初二数学竞赛训练-(九)(含答案)-
初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)
初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.2. 有一个矩形，长是宽的3倍，如果长再加上宽再加上1的和等于50，求矩形的长和宽各是多少？解：设矩形的宽为x，则长为3x，根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50，化简得 4x + 1 = 50，解得 x = 12，所以长为3 * 12 = 36，宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x^3 - x = 608，化简得 x^3 - x - 608 = 0，因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300，甲数比乙数大30，求甲数和乙数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 x + y = 300，x - y = 30，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料，每瓶售价为5元，如果购买10瓶，优惠50%，那么需要支付的价格是多少？解：购买10瓶优惠50%，相当于购买5瓶的价格，所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书，若图书馆中已有书籍500本，现将这些书按每排放10本的方式摆放，共需要多少排？解：新书300本加上原有书籍500本，共计800本书，每排放10本，所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，求他一天中运动的总时长是多少分钟？解：小明一天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼，甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，如果他们一起钓了45分钟，那么他们一共钓到了多少条鱼？解：甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，他们一起钓了45分钟，所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元，现在打8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这个商品的售价是多少？解：原价100元，打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元，再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元，每月生活费占月收入的1/5，那么这个人每月的生活费用是多少元？解：年收入12000元，月收入为 12000 / 12 = 1000元，生活费占收入的1/5，所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子，甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，问他们一起修需要多少天？解：甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4，折后价格为60元，问这本书的原价是多少？解：折后价格为60元，花费原价的3/4，所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛，甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，问谁的平均速度更快？解：甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒，平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮；所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里，一只小猫每小时能跑8公里，如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑，4小时后它们相距了多少公里？解：小狗每小时能跑5公里，4小时后跑了5 * 4 = 20公里，小猫每小时能跑8公里，4小时后跑了8 * 4 = 32公里，所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60，求这三个数分别是多少？解：设第一个偶数为x，那么第二个偶数为x + 2，第三个偶数为x+ 4，根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60，求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 2x + 5 = 13，解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22，乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70，求甲、乙两数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 y - x = 22，2y + 3x= 70，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，行驶了1小时20分钟后停下来休息，求这段时间内汽车行驶的路程？解：汽车以每小时80千米的速度行驶，1小时20分钟共1.33 小时，所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路，两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树，每棵树之间距离相等，而且与路两边相邻树之间距离也相等，问道路中间最宽的地方有多宽？解：分别种植7棵树和9棵树，每棵树之间距离相等，所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 4x - 2 = 18，解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田，甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，问他们三个人一起种地需要多少天？解：甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元，买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗？解：100元买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元，剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克，其中水分为15%，求这团面粉中水分的重量是多少克？解：面粉重800克，其中水分为15%，所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40，化简得7/5x = 40，解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，如果他们一起完成这项工作需要3小时，求乙单独完成这项工作需要多少时间？解：甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，设甲单独完成需要的时间为x，乙单独完成需要的时间为y，根据题意可得方程 2x + 5x = 3，解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆，圆心之间的距离为8，两圆的半径分别为5和3，求两圆相交的弦的长度是多少？解：两个圆的半径分别为5和3，圆心之间的距离为8，利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，这三个人一共交易了多少元？解：甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12，化简得 1/3x = 12，解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路，甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，也有可能甲的速度是乙的倍数，问他们一起修需要多少小时？解：甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元，现在打折8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这件衣服的售价是多少？解：原价200元，打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元，再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工，甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，问他们一起做一份工作需要多少时间？解：甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元，每月花销占收入的1/4，那么这个人每月的花销是多少元？解：年收入12000元，。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
-初中数学竞赛题(含答案)
初中数学竞赛一、选择题(每小题7分，共56分．以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内)1．在-|－3|3，-(-3)3，(-3)3，-33中，最大的是( B )． (A)-|-3|3 (B)-(-3)3 (C)(-3)3 (D)-332. “a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的4倍”用代数式表示应为( )(A)2a+(21b 2)-4(a+b)2 (B)(2a+21b)2-a+4b 2(c)(2a+21b)2-4(a 2+b 2) (D)(2a+21b)2-4(a 2＋b 2)23．若a 是负数，则a+|-a|( C )，(A)是负数 (B)是正数 (C)是零 (D)可能是正数，也可能是负数 4．如果n 是正整数，那么表示“任意负奇数”的代数式是( )． (A)2n+l (B)2n-l (C)-2n+l (D)-2n-l5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、-l ，那么|a+1|表示( )． (A)A 、B 两点的距离 (B)A 、C 两点的距离 (C)A 、B 两点到原点的距离之和 (D)A 、C 两点到原点的距离之和6．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且d-2a ＝10，那么数轴的原点应是( )． (A)A 点 (B)B 点 (C)C 点 (D)D 点7.已知a+b ＝0，a≠b ，则化简a b (a+1)＋ba(b+1)得( )．(A)2a (B)2b (C)+2 (D)-28．已知m<0，-l<n<0，则m ，mn ，mn 2由小到大排列的顺序是 ( )．(A)m ，mn ，mn 2 (B)mn ，mn 2，m (C)mn 2，mn ，m (D)m ，mn 2，mn 二、填空题(每小题?分，共84分)9．计算：31a －(21a －4b －6c)+3(－2c+2b)=10．计算：0．7×194+243×(－15)+0．7×95+41×(-15)=ll.某班有男生a(a>20)人，女生20人，a-20表示的实际意义是12．在数-5，-3，-1，2，4，6中任取三个相乘，所得的积中最大的是13．下表中每种水果的重量是不变的，表的左边或下面的数是所在行或所在列水果的总重量，则表中问号“?”表示的数是 梨 梨 苹果 苹果 30 梨 型 梨 梨 28 荔枝 香蕉 苹果 梨 20 香蕉 香蕉 荔枝 苹果 ? 19 20 25 3014．某学生将某数乘以-1．25时漏了一个负号，所得结果比正确结果小0．25，则正确结果应是 .15．在数轴上，点A 、B 分别表示-31和51，则线段AB 的中点所表示的数是 .16．已知2a x b n-1与-3a 2b 2m (m 是正整数)是同类项，那么(2m-n)x =17．王恒同学出生于20世纪，他把他出生的月份乘以2后加上5，把所得的结果乘以50后加上出生年份，再减去250，最后得到2 088，则王恒出生在 年 月． 18．银行整存整取一年期的定期存款年利率是2．25％，某人1999年12月3日存入1 000元，2000年12月3日支取时本息和是 元，国家利息税税率是20％，交纳利息税后还有 元．19．有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，其中 a 1＝6×2+l ； a 2＝6×3+2； a 3＝6×4+3； a 4＝6×5＋4；则第n 个数a n ＝ ；当a n ＝2001时，n ＝ . 20．已知三角形的三个内角的和是180°，如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数，则这个三角形三个内角的度数分别是第十五届江苏省初中数学竞赛参考答案初一年级第一试一、1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．D二、9.一6a+1 06． 10．一43．6．11．男生比女生多的人数．1 2．90． 1 3．1 6． 1 4．0．1 2 5． 1 5．-1511 6．1． 1 7．1988；1． 18．1022．5；101 8． 1 9．7n+6；2 8 5．2 O ．2，8 9，8 9或2，7 1，1 07(每填错一组另扣2分)．一、选择题1．已知x=2是关于x 的方程3x-2m=4的根，则m 的值是( ) (A)5 (B)-5 (C)1 (D)-12．已知a+2=b-2=2c=2001，且a+b+c=2001k ，那么k 的值为( )。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)
