天体运行的数学原理—-N体问题的三百年
高三一轮专题复习：天体运动知识点归类解析
天体运动知识点归类解析【问题一】行星运动简史1、两种学说（1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。
支持者托勒密。
（2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
（3）.两种学说的局限性都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
2、开普勒三大定律开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台做研究工作。
1600年，到布拉格成为第谷的助手。
次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的继承人。
第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观测数据不吻合。
他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行的事实。
并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。
第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。
如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为a v，v过近日点时的速率为b由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间t ，则有：所以b a v v a b = ②②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远日点慢的结论。
②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。
第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等。
用a 表示半长轴，T 表示周期，第三定律的数学表达式为k T a =23，k 与中心天体的质量有关即k 是中心天体质量的函数)(23M k T a =①。
物理学中一桩300多年的悬案——牛顿旋转水桶实验证明了什么
牛顿旋转水桶实验证明了什么
郭应焕 郭振华 郭 巍
近来看到一些广泛流行的图书与资料，他们强 调了唯有牛顿绝对时空观才是正确的观点；并且人 们通常认为牛顿的旋转水桶实验证明了牛顿绝对空 间的存在。本文将指出，这些观点与看法可能是错 误的，值得商榷与澄清。正如资深物理学教授沈致 远先生所指出的： “这是 300 多年来物理学中的一个 基本问题，触及物理学之根本” ，因此，讨论并评述 牛顿旋转水桶实验将是很有意义的，有必要重新评 价牛顿的旋转水桶实验。本文将简要回顾并评述了 牛顿的经典力学、牛顿旋转水桶实验、马赫原理及 其实验检验、爱因斯坦与马赫原理，最后特别指出， 牛顿旋转水桶实验的结果，严格证明了在惯性参考 系中相对性原理是绝对成立的。 系，m 具有这个特性的结论叫惯性定律 (牛顿第一定 律 )。 这是人类认识的第一次大飞跃， 它把人们从 “走 得快时费力大”的经验，而认为力与速度有关的概 念彻底推翻。牛顿进一步把改变 m 的惯性运动状态 的外部作用称为力 F，当 m 确定时，F 与速度随 AT 的变化率 (加速度 a)成正比， 这即经典动力学定律 (牛 顿第二定律 )F=ma。因为 F－ ma=0，就把－ ma 叫 m 的惯性力， ma 和 F 的方向相反，数值相等，就把 － ma 叫相对于 F 的反作用力 (牛顿第三定律 )。把 m 称惯性质量，它是质点惯性大小的度量。从此牛顿 完成了他的经典动力学， 与他发现的万有引力定律， 合称经典力学。
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现代物理知识
响的存在。 Ivash 实验 马赫原理。 这个实验是通过水星轨道进动来 测定的，得出 m/m<1.57×1010。这个结果也不支持
五、马赫原理的历史变迁
爱因斯坦 (1879 — 1955) 在广义相对性（广义协 变）原理、等效原理、马赫原理的基础上建立了广 义相对论。爱因斯坦曾强调“坚持这个原理（马赫 原理）的必要性，绝不是一切专业工作者都赞同的， 然而我感到，要使这条原理得到满足，那是绝对必 要的。根据 C（即马赫原理）按照引力（ G ）场方
三体问题教学教材
然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分， 远远不足以解决三体问题。
无解？
我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无 解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用 解析式表达出来，只能算数值解，没有办法得出精 确值。
三体问题
三体问题
序言
2015年8月23日，被誉为“中国科幻第一人”的刘 慈欣凭借其科幻小说《三体》获得“雨果奖”最佳 长篇小说奖，这是亚洲人首次获得雨果奖，也是中 国科幻第一次获得世界级的认可。在小说中，三体 叛军通过《三体》游戏向社会传播三体文化，游戏 玩家们建立了各种模型来躲避乱纪元、预测恒纪元 的到来。
