根式函数的性质及其应用
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
高中数学-根式
∵－3<x<3，
∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.
当－4<x－1<0，即－3<x<1 时，
|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
当 0≤x－1<2，即 1≤x<3 时，
数 学
|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
必
修 ①
· 人 教
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9＝－ －24x－2
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析]
5
(1)
－25＝－2.
6
(2)
π－46＝6
4－π6＝4－π.
4
(3)
x＋24＝|x＋2|＝－x＋x－2 2
x≥－2 x<－2 .
数
7
(4)
x－77＝x－7.
学
必
修
①
·
人
教
A
版
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
『规律方法』 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然 后运用根式的性质进行化简或求值．
修
① n次方根的个数要求．
·
人
教
A
版
返回导航
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析] (1)∵(±9)2＝81，∴81 的平方根为±9，即 a＝±9. 又(－2)3＝－8，∴－8 的立方根为－2，即 b＝－2. ∴a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11 或 7.
(2)①由于 6 为偶数，所以 x＝±6 2016.
[分析]
去根号，化为含绝 对值的形式
小学数学根式的基本概念与运算课件
目录
01.
02.
03.
04.
05.
根式：表示一个数的平方根的代数式 根号：表示一个数的算术平方根的符号 被开方数：根号下的数 根式的值：被开方数的平方根
平方根式：表示被开方数为非 负数
算术平方根式：表示被开方数 为非负数，且根号内不含分母
立方根式：表示被开方数为任 意实数
开方根式：表示被开方数为任 意实数，且根号内不含分母
根式的基本性质：根式具有非负性，即被开方数必须是非负数。 根式的运算性质：根式可以进行加、减、乘、除等运算，运算结果仍为根式。
根式的简化性质：可以通过因式分解、约分等手段简化根式，使其更易于理解和运算。
根式的应用性质：根式在数学、物理等多个领域都有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具之一。
合并同类项：将根式中的同类项进行合并，简化根式。 系数相加减：根式中的系数可以进行加减运算。 被开方数不变：在进行根式加减法时，被开方数保持不变。 根号次数不变：在进行根式加减法时，根号次数保持不变。
代数方程求解：利用根式表示方程的解，简化求解过程 函数极值问题：通过根式计算函数的极值点，便于分析函数的性质 积分运算：利用根式简化积分运算，提高计算效率 数学归纳法：通过根式证明数学归纳法的正确性，简化证明过程
根式可以表示分数：例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4，等等。
根式可以化简分数：例如， √(4/9) = 2/3，√(9/16) = 3/4， 等等。
代数方程的解法：通过移项、合并 同类项、化简等步骤求解一元一次 方程
根式在解一元二次方程中的应用： 通过因式分解或公式法利用根式求 解一元二次方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
二次根式及性质
《二次根式》（第1课时）教学设计教材：2011版课程标准北师大版八年级(上)钱生来银川市第六中学一、教学内容解析1．内容二次根式与最简二次根式的概念，二次根式的性质以及二次根式的化简。
2．内容解析《二次根式》是北师大版八年级上册《第二章实数》的第7节，是在学习了勾股定理、算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数等概念，会用根号表示数的平方根、立方根，了解了开方与乘方互为逆运算的基础上的进一步学习。
二次根式既是实数加减乘除等运算的需要，也是将来九年级学习锐角三角函数以及一元二次方程、二次函数等内容的重要基础。
在初中学段课程标准只要求学习根号下仅限于数的二次根式及其加减乘除四则运算，而不研究一般意义下的二次根式（根号下含字母），显然是在充实实数的学习，其核心是学习有无理数参与的实数加减乘除四则运算。
教材共为本节设计了三个课时，分别是：第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．本节课是第1课时，不仅是对实数的延续与扩充，还是为后继学习二次根式的四则运算奠定基础。
本课时的教学内容主要由概念性知识和程序性知识两部分构成。
对于最简二次根式的概念以及二次根式的性质等概念性知识教材都没有直接给出，而是让学生从一定数量的具体例子中通过观察、分析、归纳、概括后形成，从而让学生充分体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想。
化简二次根式的一般步骤是：把根号下大于1的带分数或小数化成假分数，把小于1的正小数化成真分数；被开方数是正整数的要因数分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
不等式的幂函数与根式
不等式的幂函数与根式幂函数和根式是高中数学中常见的数学概念和工具，它们在解决各种数学问题和应用中扮演着重要角色。
