第四章 不定积分
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高数上册第4章不定积分
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
( x 1) e x dx xe x dx e x dx
n 2 k 1 或 sin x cos x (其中k N ) (i). 对于 型函数的积分，可依次作变换 u cos x 或 u sin x ，求得结果 .
2k 2l (ii). 对于 sin x cos x(其中k , l N ) 型函数的积分
可利用倍角公式： sin 2 x 1 cos 2 x ,cos 2 x 1 cos 2 x
得
1 ∴原式 = 2 (cos 5 x cos x)dx 1 1 cos 5 xd (5 x) cos xdx 10 2
1 cos 3x cos 2 x (cos 5 x cos x) 2
例11. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x 2 sec x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
则
推论: 若
k
i 1
n
i
f i ( x ) dx k i f i ( x )dx
i 1
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高等数学第四章不定积分课后习题详细讲解
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
经济数学第四章不定积分
意两个原函数只差一个常数项.
前页 后页 结束2.不定积源自的概念定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数，那
么f (x)的全体原函数F(x) ＋C(C为任意常数)称为f (x)在区
间 I 上的不定积分. 记作
f (x)dx
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x )dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx.
n
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例6 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x
的原函数.
前页 后页 结束
注:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存 在．
(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不 是唯一的,且有无穷多个
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,sin x 2 sin x 1,sin x 3也是它的原函数 即 cos x 加任意常数都是 sin x 的原函数.
ln 3
ln 3
例8 求 x( x1)2dx.
解
x( x1)2
x
5 2
2x
3 2
x
1
2,
所以
x(
x
1)2dx
(
x
5 2
2
x
04第四章--不定积分
第四章不定积分'、不定积分的概念和性质1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；(2) 若F(x)是 叱 的一个原函数，求dF(x 2)；x(3)若e »是f (x)的一个原函数，求e xf (x)dx ；1 1(4)若 f (x) e xdx =e xC ，求 f (x);(5) 求■ f (x 3)dJ ；(6) 若 f(x)二 e*，求f (lnx)dx . x解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以f (x)J .xsin x(2)因为F (x)-——，所以x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)= ，所以e xf (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .f (x)g x. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 22xdx 二 2sin x 2dx . (4) 1因为 f(x)e x= 1e11 —e x，所以■ f(x 3)dJ = f (x 3).f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " xc =丄 C . x x(5) (6)、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 计算下列不定积分：(x 1)2 .rr dx；2-^pdx;1 x24也pdx;1 x2cos2x ,dx ;sin x cosxsin4 x cos4 x 门2 2dx.sin xcos x2 3j—LdxW vxx x xa e dx = (ae) dx(2)(4)(6)a x e x dx ;2(12x2)dx；x (1 x )sin2 -dx ；2cos2x ,dx ；xsin212x21x"2)dx52 2 4x25-2 2-x2 2x2 C .3—- dx = 11 x2 1 x21 2x2.—厂dx 二x2(1 x2)4x2dx1 x2cIn (ae)1 px = x - arctanx +C .1 1 12 2 dx 二arctan x -x x1 3dx x x arcta nx C .3_1亠1x1 —cosx ’1 .dx(x - sin x) C .2 22. 2.cos x - sin x .dx dx = (cos x - sinx)dx' sin x + cosx二sin x cosx C .,「1 —2sin2 x , rdx 2 dx =si n2 x--cot x -2x C ..4 亠 4sin x cos xcos2xsin x cosxcos2x・2sin x-2 dxsin2 xcos2 x 血二・4sin x・2 2~sin xcos x4cos x2+・2 2 ' sinxcos x ydx=(ta n 2x cot 2x)dx= (sec x csc x -2)dx=tan x - cot x - 2x C .