限制性三体问题
其实，三体运动已经是对实际物理简化得很厉害了 ，比如说对质点，球体自转、形状已经统统不考虑 了，然而即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯 、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个问题穷 尽精力，也未能将它攻克。
科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是 一部心酸的简化史。
研究三体问题的意义
然而其他的解就复杂得多了。比如被他们起名为“ 纱线”的解，在形状球空间中的形状就像一个线团
，而在实际空间中，轨道的样子就像一大坨意大利 面(RAmen!)。Šuvakov and Dmitrašinović根据此方法 把所有已发现的通解，包括前人发现的那些，总共 分成了16族。他们又根据对称性和其他性质将这16 族解分成了4大类，其中第一类囊括了所有前人发 现的特解。
(1)、8字型族——三个物体在一条8字形的轨道上互 相追逐。
高中物理天体运动知识点详解
高中物理天体运动知识点详解01开普勒的行星运动三定律开普勒第一定律开普勒第一定律即为椭圆轨道定律，其内容为：所有的行星围绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，如图。
此定律说明不同行星的椭圆轨道是不同的。
开普勒第二定律开普勒第二定律又叫面积定律，其内容为：连接太阳和行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积，如图。
此定律说明行星离太阳越近，其运行速率越大。
开普勒第三定律开普勒第三定律即为周期定律，其内容为：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常数。
即，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星运动的公转周期，k是一个与行星无关的常量。
对的认识：在图中，半长轴是AB间距的一半，不要认为a等于太阳到A 点的距离；T是公转周期，不要误认为是自转周期，如地球的公转周期是一年，不是一天。
说明（1）在以后的计算问题中，我们都把行星的轨道近似为圆，把卫星的运行轨道也近似为圆，这样就使问题变得简单，计算结果与实际情况也相差不大。
（2）在上述情况下，的表达式中，a就是圆的半径R，利用的结论解决某些问题很方便。
注意①比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量，在不同的星系中，k值不相同。
②在太阳系中，不同行星的半长轴都不相同，故其公转周期也不相等。
③卫星绕地球转动、地球绕太阳转动遵循相同的运动规律。
易错点在认识行星做椭圆运动时的向心力大小及速度大小时易错，行星的运动符合能量守恒定律，它们离太阳近时半径小，速度大，向心力也大；离太阳远时半径大，速度小，向心力也小，另一个易错点是找椭圆的半长轴时易错，许多同学在初学时，往往将2倍的半长轴代入题中进行运算。
忽略点本节中的行星运动的轨道为椭圆，是曲线运动，行星在轨道上任一点的速度方向沿该点的切线方向，速度方向易忽略，如：有部分同学认为行星的速度方向垂直于行星与太阳的连线，这种认识是错误的，是将行星的运动视为圆周运动，而实质上其轨道为椭圆。
02卡文迪许扭称实验卡文迪许设计了扭称实验来测量万有引力常量，下图是扭称实验的原理图。
哥白尼与天体运行论第谷与开普勒运动学的奠基
对火星轨道的研究是开普勒重新研究天体运动的起点。开 始，开普勒用正圆编制火星的运行表，发现火星老是出轨。他 便将正圆改为偏心圆。可是，依照这个方法来预测火星的位置， 跟第谷的观测数据仍然不符，产生8’的误差。 开普勒知道第谷观测数据的准确性，所以他没有将这一误 差“观测范围内的允许误差”，而是认为“匀速圆周运动”的 假设存在错误。此后，开普勒转向了用第谷的观测数据去确定 行星的运行轨道。从而发现火星轨道是一种椭圆，并进而发现 每个行星都沿椭圆轨道运动，太阳就在一个焦点上；接着又发 现面积定律。上述两定律发表在1609年出版的《新天文学》上。 在1619年出版的《世界的和谐》中公布了周期定律。 ※开普勒的上述重要发现，为牛顿创立天体力学理论奠定 了基础。开普勒是用数学公式表达物理定律并成功的人之一。 从此开始，数学方程就成为表达物理定律的基本方式。
哥白尼的学说不仅改变了那个时代人类对宇宙的认识， 而且根本动摇了欧洲中世纪宗教神学的理论基础。“从此自 然科学便开始从神学中解放出来”，“科学的发展从此便大 踏步前进”
二.第谷与开普勒
1.第谷(Tycho
Brahe,1546-1601)的天文观测
丹麦人，生于贵族家庭，1576年在丹麦国王腓特烈二世 资助下在哥本哈根海峡的一个小岛上修建了一座完善的天文 台，测量精度较前人提高了几十倍至上百倍，在21年的观测 中，各行星角位置的误差仅为2’(即0.033°，1°=60’)。他 将亚里士多德理论和哥白尼体系进行了折中，认为，除地球 和围绕它的月亮外，其他天体都绕太阳运转，太阳率领众行 星围绕地球运转，地球是静止不动的。被人誉为“星学之 王”。 腓特烈二世逝世后，第谷失去了资助。1599年，他在布 拉格得到了奥皇卢道夫的一份赠款，于是他把部分仪器搬到 了布拉格。在这里，他得到了一个青年助手开普勒。他们共 同进行观察，直到1601年第谷去世。