2020年全国初中数学竞赛试题（含答案）考试时间 2020年4月2日上午 9∶30－11∶30 满分120分一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）（A ）36 （B ）37 （C ）55 （D ）902．已知21 m ，21 n ，且)763)(147(22 n n a m m =8，则a 的值等于（ ）（A ）－5 （B ）5 （C ）－9 （D ）93．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y 上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则（ ）（A ）h <1 （B ）h =1 （C ）1<h <2（D ）h >24．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）（A ）2020 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20205．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QA QC的值为（ ）（A ）132 （B ）32（C ）23 （D ）23 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2020，c －a =2020．若a <b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ．7．如图，面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，b ，c 为整数，且b 不能被任何质数的平方整除，则b ca 的值等于 ．8．正五边形广场ABCDE 的周长为2020米．甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发，沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分．那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次行走在同一条边上．9．已知0<a <1，且满足183029302301 a a a ，则 a 10的值等于 ．( x 表示不超过x 的最大整数)10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．已知a bx，a ，b 为互质的正整数（即a ，b 是正整数，且它们的最大公约数为1），且a ≤8，1312 x ．试写出一个满足条件的x ；（1）（第7题图）ABCDGFE求所有满足条件的x ．（2）12．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围．13．如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE·AC=CE·KB ．A14．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
初中数学竞赛---代数式竞赛50道综合题练习(含答案解析)
16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： (c a)2 4(b c)(a b) ． 【答案】 (a c 2b)2 【详解】解法一 原式 (c2 2ca a2 ) 4(ab b2 ac bc) (c2 2ca a2 ) (4ab 4bc) 4b2 (a c)2 4b(a c) (2b)2 (a c 2b)2 ． 解法二 原式 [(c b) (a b)]2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 4(c b)(a b) (c b)2 2(c b)(a b) (a b)2 [(c b) (a b)]2 (a c 2b)2 ．
17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： x2 (x a)2 a2x2 a2 (x a)2 ． 【答案】 (x2 ax a2 )2 【详解】解法一 原式 [x2 (x a)2 a2 (x a)2 ] a2x2 (x2 a2 )(x a)2 a2 x2 (x2 a2 )(x2 2ax a2 ) a2 x2 (x2 a2 )2 2ax(x2 a2 ) (ax)2 (x2 a2 ax)2 (x2 ax a2 )2 ． 解法二 原式 x2[(x a)2 a2 ] a2 (x a)2 x2 (x2 2ax 2a2 ) a2 (x a)2 (x2 )2 2x2 a(x a) [a(x a)]2 [x2 a(x a)]2 (x2 ax a2 )2 ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）
1
1
的值为（ ）．
4 59 30 2 3 66 40 2
A．无理数 【答案】D
B．真分数
C．奇数
D．偶数
【详解】原式
1
1
4 (5 2)2 25 2 3 32 3 (5 2)2 25 2 4 42
初中数学竞赛第九节二进位制与多进位制(含答案)
第九节二进位制与多进位制内容讲解十进位制的数有十个数字0、1、2、…、9，进位的规则是“逢十进一”．十进制数的一般形式为a1×10n-1+a2×10n-2+…＋a n×100（a n取0、1、2、…、9，n取正整数，100=1）．二进位制的数只有两个数字0、1，它的进位规则是“逢二进一”，2•是二进位制的进位单位．同十进位制的数一样，二进位制的数可以比较大小，它可以进行加、减、乘、除四则运算．由于计算机的计算与记忆元件．只有“开”和“关”两种状态，因此，计算机上通用的是二进位制．二进位制的数一般形式为：a1×2n-1+a2×a n-2+…+a n×20（a取0，1，n取正整数）．将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为0为止．得到的余个余数，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．例如：将二进制的数化为十进制的数，只要将二进制数的每个数字，依次乘以2•的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数．例如：1012=1×22+0×21+1×20=4+1=5；110102=1×24+1×24+1×23+0×22+1×21+0×20=18+8+2=26．用类似的方法，可以将多种进位制的数，化为与其相等的十进制数，k•进位制的数（k 取2≤k≤9的整数）的一般形式为：a1k n-1+a2k n-2+…＋a n k0（a取0≤a n≤k的所有整数，n取正整数）．这种表示法可以把任意一个k进制数，化为与其相等的十进制数．•要将十进制数化为与其相等的k进位制数，可用k去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．例如：3217=3×72+2×71+1×70=147+14+1=162；而例题剖析例1计算（1）110112+100102；（2）11012×1102．分析：利用下面的加法与乘法表，用竖式计算．表中第一行与第一列的数字相加（乘），其和（积）为行列交叉处的数．加法表与乘法表如下所示：解：用竖式进行计算：∴110112+100102=1011012；11012×1102=10011102．评注：二进制的四则运算十分简便，计算中要注意进位规则为“满二进一”．例2 计算（1）100112-10102；（2）1011012÷1012．分析：仿十进制数做减法与除法，用竖式进行计算．∴100112-10102=10012； 1011012÷1012=10012．评注：二进制数的减法借位规则为“借一为二”，与十进制数竖式除法相类似，不够商时，用0占位．例3 某商店将61件分成6箱事先装好，便于顾客购买时，不管买几件商品都不需要打开包装，就能满足顾客要求，问每箱应事先放几件商品？分析：问题是如何在1～61之间选6个数，使其和为61，且又能通过求和，表示出1～61之间的各个数．将6位的二进制数（由于每箱都不能空，所以每位上数字都是1），化为十进制数，可得到各箱应装的商品数．解：∵1111112=25+24+23+22+21+20=32+16+8+4+2+1=6310．注意到63>61，∴第6箱内不装入32件，而装32-（63-61）=30（件）．答：各箱中应放入的商品数，分别是1件、2件、4件、8件、16件、32件．评注：如果需要的商品数小于30W 年，可以从前面5个盒子中，挑选若干个盒子就可满足；如果需要的商品数大于或等于30件，可先取第6个盒子，其余的由前5个盒子中，挑选若干个盒子来补足．例4 利用二进制数，证明（232-1）一定能被15整除．分析：先把232-1与3、5三个数，分别用二进制数表示，然后证明232-1能被3、5整除即得．证明：∵310=112，510=1012．232-1=2321111个．用竖式做除法，如下所示：被除数中，（1）每两位数都能被112除尽，（2）每四位数能被1012除尽．因为32是2的倍数，也是4的倍数，所以232-1既能被3除尽，也能被5除尽，此数一定能被15整除．评注：此证明就是借助二进制数做除法，比较容易判断能否整除的优势来做的．例5 比较7249，2102123，58810，10010011112的大小．分析：相比较的4个数中，分别是九进制数、三进制数、十进制数和二进制数，•先把它们化为十进制数，再比较大小．解：7249=7×92+2×91+4×90=58910，2102123=2×35+1×34+0×33+2×32+1×31+2×30=59010．10010011112=29+26+23+22+21+20=512+64+8+4+2+1=59110．∵591>590>589>588，则10010011112>2102123>7249>58810．评注：不同进位制的数比较大小，只需化为相同进位制的数，就可以比较，•通常都化为十进制的数进行比较．巩固练习1．选择题：（1）10010112化为十进制数，得（）（A）77 （B）75 （C）76 （D）78（2）将十进制数163化为二进制数，得（）（A）101000112（B）101000102（C）100100112（D）100100012（3）将四进制数30214化为二进制数，得（）（A）100110012（B）110010102（C）110010012（D）10110012（4）将八进制数5128化为十进制数，得（）（A）334 （B）330 （C）332 （D）3282．填空题：（1）计算1100102+1011102=________；（2）计算1010112+10012-1000012=_________；（3）计算110102×10112=________；（4）计算111111112÷1012=_______．3．将29个小木球装在5个袋子里，不管要拿多少个木球（29个内），都只拿袋子，而不用从袋子中将木球取出，问这5个袋子应各装多少个木球．4．把1056化为与其相等的二进制数与三进制数．5．比较5148，1010011012，33410的大小．6．比较10023，1105，457，111112的大小．7．利用二进制数，证明210+1不能被27-1整除．答案:1．（1）B；（2）A；（3）C；（4）B．2．（1）11000002；（2）100112；（3）1010111102；（4）1100112．3．1个，2个，4个，8个，14个．4．1010112，11213．5．5148<1010011012<33410．6．∵29<30<31<33，∴10023<1105<111112<457．7．∵210+1=1200019个0，27-1=21117个1，而11……12不能整除100……012，∴210+1不能被27-1整除．。
2023年湖州市初二年级数学竞赛试卷含答案