三、换元积分法1 •第一换元积分法(凑微分法)设 f (u)du = F(u) • C ，则u (x)f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du^F(u) C u一(x)F[「(x)] C .常用的凑微分公式:f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax nb); na Lf (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； xr J 1十J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；2(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)f (cot x) csc 2xdx = - f (cot x) d (cot x)；(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；(14)『f= f f (arcsin x)d (arcsinx)；W —x 2(1)(2)(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)f (e x)e xdx 二 f(e x )d(e x);iL 2 (15) -1 -x dx - - f (arccosx)d (arccosx)； (16) f (arctanix)d^ f (arctanx)d(arctanx)； b1 +x2 ' (17) f (arcc(ot x)d^ _ f (arccot x)d (arccot x). 1 +x 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现 的较复杂凑微分公式； ② 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； ③ 分部积分法中也会用到凑微分公式.例3(1) (3) 计算下列不定积分:sin xdx ; sin 4 xdx ; (2) (4) (5)(6) (7)tan 5 xsec 3xdx(8)sin 3 xdx ; sin 5 xdx ; arcta n 、、x ,ExT ；. cos2x (9)(x -1)e x2^xdx (10) dx ；1 sin xcosx ” dx(11) sin x cosx ..44 dx； sin x cos x(12) (13) sin 4x cos2xdx ;(14)sin 2 x 2 cos 2 x ' sin x , dx ;1 si nx. dxI 2~x 2x 5(15)dx解(1)x2x \e (1 e )r■ 2 . J —cos2x .sin xdxdx 1sin2x C . 4(2)1x -2 2sin 3 xdx - - sin 2 xd(cosx)二(cos 2x —1)d(cosx)」cos 3x - cosx C .3(3) (4)2 [ 2 dx (1 -2cos2x cos 2x)dx / 4 L1 1 cos4x(1-2cos2x )dx 4 2 3 1 c 1 ，小x sin 2x sin4x C . 8 4 32 sin 5 xdx - - sin 4 xd(cosx) - - (1 - cos 2 x)2d(cosx)sin 4xdx=匚吨 I 2=_(1 _2cos 2 x cos 4x)d(cosx) 注注意区分以上积分中cosx ，解法相同. In In x , dx =xln x J —arctan . x . J肩丙取切sin x 换为 (5) (6) (7)(8)(9) (10)(11) (12) 2 3 1 5 - --cosx — cos x - - cos X 亠 C . 3 5 sinx 的幕指数为奇数或偶数时的解法•若将 tan 5 xseC 3cos2x x 1 2 d(ln x) = In In xd(ln In x) In ln x C .In x 2 严呦匕x dgG) =2 [arctan 仮d(arctan^'G) 1 (x)2=(arctan . x) C .xdx = tan 4 xsec xd(secx)2 2 2二(sec x -1) sec xd (secx)二(sec 6 x 「2sec 4 x sec x) d (secx)In In 1 sin xcosx 1 7 sec 7 1 dx 二2 1 5 13x sec x sec x C . 5 3 1 d(sin 2x) sin 2x 1d(2 sin 2x)二 ln(2 sin 2x)C . 2 sin 2x 1 2 dx 二一 e x /x d(x 2-2x) 2 • 被积函数的分子、分母同除以 cos 2x 2f sec xdxdx'2 +tan 2x1 丄 tan x arctan C . sin 2x 6 -cos2x f *2宀(x -1)e x “ sin 2x 2cos 2sin xcosxs^x cos 4x dx1 2 x e 2d (ta n x) 2 tan 2x dx1 cos2xsin 2x 」12 dx 21 cos 2x2 1 cos 2x--arctancos2x C .2 d(cos2x)sin x(1 - sin x) 1^d_(rx)(1g 2, 心n x —sin x , dx 2 dx cos x2 2=secx tanxdx - tan xdx =secx - (sec x -1)dx =secx - tan x x C .「1「(13) sin 4xcos2xdx (si n6x si n2x)dx‘ 2 '1 1cos6x cos2x C . 12 4注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幕指数，简称降幕法.是常用的积分方法., . 