三体运动方程
三体运动方程引言三体运动是天体力学中的一个经典问题，指的是三个质点之间相互作用的运动。
这个问题在理论物理和计算科学领域具有重要的意义，因为它涉及到了非线性动力学、混沌理论和数值计算等多个方面。
本文将详细探讨三体运动的基本方程、运动规律以及数值求解方法。
三体运动的基本方程三体运动的基本方程可以通过牛顿第二定律推导得到。
假设三个质点的质量分别为m1、m2和m3，位置矢量分别为r1、r2和r3，根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：1.m1 * d2r1/dt2 = G * (m2 * (r2 - r1) / |r2 - r1|^3 + m3 * (r3 - r1) /|r3 - r1|^3)2.m2 * d2r2/dt2 = G * (m1 * (r1 - r2) / |r1 - r2|^3 + m3 * (r3 - r2) /|r3 - r2|^3)3.m3 * d2r3/dt2 = G * (m1 * (r1 - r3) / |r1 - r3|^3 + m2 * (r2 - r3) /|r2 - r3|^3)其中，G为引力常数。
这三个方程描述了三个质点之间的相互作用，是三体运动的基本方程。
运动规律三体运动问题由于其非线性的本质，导致了一系列复杂的运动规律。
根据三体运动的性质，可以将其分为以下几种情况：稳定运动在某些特殊情况下，三体系统可以呈现稳定运动。
例如，当三个质点的质量相等且初始位置形成等边三角形时，它们将以恒定的角速度绕质心旋转。
这种情况下，三体系统的运动是稳定的。
周期性运动在一些特殊的初始条件下，三体系统的运动可以是周期性的。
例如，当两个质点的质量远大于第三个质点的质量时，第三个质点将围绕着前两个质点做椭圆轨道运动。
这种情况下，三体系统的运动是周期性的。
混沌运动大多数情况下，三体系统的运动是混沌的。
混沌运动指的是系统对初始条件极其敏感，微小的初始误差可能导致完全不同的运动轨迹。
三体问题的混沌性质使其成为天体力学中的一个重要研究课题。
N体问题的三百年
N体问题的三百年天体运行的数学原理------N体问题的三百年1。
N体问题的起源和早期发展(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程 xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是我们这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。
(参看[4]) 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。
N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。
什么是三体问题？
什么是三体问题？三体问题是指在牛顿力学的框架下，研究三个星体相互之间的引力作用，寻找它们运动轨迹的问题。
这个问题看似简单，但却具有极高的复杂性，直到现在仍未找到通解。
下面，我们将就三体问题展开科普。
一、三体问题的基础知识1.1 牛顿的万有引力定律三体问题的研究基础是牛顿的万有引力定律。
该定律是指两个质点之间的引力与它们质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。
即F=G(m1m2/r^2)，其中F为引力，G为万有引力常数，m1和m2为两个质量，r为它们之间的距离。
1.2 三体运动的基本形式在三体问题中，三个质点的运动是相互关联的。
它们在互相之间的作用下，各自的运动状态都会发生变化。
根据这种变化的方式，三体运动可以分为封闭运动、开放运动和混沌运动。
1.3 研究三体问题的工具在牛顿力学中，通过建立方程组来求解三体问题。
通常需要借助于数值计算，在计算机的帮助下才能得到比较准确的结果。
此外，为了更好地研究三体问题，人们提出了许多方法，如雅可比坐标系、哈密顿力学和希尔伯特空间等。
二、三体问题的研究历程2.1 初步解决问题的尝试早在17世纪，牛顿便开始了对于三体问题的研究。
他发现，当星体的质量很小时，可以得到比较精确的解。
而当质量增大时，方程就变得复杂起来。
因此，人们开始寻找一些特殊的情况，如相等质量的星体、等边三角形的星体分布等。
2.2 深入研究与新的认识随着科技的发展，人们对于三体问题的理解逐渐深入。
在20世纪初期，有人提出了一个重要的概念——“好的起始条件”。
即在三体运动开始时，如果星体的位置和速度能够得到一定的控制和调整，就有可能获得可解的结果。
此外，二十世纪六、七十年代，科学家们通过计算机对三体问题进行了更深入的研究。
在这一过程中，人们发现了许多令人震惊的现象，如棒球效应、克莱因瓶、麻球等。
2.3 从三体问题到宇宙的研究三体问题的研究不仅仅是为了解决这一个问题本身，更是建立在对宇宙的探索之上。
随着人类的探索不断深入，我们意识到我们所处的宇宙是极其复杂的，三体问题的研究将会给我们更好地理解宇宙带来帮助。
三体问题
N体问题的三百年作者: dsds 发布日期: 2004-12-07 查看数: 4647 出自: /portal天体运行的数学原理------N体问题的三百年1。
