高等数学基础综合练习题精选精选及答案.docx
高数基础考试题库及答案
高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。
答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。
答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。
答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。
答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。
解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。
高等数学题库综合题
综合一一、 填空题（每小题2分） 1、____________)(=⎰x dF2、_________1d dx x=3、⎰⎰==____________sec cos 122xdx dx x4、_________)13cos(0='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x dt t 5、_________1sin 114225=++⎰-dx x x xx6、不计算定积分，比较大小：⎰⎰2020_____sin ππxdx xdx7、若,2)2(1=+⎰dx k x 则________=k8、原点到点()2,3,1-的距离是__________9、函数222y x a y --=的定义域是___________10、如果在区域D 上.1),(≡y x f A 是区域D 的面积则⎰⎰=Dd _________σ二：求下列不定积分（每题5分，共20分） 1、dx x x 273⎰ 2、dx x x x ⎰+--31223、⎰>-)0(22a dx x a4、⎰xdx 3sec 三、 下列定积分（每题5分，共10分） 1、⎰--1145dx xx 2、dx xe x ⎰-1四、 求下列函数的偏导数（每题6分，共18分）1、 由方程z y x xyz ++=所确定的函数),(y x f z =求yz x z ∂∂∂∂, 2、 已知函数)cos()sin(y x y y x x z +++=求xy zx z ∂∂∂∂∂222,3、 已知2,2,sin s t y st x y e u x +===求t s u u '', 五、 求函数22ln y x z +=的全微分（7分）六、 求下列图形的面积或体积（共15分）1、 求抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围城的图形的面积（7分）2、 求由曲线2x y =与2y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转所产生的立体的体积（8分）七、 计算二重积分⎰⎰Ddxdy y x 32且D 是由x y 42=和1=x 所围成的区域（10分）综合二一、填空题（每小题2分）1、若)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=b adx x f 0)(，则.________]1)([⎰=+badx x f2、._______cos _________;22010⎰⎰==πxdx xdx 3、比较两个积分的大小（填不等号）：⎰⎰13102_____dx x dx x .4、124322+=+'+'''x y x y x y x 是______阶微分方程.5、点)1,2,4(--A 在第_____卦限，点)3,5,1(--B 第_____卦限.6、点)1,2,3(--P 关于xoy 坐标面的对称点是____________，关于x 轴的对称点是___________.7、方程122=-y x 在平面直角坐标系中表示____________，在空间直角坐标系中表示____________. 8、设223),(y x yx y x f +-=，则._______)2,1(______,)1,2(=-=-f f 9、设122=+y x ，则.________________,1===x dx dy dx dy 10、交换二次积分⎰⎰=1),(xdy y x f dx I 的积分次序，得._______________=I 二、选择题（每小题3分）1、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则变上限积分⎰xdt t f 0)(是( )A. )(x f 的一个原函数B. )(x f 的全体原函数C. )(x f '的一个原函数D.)(x f '的全体原函数2、设函数)(x f 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围平面图形的面积为( ) A.⎰ba dx x f )( B.⎰badx x f )( C. ⎰badx x f )( D.b a a b f <<-'ξξ),)((3、=⎰-22sin ππdx x ( )A. 0B. πC.2πD. 2 4、下列函数中，( )是微分方程0127=+'-''y y y 的解. A. 3x y = B. 2x y = C. x e y 3= D. x e y 2=5、设2232y xy x z -+=，则=∂∂∂yx z2( )A. 6B. 3C. 2-D. 2 6、对函数xy y x f =),(，点)0,0(( )A.不是驻点B.是驻点却非极值点C.是极大值点D.是极小值点 三、计算下列定积分（每小题4分）1、⎰203sin cos πxdx x2、⎰π202cos xdx x3、⎰+411dx x4、⎰2121dx xex四、求下列函数的偏导数或全微分（每小题5分）1、设)ln(22y x z +=，求yz x z ∂∂∂∂, 2、求xy xy y x z +-=3233的二阶偏导数 3、设3322,,y x v y x u ue z v -=+==，求yz x z ∂∂∂∂, 4、求xy e z =在)1,2(处的全微分 五、计算下列二重积分（每小题5分） 1、交换二次积分⎰⎰12),(xx dy y x f dx 的次序2、计算dy e dx I xy ⎰⎰-=2202六、解下列微分方程（每小题5分）1、求微分方程012=-+dy x xydx 的通解2、求微分方程y x y +='满足初始条件0)0(=y 的特解七、求由抛物线22x y =，直线1=x 及x 轴所围成的图形分别饶x 轴、y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.（6分）综合三一、填空题（每小题2分）1、若)(x f 在],[b a 上连续，且⎰=b adx x f 0)(，则.