1 , 1 X+1dx 2 dx arctan C .'(X +1)2+4 2 2 .2xJ 2x、d(e x)二e (1 e ).x+ C . xln x1，所以 x(x 1)dx 二一 [ln(1 x) - ln x] —dxx x 1二-[ln(1 x) —In x]d[ln(1 x) — In x]1 2[ln(1 x) - Inx]2 C .11X\評一R d(e)*例4 计算下列不定积分：(1) 1 I n x * 2 dx ； (xl nx)2(2) (3)2x3x2 3 -dx ； 9x -4x(4)(5) f cos2x . dx ;1 sin xcosx (6)(7)In(x 、1 x 2) 5dx .dx；因为(xln x) =1 In x ，所以1y d(xln x)二丄卫4dx =(xlnx) (xlnx) 因为[In(1 x) -In x] 1 + x x(2) ln(1 x) -Inx(14)(15) e x (1 e 2x ) dX=—e J x解(1) 4X In tan x , dx ; sinxcosx x 21 -arctane x C .ln(1x)T nxdx ； x(x 1)2dx =—lnIn(x 、1 x 2) 5‘ 岚 dx=In(x .1 x 2) 5d [In(x .1 x 2) 5]2-------- 3[In(x J x 2) 5]2 C .32 •第二换元积分法设.f[ (t)p ：(t)dt = F(t) C ，则.f(x)dx x _ (t) f[ :(t)]「(t)dt =F(t) (t_(x)F( :*(x)) C .(3) dxIn 2 -In 312x31- 2x3In 3x - 2x x2(1 n2—I n3) 3x —2(4)1因为(In tan x) ，所以sin xcosx (5)(6) ln tan x dx = In tan xd (In tan x) =1In 2 tan xC . sin xcosx 2 因为(1 • sin xcosx) = cos2x ，所以 1dx d(1 sin xcosx) 1 sin xcosx二In(1 sinxcosx) C .x 2，得cos2x 1 sin xcosx 被积函数的分子、分母同除以1+2xdx 二 丄 x 2x 2tdx 1x 4x 2「1辛d x_x(7) 因为 1x -— ___ x + C 石C _ 1【2 [ln(x .1 x 2) 5]"二^1一，所以arctan〜1 arctan x _1 C . 2 2x 1 x 2C1 ln 2注(1 )当被积函数中含有根式时， 一般要通过适当换元， 去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用•常见的代换有：① 含有形如nax b 的根式时，作代换nax b = t ；② 含有形如.a 2-x 2、- a 2x 2、. x 2-a 2( a 0 )的根式时，分 别作三角代换： x=asi nt , x =ata nt , x=ased ；(2)当被积函数中分母关于 x 的次数比分子关于 x 的次数至少大1时,=2ln( 1 -1) -x C •(3)设、1 ln x =t ，则 ln x 二 t 2-1, x lnx_ dx =2 (t 2 -1)dt =?t 3 -2t C x .1 In x 3(1 ln x)仪 1 In x - 2 1 In x C 3(In x -2) 1 In x C . 3(4)设 x =atant ，贝U dx =asec 2tdt ，于是(21 2、2dx V .coftdt 二 1 (x a ) a1可考虑倒代换：x =-；当被积函数为a x 所构成的代数式时，可考虑指数代换: 计算下列不定积分：arctan 、x . dx ;.x(1 x) (3) 例5 (1) (2) (3)(5)dx;x . 1 ln x ：~2 2.a ■ ■ xdx (a 0)(4) f ———dx; e x1 r 1 」 J l2 , _2、2 dx ( aA 0)； (x a )「Jx 2_9 ddx • x(1) 曰疋设 ardan x = t ,贝 V x =tan t , 2 2x 二 ta n t , dx 二 2ta nt(2)arctan x 2dx 二 2tdt =t C x(1 x)________ QX设、e x 1 二 t ，则 x =1 n(t 2「1), dx2——2二(arctan 、x) C •dt ，于是.e x1dx =2 J dt =ln't 2 —12 2=e , dx 二 2te t 'dt ，于 3t -sin2t C • 2a 3C =C由 x =atant 得x 2ta nt 2axt 二 arctan — , sin 2t 2 22，a 1 ta n t x a 所以 2 12 2 dx 厶 arctan 「2" 2 C - '(x 2+a 22 2a‘I a x 2+a 2 丿 (5)设 x =asint ，贝U dx 二 acostdt ，于是(6)设 x =3sect ，则 dx =3secttantdt ，于是=In I sect tant I -sint C 1 .由 x =3sect 得x 叫X -9 Jx 2-9 sect tan t = -- ——，sin t = -----3 3 x十… —9 x Jx 2 -9 < x 2 —9 所以］ ------ 2—dx =ln + ------- +C 1x 3 3 x=lnx + Jx 2 - 9— Jx 2、.x例6计算下列不定积分:由于 2 2 -X~4 x cott=cost sin t dx a 2 j a 2. cos t ~47 sin t cot 21 csc 2tdtcot 2td(cott)二 3acot 31 C .