N体问题的起源和早期发展(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程xn+yn=zn 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是我们这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。
(参看[4]) 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。
N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
探究天体运行的数学法则：从牛顿到庞加莱
庞加莱 Ｕ ． Ｈ ． １ ＇ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ， ， １ ８ ５ ４ －１ ９ １ ２ ） 法国大科学家。组合拓扑学和 自守ｉ ｌ ｌ 数的
创始人 研究 三 体 问题并发展 出微分万程
定性 理 论 ： 对物 理 学也 右 重要 贡 献
丫
ｔ Ｓ ． Ｋ ｏ ｖ ａ ｌ ｅ ｖ ｓ ｋ ａ ｖ ａ ， １ ８ ５ ０ －１ ８ ９ １ ） 等 都有亲密的关系＿而
多 ｝ ｝ ｝ ｉ ｝ ｉ Ｊ ／ Ｌ Ｉ Ｌ
探究天体运行的数学法则：
从 牛Ａ ｝ ｝到 Ａ 加 裘
０ １ 已
在１ ９ ０ 。 年国际数学家大会上， 大数学家希尔伯特
在他著名的演讲 ‘ ’ 中提出了 ２ ３个困难的数学 问题 ， 这
些 问 题在 ２ ０世 纪 的 数 学 发 展 中 起 了非 常 重 要 的 作
名被 个 国际委员会评判 以决出优胜者 。然后优胜者
的论文将发表在《 数学学报》 上。这个委员会由当时赫
赫 有 名 的三 位 数学 家组 成 ：德 国 的 外 尔斯 特 拉 斯
ｌ Ｋ ． Ｘ Ｉ ＇ ｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ ． １ ８ １ ５ 一１ ８ ９ ７ ） 、法 国 的埃 尔 米特
（ Ｃ ． Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ ． １ ８ ２ ２ －１ ９ ０ １ ） 和米塔格 一莱夫勒本人 从现代观念来看， 这样的竞赛 也许有 “ 炒作” 和为 新杂志做广告的嫌疑 事实 仁当时就有一些数学 家如 德国的克罗内克 （ Ｌ ． Ｋ ｒ ｏ ｎ ｅ ｃ ｋ ｅ ｒ ， １ ８ ２ ３ －１ ８ ９ １ ） 批 评这种 竞赛 但是从历史上来看 ， 米塔 格 一莱大勒和奥斯 Ｋ ＿ 世的动机或许确实是 为了推动科学的发展 奥斯 卡 二 世本人在大学 中数学就学得很 好 ．他和许多 当时著名 的 数 学 家 如 外 尔 斯 特 拉 斯 、柯 瓦 列 夫 斯 卡 娅
高一物理-天体运动(讲解及练习)
3万有引力模块一开普勒定律知识导航1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律 对任何一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
这个定律告诉我们，行星 在绕太阳运动的时候，由于行星到太阳的距离会发生改变，所以行星的运动速度也会发生改变。
3．开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟他的公转周期的二次方的比值都相等，即 a T 2圆轨道半长轴，T 代表公转周期， K 是一个对所有行星都相同的常量。
= K 其中 a 代表椭任意两颗行星绕太阳转动，如果两颗行星的周期分别为T A 和 T B 他们轨道半长轴分别为 a A 和 a B 根据⎛ T ⎫ 开普勒第三定律可知 A 2 3⎛ a ⎫ = A ⎪ ⎪⎝ T B ⎭ ⎝ a B ⎭实战演练【例1】 对太阳系中各个行星绕太阳的公转，有以下一些说法。
其中正确的是（ ）A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B ．所有行星绕太阳运动的轨道都是正圆C ．不同的行星绕太阳运动的周期均相同D ．不同的行星绕太阳运动的轨道不同【例2】 一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地球位于椭圆轨道的一个焦点上，如图所示，卫星距离地球的近地点 a 的距离为 L ，距离地球的远地点 b 的距离为 s ，求卫星在 a 点和 b 点的速率之比【例3】 对于开普勒第三定律中行星的运动公式 a T 2A ． k 是一个与行星无关的常量B ． a 代表行星运动的轨道半径C ． T 代表行星运动的自转周期D ． T 代表行星运动的公转周期= k ，以下理解正确的是（）【例4】 如图所示，飞船沿半径为 R 的圆周绕着地球运动，其运动周期为 T 。
如果飞船沿椭圆轨道运动 直至要下落返回地面，可在轨道的某一点 A 处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心 O 为焦点的椭圆轨道运动，轨道与地球表面相切于 B 点。
求飞船由 A 点运动到 B 点的时间。
科学史上对天体运行的认知过程
科学史上对天体运行的认知过程人类关于天体的运动的认识经历了漫长的过程，从提出地球是一个球，到证实地球是一球形；从地心说到日心说；从行星运动的圆轨道到椭圆轨道；从提出行星间存在引力到引力平方反比关系的猜想、证明，再到万有引力定律的建立，经历了两千多年的历史。