当这两个数学工具与不等式结合时，能够更加灵活地处理和求解各种不等式问题。
本文将重点介绍不等式的幂函数和根式，并展示它们在不等式求解中的应用。
1. 幂函数的性质与不等式幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n是实数。
幂函数具有以下性质：- 当n为奇数时，幂函数是增函数；当n为偶数时，幂函数是关于原点对称的，即f(x) = f(-x)。
- 当n>1时，幂函数在整个定义域上都是正的；当0<n<1时，幂函数在正数域上是增函数，且约束域为正数。
对于不等式而言，利用幂函数的性质能够达到快速求解不等式的目的。
举个例子，我们来看一道简单的幂函数不等式：x^2 > 4由于幂函数在正数域上是增函数，我们可以将不等式进行平方根处理，得到：|x| > 2这时可以发现，不等式的解为x < -2或者x > 2。
通过这个例子，我们可以看到幂函数的性质与不等式的关系，并能够将不等式的求解转化为解析解。
2. 根式的性质与不等式根式是指形如√(x)或者∛(x)的函数，其中√(x)表示x的平方根，∛(x)表示x的立方根。
根式具有以下性质：- 根式的定义域为非负实数，即x≥0。
- 根式函数也是增函数，即当x1 < x2时，f(x1)<f(x2)。
这一性质同样适用于根式的多项式复合函数。
根式在不等式的求解中经常被用到，举个例子：√(x+3) > 2因为根式函数为增函数，我们可以将不等式两边进行平方操作，得到：x + 3 > 4解得：x > 1，然后再对根式的定义域进行检查，x ≥ 0。
综合考虑，原不等式的解为：x > 1。
通过这个例子，我们可以看到根式的性质与不等式的关系，并能够灵活应用根式来求解不等式问题。
3. 幂函数与根式的组合与不等式在实际应用中，不等式的求解经常涉及到幂函数和根式的组合。
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式及性质知识点
二次根式及性质.知识要点：（1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
用±a 表示。
例如：因为()±=±=±525252552，所以的平方根为。
b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根为0。
用a 表示a 的算术平方根。
例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。
c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3表示。
例如：因为3272727333==，所以的立方根为。
d. 平方根的特征：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e. 立方根的特征：①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④-=-a a 33。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。
（2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。
b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 20=≥（）③a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④ab a b a b =⋅≥≥（，）00⑤b a b a a b =>≥（，）00c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅=≥≥（，）00②b a ba ab =>≥（，）00d. 最简二次根式的标准：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。
根式函数公式汇总
根式函数公式汇总1. 根式函数定义根式函数是指含有根号的数学函数，通常表示为√x，其中x为函数的自变量。
根式函数可以用来表示平方根、立方根等。
2. 常用根式函数公式汇总以下是一些常见的根式函数公式：- 平方根函数：- √(a * b) = √a * √b- (√a)^2 = a- √(a^2) = a，其中a为非负实数- √(a/b) = √a / √b，其中a、b为非负实数- 立方根函数：- ^(3)√(a * b) = ^(3)√a * ^(3)√b- (^(3)√a)^3 = a- ^(3)√(a^3) = a，其中a为实数- ^(3)√(a/b) = ^(3)√a / ^(3)√b，其中a、b为实数且a/b≥0- n次方根函数：- ^(n)√(a * b) = ^(n)√a * ^(n)√b- (^(n)√a)^n = a- ^(n)√(a^n) = a，其中a为实数- ^(n)√(a/b) = ^(n)√a / ^(n)√b，其中a、b为实数且a/b≥0以上公式可以帮助你在计算根式函数的过程中简化求解，并且可以根据需要进行变形。
3. 注意事项在使用根式函数公式时，需要注意以下几点：- 确保根号内的值为非负实数，否则将无法求解实数解。
- 注意乘法和除法运算的顺序，不同的顺序可能导致结果不同。
- 在计算多次方根时，注意区分奇次方和偶次方的不同性质。
4. 示例假设有以下根式函数：- f(x) = √(5x+2)- g(x) = ^(3)√(2x-3)根据上述公式，可以得到以下推导：- f(4) = √(5*4+2) = √(22) ≈ 4.69- g(5) = ^(3)√(2*5-3) = ^(3)√7 ≈ 1.91注意，在计算时应根据具体的函数表达式进行相应的公式运算。
5. 总结本文总结了根式函数的一些常用公式，希望可以帮助你更好地理解和应用根式函数。
在使用根式函数时，需要熟练掌握公式和注意事项，以避免求解错误或出现歧义。
高考复习-基本初等函数5
基础知识梳理
