：连接BG ，则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)证明：因为EH ＝AH －AE ＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD . 所以EH ∥BD.又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH.(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH ＝12BD ，同理FG ＝12BD .所以EH ＝FG ，即EH ∥FG ，EH=FG ， 所以四边EFGH 是平行四边形．所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM ＝12(OE ＋OG )＝12OE ＋12OG ＝12×1()2OA OB ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＋121()2OC OD ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＝ 14( OA ＋OB ＋OC ＋OD )．【方法规律】1．证明空间三点P 、A 、B 共线的方法(1) PA ＝λPB (λ∈R)；(2)对空间任一点O ，OP ＝OA ＋t AB (t ∈R)；(3)对空间任一点O ，OP ＝x OA ＋y OB (x ＋y ＝1)．2．证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法(1) MP ＝x MA ＋y MB ；(2)对空间任一点O ，OP ＝OM ＋x MA ＋y MB ；(3)对空间任一点O ，OP ＝x OM ＋y OA ＋z OB (x ＋y ＋z ＝1)；(4) PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB ＋OC )． (1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解：(1)由题知OA ＋OB ＋OC ＝3OM ，∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )，即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ，∴MA ，MB ，MC 共面．(2)由(1)知，MA ，MB ，MC 共面且基线过同一点M ，∴M ，A ，B[例3] 的中点．(1)求证：CE ⊥A′D ；(2)求异面直线CE 与AC′所成角的余弦值．[自主解答] (1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，CC '＝c ，由题意知，|a|＝|b|＝|c|且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE ＝b ＋12c ，A D '＝－c ＋12b －12a.∴CE ·A D '＝－12c2＋12b2＝0. ∴CE ⊥A D '，即CE ⊥A′D.(2) AC '＝－a ＋c ，CE ＝b ＋12c ， ∴|AC '|＝2|a|，|CE |＝52|a|.AC '·CE ＝(－a ＋c)·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c2＝12|a|2， ∴cos 〈AC '，CE 〉＝12|a|22·52|a|2＝1010.故异面直线CE 与AC′所成角的余弦值为1010.【方法规律】空间向量数量积的应用(1)求夹角．设向量a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|，进而可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)．运用公式|a|2＝a·a ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题．利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱AA1长为b ，且AA1与AB ，AD 的夹角都是120°.求AC1的长．解：|1AC |2＝1AC 2＝(AB ＋AD ＋1AA )2＝AB 2＋AD 2＋1AA 2＋2AB ·AD ＋2AD ·1AA ＋2AB ·1AA ＝a2＋a2＋b2＋0＋2abcos 120°＋2abcos 120°＝2a2＋b2－2ab. 所以|AC1|＝2a2＋b2－2ab.—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种意识——基底意识用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识．种方法——基向量法和坐标法用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解．个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的 问题(1)注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；(2)注意向量夹角与两直线夹角的区别；(3)注意向量共线与两直线平行与重合的区别．。
空间向量练习题(二)
空间向量练习题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（）A ．B ．2⎢⎣C ．4⎡⎢⎣⎦D ．2⎡⎢⎣⎦2．如图，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在体对角线AB 上运动，点Q 为棱CD 的中点，则当P 最小时，点P 的坐标为（）.A ．112,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,0C ．()0,0,1D ．111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭3．将边长为1的正方形11AAO O 及其内部绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为5π6，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧，则直线1B C 与平面11OAAO 所成的角的正弦值为（）A B C ．2D 4．如图，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且13,24MN ON AP AN ==，设向量OP xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A ．1112B ．1C ．34D ．565．如图，在三棱锥O ABC -中，点G 为底面ABC V 的重心，点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点，过点M 的平面分别交棱OA ，OB ，OC 于点D ，E ，F ，若OD kOA = ，OE mOB =，OF nOC = ，则111k m n++=（）A ．133B ．23C ．32D ．926．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1,A C BD 上的动点，当线段MN 的长最小时，直线MN 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（）A B C D 二、多选题7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P ，Q 分别为AB ，1CC 的中点，R 在直线11A D 上，且111A R A D λ=，PQR 的重心为G ，则（）A ．若G 在平面11CDD C 内，则3λ=B ．若1B ，G ，D 三点共线，则1λ=C ．若DG ⊥平面PQR，则12λ=D ．点G 到直线11A D8．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，则下列说法中正确的有（）A ．11BD AA AD AB=+- B ．1BD =C ．1AC BD⊥D ．直线1A C ⊥平面11BDD B 9．下列选项正确的是（）A ．空间向量()1,1,2a =-与向量()2,2,4b =-- 共线B ．已知向量()2,,4a x = ，()0,1,2b = ，()1,0,0c = ，若a ，b ，c共面，则2x =C ．已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r ，则a 在b 方向上的投影向量为12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．