在这个过程中，无数科学家做出了努力，下面就按历史发展的顺序，对主要贡献的历史人物以及事件做一个综述1“地心说”与“日心说”之争古时人们就有“天圆地方”的说法，认为地球是方形的。
公元前五六世纪，毕达哥拉斯从哲学的角度，提出地球应是完美的圆形公元前350年前后，亚里士多德（前384-前322）观察月食，认为那是地球在月球上的投影，据此推断出地球应为球形。
支持这一观点的还有其他证据，比如观察到远处渐渐靠近的船只，总是先见到桅杆，后见到船身。
亚里士多德还提出了地球是宇宙的中心，地球是由水、气、火、土组成，天体由“以太”组成托勒密，地球中心说。
地球是一个在宇宙中心一动不动的球体，太阳、月亮以及其他行星都围绕着地球做完美的圆周运动。
他提出，各行星都有自己的一个圆轨道，称为“本轮”，所有本轮的圆心又在一个以地球为中心的圆周上，这个圆周称为“均轮”。
为了很好的解释天体的运动，本轮均轮达到80多个，后来又提出了偏心圆，这个结构非常复杂，但却较好的解释了人们所能观测到的天体的运动情况。
他的这个天体模型一直流行到文艺复兴结束哥白尼（1473-1543），他在意大利读书时期，便对天文问题产生浓厚兴趣。
在学习托勒密的《至大论》后，他认为托勒密的体系太过复杂，他提出如果将太阳作为宇宙的中心，可以大大简化托勒密的模型。
1543年，哥白尼的著作《天体运行论》出版，他的体系将圆减少到了34个，与托勒密的体系相比，更为简洁。
但是在行星方位的预测方面，与托勒密相比，并没有提高精度2行星运动轨道的确定第谷（1546-1601），他在大学学习的是法律，但却对天文学有着更为浓厚的兴趣。
他利用课余时间观察天象，发现自己观察到木星和土星靠在一起的时间比星历表的预言早了一个月，这激励他编制更为精确的星历表。
多体问题从三体问题到混沌系统
多体问题从三体问题到混沌系统多体问题是物理学研究中一个非常重要的课题，它涉及到多个粒子或物体相互作用的复杂动力学过程。
在这个领域中，三体问题和混沌系统都是具有代表性和重要性的研究对象。
一、三体问题三体问题最早可以追溯到十七世纪的牛顿时代。
简单来说，三体问题是指在一个引力场中，有三个质点(或行星、恒星等)相互作用的力学问题。
通过牛顿的万有引力定律以及牛顿运动定律，可以建立三体问题的动力学方程。
然而，由于三体问题的复杂性，很难用解析方式得到精确解，这导致了数学家和物理学家们长期以来对三体问题进行深入研究。
在三体问题中，存在着很多有趣的现象。
比如著名的拉格朗日点、希尔球以及混沌现象等。
在传统的开普勒问题中，两个质点之间的相互作用是可解的，但当引入第三个质点时，整个系统就变得极其复杂。
通过数值模拟和近似方法，科学家们逐渐揭示了三体问题背后隐藏的奥秘。
二、混沌系统混沌系统是指一类对初始条件敏感、表现出确定性混沌运动的非线性动力学系统。
所谓“确定性混沌”，是指系统未来状态取决于其当前状态，并不是纯粹的随机过程。
混沌系统最早由美国天气学家洛伦兹在对大气对流运动建模时发现，并引起了广泛关注。
混沌系统的特征包括迭代、分数维吸引子、周期轨道密度等。
其行为通常表现为无序、不可预测以及极其敏感依赖于初值条件等特点。
混沌系统在自然界和工程领域中都有着广泛应用，比如流体力学、天体力学、信息加密等。
三、从三体问题到混沌系统值得注意的是，三体问题和混沌系统之间存在着一定联系和关联。
事实上，在一些特定情况下，三体问题可以演化为混沌系统。
例如在引力场中的恒星或者行星系统中，如果考虑更多质点之间的相互作用或者更多复杂因素时，原本规律可预测的轨道运动可能会变得无法确定，进而呈现出混沌行为。
通过研究多体问题中的三体问题和混沌系统，我们不仅可以更好地理解物理规律和数学原理之间的关系，还可以揭示自然界中普遍存在的复杂动力学现象。
基于对多体问题不断深入的探索和理解，我们有望在未来取得更多关于宇宙天体运动、地球气候变化等方面的重要发现，并推动相关技术和应用领域的进步。
科学史上对天体运行的认知过程
科学史上对天体运行的认知过程作者：韦松英来源：《中学物理·高中》2016年第05期人类关于天体的运动的认识经历了漫长的过程，从提出地球是一个球，到证实地球是一球形；从地心说到日心说；从行星运动的圆轨道到椭圆轨道；从提出行星间存在引力到引力平方反比关系的猜想、证明，再到万有引力定律的建立，经历了两千多年的历史。
在这个过程中，无数科学家做出了努力，下面就按历史发展的顺序，对主要贡献的历史人物以及事件做一个综述。
1“地心说”与“日心说”之争古时人们就有“天圆地方”的说法，认为地球是方形的。
公元前五六世纪，毕达哥拉斯从哲学的角度，提出地球应是完美的圆形。
公元前350年前后，亚里士多德（前384-前322）观察月食，认为那是地球在月球上的投影，据此推断出地球应为球形。
支持这一观点的还有其他证据，比如观察到远处渐渐靠近的船只，总是先见到桅杆，后见到船身。
亚里士多德还提出了地球是宇宙的中心，地球是由水、气、火、土组成，天体由“以太”组成。
托勒密，地球中心说。
地球是一个在宇宙中心一动不动的球体，太阳、月亮以及其他行星都围绕着地球做完美的圆周运动。
他提出，各行星都有自己的一个圆轨道，称为“本轮”，所有本轮的圆心又在一个以地球为中心的圆周上，这个圆周称为“均轮”。
为了很好的解释天体的运动，本轮均轮达到80多个，后来又提出了偏心圆，这个结构非常复杂，但却较好的解释了人们所能观测到的天体的运动情况。
他的这个天体模型一直流行到文艺复兴结束。
哥白尼（1473-1543），他在意大利读书时期，便对天文问题产生浓厚兴趣。