湖州市初二年级数学竞赛试卷答题时注意: 1. 用圆珠笔或钢笔作答.2. 解答书写时不要超过装订线.D旳四个选项, 其中有且只有一种选项是对旳旳. 请将对旳选项旳代号填入题后旳括号里. 不填、多填或错填均得零分）1. 旳末位数字是（）.A. 1B. 3C. 5D. 72．设a、b是方程旳两个实数根, 则旳值是（）A. B. C. D.3.桌上放着6张扑克牌，所有正面朝下。
你已被告知其中有两张且只有两张是老K，不过你不懂得老K在哪个位置。
你随便取了两张并把它们翻开，会出现下面两种状况:(1)两张牌中至少有l张是老K；(2)两张牌中没有l张是老K。
比较这两种状况旳也许性, 可知 ( )A. (1)旳也许性大B. (2)旳也许性大C. 两者同样.D. 不能确定4．如图, △ABC中, AD是∠BAC内旳一条射线, BE⊥AD, M是BC上旳点, 把△BEM绕点M旋转1800得到△CHM, 延长CH交AD于F, 则下列结论错误旳是（）A. BM=CMB. FM= EHC. CF⊥ADD. F M⊥BC5. 如图所示，是矩形内一点，已知PA=6 PB=8 PC=10，则PD旳值为（）A. B. 8 C. D. 96.一种人步行从A 地出发, 匀速向B 地走去.同步另一种人骑摩托车从B 地出发, 匀速向A 地驶去.二人在途中相遇, 骑车者立即把步行者送到B 地, 再向A 地驶去, 这样他在途中所用旳时间是他从B 地直接驶往A 地原计划所用时间旳2.5倍, 那么骑摩托车者旳速度与步行者旳速度之比是（ ） A. 2:1 B. 3:1 C. 4:1 D. 5:17.某人月初用x 元人民币投资股票，由于行情很好，他旳资金每月都增长 ，虽然他每月末都取出1000元用于平常开销，他旳资金仍然在三个月后增长了一倍，那么x 旳值是（ ） A. 9000 B. 10000 C. 11000 D. 111008. 一堂“探索与实践”活动课上, 小明借助学过旳数学知识, 运用三角形和矩形为班里旳班报设计了一种报徽, 设计图案如下: 如图, 两条线段EF 、MN 将大长方形ABCD 提成四个小矩形, 已知DE=a, AE=b, AN=c, BN=d, 且S1旳面积为8, S2旳面积为6, S3旳面积为5, 则阴影三角形旳面积为（ ） A ． B ．3 C ．4 D.二、填空题（共6小题, 每题5分, 满分30分） 9. 若m= ,a 是m 旳小数部分, 则a=____________.10. 若有关 旳不等式组 无实数解, 则 旳取值范围是11. 你玩过“数字黑洞”旳游戏吗？ 下面我们就来玩一种数字游戏, 它可以产生“黑洞数”, 操作环节如下: 第一步, 任意写出一种自然数（如下称为原数）；第二步, 再写出一种新旳三位数, 它旳百位数字是原数中偶数数字旳个数, 十位数字是原数中奇数数字旳个数, 个位数字是原数旳位数；如下每一步, 都对上一步得到旳数按照第二步旳规则继续操作, 直至这个数不再变化为止. 不管你开始写旳是一种什么数, 几步之后变成旳自然数总是相似旳, 最终这个总相似旳数就称为“黑洞数”. 请你认为例进行尝试: 这个数字游戏旳“黑洞数”是(零作为偶数)得 分 评卷人610第5题 ABCD8第4题12．如图, △ABC中, ∠Ａ=30°以BE为边, 将此三角形对折, 另一方面, 又以BA为边, 再一次对折, C点落在BE上, 此时∠CDB＝84°, 则原三角形旳∠B ＝____________度。
八年级下数学竞赛试题(含答案)
八年级(下)数学期末竞赛测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1、下列多项式中能用完全平方公式分解的是（ ） A.x 2-x +1 B.1-2xy +x 2y 2 C.a 2+a +21D.-a 2+b 2-2ab2、不等式组⎩⎨⎧>-≥-04012x x 的整数解为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3、下列各分式中，与分式ba a--的值相等的是 （ ）A 、b a a --B 、b a a +C 、a b a -D 、-ab a-4、．若分式34922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A ． 3-B ．3或3-C ．3D ．无法确定5、某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为82=甲x 分，82=乙x 分；2452=甲s ，1902=乙s ，那么成绩较为整齐的是（ ） A ．甲班 B ．乙班 C ．两班一样整齐 D ．无法确定6、某天同时同地，甲同学测得1 m 的测竿在地面上影长为0.8 m ，乙同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6 m ，则国旗旗杆的长为（ ）A ．10 mB ．12 mC ．13 mD ．15 m 7、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，DE ＝1，BC ＝3，AB ＝6，则AD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5(第7题图) (第9题图)8、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页?如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（ ） A ．1421140140＝－＋x x B ．1421280280＝＋＋x x C ．1421140140＝＋＋x x D ．1211010＝＋＋x x9、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）A ．0.36π平方米B ．0.81π平方米C ．2π平方米D ．3.24π平方米10.下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.（x+1）(x-1)=x 2-1 B. a 2b =a ·abC.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D.m 2-2m-3=m(m-2-m3)二、填空题(每小题3分，共24分)11、已知：线段AB=10cm ，C 为AB 有黄金分割点，AC>BC ，则AC=_________. 12、不等式(a -b )x>a -b 的解集是x <1，则a 与b 的大小关系是________．13、已知x 1，x 2，x 3的标准差是2，则数据2x 1+3，2x 2+3，2x 3+3的方差是 .．14、计算机生产车间制造a 个零件，原计划每天造x 个，后为了供货需要，每天多造了b 个，则可提前______________天完成。
初中数学竞赛模拟题50题含参考答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．今年5月8日母亲节，大鹏用30元钱购买了“康乃馨”和“百合”两种花若干支，作为送给妈妈的节日礼物．已知康乃馨花每支2元，百合花每支3元（两种花都买），大鹏购买方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种 2．定义运算，则2a b a b ⊗=-，则25⊗=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．8 3．一个四位数aabb 为平方数，则a b +的值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8 4．在ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则（ ）A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定 5．六名运动员A B C DEF ，，，，，比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A 与B 各赛了3局D ，与C 各赛了4局E ，赛了2局，而且D 和B A ，和C 之间都还没赛过，那么F 已赛了多少局（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，AI 、BI 、CI 分别平分BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠，ID BC ⊥，ABC 的周长为18，3ID =，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．30C ．24D ．27 7．分母是2007的正的最简真分数有（ ）个．A ．675B ．326C ．1329D ．1332 8．假设时间用十进制表示，即每天有10个小时，每小时有100分钟．按照十进制生00；7：50对应下午6：00．在十进制下，如果一个人想在早上6：36醒来，那么他应该将新电子闹钟定时在（ ）A ．2：00B ．2：25C ．2：50D ．2：759．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则{}1x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭（ ）A ．12 B ．3C ．(132 D ．110．1234x x x x -+-+-+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．1011．对任意的整数x ，y ，定义@x y x y xy =+-，则使得()()()@@@@@@0x y z y z x z x y ++=的整数组(),,x y z 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．一个盒子中有红球m 个、白球10个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么,m n 的关系是（ ）． A ．10m n += B ．5m n += C ．10m n == D ．2,3m n == 13．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．614．一个六位数它是一个完全平方数，且末三位数字都是4，这样的六位数有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．515．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如22420=-，221242=-，222064=-），下列关于神秘数的叙述，正确的个数为（ ）．①2008是神秘数；①任意两个正奇数的平方差是神秘数；①任意两个正奇数的平方差不是神秘数；①在1~100这100个数中，神秘数有13个．A ．1B ．2C ．3D ．416．a ，b ，c 不全为0，满足3330,0a b c a b c ++=++=．称使得0n n n a b c ++=恒成立的正整数n 为“好数”，则不超过2007的正整数中好数的个数为（ ）A 2B 1004C 2006D 200717m 的和为（ ）．A ．401B ．800C ．601D ．1203二、填空题18．已知n n 的最小值为___________．19．方程4(34)16x -=的根是______．20．已知实数x y ，满足2510x x y ++-=，则x y +的最大值为_______．21．如图，在边长为6的正ABC 中，D ，E 分别在边AC ，AB 上，13AD AC =，23AE AB =，BD ，CE 相交于点F ，则点A ，D ，F 所在圆的半径______．22．设m 是整数且方程2320x mx +-=的两根都大中95-而小于37，则m =_____． 23．若素数p ，q 满足2337431pq p q p +=++，则p q +=______．24．设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________ ．25．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是__________岁．26．函数|1||2||3|y x x x =+++++，当x =_______时，y 有最小值，最小值等于_______．27．方程1111997x y +=中的x ，y 均取正整数时，得出的解(,)x y 叫做方程的一个正整数解，则这个方程的正整数解有_______个．28．两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________．29．有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是__________．30．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB ＝AC ＝5，点D 在AC 上，且2AD =，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG ＝FG时，线段DE长为______31．