点(2,1,1)A 是直线l 上一点，(1,0,0)a =是直线l 的一个方向向量，则点(1,2,0)P 到直线l10．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，O 、P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值11．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1CC 中点，则下列说法正确的是（）A ．BD ⊥平面1A AEB ．B 到平面1AB E 的距离为53C ．平面1AB E 和底面1111D C B A 所成角的余弦值为23D ．若此正方体每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，14AB AC AA ===，点,,G E F 分别是11A B 、1CC 、AB 的中点，点D 是AC 上的动点.若GD EF ⊥，则线段DF 长度为.13．如图，二面角l αβ--等于120︒，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且1AB AC BD ===，则CD 的长等于．14．如图，两个正方形ABCD ，CDEF 的边长都是6，且二面角A CD E --为60︒，M 为对角线AC 靠近点A 的三等分点，N 为对角线DF 的中点，则线段MN =.15．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =+-+-，点N 满足λ=BN BA ()1BC λ+- ，则点M 与平面BCD 的位置关系是；当AM最小且BN uuu r 最小时，AM MN ⋅=．16．已知点P 为棱长等于4的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且4PA = ，则11PC PD ⋅ 的值达到最小时，1PC 与1PD夹角的余弦值．17．如图，三棱柱111ABC A B C -的各条棱长均为是2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，侧面11BCC B ⊥底面ABC ，点P 在线段11A C 上，且平面1B CP ⊥平面11ACC A ，则111AC PC =．四、解答题18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB所成的角的余弦值为5，求点P 到平面AEF 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．(1)求证：AB PC ⊥；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．20．在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB SC =，M 是BC 的中点.1AB SM ==，2BC =.(1)求证；AM SD ⊥；(2)求直线SA 与平面SCD 所成角的正弦值；(3)在线段SD 上是否存在点P ，使得面AMP ⊥面SCD ，若存在，求:SP SD 的值；若不存在，说明理由.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11AAC C ，AB AC ⊥，12AA AB AC ===，160A AC ∠= ．过1AA 的平面交线段11B C 于点E （不与端点重合），交线段BC 于点F ．(1)求证：四边形1AA EF 为平行四边形；(2)若3BF FC =，求直线11A C 与平面1AFC 所成角的正弦值．22．在斜三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC ⊥，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又已知11BA AC ⊥.(1)证明：⊥BC 平面11ACC A ．(2)求平面1AA B 和平面1A BC 的夹角的余弦值23．如图所示，四棱锥S -ABCDP 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值；(3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．。
高考数学专题《空间向量及其运算和空间位置关系》练习
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系1．（2021·陕西高二期末（理））已知P 为空间中任意一点，A B C D 、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且2136PA PB xPC BD =-+ ，则实数x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．16D ．16-2.【多选题】（2021·全国）下列命题中不正确的是（ ）.A ．若A ､B ､C ､D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++= B ．若||||a b = ，则a ､b 的长度相等而方向相同或相反C ．||||||a b a b -=+ 是a ､b 共线的充分条件D ．对空间任意一点P 与不共线的三点A ､B ､C ，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u r u u u r u u u r (x y z R ∈，，)，则P ､A ､B ､C 四点共面3.（2020·江苏省镇江中学高二期末）已知向量(1,3,2)a =- ，(2,,4)b m =-- ，若//a b r r ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________.4．（2021·全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b ；②若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥ ，b c ⊥ ，则有// a c ；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++ ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b + ，b c +r r ，c a + ，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．5．（2021·全国高二课时练习）已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__．6．（2021·广西高一期末）ABC V 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线长为___________.练基础7．（2021·全国高二课时练习）在三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥，6SA =，8BC =，则SB 的长为___________.8．（2021·浙江高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为底面ABCD 上一点，则1PA PC →→⋅的最小值为________.9．（2021·山东高二期末）在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 满足()112AD AB AA =+ ，则CD = _________．10．(2020-2021学年高二课时同步练）如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且,,OE kOA OF kOB OH kOD === ， ,,0,0AC AD mAB EG EH mEF k m =+=+≠≠ ，求证：（1）,,,A B C D 四点共面，,,,E F G H 四点共面；（2）AC EG ∥；（3）OG kOC = .1．（2021·四川省大竹中学高二月考（理））如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，11145,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠==== ，则1AC =u u u r （ ）A ．1BC ．9D ．32．（2021·全国高二课时练习）如图所示，二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =，则该二面角的大小为（ ）A ．