在学习托勒密的《至大论》后，他认为托勒密的体系太过复杂，他提出如果将太阳作为宇宙的中心，可以大大简化托勒密的模型。
1543年，哥白尼的著作《天体运行论》出版，他的体系将圆减少到了34个，与托勒密的体系相比，更为简洁。
但是在行星方位的预测方面，与托勒密相比，并没有提高精度。
2行星运动轨道的确定第谷（1546-1601），他在大学学习的是法律，但却对天文学有着更为浓厚的兴趣。
天体运动总结
天体运动总结一、处理天体运动的基本思路1．利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解，即G Mmr2＝ma，其中a＝v2r＝ω2r＝(2πT)2r，该组公式可称为“天上”公式．2．利用天体表面的物体的重力约等于万有引力来求解，即GMmR2＝m g，gR2＝GM，该公式通常被称为黄金代换式．该式可称为“人间”公式．合起来称为“天上人间”公式．二、对开普勒三定律的理解开普勒行星运动定律1．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．此比值的大小只与有关，在不同的星系中，此比值是不同的.(R3T2＝k)1．开普勒第一定律说明了不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，但有一个共同的焦点．2．行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增加，在近日点速度最大；行星远离太阳的时候都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小．3．开普勒第三定律的表达式为a3T2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个常量，与行星无关但与中心天体的质量有关．三、开普勒三定律的应用1．开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运转，也适用于卫星绕地球的运转．2.表达式a3T2＝k中的常数k只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．四、太阳与行星间的引力1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运一、太阳与行星间的引力2．万有引力的三个特性(1)普遍性：万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力．(2)相互性：两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足牛顿第三定律．(3)宏观性：地面上的一般物体之间的万有引力很小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用．五．万有引力和重力的关系1. 万有引力和重力的关系如图6－2、3－3所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G Mmr2.引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力F n，F2就是物体的重力mg2.近似关系：如果忽略地球的自转，则万有引力和重力的关系为：mg＝GMmR2，g为地球表面的重力加速度．关系式2G Mm/Rmg=即2grG M=3．随高度的变化：在高空中的物体所受到的万有引力可认为等于它在高空中所受的重力mg′＝GMm（R＋h）2，在地球表面时mg＝GMmR2，所以在距地面h处的重力加速度g′＝R2（R＋h）2g.六．天体质量和密度的计算（一）.“天体自身求解”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝G MmR2，解得天体质量为M＝gR2G，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”．(2)“借助外援法”：借助绕中心天体做圆周运动的行星或卫星计算中心天体的质量，常见的情况：G Mmr2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r?M＝4π2r3GT2，已知绕行天体的r和T可以求M.观测行星的运动，计算太阳的质量；观测卫星的运动，计算行星的质量。
天体运动公式周期
天体运动公式周期天体运动公式周期是天文学中比较重要的课题，在研究宇宙机构时经常用到。
其中，一个最重要的公式就是描述星体运动周期的公式。
它是由天体力学家爱因斯坦创立的，用于对天文学中最重要的物体恒星进行研究，并给出相应的周期。
星体运动公式周期也被称为“恒星运动周期”。
它是指恒星运动的周期，它的特点是恒星以一定的速度绕着其中心旋转，而且恒星的速度、加速度和轨道方程都是固定不变的，这种运动就被称为恒星运动周期。
这个公式的最终形式为：T=2π/ω，其中T表示恒星的周期，ω表示恒星的角速度。
这个公式表明，恒星的周期和它的角速度成正比，也就是恒星的角速度越大，它的周期就越长。
在最初，这个公式只能应用于恒星，但是随着天文学的发展，这个公式经过不断修正，现在也可以运用在其他天体如行星、木星和火星等，而且精确度也相对较高。
此外，这个公式还可用来计算一些比较高级的物理现象，比如引力波的周期等。
