根式函数的性质及其应用

根式函数b

ax y +=

2的性质及其应用

摘要：

关键词：

1、 引言

高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.

下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.

2、

性质归纳

性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b

性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称

将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性）

① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数

有了性质作辅助，遇题便有章可依.

3、 典例分析

例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a

证明：设函数14)(2

+=x x f ，它的图象是双曲线14

12

2

=-x y 的上支(如右图)

)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2

(2)()(b

a f

b f a f +≥+ ∴

124214142

22+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≥+++b a b a 即得2214142

2≥+++b a 证毕.

推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11

=∑=n

i i x ，则有21

2bn a b ax n

i i +≥+∑=

例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立.

② 若b a ≠，原不等式等价于2|1

414|22≤-+-+b

a b a

设函数14)(2

+=x x f ，则b

a b a -+-+1

41422可看作函数)(x f 图象上任意两点

()14,2+a a P ，()

14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1

44)(2'+=

x x x f ，∴ 2|

|2|

|41

4||4|)(|2'<<

+=

x x x x x f ∴ 2|1

414|

22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间.

例3 当b a <<0时，求证：()14414142

22+->

+-+a a b a a b

证明：原不等式等价于

1

441

4142

22+>-+-+a a a

b a b

设函数14)(2

+=x x f ，则a b a b -+-+1

41422可看作函数)(x f 图象上任意两点

()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在

()b a ,上存在一点ξ，使得

)()

()('ξf a

b a f b f =--.

1

44)(2'+=

x x x f 且()

01

44

)(2

32

''>+=

x

x f ，∴ )('x f 在()b a ,上单调递增. 又 b a <<<ξ0，∴ )()(''a f f >ξ ∴

)()

()('a f a

b a f b f >--

即

1

441

4142

22+>-+-+a a a

b a b ∴

()1

4414142

22+->

+-+a a b a a b 证毕.

4、 高考竞赛在线

例4 (2000年全国高考试题) 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取

值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数. 解：不妨设1C ：ax y =1，2C ：122+=x y ，

整理得1C ：ax y =1，2C ：122

2=-x y ()0≥y

则函数)(x f 表示双曲线122=-x y ()0≥y 及直线ax y =对应

x 的点的纵坐标之差，又双曲线2C 的渐近线为x y ±=，从图理解可知，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.

例5 (2001年全国联赛试题) 求函数232+-+=x x x y 的值域. 解： 因为()x x x x x x y --+-=+-+=232322， 不妨设1C ：x y -=1,2C ：2322+-=x x y

整理得1C ：x y -=1,2C ：41)23(2

22=--y x ()0≥y

则本题可转化为求双曲线()014141)23(22

≥=--y y x 及直线

x y -=对应x 的点的距离差，其中(2≥x 或1≤x ).

又双曲线2C 的渐近线为⎪⎭⎫ ⎝⎛

-±=23x y ，其中一条与x y -=平行.

从图立即可得函数的值域为),2[)2

3

,1

[+∞ ．