________]1)([⎰=+badx x f2、._______cos _________;22010⎰⎰==πxdx xdx 3、比较两个积分的大小（填不等号）：⎰⎰13102_____dx x dx x .4、124322+=+'+'''x y x y x y x 是______阶微分方程.5、点)1,2,4(--A 在第_____卦限，点)3,5,1(--B 第_____卦限.6、点)1,2,3(--P 关于xoy 坐标面的对称点是____________，关于x 轴的对称点是___________.7、方程122=-y x 在平面直角坐标系中表示____________，在空间直角坐标系中表示____________. 8、设223),(y x yx y x f +-=，则._______)2,1(______,)1,2(=-=-f f 9、设122=+y x ，则.________________,1===x dx dy dx dy 10、交换二次积分⎰⎰=1),(xdy y x f dx I 的积分次序，得._______________=I 二、选择题（每小题3分）1、设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则变上限积分⎰xdt t f 0)(是( )A. )(x f 的一个原函数B. )(x f 的全体原函数C. )(x f '的一个原函数D.)(x f '的全体原函数2、设函数)(x f 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围平面图形的面积为( ) A.⎰ba dx x f )( B.⎰badx x f )( C. ⎰badx x f )( D.b a a b f <<-'ξξ),)((3、=⎰-22sin ππdx x ( )A. 0B. πC.2πD. 2 4、下列函数中，( )是微分方程0127=+'-''y y y 的解. A. 3x y = B. 2x y = C. x e y 3= D. x e y 2=5、设2232y xy x z -+=，则=∂∂∂yx z2( )A. 6B. 3C. 2-D. 2 6、对函数xy y x f =),(，点)0,0(( )A.不是驻点B.是驻点却非极值点C.是极大值点D.是极小值点 三、计算下列定积分（每小题4分） 1、⎰+31dx xx2、⎰202sin πxdx x3、⎰2121dx x ex4、⎰-a dx x a 02四、求下列函数的偏导数或全微分（每小题5分）1、求32y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数2、求xy xy y x z +-=3233的二阶偏导数3、设x v x u v u z sin ,3),32ln(2==+=，求dxdz 4、求y x z cos sin =的全微分五、计算下列二重积分（每小题5分） 1、交换二次积分⎰⎰22),(xxdy y x f dx 的次序2、计算⎰⎰-+Ddxdy y y x )(22，D 是由2,xy x y ==及2=y 所围成的区域 六、解下列微分方程（每小题5分）1、求微分方程xydy dx y x 2)(22=+的通解2、求微分方程y x y +='满足初始条件0)0(=y 的特解 七、求函数22442),(y xy x y x y x f ---+=的极值（6分）答案一、1、()c x F +2、x d ln 或()a x d +ln3、c x +tan4、()13cos +-x5、06、<7、18、149、(){}222,a y x y x ≤+10、A二、1、c x+147ln 1472、c x x ++-3ln 23、三、1、612、121+--e 四、1、11--=∂∂xy yz x z 11--=∂∂xy xz y z2、()()()y x x y x y xz+-+-=∂∂sin cos 222()()()()y x y y x x xy z+-+++-=∂∂∂cos 1sin 123、()y s y t e u x s cos sin 2+=' ()y y s e u x t cos sin 2+='五、dz dy yx ydx y x x =+++2222 六、1、182、π103七、58综合二一、填空题（每小题2分，共20分）1、a b -2、1，03、>4、35、Ⅲ，Ⅷ6、)1,2,3(-，)1,2,3(--7、双曲线，双曲柱面 8、1，57- 9、yx-，0 10、dx y x f dy y⎰⎰11),(二、选择题（每小题3分，共18分）1、A2、C3、D4、C5、B6、B 三、（每小题4分，共16分）1、41]cos 41[cos cos sin cos 2024323=-=-=⎰⎰πππx x xd xdx x2、πππππ202020220202]2sin 41[412sin 41)12(cos 21cos ⎰⎰⎰=+=+=x x x x xd dx x x xdx x 22022sin 41πππ=+-⎰xdx 3、令3ln 24)]1ln (2[11121211,20202040-=+-=+-+=+=+=⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx xt x 4、e e e x d e dx x e x x x-=-=-=⎰⎰2112112121][1 四、（每小题5分，共20分）1、22222,2yx y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂ 2、x xy y x y z y y y x x z +-=∂∂+-=∂∂2322292,33 xy x yz y y x x y z y x z xy x z 182,196,63222222222-=∂∂+-=∂∂∂=∂∂∂=∂∂ 3、33)332(23y x xe xy x x z -++=∂∂，33)332(32y x ye y y x yz ---=∂∂ 4、xy ye x z =∂∂，xy xe y z =∂∂，()21,2e x z =∂∂，()21,22e y z =∂∂，dy e dx e dz 222+=五、（每小题5分，共10分）1、先画D （略），再改变次序：dx y x f dy dy y x f dx yyx x⎰⎰⎰⎰=1010),(),(22、先交换积分次序，然后积分。
高等数学试题库及答案doc
高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。
答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。
答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。
解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。