天体运动公式周期在研究宇宙机体时也非常有用。
比如，它可以用来研究恒星的状态变化，以及它们在一定周期内如何变化，这些信息可以帮助我们进行宇宙结构的进一步探索和研究。
同时，它也可以帮助我们分析地太阳系中恒星体的引力，以及它们之间受到的外力，这可以更好地控制天文学中的现象。
此外，天文学家还可以利用这个公式来预测地太阳系中各物体的位置、运动轨迹等。
因此，天体运动公式周期不仅可以让我们了解宇宙的本质，还对研究宇宙的运行有重要的意义。
天体运动公式周期可以算是天文学领域重要的发现之一，它为我们提供了一种定量地研究宇宙结构的方法，不仅可以帮助我们探索宇宙的奥秘，还能利用它来预测恒星之间的相互作用和运动轨迹。
更重要的是，它使我们可以更深入地了解宇宙的工作原理，而这又是人类对宇宙展开探索的最根本动力。
总之，天体运动公式周期是天文学领域中十分重要的研究内容，它为研究宇宙机构提供了一个新的角度，使研究宇宙的规律变得更加容易和准确。
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天体运行的数学原理------N体问题的三百年1。
N体问题的起源和早期发展(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，即代数方程x^n+y^n=z^n 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是我们这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。
(参看[4]) 值得一提的是，尽管这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。
N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。
最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。
在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成质点。
如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。
我们知道地球和月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。
所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。
然而对N体问题的全面认识就不是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明各种千奇百怪的运动都有可能在N体问题中出现。
等到看完这篇短文，也许你就会庆幸这些奇怪的运动轨道都没有出现在我们的星球身上，否则你就不能在这里舒舒服服地看杂志啦。
初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。
事实上，根据牛顿(Issac Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到\begin{equation}&m_1\frac{d^2 q_{1i}}{dt^2}= k m_1 m_2 \frac{q_{2i}-q_{1i}}{r^{3}_{12}}+km_1 m_3 \frac{q_{3i}-q_{1i}}{r^{3}_{13}}\\&m_2 \frac{d^2 q_{2i}}{dt^2}= k m_2 m_1 \frac{q_{1i}-q_{2i}}{r^{3}_{12}}+km_2 m_3 \frac{q_{3i}-q_{2i}}{r^{3}_{23}}\\&m_3 \frac{d^2 q_{3i}}{dt^2}= k m_3 m_1 \frac{q_{1i}-q_{3i}}{r^{3}_{13}}+km_3 m_2 \frac{q_{32i}-q_{3i}}{r^{3}_{23}}, \;\; (i=1,2,3),\end{split}\end{equation}其中$m_i$ 是质点的质量，$k$ 是万有引力常数，$r_{ij}$ 是两个质点$m_i$ 和$m_j$之间的距离，而$(q_{i1},q_{i2},q_{i3})$ 则是质点$m_i$ 的空间坐标。
所以三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件。
(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量个数)。
而N体问题的方程也是类似的一个$N^2$ 个方程的二阶常微分方程组。
作者：湍流2006-7-27 00:16 回复此发言--------------------------------------------------------------------------------2 【转】科学史上的三体问题当$N=1$ 时，单体问题是个平凡的方程。
单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。
当$N=2$ 的时候(二体问题)，问题就不那么简单了。
但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。