(2)正数的负分数指数幂的意义与负 m 整数指数幂的意义相仿； 我们规定 a－ n 1 ＝ m(a>0，m，n∈N*且 n>1)． an (3)0的正分数指数幂等于0；0的 负分数指数幂没有意义．
基础知识梳理
3．有理指数幂的性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
第5课时
指数函数
基础知识梳理
1.根式的概念
根式的概念 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n 次方根 当n为奇数时，正数的n次方 根是一个 正数，负数的n次方 根是一个 负数 符号表示 备注 n＞1且 n∈N*
n a
零的n次 方根是零
n 当n为偶数时，正数的n次方 负数没有 ± a(a＞0) 根有 两个 ，它们互为 相反数 偶次方根
基础知识梳理
4．指数函数及其性质 (1)一般地，函数 y＝ax(a>0且a≠1) 叫 做指数函数，其中x是自变量 ，函数的 定义域是R. (2)一般地，指数函数y＝ax(a>0且 a≠1)的图象与性质如下表所示：
基础知识梳理
a>1 0<a<1
图象
定义域
R
基础知识梳理
a>1 值域 0<a<1
(0，＋∞)
课堂互动讲练
高考检阅
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝
1 1 3 ＋ x (a>0 x a －1 2
且 a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)>0在 定义域上恒成立．
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 指数函数课件(理)
【知识梳理】 1.根式 (1)根式的概念 ①若____,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子
叫x做n=a根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
na
②a的n次方根的表示:
xn=a⇒x=
(当n为奇数且n∈N*时), na ____(当n为偶数且n∈N*时). na
(2)根式的性质
【小题快练】
链接教材 练一练 1.(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的 图象经过点A( ),则f(-1)=________.
2 ，1 3
【解析】依题意可知a2=1 ,解得a= 3 ，
3
3
所以f(x)=( 3)x,所以f(-1)=( )-1=3
答案:
3
3
3.
3
2.(必修1P60B组T1改编)若函数y=(a2-1)x在R上为增函 数,则实数a的取值范围是________. 【解析】由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为增函数,得a21>1,解得a> 或a<- . 答案:a> 或2a<- 2
2
2
感悟考题 试一试
3.(2016·泉州模拟)函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象
恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是 ( )
A.y=
B.y=|x-2|
C.y=2x1-1x
D.y=log2(2x)
【解析】选A.由f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过点
(1,1),又0= ,知(1,1)不在y= 的图象上.
1
【规范解答】(1)
4 16x8y4 2x2y
(16x8y4)4 2x2y
幂函数与根式函数的运算与性质解析
幂函数与根式函数的运算与性质解析幂函数与根式函数是数学中常见的两类函数。
它们在数学运算与性质方面有着一定的差异与特点。
本文将针对这两类函数的运算与性质进行解析。
首先，我们来看幂函数的定义与性质。
幂函数是指以自变量为底数的指数函数。
它的一般形式可表示为y=x^n，其中x为自变量，n为指数，y为函数值。
幂函数的性质如下：1. 幂函数的定义域为实数集。
由于幂函数的指数可以是任意实数，因此幂函数的定义域为整个实数集。
2. 幂函数的奇偶性与指数的奇偶性相同。
当指数n为偶数时，幂函数呈现偶函数的性质，即关于y轴对称；当指数n为奇数时，幂函数呈现奇函数的性质，即关于原点对称。
3. 当指数n为正数时，幂函数的增减性与自变量的正负性相同。
当n>0时，幂函数随着自变量x的增大而增大，随着自变量x的减小而减小；当n<0时，幂函数随着自变量x的增大而减小，随着自变量x的减小而增大。
4. 幂函数的图像特点与指数的正负性相反。
当指数n>0时，幂函数呈现象限一或四的图像特点，即从第三象限逐渐向第一象限逼近；当指数n<0时，幂函数呈现象限二或三的图像特点，即从第一象限逐渐向第三象限逼近。
接下来，我们来看根式函数的定义与性质。
根式函数是指以根号为表示的函数。
它的一般形式可表示为y=sqrt(x)，其中x为自变量，y为函数值。
根式函数的性质如下：1. 根式函数的定义域为非负实数集。
由于根式函数的自变量为x，而根号下的值必须大于等于零，因此根式函数的定义域为非负实数集。
2. 根式函数的值域为非负实数集。
由于根号下的值必须大于等于零，因此根式函数的值域也为非负实数集。
3. 根式函数是奇函数。
根式函数关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。
4. 根式函数的图像特点为非负半轴。
根式函数的图像位于非负半轴上，且从原点开始逐渐向正无穷逼近。
在幂函数与根式函数的运算中，存在以下一些常见的性质：1. 幂函数与常数的乘积仍然是幂函数。
二次根式的概念和性质