「si n 2t sint所以x 4dx(a 2 x 2)、. a 23a 2x(1)dxx 2 ” x 2 a 2(2) 『 dxx(x 7 2) (3)x 1 dx ； x 2 .. x 2 -1(5) 2x dx 1 2x 4x解(1)令x 彳， 则dx(4)p dx」 x 〃丄 2x\e (1 e )-gdt于是x 2 -9 dx tan 21sectdt = (sect -cost)dtdx x 2 . x 2 a 2dt1 a 2t 2(2) dx x(x 72)(3)(4) 2a 2…1 a 2t 2d(1 a 2t 2)1 a 2t 2C2 ax =1 t t 6 1 2t 7 dt1 1一汕1M C r ln|令e xdxx2x.e (1 e )(5)令 2x2xdx dx —a 2x17d(1 2t 7)14 1 2t 71 x7 21 2ln___ dt 1 -t 21j-t 2dt 2 j_t.X 2-1 1 "-arcs in — x xd(1 -t 2) --arcsint ,1 -t 2C1t ，则 dx dtt 2(1 t 2) t 2 亠dt1 t 21arcta nt C = t-xx—e -arctane则dx — ln2 1dtt 1 2x 4x ln21 t t2 dtIn 2 1 arcta n例7计算下列不定积分:1(1) -------- dx ；x(1 +J x)(3)dx；In 2t4——dt 3 4 (2)(4)arcta n2x1 1C .x 1 2 dx； x — X,x(x 1) dx . • x x 1二x -x 2- arcsin(2x -1) C .2[ dx = ((x 2+x 唧x 2—1)dx = [x 2dx 十[x 寸x 2—1dxx —、x 2—11= gx3 1(X 2 -1)2d(x 2-1)32Jx 3」(x 2 —1)。
ch04-不定积分
a sec ttgt atgt
dt
sec tdt
ln(sec t
tgt )
C
又 sec t x , tgt x2 a2
a
a
故
dx ln( x
x2 a2
a
x2 a
a2
)
C1
ln(
x
x a时,设x sec t(0 t )
2
故 dx ln( x x2 a2 ) C x2 a2
从而 x 3 5 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
法2：由法1,有x 3 A( x 3) B( x 2)
令x 2,得A 5;令x 3,得B 6。
同样有： x 3 5 6
( x 2)( x 3) x 2 x 3
n m时，此有理函数是真分式；
n m时，此有理函数是假分式；
由于假分式可化作一多项式与真分式之和，
所以以下仅讨论真分式的积分。
求较复杂的真分式的积分，可将较复杂的真 分式化成简单的分式之和，再积分。
以下通过一些具体的实例，说明将复杂真分 式化为简单分式的方法。
例1将 x 3 分解成简单分式。 ( x 2)( x 3)
故有同样的结果。
例3将
(1
1 2 x )(1
x2
)
分解成简单分式。
解：设 (1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
通分，比较后，有1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x)
微积分 第四章 不定积分
第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。
2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。
对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。
3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。
二、本章教学内容的重点和难点1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。
三、本章内容的深化和拓广1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。
四、本章教学方式及教学过程中应注意的问题1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。
§4.1不定积分的概念与性质一、内容要点1、原函数与不定积分的概念2、不定积分的性质二、教学要求和注意点教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。
注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；解释不定积分的几何意义；强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；由基本积分表说明基本积分方法；2、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；一、 原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
第四章不定积分
被积函数中存在复合关系先换元再说.
被积函数中含抽象函数 f ( x) 时，设法求 f ( x)的表达式.
对三角函数的积分，化为同角同名. 被积函数中含有导数的积分—分部积分
被积函数中出现 x与x,则 x( x)2
二、基本问题及解法
问题(一) 与原函数有关的命题
运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、 不定积分与微分的关系。
例 3. 已f知 (x)g(x), 则(有 )
(A)(f(x)d)x(g(x)d)x; (B)f(x)dx g(t)d;t
x
x
(C)d(fx)d(gx); (D)a f(x)dx ag(x)dx
分析 :(A)的结论f说 (x)明 g(x),显然不, 成立
根据拉格朗日 的中 推值 论定 知理 应为
f(x)g(x)c.
(2)不为零的常数因子可提到积分号外
k(fx)d xkf(x)dx
（3）和的积分等于积分 的和
[f (x)g(x)]dx f (x)dxg(x) [f1(x) f2(x) fn(x)] f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx
5.基本积分公式表
(1) x k dx 1 x k 1 C (k 1)
而 f(x)dx与 g(t)dt表示两个不同变量
的 函 数 ,不 相 等 ;而(C),(D)均 表 示 两 个 相 同 积 分 函 数 的 积 分,故相 (C)等(D)均 成 立 .