学校食堂某窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品，每个品种的单价均为整数，若汉堡的单价比烤肠的单价多3元，可乐的单价比烤肠的单价髙50%，盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差．某日烤肠和汉堡一共销售了120份，且烤肠的销售大于40份，盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，而可乐的销售量为60份，当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的52倍，则四种食物当日销售总量的最大值为______．32．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个的末位数字是_______．33．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍．此六位数为___________．34．代数式110x的最小值是_______．35．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个二位数．将前面的二位数末尾添一个0，然后加上前、后两个二位数的乘积，恰好等于原来的四位数．又知道原数的个位数字是5，那么这个四位数是_________．36．如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），则P1C的取值范围是_____．37．如图，在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BC =，60BAC ∠=︒，若=5AB ，=2AD ，则线段AC 的长为______．三、解答题38．阅读下列材料，解答提出的问题．我们知道，二元一次方程1x y +=有无数组解，如果我们把每一组解用有序数对(),x y 表示，就可以标出一些以方程1x y +=的解为坐标的点，过这些点中的任意两点可以作一条直线，发现其它点也都在这条直线上．反之，在这条直线上任意取一点，发现这个点的坐标是方程1x y +=的解．我们把以方程1x y +=的解为坐标的所有点组成的图形叫做方程1x y +=的图象，记作直线1l ．(1)【初步探究】下列点中，在方程1x y +=的图象1l 上的是______；A ．()1,1B ．()2,1-C ．()3,2-(2)在所给的坐标系中画出方程23x y -=-的图象2l ；(3)【理解应用】直线1l ，2l 相交于点M ，求点M 的坐标；(4)点()1,P x a ，()2,Q x a 分别在直线1l ，2l 上．当4PQ ≤时，请直接写出a 的取值范围．39．一列火车长x 米，匀速通过300米的隧道，用时25秒，隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10秒，求火车的长度．40．试证：形如abcabc 的六位数总含有7，11，13的因数．41．已知正整数a ，b ，c 满足a b c <<，且ab bc ca abc ++=．求所有符合条件的a ，b ，c ．42．分解因式：4444444()()()()a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++．43．平面直角坐标系中，每个整点都被染成为三种颜色之一，并且每种颜色的点都有．证明：可以找到一个直角三角形（其直角边不一定与坐标轴平行或重合），它的三个顶点被分别染成三种不同的颜色．44．某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环） 45．（1）证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2,,a a b c -都是整数；（2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论．46．一个三位数xyz （其中，x ，y ，z 互不相等），将其各个数位的数字重新排列，分别得到的最大数和最小数仍是三位数．若所得到的最大三位数与最小三位数之差是原来的三位数，求这个三位数．47．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次每件获利润8元，每提高一个档次每件产品利润增加2元，最低档次每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果使一天获利润858元，则应生产哪个档次的产品（最低档次为第1档次，档次依次随质量提高而增加）？参考答案：1．B【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y 的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出大鹏的购买方案．【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2330x y，①2103y x =-，①x，y均为正整数，①38xy=⎧⎨=⎩，66xy=⎧⎨=⎩，94xy=⎧⎨=⎩，122xy=⎧⎨=⎩，①大鹏有4种购买方案．故选：B．【点睛】本题考查二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．2．B【详解】25|225|1⊗=⨯-=3．A【分析】可将aabb表示为11（100a+b），根据aabb四位数为平方数，可设100a+b=11c2，由题意可得：101＜100a+b=11c2＜999，可将c的值求出，从而可求出a+b的值．【详解】解：①aabb=1000a+100a+10b+b=11（100a+b）由题意可设100a+b=11c2（c为正整数），①101＜100a+b=11c2＜999，即9＜c2＜90，于是，4≤c≤9，经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4，故a+b=11．故选：A．【点睛】本题考查了不等式的应用，理解一个四位数aabb为平方数，这句话中包含的不等关系是解决本题的关键．4．B【详解】①12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，①()118012842MBC ∠=︒-︒=︒，又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，①180844848BCM ∠=︒-︒-︒=︒，①BM BC =，又()()111801801322422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，①()18018012BNC ABC BCN ACB CAN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠12ABC =︒=∠，①CN CB =，因此，BM BC CN ==；5．D【分析】共有6个人，A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，依此类推即可确定．【详解】解：由于A 、B 各参加了3局比赛，C 、D 各参加了4局比赛，E 参加了2局比赛，且A 与C 没有比赛过，B 与D 也没有比赛过，所以与D 赛过的是A 、C 、E 、F 四人；与C 赛过的是B 、D 、E 、F 四人；又因为E 只赛了两局，A 与B 各赛了3局，所以与A 赛过的是D 、B 、F ；而与B 赛过的是A 、C 、F ；所以F 共赛了4局．故选：D ．【点睛】考查了推理与论证，根据每人最多赛四盘及每人已赛的盘数间的逻辑关系进行推理是完成本题的关键．6．D【分析】过I 点作IE ①AB 于点E ，IF ①AC 于点F ，如图，利用角平分线的性质得到IE =IF =ID =3，然后根据三角形面积公式得到ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△，据此即可求得．【详解】解：过I 点作IE ①AB 于点E ，IF ①AC 于点F ，如图，①AI ，BI ，CI 分别平分①BAC ，①ABC ，①ACB ，①IE =IF =ID =3，①ABC IAB IBC IAC S S S S =++△△△△111333222AB BC AC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3()2AB BC AC =++ 3182=⨯ 27=故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．7．D【详解】因220073223=⨯，因2007n 是最简真分数的充要条件是12006n ≤≤，并且n 与2007互素，即n 既不被3整除又不被223整除，记{1,2,,2006}I =，3{A a a I =∈并且a 不被3整除223},{A a a I =∈，并且a 不被223整除3223},,A A 在I 中的补集分别记为3A ，和223A ，则由容斥原理知I 中既不被3又不被223整除的数的个数等于()()322332233223||2006A A I A A A A =-+-=-2006200620062006(6688)2133232233223⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=-++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．故选D ． 8．D【详解】正常情况下，每天有60241440⨯=分钟．早上6：36表示午夜后396分钟． 在十进制下，每天有1000分钟，因此早上6：36对应午夜后39610002751440⨯=分钟．从而，新电子闹钟应该设定的时间为2：75，故选D ．9．D 【详解】设1x a x +=，则()23223211111133x x x x x a a x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=++-=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 所以()2318a a -=，因式分解得()2(3)360a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得(132x =，显然{}01x <<，101x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以{}11x x ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭ 10．A 【详解】()()14143x x x x -+-≥---=，当14x ≤≤时取得等号；()()21233x x x x +-≥---=-，当23x ≤≤时取得等号； 因此，1234314x x x x -+-+-+-≥+=，当23x ≤≤时取得等号． 所以，1234x x x x -+-+-+-的最小值为4．11．D【详解】()()(@)@()@x y z x y xy z x y xy z x y xy z=+-=+-+-+-x y z xy yz zx xyz =++---+，由对称性，同样可得()@@y z x x y z xy yz zx xyz =++---+，()@@z x y x y z xy yz zx xyz =++---+． 所以，由已知可得0x y z xy yz zx xyz ++---+=，即(1)(1)(1)1x y z ---=-． 所以，x ，y ，z 为整数时，只能有以下几种情况：111111x y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，或111111x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，或111111x y z -=-⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，所以，()(),,2,2,0x y z =或()2,0,2或()0,2,2或()0,0,0，故共有4个符合要求的整数组． 12．A【详解】盒中共有10m n ++个球，取得的是白球的概率是10m n p m n +=++，取得的不是白球的概率为10m n p m n '+=++．依题意有101010m n m n m n +=++++，所以10m n +=．故应选A ． 13．C【详解】解 设三个连续整数为n 1-，n ，1n +（n 为整数），则(1)(1)3n n n n -+++=能被3整除．虽1236++=能被6整除，但2349++=不能被6整除．故选C ．14．B【详解】解：理由：由于末三位都是4且是完全平方数的最小为2381444=，所以这样的六位数与1444的差的末三位都为0．设2k 为满足条件的六位数，那么22381000k m -=（m 为自然数），即(38)(38)1000k k m -+=，则10001258=⨯能整除(38)(38)k k -⋅+．