30 B ．45C ．60D ．903．（2021·湖北荆州·高二期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC 与1B C 相交于点11,O A AB A AC BAC ∠∠∠==160,3,2A A AB AC ==== ，则线段AO 的长度为（）练提升A B C ．52D 4．（2020·浙江镇海中学高二期中）已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 与BD ，M ，N 分别为线段AB ，CD 上的点满足13AM AB = ，14DN DC = ，点G 在线段MN 上，且满足2MG GN = ，若AG x AB y AC z AD =++ ，则x y z ++=__________.5.（2021·广西高二期末（理））在ABC V 中，90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，D 是斜边上一点，以AD 为棱折成二面角C AD B --，其大小为60°，则折后线段BC 的最小值为___________.6．（2021·辽宁高一期末）已知点E 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11AA B B 内（含边界），F 是1AA 的中点，1D E CF ⊥，则tan BCE ∠的最大值为_____；最小值为______.7．（2021·北京高二期末）如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点.若MN x AB y AC z AD =++ ，则x y z ++=________；直线MN 和CD 的夹角为________.8．（2021·四川高二期末（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 是1BC 的中点，1AC =，12BC CC ==，190∠=︒ACC ，160∠=∠=︒ACB BCC ，设CA a = ，CB b = ，1CC c = .（1）用a ，b ，c 表示AB ，1A D ；（2）求异面直线AB 与1A D 所成角的余弦值.9．（2021·浙江高一期末）已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线,,AD TA TC 分别交于点,,P Q R 且AP TQ CR x AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α．（Ⅰ）设,,TA a TB b TC c === ，试用基底{,,}a b c 表示向量TD ；（Ⅱ）证明，对所有满足条件的平面α，点M的线段上．10．（2021·山东高二期末）已知在空间直角坐标系O xyz -中，点A ，B ，C ，M 的坐标分别是()2,0,2，()2,1,0，()0,4,1-，()2,3,1-，过点A ，B ，C 的平面记为α.（1）证明：点A ，B ，C ，M 不共面；（2）求点M 到平面α的距离.1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中练真题[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 2．(湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②3.( 2018年理数全国卷II )在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A. 15B. 56C. 55D. 224.(2019年高考浙江卷)如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.xyz O -111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==EF BC ⊥5.(2019年高考北京卷理)如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC上，且．（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角F–AE–P 的余弦值；（3）设点G 在PB 上，且．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．6.(2019年高考全国Ⅱ卷理)如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；13PF PC =23PG PB =（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．。
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(练)(解析版)
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系1.（2020·全国高二课时练习）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{,,}OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）. A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面 D ．O ，A ，B ，C 点中任意三点不共线【答案】B 【解析】选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则向量OA ，OB ，OC 共面，构不成基底； 选项B 对应的命题是错误的，若四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，构不成基底； 选项C 对应的命题是正确的，若四点共面，则OA ，OB ，OC 构不成基底；选项D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量OA ，OB ，OC 构不成基底. 故选：B2．（2020·全国高二课时练习）已知空间向量0a b c ++=，||2a =，||3b =，||4c =，则cos ,a b 〈〉=（ ） A ．12B ．13C ．12-D ．14【答案】D 【解析】 ∵a b c +=，∴a bc ，∴2222()||||2||a b a b a b c +=++⋅=，∴32a b ⋅=，∴1cos ,4||||a b a b a b ⋅〈〉==． 故选：D.3.如图，在正方体1111D C B A ABCD -，若11AA z y x BD ++=，则x y z ++的值为 （ ）A ．3B ．1C ．－1D ．－3 【答案】B 【解析】111,1,11BD AD AB AA x y z x y z =-+∴==-=∴++=.4.（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且1AF AD mAB nAA =+-则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D．12，12【答案】A 【解析】由于11111()222AF AD DF AD DC DD AD AB AA =+=++=++，所以11,22m n ==-. 故选：A5.已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．【答案】120° 【解析】，6. 已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则x = 【答案】6-【解析】由已知空间四点(0,3,5),(2,3,1),(4,1,5),(,5,9)A B C D x 共面，则AD AC AB λμ=+()()(),2,4,2,2,0,4,2,4AD x AC AB ==-=-，则2422244x λμλμμ=+⎧⎪=--⎨⎪=⎩解得6x =-7.（2020·江苏省镇江中学高二期末）已知向量(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________. 【答案】6103- 【解析】(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则(1,3,2)(2,,4)m λ-=--， 解得126m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；若a b ⊥，则2380a b m ⋅=---=，解得103m =-.故答案为：6和103-. 8．