一、二次根式的概念和性质二次根式1.0a ≥）的式子叫做二次根式.说明：（1）被开方数是正数或0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.二次根式的性质：（10； （2）2(0)a a =≥； （3(0)(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，2=二、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．三、二次根式的加减 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式． 二次根式的加减二次根式知识点同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b =+ 分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．四、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．五、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对与二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．六、根式的大小比较 比较大小的方法1．作差法:比较a 、b 的大小，0,0,0,a b a b a b a b >>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩２．作商法：比较a 、b 的大小，当0,0a b >>时，可以采用作商法，1,1,1,a b a a b b a b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法 （1）0a b >>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法=0a ≥，0b ≥）．=（0a ≥，0b >）． 说明：利用乘除法则时注意a 、b a 、b 都非负，否则不成立．一、 单选题1、（2015中考西城二模）函数2y x=-中，自变量的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥ C ．2x > D ．2x ≥-【答案】 B【解析】由二次根式有意义的条件可得20x -≥，即2x ≥，故答案为B ．2、（2013初二上期末房山区）下列各式中，计算正确的是（ ） A ．22=B 16=±C ．8D ．(26=【答案】 A【解析】该题考查的是二次根式的计算．x 例题A，22=，故A正确；B16，故B错误；C，8-，故C错误；D，(212=，故D错误．所以该题的答案是A．3）A．(1a-B．(1a-C．D．(1a-【答案】B【解析】(=-B选项．1a4、(2013初二上期末平谷区)下列二次根式中，最简二次根式是（）ABCD【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误；BCD 故选C ．5、（2012初二下期末人大附中）如果最简二次根式b 那么a 、b 的值分别是（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b = C ．1a =-，1b = D ．1a =，2b =- 【答案】 A【解析】该题考查的是同类二次根式的概念．同类二次根式是被开方数相同的两个最简二次根式． ∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩，解得：02a b =⎧⎨=⎩．故选A ．6、下列运算中，正确的个数是（ ）①1251144251=；2=-；③214141161+=+④()442±=-5-A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】该题考查的是根式的运算．13111212=；=4，；⑤正确，故只有1个是正确的， 所以本题的答案是B ．7、( )A ．在9.1～9.2之间B ．在9.2～9.3之间C ．在9.3～9.4之间D ．在9.4～9.5之间【答案】 C【解析】9()x x +是小数部分；则有：()2988x +=，即：2187x x +=，得187x ≈，0.38x ≈，9.39.4～之间，故答案为C 选项．8、(2013初一上期末人民大学附属中学)已知正整数a 、b =那么a b -的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5B【解析】该题考查的是根式的性质和运算．方法一：)1==因此可得6,3a b==，故a b-的值是3．方法二：由题知正整数a、b=9a b+-918a bab+=⎧⎨=⎩解得6a=，3b=，故a b-的值是3．故本题答案为B．二、填空题9、(2013初一上期末人民大学附属中学)，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．==0．∴43ab=-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．10、实数a、b a的化简结果为______【答案】b-b a该题考查的是代数式化简．由图中可得0a >，0b <，且a b <，则0a b +<a a b a a b a b =++=--+=-．11、=____________=______________． 【答案】25，9 【解析】25==，369+=12、（2013a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=- 解得：1a =±13、（2013．【答案】【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式==14、(2013初一上期末人民大学附属中学+=____【答案】【解析】该题考查根式的分母有理化．++=+=三、解答题15、（2014【答案】【解析】本题考察的是根式的计算．==16、(2013初二上期末门头沟区)【答案】【解析】该题考查的是二次根式计算．