例4. f(x)dxx2c, 则 xf(1x2)dx______
分析： x(1 fx 2)d x 1f(1x 2)d (1x 2)
(8) f (cos x ) sin xdx f (cos x )d (cos x ); (9) f (tan x ) sec 2 xdx f (tan x )d (tan x ); (10 ) f (cot x ) csc 2 xdx f (cot x )d (cot x )
第四章不定积分
三、基本性质
d 性质Ⅰ f ( x)dx f ( x) dx
F ( x)dx F ( x) C
由此可看出积分是微分的逆运算，积分符号中dx就是x
的微分，可以运用微分的计算法则，下面的换元积分法和分 布积分法就是利用微分的运算法则得到的。 性质Ⅱ 性质Ⅲ 推论
f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx af ( x)dx a f ( x)dx a f ( x) a f ( x) a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx a f
四、直接积分法 下面讨论不定积分的求法。
若被积函数是基本公式中的形式或通过化简可以化为基
本公式中的某种形式，就可以直接利用公式进行积分，这种
方法称为直接积分法。 例 计算下面的不定积分：
x4 1 1 cos x 1 3 e dx 2 2 dx 3 dx 1 cos 2 x x 1 e ( )x x e 3 x e x 解 1 3 x e x dx ( ) dx 3 C C e 3 1 ln 3 ln( ) 3 1 3 x4 1 2 2 )dx x x 2 arctan x C 2 2 dx ( x 1 2 x 1 1 x 3
见课本第205页。
例 求积分∫(1+x3)2dx。 解
(1 x ) dx (1 2x3 x6 )dx
3
2
dx 2 x 3 dx x 6 dx
2 4 1 7 x x x C 4 7
一般几个不定积分相加时， 常把得到的常数加到一起写 成一个常数C 。
1
很容易可以看出：原函数不唯一。事实上，容易得到：
第4章 不定积分
C.
又曲线过点(1，1)， 所以 1 ln1 C， C 1.
故所求曲线方程为 y ln x 1.
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三、不定积分的性质
1、( f ( x)dx) f ( x)，或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx.
证：设F( x) f ( x)，则 f ( x)dx F ( x) C.
第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念
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一、原函数与不定积分
1、原函数：设f ( x)在区间I有定义，若存在F ( x)，使
F ( x) f ( x)，则称F ( x)为f ( x)的原函数.
例1、 (sin x) cos x， sin x为cos x的原函数.
例2、 (ln x) 1 ( x 0)， lnx为 1 ( x 0)的原函数.
1 x
dx
ln
x
C
原式
1 3
1du u
1 ln 3
u
C
1 ln 3
4
3x
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C
下
页
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一、第一换元法(凑微分法)
例解3：、求令ux12e11xd，x则du 1 dx，
e xdx e x C
x
x2
1
原式 eudu eu C e x C.
如果该方法熟练了，可省略设u ( x)，直接凑微分.
使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).
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使用第一换元公式求不定积分 g( x)dx，关键是如何
把被积函数拆成两个函数积，即 g( x) f [( x)]( x).
不定积分
§1、不定积分的概念与性质
进入
§2、换元积分法 §3、分部积分法
进入
进入
一、原函数
1.定义:
可导函数F ( x ) 的 如果在区间I 内， 导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或dF ( x ) f ( x )dx ，
例 求下列不定积分 (1) 3 dx (2)
2x 5
x 1 x 2 dx
(3)
2 1 sin dx 2 x x
(4)
dx x ln x
§2、换元积分法
解: (1) 3 dx 3 1 1 d (2 x 5) 3 ln(2 x 5) C. 2x 5 2x 5 2 2 (2)
由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表：
kdx kx C,
x x e dx e C,
1 1 x dx 1 x C ( 1), ax x a dx ln a C (a 0, a 1),
1 x dx ln x C ,
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.
sin x 是cos x 的原函数. 1 1 ln x ( x 0) ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x x f ( x ) 是 f ( x) ( x) 的一个原函数.