如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ， F 分别为棱AB ， AD 的中点，则AB BC +=__________； BC EF -=__________．【答案】 6 3【解析】设BD 中点为E ，以E 点为坐标原点， ED ， EC ， EA 分别为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，()0,0,3A ， ()1,0,3AB --， ()1,0,0B -， ()1,3,0BC ， ()0,3,0C ， ()1,0,0EF ， ()1,0,0D ， ()0,3,3AB BC +=-， 11,0,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()0,3,0BC EF -=， 11,0,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()()2220336AB BC +=++-=， ()233BC EF -==，故答案为6， 3.9．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中， π2BAC ∠=， 11AB AC A A ===，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点， D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围是__________．【答案】52⎫⎪⎪⎣⎭【解析】如图，以A 为原点，AB ， AC ， 1AA 分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系()0,0,0A ， 10,1,2E ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,0,12G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (),0,0F x ， ()0,,0D y ，∵GD EF ⊥，∴210x y +-=，22DF x y =+()2212y y =-+ 221555y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当25y =时， min 55DF =，当1y =时，（不包含端点故1y =不能取2），max 2DF =，∴DF 长度取值为5,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭． 10.（2019·浙江丽水·高二月考）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，则直线1D E 与1A D 所成角的大小是__________，若1D E EC ⊥，则AE =__________．【答案】90 1 【解析】长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，又11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动则D （0，0，0），D 1（0，0，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1），C （0，2，0）， 设E （1，m ，0），0≤m≤2，则1D E =（1，m ，﹣1），1A D =（﹣1，0，﹣1）， ∴1D E •1A D =﹣1+0+1=0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°．∵1D E =（1，m ，﹣1），EC =（﹣1，2﹣m ，0），D 1E ⊥EC ， ∴1D E EC =﹣1+m （2﹣m ）+0=0， 解得m=1，∴AE=1． 故答案为900，1．1.（2020·全国）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1BA BC DD ++=( )A ．11DB B ．1D BC ．1DBD ．1BD【答案】D 【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，()1111BA BC DD BA BC DD BD DD BD ++=++=+= 故选D.2．（2020·四川高二期中（理））若直线l 的方向向量()1,0,1a =，平面β的法向量()1,0,1n =-，则（ ） A ．l β⊂ B ．l β⊥ C ．//l β D ．l β⊂或//l β【答案】D 【解析】直线l 的方向向量()1,0,1a =，平面β的法向量()1,0,1n =- 由0a n ⋅=，则l β⊂或//l β， 故选：D.3．（2020·全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA =a ，PB =b ，PC =c ，则BE =_____.【答案】131222a b c -+ 【解析】1(2BE BP BD =+)=12(b - +BA BC +)=12b -+1(2PA PB PC PB -+-)=12b - +1(2)2a c b +-=131222a b c -+.故答案为：131222a b c -+4．（2018届湖南省长沙市周南中学三模）如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，D ,E 分别为 BB 1,A 1C 1 的中点，则异面直线 AD ,CE 所成角的余弦值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设的中点，以为轴建立坐标系，则，则，设与成的角为，则，故选C.5.设向量，，且，则的值为__________．【答案】168 【解析】，设，又，，，即，解得， .故.故答案为：168.6.(2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第二套模拟)已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球， MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM PN ⋅的取值范围是__________． 【答案】40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，设已知的正八面体SABCDI ，易知SI ⊥平面ABCD 于球心O ，且点O 为正方形ABCD 的中心，设球心O 与正四棱锥S ABCD -的侧面SBC 相切于点F 连接OE OF ，，则1OE =， 3SE =2SO =由1122SOESSE OF SO OE =⨯=⨯，得63OF = 6()()()2223PM PN PO OMPO ON PO PO OM ON OM ON PO ∴⋅=++=+++=-P 为正八面体表面上的任意一点则623PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 224033PO ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，即PM PN ⋅的取值范围是403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7.已知点P 为棱长等于2的正方体1111ABCD A B C D -内部一动点，且2PA =，则11PC PD ⋅的值达到最小时， 1PC 与1PD 夹角大小为__________． 【答案】90︒【解析】 由题意得，取11C D 中点M ，则()()()()111111PC PD PM MC PM MD PM MC PM MC ⋅=+⋅+=+⋅-22211PM MC PM =-=-，因为2PA =，所以P 在以A 为球心的球面上，所以min2321PMAM =-=-=，因为1112PM C D =，所以11PD PC ⊥，所以1PC 与1PD 的夹角为090. 8.已知球的半径为1，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求出答案. 详解：由题可知， 则，以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为轴建立空间坐标系，则，，设，在球面上，则设，当直线与圆相切时，取得最值.由得故答案为.9．（2020·全国高二课时练习）如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.（1）AA'－CB（2）AA'＋AB＋B C''【答案】AD'，AC'，图象见解析【解析】（1）AA'－CB＝AA'－DA＝AA'＋AD＝AD'.