原式+2=-17、（2013初二上期中C理工附）（1（2）点Q、M之间的距离是_________．（3）点M关于点Q的对称点是__________．（4）若点P、Q、M、所对应的实数分别是p、q、m，q m-+【答案】（1）P、M、Q（2）M Q-（3）2Q M-（4）p m-【解析】该题考察的是实数与数轴．（1<P，M，Q；（2）MQdM Q=-；（3）若数轴上两个点关于某个点对称，则这两个点的平均数为中间的那个点所表示的数，故点M关于点Q的对称点为2Q M-；（4q m-+()22q p m q p q=---+-p m=-18、1()2x yz++，求x、y、z的值．【答案】1,2,3x y z===P MQ【解析】1()2x y z ++得：0x y z ---1(1)1(2)10x y z -+--+--=即：2221)1)1)0++=所以：1,2,3x y z ===19、．【答案】<【解析】1==1=>∴11<- <1、（2015中考平谷一模）函数y =中自变量的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-【答案】 B【解析】根据题意可知，10x ->，即1x >．故选B ．2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ） A．2a b =+Ba b + C 22a b+D a b =+【答案】 C【解析】因为220a b +≥22a b +，故答案为C 选项．3、（2011中考大兴一模）函数y =中，自变量x 的取值范围是___________【答案】 2x >-【解析】根据题意可知，只需20x +>，即2x >-即可．随堂练习4、实数P____【答案】1【解析】该题考查的是实数运算．由数轴可得，23p <<， ∴20p ->，30p -<， 23231p p p p -+-=-+-=．5、计算：=⨯12172_________，=--)84)(213(_________， =⨯-03.027.02_________，_____________=．【答案】24；0.18-；5-【解析】=，(24⎛--==⎝，20.090.18-=--⨯=-，4335-⨯=-6、(2013初一上期末人民大学附属中学)化简：2____【答案】43x -12 34p【解析】该题考查根式的化简．212x -+∵由题得120x -≥，12x ≤33x x =-=-．∴原式12343x x x =-+-=-． 故答案为43x -．7、设A B ==A ____B ．【答案】 A B >【解析】2A =2B =< ∴22A B< ∴A B >8、（2013初二下期中北京第四中学）已知: 1x =，求223x x +-的值．【答案】 2-【解析】该题考查的是代数式求值．把1x =代入得：原式))21213=+-323=--2=-9、已知：,x y 为实数，且3y ，化简：3y -【答案】1-【解析】 由3y <得：1x =，3y <，所以31634341y y y y y y --+=---=-++-1、（2015中考大兴一模）函数y =x 的取值范围是（ ） A ．2x ≤且0x ≠ B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠【答案】 A【解析】根据题意可知，20x -≥，且0x ≠．解得2x ≤，且0x ≠． 2、若A （ ）A ．24a +B ．22a +C ．()222a +D ．()224a +【答案】 A 【解析】 因为()224A a+24a =+，故答案为A 选项．3、（2015中考西城二模）若2(2)0m ++ 则m n -= ．课后作业【答案】 3-【解析】因为2(2)0m +=，所以2m =-，1n =，故3m n -=-．4、在下列二次根式中，最简二次根式有____________________．【答案】【解析】由最简二次根式的定义可知是最简二次根式．5、（2012初二上期末通州区）若最简二次根式a =__________【答案】 4【解析】本题考查的是最简二次根式的定义．∴3530a a -=+≥，解得4a =．6、0，则3223a ba b+=-____【答案】-18【解析】该题考查非负数的性质．000=0=0．∴43a b =-⎧⎨=-⎩求出321823a ba b+=--．7、（2013初二下期中北京第四中学）12．（填“>”、“<”或“=”）．【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．102==>102->，12>．8、(2013初二下期末清华大学附属中学)01)【答案】 011+=0……5分9、化简：（1（2【答案】（11（2【解析】（11=（2===。
根式函数值域分析
根式函数值域分析根式函数是指函数中含有根号形式的式子，形如f(x) = √(ax+b)，其中a和b为任意实数。
根式函数在数学中是一个重要的函数类型，它在各个领域的应用广泛，并且在高中数学课程中也有相应的学习内容。
本文将对根式函数的值域进行分析，包括值域的定义、求值域的方法和一些典型的例子，以帮助读者更好地理解和掌握根式函数的性质。
一、值域的定义值域是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。
对于根式函数来说，值域就是函数的输出值的集合。
根式函数的值域通常是由函数的定义域和函数的性质决定的。
二、求值域的方法对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以采用以下方法来求解其值域：1.确定定义域首先要确定函数的定义域，也就是使得根式内的表达式非负的变量的取值范围。
对于f(x) = √(ax+b)来说，当ax+b≥0时，函数有意义，所以要求ax+b≥0，解得x≥-b/a。
因此，函数的定义域为D = (-b/a,+∞)。
2.确定值域的上界我们需要找到函数的最大值或者一个上界，这样就确定了值域的上界。
