等差数列的性质及其应用

西昌学院
毕 业 论 文（设 计）
（一二届）
题
目：
等差数列的性质及其应用 彝语言文化学院 数学与应用数学 吉子么阿佳 1010010046 阿力非日
院（系、部） ： 专 姓 学 业： 名： 号
指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处
制
摘要：等差数列是高中数学的一个重要模块，也是高考的必考内容。它同时也是很多同 学的盲点，因为在面对具体问题时，好多同学就不知从何下手。为此，本文借助具体实 例给出了等差数列的性质及其应用，尤其是高中数学习题中的解题技巧。在解题过程中 学生要系统的掌握等差数列的性质并熟练的应用其技巧。 关键词：等差数列；性质；应用；技巧
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Smn m n 。
或求 an 中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n 项和的图像是过原点的二次 函数，故 n 取离二次函数对称轴最近的整数时， S n 取最大值（或最小值） 。若 S p S q 则 其对称轴为 n
n a1 a2 n 1
2 n a2 a2 n 2
na n
na n 1
S偶 S 奇 na n 1 na n n a n 1 a n
(2) 当项数为奇数 2n 1 时，则 S 2 n 1 S S 2n 1an 1 S n 1an 1 S n 1 S n S - S an 1 S nan 1 （其中 an+1 是项数为 2n 1 的等差数列的中间项） 。 A 8. {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，且 n f (n) ， Bn a (2n 1)an A2 n 1 则 n f (2n 1) 。 bn (2n 1)bn B2 n 1 9. 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 S m n ， 前 m 项 和 S n m ， 则 前 m n 项 和 10. 求 S n 的最值 法一：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但 要注意数列的特殊性 n N * 。 法二： （1）“首正”的递减等差数列中，前 n 项和的最大值是所有非负项之和。 a n 0 即当 a1 0，d 0，由 可得 S n 达到最大值时的 n 值。 a n 1 0 （2）“首负”的递增等差数列中，前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 a n 0 即 当 a1 0，d 0，由 可得 S n 达到最小值时的 n 值。 a 0 n 1
n(n 1) d d d n 2 (a1 )n 是关于 n 的二次函数 2 2 2
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且常数项为0。 2. 若公差 d 0 ， 则为递增等差数列， 若公差 d 0 ， 则为递减等差数列， 若公差 d 0 ， 则为常数列。 3. 当 m n p q 时 , 则 有 a m a n a p a q ， 特 别 地 ， 当 m n 2 p 时 ， 则 有
am an 2a 源自文库 。
注： a1 an a2 an 1 a3 an 2 ，
4. 若 an 、 bn 为等差数列，则 an b， 1an 2bn 都为等差数列。 6. 数列 {an } 为等差数列，每隔 k k N * 项取出一项( am , am k , am 2k , am 3k , )仍为等 差数列。 7. 设数列 a n 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和 (1) 当项数为偶数 2n 时，
2 等差数列的性质
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母 d 表示。
2.1 等差数列的性质归纳
1. 当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 ( n 1) d dn a1 d 是关于 n 的一次 函数， 且斜率为公差 d ； 前 n 和 S n na1
2.1 等差数列的性质归纳...................................................................................................4 2.2 等差数列的判定及证明...............................................................................................5
Abstract: The Arithmetic progression is not only one of the most important modules of high school math, but also the compulsory entrance examination
content. For many students, it is a blind spot, because they don’t know how to deal with the specific problems when they are faced with those problems. Therefore, based on the specific examples, this passage will show the problem-solving strategies on the nature of Arithmetic progression and its applications, especially problem-solving skills of the high school exercises. In problem-solving process, students have to master the system and the nature of the arithmetic series skilled application of their skills.
4 等差数列的例题诠释.......................................................................................13 5 结论...................................................................................................................16 谢辞.....................................................................................................................17 参考文献.............................................................................................................18
Keywords: Arithmetic progression; nature; application; skills
目 录
1 绪论.....................................................................................................................3 2 等差数列的性质.................................................................................................4
1 绪论
理解等差数列的概念、掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式并且能运用公式解 答问题成为本课题的学习方向。等差数列的性质是等差数列的概念，通项公式，前 n 项 和公式的引申。应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比， 使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重 视，高考中也一直重点考查这部分内容。既有选择填空、又有解答题。客观题突出“小 而巧”主要考察性质、概念的理解，主观题都是“大而全”，着重考查函数方程、等价转 换、分类讨论等数学思想方法。 本课题详细研究等差数列的性质， 通过具体实例解释说明其性质以及如何巧妙的运 用性质来解题。数列是高考的重点，属于离散型函数，结合 2010 年高考和《江苏省普 通高中课程标准教学要求》 ，浅谈学习数列的几个注意点。1) 二元思想：等差数列最重
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要的刻画量是首项和公差， 因此将等差数列问题转化为首项和公差的问题是一种重要的
S , n 1 思想方法；2) an与S n 的关系：若已知 S n ，巧妙利用 an 1 可以解决通项公 S n S n 1 , n 2
式的问题。反之， an 也可以表示 S n ；3) 函数的思想。 数列学习要紧抓在《江苏省普通高中课程标准教学要求》 ，做好对数列的基本认识， 掌握好数列中各量之间的联系，学会将函数问题转化为数学问题，打好三基，可以有效 地解决高考中所出现的数列问题。 数列向来是中职教材中代数部分的重要内容之一， 它不仅有着广泛的实际应用,而且 起着承前启后的作用,一方面,数列作为一种特殊的函数,与函数思想密不可分,另一方面, 学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。 等差数列是在学生学习了数列的 有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上， 对数列知识的进一 步深入和拓广，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
3 等差数列的性质运用技巧.................................................................................8
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3.1 巧用等差数列的第二通项公式...................................................................................8 3.2 设项的技巧...................................................................................................................8 3.3 基本量与性质的应用技巧...........................................................................................9 3.4 等差中项与前 n 项和公式结合运用技巧.................................................................10 3.5 等差数列前 n 项和公式的运用技巧.........................................................................10
S奇 a1 a3 a5 a2 n 1 S偶 a2 a4 a6 a2 n S奇 S偶 nan a n nan 1 an 1
5. 若{ a n }是等差数列，则 S n , S 2 n S n , S3n S 2 n ，…也成等差数列。