由于(38)k -与(38)k +不能同时被5整除，所以其中一个能被125整除；由于(38)k -与(38)k +除以4余数相同，如果它们都不能被4整除，那么最多只是2的倍数，这时它们的积不是8的倍数，不合题意，所以(38)k -、(38)k +都是4的倍数，这样其中之一是1254500⨯=的倍数，也就是说形如2(50038)n ±（n 为自然数）的数满足题意．这样的数有2222462,538,962,1038，……其中是六位数的有2462213444=，2538289444=，2962925444=，共3个．故选：B15．B【详解】解 选B ．理由：设两个连续偶数为22k +和2k ，则22(22)(2)4(21)k k k +-=+． 又21k +是奇数，从而，神秘数是4的倍数，但不是8的倍数．设任意两个正奇数为21m +和21n ，则22(21)(21)4(1)()m n m n m n +-+=++-．由于1m n ++与m n -的奇偶性相反，从而，22(21)(21)m n +-+是8的倍数．故22(21)(21)m n +-+不是神秘数．又20088251=⨯，故2008不是神秘数．不难验证：1~100之间的神秘数有41,43,,425⨯⨯⨯．共计13个．综上，知①､①正确．16．B【详解】解 选B ．理由：由()3332223()0a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---=， 知33303a b c abc =++=．从而，abc 中至少有1个为0.由条件知，abc 中只有一个为0，另外两个互为相反数．不妨设0,a b c ==-．于是，当n 为正奇数时，0n n n a b c ++=，反之也成立．所以，不超过2007的正整数中好数共有1004个．17．B【详解】选B n =（n +∈N ），则221203n m -=，从而()()n m n m +-=401312031⨯=⨯．因此，401,3n m n m +=⎧⎨-=⎩或1203,1,n m n m +=⎧⎨-=⎩ 解得199m =或601=m ．故和为800.18．2==2n 是完全平方数，由此可以确定满足条件的最小正整数n ．【详解】解：①2n 是完全平方数，①n 的最小正整数值为2．故答案为：2．)0a ≥的式子叫做=完全平方数和一个代数式的积的形式．19．2x =或23x =##23x =或2x = 【分析】将方程化为二项方程，因式分解法解方程即可求解．【详解】解：4(34)16x -=，即()434160x --=，①()()223443440x x ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦，①()23440x -+>，①()2344x --0=，即()2344x -=， 342x ∴-=±，2x ∴=或23x =， 经检验，2x =或23x =，是原方程的解， ∴方程4(34)16x -=的根是2x =或23x =， 故答案为：2x =或23x =． 【点睛】本题考查了解二项方程，将方程因式分解是解题的关键．20．5【分析】根据已知等式，可用x 表示出x y +再利用二次函数的性质可求得其最大值．【详解】解：①2510x x y ++-=，①251y x x =--+，①2+41x y x x =--+，即：()2++2+5x y x =-①当=1x -时，x y +有最大值5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用x 表示出x y +是解题的关键，注意函数性质的应用．21．2【分析】根据SAS 证①BAD ①①CBE ，推出①ADF +①AEF =180°，可得A 、E 、F 、D 四点共圆，取AE 的中点G ，连接GD ，证①ADG 是等边三角形，推出G 是圆心，求出半径即可．【详解】解：在正①ABC 中， ①23AE AB =， ①13BE AB =，又①13AD AC =，①BE =AD ，又①AB =BC ，①BAD =①CBE ，①①BAD ①①CBE (SAS)，①①ADB =①BEC ，①①BEC +①AEC =180°，①①ADB +①AEC =180°，①A 、E 、F 、D 四点共圆，取AE 的中点G ，连接GD ，①AG =GE =12AE ， ①23AE AB =， ①1623AG GE ==⨯=， 又①116233AD AC ==⨯=，①DAE =60°， ①①ADG 是等边三角形，①GD =AG =AD =2，即GA =GE =GD =2，①点G 是A 、E 、F 、D 四点所在圆的圆心，且半径是2，故答案为：2【点睛】本题主要考查四点共圆和等边三角形的知识，熟练掌握四点共圆的判定和等边三角形的性质是解题的关键．22．4【详解】解 设方程的两根为12,x x ，则212323()()x mx x x x x +-=--． 依题意有129393,5757x x -<<-<<，故95x =-或37时， ()()1230x x x x -->，且1293527x x +-<< 又方程有两个实根，故其判别式0≥，反之也成立，且1226x x m +=-，于是有 29)253)279356743(2)093(()20533(()207m m m m -⎧-<-<⎪⎪=-⨯⨯-≥⎪⎪⎨⨯+⨯-->⎪⎪⎪⨯+⨯->⎪⎩，即2452107424045193021710m m m m ⎧-<<⎪⎪⎪+⎨⎪-+>⎪->⎪⎩ 解之得813342145m << 又m 为整数，所以4m =．因此应填4． 注：所列条件中1293527x x +-<<这一条件不可少，因为仅由其余3个条件，可能12,x x 都大于37也可能都小于95-，不保证12,x x 都在95-与37之间．读者也可用二次函数的图象得出题解中的不等式组合．23．9【详解】显然p ，q 不能均为奇数（否则等式左边为偶数，右边为奇数），于是2p =或2q ．（1）若2p =，则可得32143430q q-+=，解得7q =，检验知()(),2,7p q=为一组解． （2）若2q ，则可得329439p p =+，此式一边为奇数一边为偶数，没有整数解． 综上可知2p =，7q =，所以9p q +=．24．1【详解】解①1x ==，而213<<， ①21a x =-=．又①1x -=，而312-<<-，①()33223()3++=+-++a b ab a b a ab b ab2223()1a ab b ab a b =-++=+=．25．18【详解】设某人出生于19xy 年，则他的年龄应为1910x y x y +++=++（岁）．所以19981910xy x y -=++，即981010x y x y --=++，得11288x y +=， 则88112x y -=． 又易知x 只能取偶数取0,2,4,6,8x =，相应地，44,33,22,11,0y =．只有8,0x y ==满足条件．所以所求年龄为18岁．26． 2- 2【详解】解 当3x ≤-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =-+-+-+=-+；当32x -<≤-时，(1)(2)(3)y x x x x =-+-+++=-；当21x -<≤-时，(1)(2)(3)4y x x x x =-+++++=+；当1x >-时，(1)(2)(3)3(2)y x x x x =+++++=+．故|1||2||3|y x x x =+++++在(,2]-∞-上递减，在[2,)-+∞上递增，当2x =-时，y 取最小值2．故应填2,2-（如图）．注：①一般说来，对于含绝对值的一次函数，应分区间将绝对值符号去掉变成折线函数，再根据函数的增减性（一次项系数为正时递增，为负时递减）就不难得出所求函数的最大（或最小）值．如果作出其图象，那么其结果是一目了然的．①本题的一种简单解法是利用差的绝对值的几何意义来求解：因为||x a -表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标为a 的点A 的距离，故|1||2||3|y x x x =+++++表示数轴上坐标为x 的点P 到坐标分别为1,2,3---的点,,A B C 的距离之和．显然当P 与B 重合时，即2x =-时，这个距离之和为最小，其最小值为线段AC 的长度|(1)(3)|2---=．又如，若要求|9||8||3||1||5||6|y x x x x x x =-+-+-++++++的最小值，则它等价于求数轴上坐标为x 的点P ，分别到坐标为9,8,3,1,5,6---的各点,,,,,A B C D E F 的距离之和的最小值．显然当P 在线段CD 上，即当13x -≤≤时，这个距离之和取最小值，并且最小值|9(6)||8(5)||3(1)|32AF BE CD =++=--+--+--=．27．3【详解】理由：原方程可化为19971997xy x y =+，得(1997)(1997)19971997x y --=⨯，即19971,199719971997x y -=⎧⎨-=⨯⎩或19971997, 19971997x y -=⎧⎨-=⎩或199719971997,1997 1.x y -=⨯⎧⎨-=⎩ 所以共有3个整数解．28．663【详解】设这两个正整数为,()a b a b >．根据题意，可得()1997ab a b -+=，则(1)(1)1998a b --=，即3(1)(1)2337a b --=⨯⨯．因为a b >，即11a b ->-，且a ，b 中有一个是完全平方数，故(1)(1)6663a b --=⨯，所以667,4.a b =⎧⎨=⎩则663a b -=．29．3【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它们4次方后，研究它们的个位数字，分别是：444411;216;381;4256====；444461296;72401;84096;96561====．即它们的个位数字不是1就是6，并且6被5除也是余1．所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1．这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3．30【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A 、D 、F 、E 四点共圆，=90DFE ∠︒，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：如图，连接DF ，EF ，过点F 作FN AC ⊥，FM AB ⊥．①在ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 中点，①AG DG EG ==．①AG =FG ，①A 、D 、F 、E 四点共圆，G 点为圆心，DE 为直径，①90DFE ∠=︒．①在Rt ABC 中，5AB AC ==，①BC ==又①点F 是BC 中点，①122CF BF BC ===1522FN FM AB ===． ①四边形AMFN 是正方形， ①52AN AM FN FM =====． ①90NFD DFM ∠+∠=︒，90MFE DFM ∠+∠=︒，①NFD MFE ∠=∠．①在NFD △和MFE 中90DNF EMF NF MF NFD MFE ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，①()NFD MFE ASA ≅， ①51222ME DN AN AD ==-=-=， ①51322AE AM MD =+=+=， ①在Rt DAE中，DE【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．31．536【分析】设烤肠的单价为x 元，设销售总量为y 份，烤肠为a 份()40a >，根据当日平均售价是汉堡单价的52倍，得出等量关系，由a ，x ，y 为整数，且1602x a +是3的倍数，“盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份，”可限定a 和x 的取值，再进行筛选即可得到销售总量的最大值．【详解】解：设烤肠的单价为x 元，则汉堡的单价为()3x +元，可乐单价为1.5x ，盒饭单价为()43 1.5 2.512x x x +-=+元，四种食物的平均售价为()532x +，设销售总量为y 份，烤肠为a 份()40a >， ①()()()()()5360 1.560120 2.51231202y x x y x ax x a ⨯+=⨯+--++++-， 整理得：16024003x a y +=+，可知，当x 不变时，y 随a 增大而增大 ①()60120400a y +--≤，①580a y +≤，即：580y a ≤-，即：1605540x a +≤，5200a >，故2x ≤，①a ，x ，y 为整数，且1602x a +是3的倍数，则：当2x =时，44a ≤，16022441363⨯+⨯=，此时536y ≤， 当1x =时，76a ≤，1602761043+⨯=，此时504y ≤， 综上，销售总量的最大值为536份，故答案为：536．【点睛】本题考查了应用类问题，不等式和不定方程的应用，解决问题的关键是正确读懂题意列出方程和代数式．32．3【详解】填3.理由：被4整除的最大的三位数是996. 设满足条件的四位数为996a ，则996a +++被9整除，则6a +被9整除，所以3a =． 故末位数字是3.33．142857【详解】.填142857.理由：设原六位数为abcdef ，则6abcdef defabc ⨯=， 即6(1000)1000abc def def abc ⨯⨯+=⨯+． 