简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。
二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。
N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一书中。
在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。
http://74.54.200.37/bbsqydz/forumdisplay.php?fid=128###的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。
尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。
终于在十九世纪末期，也就是希尔伯特做他的著名演讲前几年，人们期待的重大突破出现了。
2。
三体问题和瑞典国王的奖金(奥斯卡国王-----米塔格莱夫勒-----庞加莱)1885年，在刚创刊不久的瑞典数学杂志Acta Mathematica的第七卷上出现了一则引人注意的通告：为了庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世在1889年的六十岁生日，Acta Mathematica将举办一次数学问题比赛，悬赏2500克郎和一块金牌。
而比赛的题目有四个，其中第一个就是找到N体问题的所有解。
参加比赛的各国数学家必须在1888年的6月1日前把他们的参赛论文寄给杂志的创办人和主编，著名的瑞典数学家米塔格莱夫勒(GostaMittag-Leffler)。
所有论文将被匿名地被一个国际委员会评判以决出优胜者，然后优胜者的论文将发表在Acta Mathematica上。
这个委员会由三个当时赫赫有名的数学家组成：德国的维尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)，法国的赫密特(Charles Hermite)和米塔格莱夫勒本人组成。
从现代的观点来看，这样的比赛也许有“抄作”和给新杂志做广告的嫌疑。
(事实上当时就有一些数学家这样批评这种比赛，象德国的克隆奈克(Leopold Kronecker))。
但是从历史上看，米塔格莱夫勒和奥斯卡二世的动机是好的，是为了推动科学的发展。
奥斯卡二世本人在大学中数学就学得很好，他和许多当时著名的数学家，象维尔斯特拉斯，科瓦列夫斯卡雅(Sonya Kovalevskaya)等都有亲密的关系。
而米塔格莱夫勒更是雄心勃勃，想把这样的比赛每四年举行一次。
可惜这个设想没有实现，比赛只举办了一次就夭折了，否则的话也许今天数学的最大奖不是菲尔兹(John Charles Fields)奖http://70.86.178.187而是奥斯卡奖了(那样后来美国的电影奖大概也要考虑换个名字了)。
让我们回到比赛本身。
这次比赛在当时轰动一时，虽然奖金不高，这种崇高的荣誉是当时罕见的，要知道瑞典更有名的“炸药奖”诺贝尔(Alfred Bernhard Nobel)奖是在几年后的1896年才开始评选的。
但是由于问题的困难程度，大多数一开始跃跃欲试的数学家后来都知难而退，最后只有四五个数学家真正交了他们的答卷。
而优胜者也并不难选出，虽然还是没有人能完整地解决任何一个问题，但是所有评委一致认为其中一份答卷对于N体问题的解决做出了关键的贡献，应该把奖颁给这位数学家。
这位获胜者就是作者：湍流2006-7-27 00:16 回复此发言--------------------------------------------------------------------------------3 【转】科学史上的三体问题法国数学家，物理学家庞加莱(Jules Henri Poincar\'{e})。
庞加莱在现代数学历史上占有举足轻重的地位，他曾被称为现代数学的两个奠基人之一(另一个是黎曼(Bernhard Riemann))，也有人称他为历史上精通当时所有数学的最后两个人之一(另一个就是希尔伯特))。
而1885年的庞加莱只有31岁，虽然已初露锋芒，但还是一位希望能够一举成名的年轻数学家，所以这次比赛是个大好的机会，这也迫使他先放下手上其他的工作，集中精力投入到天体力学和N体问题的研究中。
庞加莱获奖的论文“关于三体问题的动态方程”(Sur le probl\`{e}me des trois corps et les \'{e}quations de la dynamique) 最后在1890年在Acta Mathematica上发表，论文长达270页，占了整整半卷杂志。
(关于论文发表的一段故事下面还要提到)。
这篇重要论文使原来就已有不小名气的年轻庞加莱更加誉满整个欧洲数学界，也使他得到了新的热情和动力继续进行他在这篇论文中开始的工作。
从1892年到1899年，庞加莱陆续出版了他的三大卷宏伟巨著“天体力学的新方法”(Les M\'{e}thodsNouvelles de la M\'{e}canique C\'{e}leste)。
他的获奖论文和这三卷书可以说奠定了现代天体力学，动力系统，微分方程定性理论，甚至混沌理论的基础，尽管大多数他的思想直到几十年后才被广大的数学工作者所领悟进而发展成现代的数学理论。
下面我们就来简单看一看庞加莱在这一时期的工作究竟给N体问题的解决带来了什么进展。