第8章 虚拟变量模型和设定误差

一季度：E Yi | X1, D1 1, D2 D3 0 0 1） X i （ 二季度：E Yi | X1, D2 1, D1 D3 0 ( 0 2 ) X i 三季度：E Yi | X1, D3 1, D1 D2 0 ( 0 3 ) X i 四季度：E Yi | X1, D1 D2 D3 0 0 X i
X 、年份状况
D 的影响
1 反常年份 其中： Y 消费支出；X 收入； Dt 0 正常年份 反常年份 E Yt | X t , Dt 1 ( 1 2 ) X t 正常年份 E Yt | X t , Dt 0 1 X t 在正常年份的基础上进行比较，（只有斜率系数发生改变）。
D1 0, D2 0
X
上述图形的前提条件是什么？
运用OLS得到回归结果，再用t检验讨论因素
是否对模型有影响。
加法方式引入虚拟变量的一般表达式:
Yt 0 1D1t 2 D2t ... k Dkt X t ut
基本分析方法: 条件期望。
E(Yt / D1t , D2t ,..., Dkt ) 0 1D1t 2 D2t ... k Dkt X t
（3）一个定性解释变量（两种以上属性）和一 个定量解释变量的情形
模型形式 Yi = f ( X i，1， 2， ) + μi D D ... （如：民族有56种特性；季度有4种特性） 例如： 啤酒售量Y、人均收入X 、季度D； Yi 0 1D1 2 D2 3 D3 X i i 1 一季度 1 其中： D1 D2 0 其 它 0 1 三季度 D3 0 其 它 二季度 其 它
Yt 0 X t ut 1D Yt 1 X t ut 2 X t D
Yi = + βX i + ui
原模型：
= 0 + 1D 乘法方式引入 = 1 + 2 D
加法方式引入
实质:加法方式引入虚拟变量改变的是截距； 乘法方式引入虚拟变量改变的是斜率。
2.虚拟变量设置的规则 ① 若定性变量含有 m 个类别，应引入 m-1 个虚拟 变量，否则会导致多重共线性，称作虚拟变量陷阱 （dummy variable trap） 。 ② 关于定性变量中的哪个类别取 0，哪个类别取 1， 是任意的，不影响检验结果。 ③ 定性变量中取值为 0 所对应的类别称作基础类别 （base category） 。 ④ 对于多于两个类别的定性变量可采用设一个虚拟 变量而对不同类别采取赋值不同的方法处理。如： 1 (大学)
本课主要讨论 （1）结构变化分析； （2）交互效应分析； （3）分段回归分析
1.虚拟变量在分段回归中的应用
作用: 提高模型的描述精度。 虚拟变量也可以用来代表数量因素的不同阶段。 分段线性回归就是类似情形中常见的一种。 一个例子: 研究不同时段我国居民的消费行为。
实际数据表明，1979年以前，我国居民的消费支 Yt 出 呈缓慢上升的趋势；从1979年开始，居民消 费支出为快速上升趋势。
(0 + 2) + 1xt + ut , (D = 1)
Y
D=1 D =0
40
20
0+2 0
0 0 20 40 X 60
D = 1 或 0 表示某种特征的有无。反映在数学 上是截距不同的两个函数。若2 显著不为零， 说明截距不同；若2 为零，说明这种分类无 显著性差异。 例： 中国成年人体重 （kg） y 与身高 x cm） （ 的回归关系如下： –105 + x D = 1 (男) y = - 100 + x - 5D = – 100 + x D = 0 (女)
为了捕获该影响，设C Y u。假设边际消 费倾向 依赖于财产 Z 。一个简单的表示方法就 是 1 2 Z 。代入消费函数，有：
C 1Y 2YZ u
由于YZ 捕获了收入和财产之间的相互作用而被称为 交互作用项。
显然，刻画交互作用的方法，在变量为数量(定量) 变量时， 是以乘法方式引入虚拟变量的。
Yi 0 1） i （ Yi 0 i
E Yi | Di = 0 = 0
城市
农村
（2）一个定性解释变量（两种属性）和一个定 量解释变量的情形
模型形式 Yi = f(Di，X i )+ μi 0 1Di 例如：Yi = 0 1Di + X i + μi 1 城市 其中： Y－支出；X －收入; Di 0 农村
加法方式引入虚拟变量的主要作用为： 1.在有定量解释变量的情形下，主要改 变方程截距； 2.在没有定量解释变量的情形下，主要 用于方差分析。