对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以看出，函数的值随着x的增大而增大，而且函数不会无限增大。
当x→+∞时，ax+b也会趋近于正无穷大，此时根式函数的函数值也趋近于正无穷大。
因此，可以确定根式函数的值域的上界为正无穷大。
3.确定值域的下界确定值域的下界需要考虑到函数的性质以及定义域的限制。
对于根式函数f(x) = √(ax+b)，我们可以观察到，当x→-b/a时，ax+b趋近于0，此时根式函数的函数值也趋近于0。
因此，我们可以确定根式函数的值域的下界为0。
综上所述，根式函数f(x) = √(ax+b)的值域为[0, +∞)。
三、典型例子1.例子1：考虑函数f(x)=√x，其中x为非负实数。
我们可以观察到，当x增大时，函数的值也增大，且函数可以取到任意非负实数。
因此，根式函数f(x)=√x的值域为[0,+∞)。
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算 （一）根式的观点1、假如 x na, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时， a的 n 次方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 na 表示，负的 n 次方根用符号 na 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．2、式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a0 ．3 、 根 式 的 性 质 ： ( n a )na ； 当 n 为 奇 数 时 ， n a na ； 当 n 为 偶 数 时 ，na n|a |a (a 0) ． a (a 0)（二）分数指数幂的观点mna m (a 0,m, n1、正数的正分数指数幂的意义是：a n N , 且 n1) ．0 的正分数指数幂等于 0．mm1)m (a2、正数的负分数指数幂的意义是：a n( 1) nn ( 0, m, n N , 且 n 1)． 0 的负aa分数指数幂没存心义．注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 ( a 0) a p1/a p ( a 0； p N )4、指数幂的运算性质a r a sa r s (a 0, r , s R)( a r )s a rs (a 0, r , s R)( ab) r a r b r (a 0, b0, r R)5 、 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无心义。
二、指数函数的观点一般地，函数 xy a ( a 0, 且a 1) 叫做指数函数，此中 x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；○2 注意指数函数的底数的取值范围不可以是负数、零和 1．三、指数函数的图象和性质 函数名称指数函数定义函数 ya x ( a 0 且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1y图象y 1Oya xya xy(0,1) y 1(0,1)xOx定义域 R值域 （ 0,+ ∞）过定点 图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性 非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y ＞ 1(x ＜ 0),y=1(x=0),y=1(x=0),变化状况0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)0 ＜ y ＜ 1(x ＞ 0)a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高， 越凑近 在第一象限内， a 越小图象越高， 越凑近y 轴； a 越大图象越低， 越凑近 y 轴；a 越小图象越低， 越凑近图象影响 在第二象限内， 在第二象限内， x 轴． x 轴．注意：利用函数的单一性，联合图象还能够看出：（ 1）在 [a ， b] 上， f (x )a x (a 0且 a 1) 值域是 [ f (a), f ( b)] 或 [ f (b), f (a)] （ 2）若 x 0，则 f (x ) 1； f ( x) 取遍全部正数当且仅当 x R （ 3）对于指数函数 f (x ) a x (a 0 a 1)，总有 f (1) a 且（ 4）当 a 1 时，若 x 1 x 2 ，则 f (x 1 ) f ( x 2 )四、底数的平移对于任何一个存心义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
《n次根式》课件
n次根式的发展历程
早期起源
n次根式最早可追溯到古希腊数 学家，他们开始探索多边形的面 积和体积的计算方法，从而引入
了n次根式的概念。
中世纪发展
在中世纪，阿拉伯数学家进一步 发展了n次根式，将其应用于代
数和三角学等领域。
01
03
02 04
文艺复兴时期
欧洲文艺复兴时期，多位数学家 如笛卡尔、牛顿等都对n次根式 进行了深入研究，推动了其理论 的发展。
详细描述
对于根号内的复杂因式，我们可以尝 试将其有理化，以便更容易地处理。 例如，我们可以将$sqrt{a+b}$有理 化为$sqrt{a}+sqrt{b}$，从而简化表 达式。
03
n次根式的应用
解决实际问题
01
02
03
计算物理问题
在解决物理问题时，经常 需要使用n次根式来计算 速度、加速度、力等物理 量。
02
n次根式的化简
根号内的因式分解
总结词
通过因式分解，将根号内的表达式转换为易于处理的简单形 式。
详细描述
对于根号内的复杂表达式，我们可以尝试将其因式分解，以 便更容易地处理。例如，我们可以将$sqrt{a^2+b^2}$分解 为$sqrt{a^2}+sqrt{b^2}$，从而简化表达式。