（2）AA'＋AB＋B C''＝(AA'＋AB)＋B C''＝AB'＋B C''＝AC'.向量AD'、AC'如图所示.10.已知向量()2,1,2a =--， ()1,1,4b =-. （1）计算23a b -和23a b -. （2）求,a b .【答案】(1) ()231,5,8a b -=-； 23310a b -=.(2) 4π. 【解析】（1）()()()()()2322,1,231,1,44,2,43,3,121,5,8a b -=----=----=-.()22223158310a b -=+-+=.（2）92,332a b cosa b a b ⋅===⨯，又[],0,πa b ∈， 故π,4a b =.1．(全国卷2)直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25302【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-，1(,0,1)2AN =-，所以cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅346522=⋅3010，故选C. 2．(湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】设)2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0(D C B A ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.3.( 2018年理数全国卷II )在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D.【答案】C 【解析】以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.4.(2019年高考浙江卷)如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）35． 【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ． 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， 所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ． 又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ． 所以BC ⊥平面A 1EF ． 因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形． 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形． 由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）． 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =23，EG =3.由于O 为A 1G 的中点，故11522A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC . 又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，3B 31，0），1(3,3,23)B ，33,23)2F ，C (0，2，0)． 因此，33(,23)2EF =，(3,1,0)BC =-． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ． 由（1）可得1=(310)=(023)BC A C --，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得3030x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 取n (131)=，，，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 5.(2019年高考北京卷理)如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （1）求证：CD ⊥平面PAD ； （2）求二面角F –AE –P 的余弦值； （3）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）33；（3）见解析. 【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （0，1，1）． 所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240.333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以3cos ,||⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F −AE −P 为锐角，所以其余弦值为33．（3）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--， 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（2）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n . 所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内.6.(2019年高考全国Ⅱ卷理)如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ， 故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．（2）由（1）知190BEB ∠=︒．由题设知Rt ABE △≌11Rt A B E △，所以45AEB ∠=︒， 故AE AB =，12AA AB =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，||DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D –xyz ，则C （0，1，0），B （1，1，0），1C （0，1，2），E （1，0，1），(1,0,0)CB =，(1,1,1)CE =-，1(0,0,2)CC =． 设平面EBC 的法向量为n =（x ，y ，x ），则0,0,CB CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0,x x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取n =(0,1,1)--.设平面1ECC 的法向量为m =（x ，y ，z ），则10,0,CC CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.z x y z =⎧⎨-+=⎩ 所以可取m =（1，1，0）． 于是1cos ,||||2⋅<>==-n m n m n m ．所以，二面角1B EC C --。
空间向量及其运算和空间位置关系 练习题
空间向量及其运算和空间位置关系1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c.3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎨⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(2019·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→)＝a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a)＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． 所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝0.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD ―→|＝ －42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5. 答案：58．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB ―→＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知AP ⊥平面ABCD ， 故③正确，④不正确． 