2.以乘法方式引入虚拟变量
基本思想 以乘法方式引入虚拟变量时，是在所设立的模型中，将虚拟
Xi 解释变量与其它解释变量的乘积，作为新的解释变量出现在
模型中，以达到其调整设定模型斜率系数的目的。或者将模
冬季、城市居民 E Yi | X i , D1 0, D2 1 ( 0 2 )＋ X i
冬季、农村居民
E Yi | X i , D1 0, D2 0 0 X i
D1 1, D2 1
Y
D1 1, D2 0
D1 0, D2 1
如何刻画我国居民在不同时段的消费行为？
基本思路：采用乘法方式引入虚拟变量的手段。显
然，1979年是一个转折点，可考虑在这个转折点作
为虚拟变量设定的依据。若设 X * ＝1979，当 t < X * 时可引入虚拟变量。（为什么选择1979作为转折 点？）
依据上述思路，有如下描述我国居民在不同时段 消费行为模型：
（2）截距和斜率均发生变化
模型形式： Yi f X t , Dt , Dt X t 0 1D, 1 2 D
例，同样研究消费支出 Y 、收入 X 、年份状况 D 间的影 响关系。
Yt 0 1 X t 1Dt 2 ( Dt X t ) t 1 反常年份 其中： Y 消费支出；X 收入； Dt 0 正常年份 反常年份 E Yt | X t , Dt 1 0 1 ( 1 2 ) X t 正常年份 E Yt | X t , Dt 0 1 X t
Yt 0 1t 2 (t X ) D ut
*
1 其中： D 0 t X t t X t
(t＝1955，1956，…，2004)
居民消费趋势方程：
1979年以前： Yt 0 1t ut
1979年以后： Yt 0 2 X * ( 1 2 )t ut
例: 是否发展油菜籽生产与是否发展养蜂生产的差 异对农副产品总收益的影响研究。 模型设定为:
型斜率系数表示为虚拟变量的函数，以达到相同的目的。
乘法引入方式: （1）截距不变； （2）截距和斜率均发生变化； 分析手段：仍然是条件期望。
（1）截距不变的情形
模型形式： Yt = f X t , Dt X t ut , 1 2 D 例：研究消费支出Y 受收入 Yt 1 X t 2 ( Dt X t ) t
（1）一个两种属性定性解释变量而无定量变量 的情形
模型形式：Yi f ( Di ) i 0 1Di 例如：Yi 0 1Di i
1 其中：Di＝ 0 城市 农村 （比较的基础：农村）
那么： E Yi | Di = 1 = 0 + 1） （
E Yi | X i , Di 1 0 1） X i （ E Yi | X i , Di 0 0） X i （
Yi = 0 + 1 + X i + μi （ ） Yi = 0 + X i + μi
城市
农村
Y
X
共同的特征：截距发生改变
1.以加法方式引入虚拟变量
以加法方式引入虚拟变量时，主要考虑的问 题是定性因素的属性和引入虚拟变量的个数。 分为四种情形讨论： （1）解释变量只有一个定性变量而无定量变量，而且定性 变量为两种相互排斥的属性； （2）解释变量分别为一个定性变量（两种属性）和一个定 量解释变量； （3）解释变量分别为一个定性变量（两种以上属性）和一 个定量解释变量； （4）解释变量分别为两个定性变量（各自分别是两种属性） 和一个定量解释变量；
8.1.2 虚拟变量设置的规则
1.虚拟变量的设置
虚拟变量是用以反映质的属性的一个人工变量。一般 只取0或1两个值，对基础类型或肯定类型设D=1； 对比较类型、或否定类型、或控制类型、或遗漏类 型设D=0。可作解释变量和被解释变量。
虚拟变量的系数称之为差别截距系数，模型称为虚拟 变量模型或斜方差分析模型。 引入虚拟变量，数学上无变化；经济学上为了反映经 济现象的属性。
1 D 0
政策紧缩
政策宽松
1 D 0
本科以上学历
本科以下学历
设有模型， yt = 0 + 1 xt + 2D + ut , 其中 yt，xt 为定量变量；D 为定性变量。 当 D = 0 或 1 时，上述模型可表达为，
0 + 1xt + ut , (D = 0)
yt =
60
D=
0 -1
(中学) (小学)。
8.1.3 虚拟变量的作用
1.可以检验和度量用文字所表述的定性因素的影响。
2.可以测量变量在不同时期的影响。
3.可以用来处理异常数据的影响。
8.2 虚拟解释变量模型