根号内的有理化分母
金融计算
在金融领域，n次根式常 用于计算复利、折现率等 金融指标。
化学计算
在化学领域，n次根式用 于计算化学反应速率、平 衡常数等化学指标。
在数学其他领域的应用
代数方程求解
在求解代数方程时，n次根 式常用于求解一元或多元 方程。
微积分
在微积分中，n次根式用于 计算定积分、不定积分等 。
根式的概念高中
根式的概念高中根式在高中数学中是一个重要的概念，是数学中常见的一种记法，用于表示含有根号的数字或表达式。
根式是数学中一种用于表示x的某个根的记号，用"√"表示，即一个小平方根的符号。
根式的基本概念可以通过以下几点来说明：1. 根式的定义：根式是含有根号符号的数学表示形式，用来表示一个数a的某个根，记作√a。
2. 根式的基本性质：根式具有唯一性，即一个正数a只能有一个不小于0的平方根，记作√a。
如果a大于等于0，则√a的结果是一个非负实数；如果a小于0，则√a的结果是一个虚数。
3. 根式的运算规则：根式可以进行加减乘除等基本运算。
- 加法和减法：根式的加法和减法可以直接进行，但要求被加或被减的根数必须相同。
例如√a + √b = √(a + b)，√a - √b = √(a - b)。
- 乘法：根式的乘法可以转化为同指数幂的乘法进行，即√a ×√b = √(a ×b)。
- 除法：根式的除法可以转化为同指数幂的除法进行，即√a ÷√b = √(a ÷b)。
4. 根式的化简与简化：将一个根式表达式化简为最简形式是根式运算中常见的一个步骤，化简的原则是尽量使根号内不含有分母或一个根号内只含有最多一个根号。
例如√(4×9×16)可以化简为12，即√(4)×√(9)×√(16) = 2×3×4 = 12。
5. 根式的乘方与除方：根式的乘方运算可以转化为指数运算进行，即(√a)^n = a^(n/2)，其中n为正整数。
例如√9 = 9^(1/2) = 3，√9^2 = (9^(1/2))^2 = 9^(1/2 ×2) = 9。
6. 根式的应用：根式在数学中的应用非常广泛。
在代数中，根式可以用于求解方程与函数的性质研究；在几何中，根式可以用于计算图形的边长、面积和体积等；在物理中，根式可以用于计算速度、加速度等物理量。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是高中数学中的重要知识点，主要涉及到二次方程、二次函数和根的性质等内容。
下面将从概念、性质、应用和解题方法等方面详细探讨二次根式相关知识，共计2000字。
第一部分：概念和性质引入二次根式的概念，首先需要明确根的定义。
根，也称为平方根，是指一个非负数b，使得b的平方等于一个给定的数a。
根的符号为√，如√a表示根号下a。
在二次根式中，被开方的数被称为被开方数或者被开方式，√a称为二次根式。
二次根式的性质包括如下几点：1. 二次根式的结果为非负数，即√a≥0。
2. 二次根式的结果可以是一个有限小数，也可以是一个无限循环小数。
3. 二次根式的运算可以进行加、减、乘、除等操作，遵循相应的运算规则。
第二部分：应用二次根式在数学中的应用广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 几何中的长度计算：在三角形或其他几何图形中，二次根式可以用来计算边长、斜边等长度。
例如，在勾股定理中，直角三角形的斜边长度就可以通过二次根式求解。
2. 物理中的速度计算：在物理中，速度的大小通常使用二次根式表示。
例如，某物体从静止开始以匀加速度运动，其速度可以表示为v=a√t，其中a为加速度，t为时间。
3. 统计中的标准差计算：在统计学中，标准差用于衡量数据的离散程度。
标准差的计算中涉及到对平方根的运算。
第三部分：解题方法解决二次根式相关问题需要掌握一些常用的解题方法。
1. 提取公因式法：当二次根式分子、分母都有相同的因式时，可以提取公因式进行简化。
例如，化简√(20/45)，可以提取公因式得到√(4/9)。
2. 平方差公式：平方差公式可以用来化简一些特殊形式的二次根式。
例如，化简√(a-b)(a+b)，可以利用平方差公式得到√(a^2-b^2)。
3. 有理化分母法：当二次根式的分母是一个二次根式时，可以通过有理化分母的方法来进行化简。
例如，化简1/√3，可以将分母有理化为√3/3。
4. 定理运算法：在一些复杂的二次根式运算中，可以通过引入一个合适的定理来进行化简。
根式和幂函数的关系
根式和幂函数的关系根式和幂函数是高中数学中重要的概念和工具，它们在数学中的应用广泛且深远。
在本文中，我们将探讨根式和幂函数之间的关系，讨论它们的特点、性质以及互相转化的方法。
一、根式和幂函数的定义与表示1. 根式的定义与表示根式是求一个数的算术平方根、立方根、四次方根等运算的数学表达式。
一般地，设a为非负实数，n为大于1的正整数，则求a的n次根的运算可以用下列形式表示：√n√a 或 a^(1/n)其中，根号√表示开根号的符号，n√表示n次根运算，a为被开方数。
例如，求4的开平方根可以表示为√4，即2；求8的开立方根可以表示为3√8，即2；求16的开四次方根可以表示为4√16，即2。
2. 幂函数的定义与表示幂函数是一类具有特定形式的函数，通常写作f(x) = x^a，其中a是实数常数。
在幂函数中，x是自变量，a是幂指数。
幂函数的图像可以是直线、抛物线、指数曲线等。
当a为正数时，幂函数为增函数；当a为负数时，幂函数为减函数；当a为零时，幂函数为常数函数。
二、根式和幂函数的特点和性质1. 根式的特点和性质- 非负实数都有算术平方根，即对于任意非负实数a，都存在一个非负实数x，使得x^2 = a。
- 非负实数都有算术立方根，即对于任意非负实数a，都存在一个实数x，使得x^3 = a。
- 根式运算满足保号性：若已知a>=b >= 0，则√a >= √b。
2. 幂函数的特点和性质- 当a为正数时，幂函数是增函数，即随着自变量增大，函数值也增大。
- 当a为负数时，幂函数是减函数，即随着自变量增大，函数值减小。
- 当a为零时，幂函数是常数函数，即函数值恒为1。