解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。
证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。
由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。
因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。
五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。
求物体在前 3 秒内的位移。
解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。
六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。
答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。
微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。
高等数学基础(1)综合练习参考答案
高等数学基础（1）综合练习参考答案一．选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.D9.C 10.C 11.C 12D 13B 14A 15D 16B 17D 18B 19A 20B 21C 22B 23A 24A二．填空题1. x <-1≤4 2． x x x f 2)(2+= 3．奇函数 原点 4. )(0x f 5．可去或第一类 6．0=x 7.1 8．ek 21=9.010．12742-x11．)0,(-∞∈x 12.x =-113.（1，2） 14. a 为实数 b ＝615．k ＝116．3,1-==b a 17. (1) c x +cos (2) x sin (3)c x F +-)32(2118． 1 19．1三．计算题 1．求极限 解：（1）原式＝22521152lim221=+-=+++-→x x x x（2）原式＝)11)(2()11)(11(lim22221++--+++--+-→x x x x x x x x x61)11)(1)(2()1(lim21=++--+-=→x x x x x x x（3）eee x x x x xxx xx ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→∞→2322332131lim2131lim（4）原式＝1)11ln(lim 1lnlim =+=++∞→∞→xx x xxx x（5）原式＝])11)(11()11(2sin )31[(lim 1++-++++-→x x x x x x x=4])11(2sin )31[(lim 3)3(31+=+++----→exx x x xx(6)原式＝278)3(22325-=-（7）原式=2211211lim 21...41211lim 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→∞→n n n n(8)原式＝11lim 111lim 1arctan 2lim2222=+=-+-=-+∞→∞→+∞→x x xx x x x x x π（9）原式＝1ln 21lim1ln 121limln )1(ln lim21121-++-=-++-=-+-→→→x x x x x xx x x xx x x x x x x x2311ln 14lim1-=+++-=→x x x（10）原式＝2)2(lim223=→xx x x (无穷小量替换)2．解：1)1)(()1(lim)(11lim22+++-+=+-++∞→∞→x x b ax x b ax x x x x011)()1(lim2=+-++--=∞→x bx b a x a x由条件知，必有⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a 3．解：9lim 11lim lim 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→aaax x xx xx e e e x a x a a x a x ，所以3ln =a ．4．解：当y 在0=x 处连续知：)0()(lim 0f x f x =→k xx x x =⋅-⇒→s i n c o s 1limk x x xx =⇒→s i n .2lim221=⇒k5．解：（1）由于-→0l i m x 1)0(=f ，+→0limx b f =)0(又)(lim 0x f x →存在等价于-→0lim x =)0(f +→0lim x )0(f ，所以，1=b ，a 可为任意实数；（2）)(x f 在0=x 处连续等价于-→0limx =)0(f +→0lim x )0(f )0(f =，又a f =)0( 所以1==b a ．6．证明：设12)(-=xx x f ，因 1)0(-=f ，1)1(=f由零点存在定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=ξf ， 即有10<<ξ,使12=ξξ．7．解：切点为)1,12(-π，则斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k⇒切线方程为)12(11+-⋅=-πx y 即22+-=πx y8．求下列函数的导数或微分（1） 解：2312621)2ln(xx xex ey xx+++++-='--⇒ dxxx xex edy xx]3132)2ln([2+++++-=--（2） 解：两边对x 求导y y y y x '+='⋅+⋅+1)21()cos(2⇒1)cos(2)cos(122-++-='=y x y y x y dxdy（3）解：xx y sin cos =' ⇒ x xx xx y 22222cscsin1sin cossin-=-=--=''（４）解：22ln 1ln 11ln arcsin 2xx x xx x x x y -⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛='xx xx x x ln arcsinln )ln 1(22⋅-⋅-=（5）解：两边取对数得：x x y sin ln ln = 两边对x 求导：x xx x y ycos sin 1sin ln 1⋅⋅+=')cot sin (ln x x x y dxdy y +=='dx x x x x dy x)cot sin (ln )(sin +=（6）解：两边对x 求导02)1(2='⋅--'+⋅+y xy y y e yx ⇒yx yx exy yey ++--='22把0=x 代入原方程得：0=y把0=y 代入上述方程得：1)0(-='y（7）解：221arctan2221)1(112ln 2)1(21xxx x x x y x-⋅+⋅++⋅-+='⇒dxxx xdy x]212ln )1(1[1arctan2222⋅+-+-=（8） 解：)1(31)3ln(ln )1(--+-⋅-⋅='--xax a a y xx⇒dx xax a ady xx]3)3ln(ln [-+-⋅⋅-=--（9）解：021)(='⋅-+'+y y y x y e xy⇒xyxy xey yedxdy -+=219．