答案：①②③9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN ―→＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB ―→＋OC ―→－12OA ―→＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.答案：16，13，1310．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→.∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS . 又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ，RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ，∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)， BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD ―→＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ―→＝0，n 2·CC 1―→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.12．如图所示，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0.设CE ―→＝tCS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋tCS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a 1－t ，62at ，而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→. 而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(晚间练)原卷版
8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当 · 最小时，点Q的坐标是________。
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出四个命题：
③( － )－2 ；④( ＋ )＋ 。
其中能够化简为向量 的是()
A．①②B．②③C．③④D．①④
3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为 ，源自λ等于()A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
4．平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若 ′＝x ＋2y －3z ′，则x＋y＋z＝()
(1)求 的坐标；
(2)设 和 的夹角为θ，求cosθ的值。
①( ＋ ＋ )2＝3( )2；② ·( － )＝0；
③ 与 的夹角为60°；④此正方体的体积为| · · |。
则正确命题的序号是__________(填写所有正确命题的序号)。
10．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设 ＝a， ＝b， ＝c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系
1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()
A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－b
C．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：
①( － )－ ；②( ＋ )－ ；
(1) ；(2) ；(3) ＋ 。
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空间向量及其运算和空间位置关系1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2．如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c.3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R)，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A ．9B ．－9C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎨⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(2019·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→)＝a ·(c －b)＋b ·(a －c)＋c ·(b －a)＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． 所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝0.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，95，125， ∴|BD ―→|＝ －42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫952＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝5. 答案：58．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB ―→＝－2－2＋4＝0， ∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确； 由①②知AP ⊥平面ABCD ， 故③正确，④不正确． 答案：①②③9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN ―→＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB ―→＋OC ―→－12OA ―→＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.答案：16，13，1310．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→.∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS . 又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ， 则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ，RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ，∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)， BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD ―→＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ―→＝0，n 2·CC 1―→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.12．如图所示，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD . (2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0.设CE ―→＝tCS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋tCS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a 1－t ，62at ，而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→. 而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。