三、根式与幂函数之间的转化1. 幂函数转化为根式将幂函数f(x) = x^a转化为根式形式，可以利用a为整数的情况，采用多次开方的方式。
例如，将f(x) = x^3转化为根式形式，可以表示为f(x) = ∛x。
2. 根式转化为幂函数将根式√n√a或a^(1/n)转化为幂函数的形式，可以利用a为有理数的情况，采用次数乘法的方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根式函数b
ax y +=
2的性质及其应用
摘要：
关键词：
1、 引言
高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.
下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.
2、
性质归纳
性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b
性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称
将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性）
① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数
有了性质作辅助，遇题便有章可依.
3、 典例分析
例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a
证明：设函数14)(2
+=x x f ，它的图象是双曲线14
12
2
=-x y 的上支(如右图)
)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2
(2)()(b
a f
b f a f +≥+ ∴
124214142
22+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+++b a b a 即得2214142
2≥+++b a 证毕.
推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11
=∑=n
i i x ，则有21
2bn a b ax n
i i +≥+∑=
例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立.
② 若b a ≠，原不等式等价于2|1
414|22≤-+-+b
a b a
设函数14)(2
+=x x f ，则b
a b a -+-+1
41422可看作函数)(x f 图象上任意两点
()14,2+a a P ，()
14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1
44)(2'+=
x x x f ，∴ 2|
|2|
|41
4||4|)(|2'<<
+=
x x x x x f ∴ 2|1
414|
22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间.
例3 当b a <<0时，求证：()14414142
22+->
+-+a a b a a b
证明：原不等式等价于
1
441
4142
22+>-+-+a a a
b a b
设函数14)(2
+=x x f ，则a b a b -+-+1
41422可看作函数)(x f 图象上任意两点
()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在
()b a ,上存在一点ξ，使得
)()
()('ξf a
b a f b f =--.
1
44)(2'+=
x x x f 且()
01
44
)(2
32
''>+=
x
x f ，∴ )('x f 在()b a ,上单调递增. 又 b a <<<ξ0，∴ )()(''a f f >ξ ∴
)()
()('a f a
b a f b f >--
即
1
441
4142
22+>-+-+a a a
b a b ∴
()1
4414142
22+->
+-+a a b a a b 证毕.
4、 高考竞赛在线
例4 (2000年全国高考试题) 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取
值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数. 解：不妨设1C ：ax y =1，2C ：122+=x y ，
整理得1C ：ax y =1，2C ：122
2=-x y ()0≥y
则函数)(x f 表示双曲线122=-x y ()0≥y 及直线ax y =对应
x 的点的纵坐标之差，又双曲线2C 的渐近线为x y ±=，从图理解可知，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.
例5 (2001年全国联赛试题) 求函数232+-+=x x x y 的值域. 解： 因为()x x x x x x y --+-=+-+=232322， 不妨设1C ：x y -=1,2C ：2322+-=x x y
整理得1C ：x y -=1,2C ：41)23(2
22=--y x ()0≥y
则本题可转化为求双曲线()014141)23(22
≥=--y y x 及直线
x y -=对应x 的点的距离差，其中(2≥x 或1≤x ).
又双曲线2C 的渐近线为⎪⎭⎫ ⎝⎛
-±=23x y ，其中一条与x y -=平行.
从图立即可得函数的值域为),2[)2
3
,1
[+∞ ．
5、拓宽延伸
通过对根式函数b
y+
=2图象和性质的研究，有助于遇到同类型题目时
ax
消除陌生感，减弱畏惧心，
6、总结提炼
参考文献
1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究，2009年第6期
2 陆建.把握特征诱发直觉[J].中学数学教学参考，2005年第6期。