所以9945999def abc ⨯=⨯， 即142857def abc ⨯=⨯．因为142与857互质， 所以abc 被142整除，def 被857整除． 又因为,abc def 为三位数， 所以142,857abc def ==． 因此142857abcdef =．34．【详解】解 设110y x =，则()222(110)1133y x x +=+，即22222032233113y xy x +=⨯+⨯．关于x 的方程222322322031130x yx y ⨯-+⨯-=有实根，所以()()222222(220)432233113411332230y y y =--⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯≥（因为22220432234113+⨯⨯=⨯），所以y ≥．当且仅当x =y取最小值故应填35．1995【详解】设前后两个二位数分别是a ，b ，则10100a ab a b +=+，即(1)(90)90a b --=．因为1a >，所以900b ->．又b 是二位数，且个位数为5，故95b =．于是118a -=，所以19=a ．故所求四位数是1995．36．1716PC << 【分析】首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明①P 0P 1C ①①P 2P 1A ①①P 2P 3B ，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P 3B 的代数式表示P 1C 的式子，然后由1＜BP 3＜32，即可求出P 1C 长的取值范围． 【详解】解：①反射角等于入射角，①①P 0P 1C ＝①P 2P 1A ＝①P 2P 3B ，又①①C ＝①A ＝①B ＝60°，①①P 0P 1C ①①P 2P 1A ①①P 2P 3B ， ①01P C PC ＝21P A P A ＝23P B P B ， 设P 1C ＝x ，P 2A ＝y ，则P 1A ＝2﹣x ，P 2B ＝2﹣y ． ①1x ＝2y x-＝32y P B -， ①322xy x x xy P B=-⎧⎨-=⎩， ①x ＝13（2+P 3B ）． 又①1＜BP 3＜32， ①1＜x ＜76， 即P 1C 长的取值范围是：1＜P 1C ＜76．故答案为：1＜P 1C 76<． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质找出对应点是解此题的关键，难度较大．37．2.5+【分析】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，根据①BCD 是直角三角形，可证明①BAC =①BDC ，则有A 、B 、C 、D 四点共圆，进而有BD 是该圆的直径，可得①BAD =90°，利用勾股定理可得BD =12CD BD ==BC ==，根据BH ①AC ，可得①ABH 、①BCH 是直角三角形，则有①ABH =30°，即1522AH AB ==，利用勾股定理可得BH =，再在①BCH 是直角三角形，可得CH 可得解． 【详解】连接BD ，过B 作BH ①AC 于H 点，如图，①①BCD =90°，①①BCD 是直角三角形，①222BD CD BC =+，①BC =，①2BD CD =，①在Rt ①BCD 中，①DBC =30°，即①BDC =60°，①①BAC =60°，①①BAC =①BDC ，①A 、B 、C 、D 四点共圆，①①BCD =90°，①BD 是该圆的直径，①①BAD =90°，①AB =5，AD =2，①BD①12CD BD =BC ==， ①BH ①AC ，①①ABH 、①BCH 是直角三角形，①①BAC =60°，①①ABH =30°， ①1522AH AB ==，即BH ===， ①①BCH 是直角三角形，①CH ==①52AC AH CH =+=故答案为：52+ 【点睛】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四点共圆是解答本题的关键．38．(1)B(2)见解析(3)点M 的坐标为（13-，43） (4)803a ≤≤【分析】（1）将所给的点的坐标代入方程，使方程成立的即为所求；（2）利用描点法画出函数图象即可； （3）联立方程组123x y x y +=⎧⎨-=-⎩，方程的解即为点M 的坐标；（4）分别求出11x a =-，223x a =-，再由4PQ ≤，求出a 的范围即可．（1）解：当x ＝1，y ＝1时，x ＋y ＝2，故点A 不在图象1l 上；当x ＝2，y ＝－1时，x ＋y ＝1，故点B 在图象1l 上；当x ＝－3，y ＝2时，x ＋y ＝－1，故点C 不在图象1l 上；故选：B ；（2）当x =1时，y =2，当x =-3时，y =0，则方程x -2y =0的图象l 2如图所示；（3）联立方程组123x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ，解得：1343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点M 的坐标为（13-，43）． （4）①点()1,P x a 在直线1l 上，①11x a += ，11x a =-，①()2,Q x a 分别在直线2l 上，①223x a -=-，223x a =-，PQ ＝|2a －3－1＋a |＝|3a －4|≤4即：4344a -≤-≤， 解得：803a ≤≤ ． 故a 的范围：803a ≤≤【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，绝对值不等式，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标及二元一次方程组的解法是解决解决本题的关键．39．火车长200米【详解】解 设火车速度为y 米/秒，则依题意得25300,10,y x y x =+⎧⎨=⎩消去y 得2530010x x ⨯=+， 解出200x =（米）．答：火车长200米．40．见解析【详解】证明 将已知的六位数写成十进制表达形式，得 541010abcabc a b =⨯+⨯32101010c a b c +⨯+⨯+⨯+()()()524310*********a b c =⨯++⨯++⨯+100100100101001a b c =⨯+⨯+⨯1001(10010)a b c =⨯++71113(10010)a b c =⨯⨯++．故abcabc 总含有7，11，13的因数．41．2a =，3b =，6c =【详解】由1a b c ≤<<，知3abc ab bc ca bc =++<，所以，3a <．故1a =或2a =．（1）当1a =时，有b bc c bc ++=，即0b c +=，这与b ，c 为正整数矛盾．（2）当2a =时，有222b bc c bc ++=，即220bc b c --=，所以，(2)(2)4b c --=．又2b c <<，则022b c <-<-．于是，21b -=，24c -=，从而，3b =，6c =．所以，符合条件的正整数仅有一组：2a =，3b =，6c =．42．4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++【详解】解 设4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++．因为444444(0,,)0()()0f b c b c b b c c b c =++--+-++=，所以(),,f a b c 有因式a ． 由(),,f a b c 是,,a b c 的四次对称多项式知(),,f a b c 有因式abc ，而(),,f a b c 与abc 分别是四次、三次对称多项式，所以(),,f a b c 还含有,,a b c 的一个一次对称多项式()k a b c ++，即 4444444(,,)()()()()f a b c a b c a b b c c a a b c =++-+-+-++++()kabc a b c =++．令1a b c ===，得444444*********k ++---+=，所以12k =，故4444444()()()()12()a b c a b b c c a a b c abc a b c ++-+-+-++++=++．43．见解析【详解】证明 用反证法，假设不存在三个顶点被染为三种不同颜色的直角三角形．不难看出，可以找到一条水平方向或竖直方向的直线l ，它上面至少有2种颜色的整点，为了确定起见，设其为水平方向．如果l 上只有两种颜色的点，比方说蓝色和红色，那么平面上任取一个绿色的整点A ，过A 的竖直方向直线与l 的交点为B ，于是B 是整点且B 或为红色或为蓝色，不妨设B 为蓝色．在l 上任取一个红色整点C ，即可得到三个顶点的颜色各异的直角ABC ，此与假设矛盾．所以l 上有三种颜色的整点．在l 上任取一个蓝点B 、一个红点C 、一个绿点D ，那么过B 的竖直直线1l 上的整点都为蓝色，否则可找到三个顶点颜色各异的直角三角形，这与假设矛盾．同理，过D 的竖直直线2l 上的点都为绿色，过C 作与水平方向交成角45︒和135︒的直线3l 和4l ，则3l 与2l 的交点E 是整点，且为绿色，4l 与1l 的交点F 也是整点且为蓝色，于是CEF △为直角三角形且它的三个顶点被染成了三种不同颜色，这与假设矛盾．44．第10次最少要得9.9环．【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ① 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由①得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环． 45．（1）证明见解析；（2）逆命题为：若2a ，a b -，c 为整数，则对一切整数x ，二次函数2y ax bx c =++总取整数值；逆命题是真命题；证明见解析【详解】解设2m y am bm c =++．（1）当0x =时，2000y a b c c =⋅+⋅+=为整数，所以c 为整数．当=1x -时，1y a b c -=-+为整数，所以1a b y c --=-为整数．当2x =-时，242y a b c -=-+为整数，所以222()a y a b c -=---为整数．于是2,,a a b c -都为整数．（2）所求逆命题为：若2,,a a b c -为整数，则对一切整数x ，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．下面证明这是一个真命题．设2,,a a b c -都为整数．由212(1)()2y ax bx c a x x a b x c =++=⋅+--+知对一切整数x ，有(1)x x +为偶数，从而1(1)2x x +为整数． 又2,a a b -及c 为整数，故对任何整数x ，二次函数2y ax bx c =++的值都为整数． 46．495【详解】解 设三位数xyz 经过重新排列后所得到的最大三位数为abc （a b c >>），则最小的三位数是cba ．由于19a ≤≤，19b ≤≤，19c ≤≤，且abc cba -=(10010)(10010)a b c c b a ++-++99()a c =-是99的倍数，故所求的三位数xyz 也是99的倍数．而是99的倍数的三位数只有8个：198，297，396，495，594，693，792，891. 经验证知，只有495符合题意．47．第8档次或第10档次【详解】解 设应生产第x 档次的产品．整理得21218800,8,10x x x x -+=∴==． 答：生产第8档次或第10档次的产品，每天可获利858元．注：①如果题目假设产品的档次只分为9个，那么210x =应舍去．①与例2类似，本题中第x 档次产品的每件价及数量是下文中必定涉及的相关量，应在前面用x 的代数式翻译出来．（2）列表分析法．所谓列表分析法，就是在审题后，在理解题意的基础上，尽量将已知数与未知量列成表格，充分利用表格中各个量之间的内在关系进行分析，找出各种量之间的等量关系，再利用等量关系来列出方程的一种方法．。
数学竞赛资料-数学奥林匹克初中训练题（含答案）