解：设矩形与椭圆在第一象限的交点为),(y x ，则矩形面积为：xy S 4=又因为y x ,满足16422=+yx⇒ )61(442yy S -=⇒)61(426244)61(4422yy yyS -⋅-+-='令0='S ⇒⎩⎨⎧==23x y ⇒矩形边长为32,2210．. )1)(3(39632+-=--='x x x x y)1(6-=x y ),(y x 则所求面积为： xy S 2=又因为y x ,满足21x y -= )1(22x x S -=⇒⇒ )2(2)1(22x x x S -⋅+-='令0='S ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3233y x⇒ 最大矩形面积为9342==xy S12． 解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为brVr a r C ⋅⋅⋅⋅+⋅=222πππ则总造价为3223,0b Va h aVbr C ⋅=⋅=⇒='ππ令.,3223时总造价最小高为因此当底半径bVa h aVbr ⋅=⋅=ππ13．证明：对任意的x 有)0(01111222≠>+=+-='x xxx y所以函数x x y arctan -=单调增加，证毕14.法一：设)1ln()(x x x f +-=，则在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，存在一点x <<ξξ0,，使)(0)0()(/ξf x f x f =--即,1111)1ln(ξξξ+=+-=+-xx x )0(x <<ξ由0>x ，01>+ξξ，即,0)1ln(>+-xx x )1ln(x x +>⇒法二：,01111)(>+=+-='xxx x f 当),0(+∞∈x 时)(x f ⇒单调增加)0()(f x f >⇒又因为0)(0)0(>⇒=x f f )1ln(x x +>⇒15．计算不定积分（1）xxde x x d e x 11111:⎰⎰-=-=原式解x de e xxx 1111⎰+-=ce e xx x ++-=111brV a r C ⋅-⋅⋅='222π由,2rV h ⋅=π（2）⎰⋅+=+==-tdttttxtx21:2112令原式解ctt++=2323cxx+-+-=12)1(3223（3）xdxlnln21:⎰-=原式解)ln2()ln2(21xdx---=⎰-cx+--=21)ln2(2（4）xdxxsin)sin1(sin:2⎰+=原式解)sin1()sin1(1)sin1(sin112xdxxdx++-++=⎰⎰cxx++++=sin11)sin1ln(（5）⎰+⋅=2)(1:xxedxe原式解＝earctan（6）dxx))32(52(⎰-=原式cxx+-=32ln)32(5216．计算定积分（1）⎰-=202sinsin41:πxdx原式解⎰++-⋅=2sin)sin21sin21(41πxdxx2sin2sin2ln41πxx-+=3ln41=（2）⎰⋅=π02sin2:xdx原式解⎰+=2)(1xxededxx x x ⎰-⋅=ππ02sin202sin242-=π（3）⎰=20sin 2:πxdxx 原式解02)sin cos (2πx x x +-=2=（4）)1(:2212-+--=⎰-+-x x d ex x原式解0212-+--=x xe31---=ee（5）⎰+=32)2(2x dex 原式dxe e x xx⎰-+=322203)2(2236e =17. 解：dx x x x S ⎰--=32)4(03]3123[32x x -=29=18．由题意知：xy y y )1(+=' ⇒⎰⎰-=+xdx y y dy )1(⎪⎭⎪⎬⎫=+-=+⇒1)1(ln ln 1lny c x yy21ln ln =⇒c xyy 211=+⇒19．]2[121c dx e xe e y dx xdx +⎰⋅⎰=---⎰]2[2c dx exee xxx +⋅=-⎰)22(c e xe e xxx+-=⎭⎬⎫=+-=1)0()22(y c e xee xxx3=⇒c xx e e x y 3)1(22+-=⇒20．解：特征方程为042=+λ i i 2,221-==⇒λλxc x c y 2sin 2cos 21+=⇒2cos42ππx +=21. 解：特征方程为0652=+-λλ⇒3,221==λλxxec ec y 3221+=⇒-设特解x Ae y =*由待定系数法得A =1xxxe ec e c y y y ++=+=-3221*⎩⎨⎧=='1)0(0)0(y y 1,121-==⇒c cxxxe eey +-=⇒3222．解：特征方程为0232=++λλ⇒2,121-=-=λλ对应的齐次方程的通解：xxec ec y 221---+=设x B x A y sin cos *+=代入原方程得：x x B x A x B x A x B x A sin 3)sin cos (2)cos sin (3sin cos =+++-+--⇒ 103,109=-=B A⇒ x x y cos 109sin 103*-= ⇒ x x ec e c y x x c o s 109sin 103221-++=--。
《高等数学练习题》全部答案
《高等数学》第一章综合练习题（一）参考答案一、填空题1．函数()ln =--142y x x 的定义域为{1,2,3,4}x x R x ι且。
提示：即解不等式组40ln 2020x x xì-¹ï-¹íï-¹î，可得1,2,3,4x ¹2．设函数)(x f 的定义域为]11[，-，则)13(2++x x f 的定义域为[3,2][1,0]--- 。
提示：即解不等式：21311x x -£++£。
3．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(sin )f x 的定义域为[2,2]k k p p p +。
提示：即解不等式0sin 1x ££。
4．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为3[2,2]22k k p p p p ++。
提示：即解不等式1cos 0x -££5．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为1[0,tan 1]2。