例
sin x cos x
微分与积分的互逆性
或 d f ( x)dx f ( x)dx;
（2） kf ( x)dx k f ( x)dx
积分的运算性质
高数第四章第一节不定积分
例5. 求
x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1
4 3
4+1
= 3x
例6. 求 解: 原式=
1 3
+C
∫
1 sin xdx 2
= 1 cos x + C 2
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三、不定积分的性质
1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x
1 1 (1 + x2 ) x2 1 = 2 (1) 2 = 2 2 2 2 x 1+ x x (1+ x ) x (1+ x )
2 2 1 sin x + cos x (2) = 2 2 sin x cos x sin2 x cos2 x
= sec x + csc x
2 2
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∫F′(x) dx =F(x) + C
或 ∫ d F(x) = F(x)+ C
结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 微分运算与求不定积分的运算是互逆 互逆的
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′ x x+1 实例 = x ∫ xdx = + C. +1 + 1 ( ≠ 1)
+1
二、 基本积分表 (P188-189)
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由 v(t) 0, 得t 2
刹车距离 s(2) 25 22 100 2 100 33.3
3
3
3
例2 （生物种群生长的数学模型）1798年，英国人口学家 Malthus根据大量的人口统计资料指出：假设没有人口的移入 和迁出，那么人口增长率是与当时的人口数量成正比的. 如果
在 t 时刻的人口数量为 P(t) ， t 为以年为单位，则其增长率
解： 设在刹车过程中，t 时刻汽车的速度为 v(t) ，路程为 s(t) . 由题意，v(t) a ，因此
v(t) adt at b(b为未知量)
又 s(t) v(t)
s(t)
(at
b)dt
1 2
at 2
bt
c(c为未知量)
t 0,由s(0) 0有c 0,b v(0)
v(t) at v(0),s(t) 1 at2 v(0)t 2
的变化率为 dT ，则牛顿冷却定律为
dt
dT dt
k (T
Tm )
其中k 0是比例系数.
（1）本例中 Tm 20, 于是
dT k(T 20)
dt
令 y T 20，注意到 y dy d (T 20) dT
dt
dt
dt
因此 y ky
解得 y Bekt , B为常数.即 T Bekt 20
(1) v(0) 60(km/ h) 601000 50 (m / s)
60 60 3
由 v(1) 0, a v(0) 50 (m / s2 )
3Hale Waihona Puke 刹车距离 s(1) 1 a v(0) 25
（2）
v(0)
2
120(km/
h)
12031000
100
(m
/
s)
60 60 3
v(t) 50 t 100 , 33
将 T (0) 37 带入得 B 17
将T (2) 35代入得 k 0.063 所以温度函数为 T 17ekt 20 （2）将 T (2) 30代入得
30 20 17e0.063t 解得 t 8.4（小时）
于是，谋杀时间发生在下午发现尸体时的8.4小时以前，即谋 杀在上午7点36分发生.
这个模型被称为马尔莎斯（Malthus）模型
例3 （死亡时间的推断）人体死亡后，由于热量交换，尸 体的温度会从正常体温37℃开始按一定规律变化，并最终与 环境温度相一致. 假设某人死于谋杀，两小时后尸体的温度变 为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变. 求：
（1）自谋杀后尸体的温度T 随时间 t （以小时为单位）变化
第四章 不定积分
4.4 应用示例
例1 刹车距离与刹车时间）对于一辆汽车，我们假定它 刹车时速度的变化率是常数 a . 如果它以每小时60km的速度 行驶时，从开始刹车到汽车停止用了1秒钟，求： （1）它刹车时速度的变化率和刹车距离； （2）如果它以每小时120km的速度行驶时，它的刹车时间和 刹车距离.
dP kP dt
其中的 k 0 为比例常数，求人口数量为 P(t) 的表达式.
解： 注意到方程可以改写为
即 (ln P(t)) k
P(t) k P(t)
两边同时求不定积分，得
ln P(t) kdt kt C1
整理得
P(t) eC1ekt
令P0 eC1，得P P0ekt 即 P 是按指数规律增长的。
的函数; （2）如果尸体被发现时的温度为30℃，当时正是下午4点整， 试推断谋杀是何时发生的.
解：题目当中所说的温度变化规律是指牛顿冷却（加热）定律， 即物体的热量总是从温度高的物体向温度低的物体传递，物体
的温度随时间的变化率与物体跟周围介质的温度差成正比.
记 T 为物体的温度，Tm为周围环境的温度，则物体温度随时间