数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =(). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12(D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为(). (A)2 (B)4 (C)6(D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210(D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π(D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为(). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是的值是. 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数. 说明:若凸多边形的周界上有n 个点，就将其看成n 边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案参考答案第一试第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz .根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组可考虑方程组 x +y +z =3,2xy =2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.**.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5. **.因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解. **.由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175. **.记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 . **.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6. 二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, **.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.(1)若a －b =1,则a +b 为奇数,且3≤a +b ≤99.于是,a +b 可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a －b =2,则a +b 为偶数,且4≤a +b ≤50.于是,a +b 可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值. 其他情况下所得的x 值均属于以上情形.若a －b =奇数,则a +b =奇数.而x =a 2－b 2≥a +b ≥3,归入(1).若a －b =偶数,则a +b =偶数.而x =(a －b )(a +b )为4的倍数,且a －b ≥2,a +b ≥4,故x ≥8,归入(2). 因此,这种x 共有49+24=73个. **.注意到AB 2=(2a )2+482,BC 2=(a +7)2+242,AC 2=(a －7)2+242.如图,以AB 为斜边,向△ABC 一侧作直角△ABD ,使BD =2a ,AD =48,∠ADB =90°=90°. . 在BD 上取点E ,使BE =a +7,ED =a －7,又取AD 的中点F ,作矩形EDFC 1.因BC 21=BE 2+EC 21=(a +7)2+242=BC 2,AC 21=C 1F 2+AF 2=(a －7)2+242=AC 2,故点C 与点C 1重合.而S △ABD =48a ,S △CBD =24a ,S △ACD =24(a －7),则S △ABC =S △ABD －S △CBD －S △ACD =168. 第二试第二试一、将原方程变形得(12x +5)2(12x －2)(12x +12)=660.令12x +5=t ,则t 2(t －7)(t +7)=660,即t 4－49t 2=660.解得t 2=60或t 2=－11(舍去). 由此得t =±=±2 15,2 15,即有12x +5=±+5=±2215.因此,原方程的根为x 1,2=1215 25- .二、如图,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,B 、C 、N 、M 四点共圆,因此,∠ACD =∠ABD =∠MCN .故AC 平分∠DCM .同理,BD 平分∠CDM .如图,设PH ⊥MC 于点H ,PG ⊥MD 于点G ,PT ⊥CD 于点T ;过点P 作XY ∥MC ,交MD 于点X ,交AC 于点Y ;过点Y 作YZ ∥CD ,交MD 于点Z ,交PT 于点R ;再作YH 1⊥MC 于点H 1,YT 1⊥CD 于点T 1由平行线及角平分线的性质得PH =YH 1=YT 1=RT 为证PT =PG +PH ,只须证PR =PG 由平行线的比例性质得EP ／EF =EY ／EC =EZ ／ED .因此,ZP ∥DF .由于△XYZ 与△MCD 的对应边分别平行,且DF 平分∠MDC ,故ZP 是∠XZY 的平分线.从而,PR =PG .因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a 3个,四边形a 4个,……,k 边形a k 个(a 3,a 4,…,a k 为非负整数).记这些多边形的内角和为S 角,于是,S 角=a 3×π+a 4×2π+…+a k (k －2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×10×22π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S 角=20π+16π+2π=38π. 于是,a 3+2a 4+…+(k －2)a k =38.①记这些多边形的边数和为S 边.由于每个n 边形有n 条边,则S 边=3a 3+4a 4+…+ka k .另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S 边=2×=2×45+20=110. 45+20=110. 于是,3a 3+4a 4+…+ka k =110.② ②－①得2(a 3+a 4+…+a k )=72.故a 3+a 4+…+a k =36.③ ①－③得a 4+2a 5+3a 6+…+(k －3)a k =2.因所有a i ∈N ,故a 6=a 7=…=a k =0,a 4+2a 5=2.所以,或者a 4=2,a 5=0;或者a 4=0,a 5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。
初二数学竞赛题含答案)
初中数学竞赛初二第1试试题一、选择题(每小题7分共56分)1、某商店售出两只不同的计算器，每只均以90元成交，其中一只盈利20%，另一只亏本20%，则在这次买卖中，该店的盈亏情况是( )A 、不盈不亏B 、盈利2.5元C 、亏本7.5元D 、亏本15元2、设20012000,20001999,19991998===c b a ，则下列不等关系中正确的是( ) A 、c b a << B 、b c a << C 、a c b << D 、a b c <<3、已知,511ba b a +=+则b a a b +的值是( ) A 、5 B 、7 C 、3 D 、31 4、已知xB x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为( ) A 、－2 B 、2C 、－4D 、45、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，令B A A C C B +=+=+=γβα,，则γβα,,中锐角的个数至多为( )A 、1B 、2C 、3D 、06、下列说法：(1)奇正整数总可表示成为14+n 或34+n 的形式，其中n 是正整数；(2)任意一个正整数总可表示为n 3或13+n 或23+n 的形式，其中；(3)一个奇正整数的平方总可以表示为18+n 的形式，其中n 是正整数；(4)任意一个完全平方数总可以表示为n 3或13+n 的形式A 、0B 、2C 、3D 、47、本题中有两小题，请你选一题作答：(1)在19991002,1001,1000 这1000个二次根式中，与2000是同类二次根式的个数共有……………………( )A 、3B 、4C 、5D 、6(2)已知三角形的每条边长是整数，且小于等于4，这样的互不全等的三角形有( )A 、10个B 、12个C 、13个D 、14个8、钟面上有十二个数1,2，3，…,12。
将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n 个负号，这个数n 是( )A 、4B 、5C 、6D 、7二、填空题(每小题7分共84分)9、如图，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝40°，那么∠XYZ ＝ °。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
初中数学竞赛八年级兴趣班选拔赛数学试题(含答案)
八年级兴趣班选拔赛数学试题（2018.2）班级________ 姓名___________ 分数____________一. 选择题:（每小题4分，共32分）1. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（）A. B. C. D. 不存在这样的a值2. 如图所示，在数轴上有六个点，且，则与点C所表示的数最接近的整数是（）A. B. 0 C. 1 D. 23. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20%，若按原价出售，可获利（）A、25%B、40%C、50%D、66.7%4. 已知x和y满足，则当时，代数式的值是（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 若a、b、c、d四个数满足1a-2000=1b+2001=1c-2002=1d+2003，则a、b、c、d四个数的大小关系为（）（A）a>c>b>d； (B)b>d>a>c； (C)c>a>b>d；（D）d>b>a>c.6. 古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。
地支也有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A. 31B. 61C. 91D. 1217. 满足的有理数a和b，一定不满足的关系是（）A. B. C. D.8. 已知有如下一组x，y和z的单项式：，我们用下面的方法确定它们的先后次序；对任两个单项式，先看x的幂次，规定x 幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再看y的幂次，规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面；再看的z幂次，规定的z幂次高的排在z的幂次低的前面。
将这组单项式按上述法则排序，那么，应排在（）A. 第2位B. 第4位C. 第6位D. 第8位二. 填空题:（每小题4分，共48分）9. 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，则这个锐角的度数___________。
初二数学竞赛测试题(含答案)
初二数学竞赛测试题班级 _____________________一、选择题(每小题4分，共32分)1．如果a ＞b,则2a －b 一定是（ C ） A 、负数 B 、非负数 C 、正数 D 、非正数。
2．已知x ﹥0,y ﹤0,∣x ∣﹤∣y ∣,则x+y 是（ C ）A 、零B 、正数C 、负数D 、不确定。
3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 边上， ∠BAD=500，在AC 上取一点E ，使得∠ADE=∠AED ，则∠EDC 的度数为（ B ）A 、150B 、250C 、300D 、504．满足等式 2003200320032003=+--+xy y x x y y x的正整数对（x,y ）的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．今有四个命题：①若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数。
②若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数。
③若两实数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。
④若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。
其中正确命题个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、46．若M=3x 2-8xy+9y 2-4x+6y+13（x,y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数7．设A=48)41001441431(222+++-+-⨯ 则与A 最接近的正整数是（ ） A 、18 B 、20 C 、24 D 、25 8.如果关于x 的方程k(k+1) (k-2)x 2－2(k+1) (k+2)x+k+2=0,只有一个实数解,则实数k 可取不同的值的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.二.填空题(每小题5 分共30分)9．如图,有一块矩形ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD 边落在AB 边上,折痕为AE,再将△AED 沿DE 向上翻折,AE 与BC 的交点为F,则△CEF 的面积为 .10．关于x 的方程∣∣x-2 ∣－1∣=a 有三个整数解，则a 的值是 .11．已知关于x 的方程a 2x 2－(3a 2－8a)x+2a 2－13a+15=0(其中a 是非负整数)，至少有一个整数根，那么a= . 12．若关于x 的方程13213+-=++x x ax x 有增根x=－1,则a= . 13．已知三个质数a,b,c 满足a+b+c+abc=99,那么a c c b b a -+-+-= .14.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大.三、解答题：15．如图已知△ABC 中，∠ACB=900, AC=BC ，CD ∥AB ，BD=AB ，求∠D 的度数。
