(完整word版)概率论与数理统计公式集锦
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4.由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当 时拒绝H0，否则认为接受H0。
两类错误
第一类错误
当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即：P{拒绝H0|H0为真}= ；
2.单正态总体均值和方差的假设检验
条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知
未知
未知
或
已知
（少见）
或
③协方差和相关系数的性质： ，
4、随机变量分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
p
p(1-p)
二项分布
np
np(1-p)
泊松分布
均匀分布
正态分布
指数分布
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若 对于任意 有
2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若 相互独立，
且 ，则：
②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则 ，有：
第二类错误
当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即：
P{接受H0|H1为真}= 。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。
③解方程： ，解得：
4.估计量的评价标准
估计量的评价标准
无偏性
设 为未知参数 的估计量。若E( ）= ，则称 为 的无偏估计量。
有效性
设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
一致性
设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有
则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。
5. 单正态总体参数的置信区间
概率பைடு நூலகம்与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式名称
公式表达式
德摩根公式
，
古典概型
几何概型
，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）
求逆公式
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)， 时P(A-B)=P(A)-P(B)
样本均值： 或
求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数 ，它的前k阶原点矩 中包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，用样本矩 代替 ，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数 的矩估计量
3.点估计中的极大似然估计
极大似然估计法： 取自 的样本，设 或 ，
求法步骤：
①似然函数：
②取对数： 或
离散型： ，连续型：
4、二维随机变量和函数的分布
离散型：
连续型：
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型 ，连续型
②性质： ， ，
，当X、Y相互独立时：
2、方差
①定义：
②性质： ， ，
当X、Y相互独立时：
3、协方差与相关系数
①协方差： ，当X、Y相互独立时：
②相关系数： ，当X、Y相互独立时： (X,Y不相关)
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为 的置信区间
已知
未知
已知
未知
八、假设检验
1.假设检验的基本概念
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是显著性水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
基本步骤
1.提出原假设H0；2.选择统计量K；3.对于α查表找分位数λ；
性质：① ②
(3) 分布：设随机变量 ，且 与 独立，则随机变量 所服从的分布称为自由度 的 分布，
记为 ，性质：设 ，则
七、参数估计
1.参数估计
(1)定义：用 估计总体参数 ，称 为 的估计量，相应的 为总体 的估计值。
(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
条件概率公式
乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式
（逆概率公式）
两件事件
相互独立
； ；
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
2、离散型随机变量及其分布
分布名称
分布律
0–1分布X~
二项分布X~
泊松分布X~
3、连续型随机变量及其分布
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布
X~
指数分布
X~
正态分布
X~
标准正态
分布
X~
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
③辛钦大数定律：若 独立同分布，且 ，则
3、中心极限定理
①独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 的独立同分布时，
当n充分大时有：
②拉普拉斯定理：随机变量 则对任意x有：
③近似计算：
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本
总体 的分布函数 样本 的联合分布为
2、统计量
(1)样本均值： (2)样本方差：
(3)样本标准差： (4)样本 阶距：
(5)样本 阶中心距：
3、三大抽样分布
(1) 分布：设随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布 ，则随机变量 所服从的分布称为自由度为 的 分布，记为
性质：① ②设 且相互独立，则
(2) 分布：设随机变量 ，且X与Y独立，则随机变量： 所服从的分布称为自由度的 的 分布，记为
离散型： ，
连续型：①分布函数法，②公式法
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律： 分布函数
边缘分布律：
条件分布律： ，
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
分布函数：
性质：
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数： 密度函数：
③条件概率密度
，
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立 ，
两类错误
第一类错误
当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即：P{拒绝H0|H0为真}= ；
2.单正态总体均值和方差的假设检验
条件
原假设
检验统计量
统计量
分布
拒绝域
已知
未知
未知
或
已知
（少见）
或
③协方差和相关系数的性质： ，
4、随机变量分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
p
p(1-p)
二项分布
np
np(1-p)
泊松分布
均匀分布
正态分布
指数分布
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若 对于任意 有
2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若 相互独立，
且 ，则：
②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则 ，有：
第二类错误
当H1为真时，而样本值却落入了接受域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即：
P{接受H0|H1为真}= 。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。
③解方程： ，解得：
4.估计量的评价标准
估计量的评价标准
无偏性
设 为未知参数 的估计量。若E( ）= ，则称 为 的无偏估计量。
有效性
设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
一致性
设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有
则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。
5. 单正态总体参数的置信区间
概率பைடு நூலகம்与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式名称
公式表达式
德摩根公式
，
古典概型
几何概型
，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）
求逆公式
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A∪B)=P(A)+P(B)
减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)， 时P(A-B)=P(A)-P(B)
样本均值： 或
求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数 ，它的前k阶原点矩 中包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，用样本矩 代替 ，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数 的矩估计量
3.点估计中的极大似然估计
极大似然估计法： 取自 的样本，设 或 ，
求法步骤：
①似然函数：
②取对数： 或
离散型： ，连续型：
4、二维随机变量和函数的分布
离散型：
连续型：
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型 ，连续型
②性质： ， ，
，当X、Y相互独立时：
2、方差
①定义：
②性质： ， ，
当X、Y相互独立时：
3、协方差与相关系数
①协方差： ，当X、Y相互独立时：
②相关系数： ，当X、Y相互独立时： (X,Y不相关)
条件
估计
参数
枢轴量
枢轴量
分布
置信水平为 的置信区间
已知
未知
已知
未知
八、假设检验
1.假设检验的基本概念
基本思想
假设检验的统计思想是小概率原理。
这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是显著性水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
基本步骤
1.提出原假设H0；2.选择统计量K；3.对于α查表找分位数λ；
性质：① ②
(3) 分布：设随机变量 ，且 与 独立，则随机变量 所服从的分布称为自由度 的 分布，
记为 ，性质：设 ，则
七、参数估计
1.参数估计
(1)定义：用 估计总体参数 ，称 为 的估计量，相应的 为总体 的估计值。
(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）
条件概率公式
乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式
（逆概率公式）
两件事件
相互独立
； ；
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
2、离散型随机变量及其分布
分布名称
分布律
0–1分布X~
二项分布X~
泊松分布X~
3、连续型随机变量及其分布
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布
X~
指数分布
X~
正态分布
X~
标准正态
分布
X~
4、随机变量函数Y=g(X)的分布
③辛钦大数定律：若 独立同分布，且 ，则
3、中心极限定理
①独立同分布的中心极限定理：均值为 ，方差为 的独立同分布时，
当n充分大时有：
②拉普拉斯定理：随机变量 则对任意x有：
③近似计算：
六、数理统计的基本概念
1、总体和样本
总体 的分布函数 样本 的联合分布为
2、统计量
(1)样本均值： (2)样本方差：
(3)样本标准差： (4)样本 阶距：
(5)样本 阶中心距：
3、三大抽样分布
(1) 分布：设随机变量 相互独立，且都服从标准正态分布 ，则随机变量 所服从的分布称为自由度为 的 分布，记为
性质：① ②设 且相互独立，则
(2) 分布：设随机变量 ，且X与Y独立，则随机变量： 所服从的分布称为自由度的 的 分布，记为
离散型： ，
连续型：①分布函数法，②公式法
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律： 分布函数
边缘分布律：
条件分布律： ，
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
分布函数：
性质：
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数： 密度函数：
③条件概率密度
，
3、随机变量的独立性
随机变量X、Y相互独立 ，