天体运行的数学原理—-N体问题的三百年

天体运行的数学原理------N体问题的三百年

1。N体问题的起源和早期发展

(希尔伯特-----开普勒-----牛顿-----伯努利)

在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上，

二十世纪伟大的数学家希尔伯特(David Hilbert)在他著名的演讲中提出了

23个困难的数学问题，这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了

非常重要的作用。在同一演讲中，希尔伯特也提出了他所认为的完美

的数学问题的准则：问题既能被简明清楚的表达出来，然而问题的解决

又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。为了

说明他的观点，希尔伯特举了两个最典型的例子：第一个是费尔马(Pierre de Fermat)猜想，

即代数方程x^n+y^n=z^n 在n大于2时是没有整数解的；第二个就是我们

这篇文章所要介绍的N体问题的特例------三体问题。(参看[4]) 值得一提的是，尽管

这两个问题在当时还没有被解决，希尔伯特并没有把他们列进他的

问题清单。但是在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的

整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。

费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力，终于在1994年被美国

普林斯顿大学(Princeton University)威尔斯(Andrew Wiles)最终解决，这被公认为二十世纪最伟大

的数学进展之一，因为除了解决一个重要的问题，更重要的是在解决问

题的过程中好几种全新的数学思想诞生了，难怪在问题解决后也有人遗憾地

感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。

正象希尔伯特指出的，费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维，而N体问题则来源于天体力学，对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象

的理解。N体问题可以用一句话写出来：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，

它们会怎样在空间中运动。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的

运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不及，所以我们可以把它们看成

质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用

下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。我们知道地球和

月球都在进行一种周期性运动，这样我们才有了年，月和日的概念。所以大家不难想象周期运动可能是三体问题的一种解。然而对N体问题的全面认识就不是那么简单了，数学家几百年以来的研究证明各种千奇百怪的运动都有可能在

N体问题中出现。等到看完这篇短文，也许你就会庆幸这些奇怪的运动轨道都

没有出现在我们的星球身上，否则你就不能在这里舒舒服服地看杂志啦。

初通高中物理和大学微积分的读者都不难推出三体问题的数学方程。事实上，

根据牛顿(Issac Newton)万有引力定理和牛顿第二定律，我们可以得到

\begin{equation}

&m_1\frac{d^2 q_{1i}}{dt^2}= k m_1 m_2 \frac{q_{2i}-q_{1i}}{r^{3}_{12}}+k

m_1 m_3 \frac{q_{3i}-q_{1i}}{r^{3}_{13}}\\

&m_2 \frac{d^2 q_{2i}}{dt^2}= k m_2 m_1 \frac{q_{1i}-q_{2i}}{r^{3}_{12}}+k

m_2 m_3 \frac{q_{3i}-q_{2i}}{r^{3}_{23}}\\

&m_3 \frac{d^2 q_{3i}}{dt^2}= k m_3 m_1 \frac{q_{1i}-q_{3i}}{r^{3}_{13}}+k

m_3 m_2 \frac{q_{32i}-q_{3i}}{r^{3}_{23}}, \;\; (i=1,2,3),

\end{split}

\end{equation}

其中$m_i$ 是质点的质量，$k$ 是万有引力常数，$r_{ij}$ 是两个质点$m_i$ 和$m_j$

之间的距离，而$(q_{i1},q_{i2},q_{i3})$ 则是质点$m_i$ 的空间坐标。所以

三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件。

(事实上根据方程组本身的对称性和内在的物理原理，方程可被简化以减少变量个数)。而N体问题的方程也是类似的一个$N^2$ 个方程的二阶常微分方程组。

作者：湍流2006-7-27 00:16 回复此发言

--------------------------------------------------------------------------------

2 【转】科学史上的三体问题

当$N=1$ 时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。

当$N=2$ 的时候(二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个

不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(Johannes Kepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰

伯努利(Johann Bernoulli) 首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是

这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(Philosophiae Naturalis Prinicipia Mathematica，1687年出版)一书中。

在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明

了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管

这两者是紧密相关的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。http://74.54.200.37/bbsqydz/forumdisplay.php?fid=128###