初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）
1 2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、下列名人中：①比尔·盖茨②高斯③袁隆平④诺贝尔⑤陈景润⑥华罗庚⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）A ．①④⑦B.③④⑧C.②⑥⑧D.②⑤⑥2、已知111,,bc a a b c a b c +=+=+¹¹则a 2b 2c 2=( )A.5B.3.5C.1D.0.53、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。
设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，的交点为整点时，k k 的值可以取（）A ．4个 B.5个 C.6个 D.7个4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘，图中阴影部分的面积为（）A.331-B.33C.341-D.125、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（）A.2009B.2005C.2003D.2000（第4题图）（第6题图）6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D Ð=Ð=Ð=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（）A.21B.213 C.2213 D.5213二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的规律报数，那么第2009名学生所报的数是。
2、已知,,a b c 满足()222242322a b a b a c ac -+++-++=+，则a b c -+的值为______ 3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ^，垂足为E ，030ADB Ð=且43BC =，则ECD 的面积为_____ （第3题图）（第4题图）DA B CKC BAB ′C ′DD ′E ABCDEF ABCD2x2xx xx4、有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角为_______度。
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)
2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。
八年级数学竞赛试题(含答案)-
CD八年级数学竞赛试题一、选择题:1．方程组12,6x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解的个数为（ ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 3．已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）． （A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）25．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限6．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个8．如图在四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，AB=AD ，若这个四边形的面积是10，则BC+CD 等于（ ） A ．54 B ．102 C ．64D ．289.线段a x y +-=21（1≤x ≤3，），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为 （ ）A ．6B ．8C ．9D ．1010.四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（ ） （A ）24组 （B ）48组 （C ）12组 （D ）16组 11、如图，P 是△ABC 内一点，BP ，CP ，AP 的延长线分别与 AC ，AB ，BC 交于点E ，F ，D 。
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A
B C
D
M
N
O 初二数学竞赛训练（九）
一、选择题：
1．设a 是一个无理数，且a,b 满足ab-a-b+1=0，则b 是一个 ( )
A. 小于0 的有理数
B.大于0 的有理数
C.小于0 的无理数
D.大于0 的无理数 2．Given m is a real number ,and m -1=m ＋1，simplify an algebraic expression ，then 122
+-m m ＝（ )
（A ）m －1 (B)－m ＋1 (C) m －1 (D) －m ＋1 3．线段
a x y +-=2
1（1≤x ≤3，），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的
平面区域的面积为 （ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10
4．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图6所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD 、AN 、CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点.已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）.
（A ）96cm 2（B ）48cm 2 （C ）24cm 2 （D ）以上都不对
5．如图，若将图(a)的正方形剪成四块，恰好能拼成图(b)的长方形，设a=1则这个正方形的面积为 ( ) A.
7352+ B.352+ C.512
+ D.2
(12)+
6．小美开了一家服装店，有一次去批发市场进货，发现一款牛仔裤，预想能畅销，就用
(b) IV
II I
III
(a)
IV
III II
I b
a
b a
b a
4000元购买了一个批发商的所有这种裤子，还想买二倍数量的这种牛仔裤，又到另一个批发商处用8800元购进，只是单价比前面购进的贵5元.回来后小美按每件89元销售，
销路很好，最后剩下10件，按七五折销售，很快售完.则小美这笔生意盈利 （ ）.
（A ）8335元（B ）8337.5元 （C ）8340元 （D ）8342.5元
二、填空题：
7、若│2007－a │+a-2008 =a ，则a-20072
==
8、直角三角形的两条直角边分别长5和12，三角形内一点到三边的距离都为d, 则d= .
9、将 2007x 2－(20072－1)x －2007 因式分解得 .
10、5个足球队进行循环赛，规定胜一场得3分，输一场得0分，平局各得1分．比赛结果，4个球队分别获得1分、4分、7分、8分，那么第5个球队至少获得 分． 11、观察下列等式： 32+42 = 52
102+112+122 =132+142
212+222+232+242 =252+262+272
那么下一个等式的表达式是： .
12、如图，A 、B 为两个新建生活小区，它们位于公路CD 的同侧（沿公路CD 已铺有宽带网）.现要从公路CD 上找一处接点，向A 、B 两个小区铺设宽带网.铺设工程费用为2.5万元/千米，已知AC =3km ，BD =1km ，CD =3km ，则最少花费 万元即可完成铺设工程。
A
B
C
D
三、解答题：
13、若在方程 x(x+y)=z+120 中， x ，y ，z 都是质数，且z 是奇数，试求x ，y ，z 的值。
.
14、已知实数a 、b 满足条件|a －b |＝a
b <1, 化简代数式(a 1－b
1
)2)1b a (--，将结果表示成只含有字母a 的形式。
15、如图，正方形ABCD 中，AB ＝3，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE ＝30°，
∠DAF ＝15°，求△AEF 的面积。
16、已知点A （1，3）、B （5，－2），在x 轴上找一点P ，使 （1）AP+BP 最小; (2)|AP －BP|最小; (3) |AP －BP|最大.
A B
C
D E
F
参考答案（九）
一、选择题：1、B 2、D 3、A 4、B 5、A 6、B 1、易得（a-1）(b-1)=0
2、由│1－m │=│m │+1得m ≤0
4、S △BCM =14 ×576=144，∴S △CNO =S △BNO =S △BOM =1
3
×144=48cm 2
5、利用面积相等得b(a+2b)=(a+b)2 ）
二、填空题：
7、2008 8、2 9、(x-2007)(2007x+1) 10、5 11、362＋372＋382＋392＋402＝412＋422＋432＋442 12、12.5(8、（12－d ）+(5-d)=13,d=2
10、前四队成绩依次为①一平三负②四平（只有这样，第五队获分才少）③两胜一平一负④两胜两平，所以第五队成绩为一胜两平一负) 三、解答题：
13、通过奇偶性分析，易知y=2，此时x(x+2)=z+120，
即x 2
+2x-120=z ，即(x-10)(x+12)=z ∵z 为质数，∴x-10=1,此时x=11,z=23. 14．∵|a －b |＝
a
b
<1，∴ a 、b 同号，且a ≠0, b ≠0, ① 若a 、b 同为正数，由a b <1，得a >b ，∴ a -b =a
b <1, a 2
－ab =b , 解得b =1a a 2+,
∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab
a b ---=ab a b -
(1－a b )
=－
2a 1·a b a -=－4
a
b
=－)1a (a 12+. ② 若a 、b 同为负数，由a b <1，得b >a ，∴ a -b =－a
b <0, a 2
－ab =－b , 解得b =1a a 2-,
∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b
(1＋a b )
＝3a b a +=
3
2
a 1a a a -+
=)1a (a 1a 22--.
15．将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置，
∴ AG ＝AF ，∠GAB ＝∠F AD ＝15°，∠GAE ＝15°＋30°＝45°， ∠EAF ＝90°－(30°＋15°) ＝45°，∴∠GAE ＝∠F AE ，
又AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG ， ∴EF ＝EG ，∠AEF ＝∠AEG ＝60°， 在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠BAE ＝30°，
∴∠AEB ＝60°，BE ＝1，EC ＝BC －BE ＝3-1， 在Rt △EFC 中，∠FEC ＝180°-60°×2＝60°， EF ＝2(3－1)，
∴EG ＝2(3－1)，S △AEG ＝2
1
EG ·AB ＝3－3，
∴S △AEF ＝S △AEG ＝3－3.
16、（1）连AB 交x 轴于点P ，则AP+PB 最小，然后求出AB 的解析式为y=-54 x+41
4
，
再令y ＝0，得x=175 ，∴点P （17
5
，0）。
（2）连AB ，作AB 的中垂线交x 轴于点P ，则PA=PB,此时│AP-BP │最小。
过A 作AM ⊥x 轴于M, 过B 作BN ⊥x 轴于N,则PM=│x-1│,PN=│5- x │,
∵AM 2+MP 2=AP 2=PB 2=BN 2+PN 2,∴32+(x-1)2=22+(5-x)2,∴x=19
8
∴P （19
8
，0）
（3）作B 关于x 轴的对称点B ′(5,2),设射线AB ′交x 轴于点P,
则│AP-BP │=│AP-B ′P │最大，
然后求出AB ′的解析式为y=- 14 x+31
4 ,再令y=0得x=13,
∴P(13,0)
A
B
C
D E
F
G。