提示：即解不等式0arctan 21x ££，可得02tan 1x ££6．函数arcsin ln2x y x =+的定义域为(1,1]-。
提示：即解不等式组11ln 2020x x x -££ìï+¹íï+>î，可得11x -<£7．若极限223lim 2x x x a b x®-+=-，则=a 2 ，b =1-。
提示：要使此极限存在，则22lim (3)0x x x a ®-+=，即20a -=，所以2a =；又222232(2)(1)lim lim lim (1)122x x x x x x x x xx®®®-+--==-=---，所以1b =-。
(完整版)高等数学基础作业答案.doc
高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年 第1章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. f ( x) ( x) 2， g (x)xB.f ( x)x 2 ， g( x) xC. f ( x) ln x 3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x 2 1x1点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也 相同。
而与自变量或因变量所用的字母无关。
⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( , ) ，则函数f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C.y 轴D.y x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于 Y 轴对称。
⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln(1 x 2 )B.yx cos xC. ya x a xD. yln(1 x)2f ( x) f (x) ，则函数为偶函点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。
若 数；若 f ( x)f ( x) ，则函数为奇函数。
⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. y x 1B. y xC.y x2D.y1, x 0 1 ,x点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. limx 21B.lim ln(1 x)2xx2x 0C.lim sin xD. lim x sin1xxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如 C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。
⒍当 x0 时，变量（ C ）是无穷小量．A.sin xB.1xxC.x sin1D. ln( x 2)x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。
高等数学基础习题集(含答案)
【详解】①原式= lim
x 0
x2 x2 1 =2 ；②原式= lim 2 = ； x 0 2x 1 2 2 x 2 x sin x = lim x 0 x3 x (x 1 3 x + (x 3 )) 1 3! = 3 x 6
③原式= lim
x 0
6、求下列极限
2 x x 1 ) ① lim( x 1 x 1
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)
.
4
高等数学基础练习题
【解题思路】因为中间变量出现了
2019 考研 高等数学基础习题集 答案详解
目
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
录
函数、极限、连续............................................................................................................ 3 导数与微分........................................................................................................................ 9 中值定理及导数应用...................................................................................................... 14 不定积分.......................................................................................................................... 24 定积分及其应用.............................................................................................................. 29 常微分方程...................................................................................................................... 37 向量代数和空间解析几何（数一）..............................................................................47 多元函数微分学.............................................................................................................. 52 多元函数积分学.............................................................................................................. 60 无穷级数（数一、三）.................................................................................................. 71
(完整word版)高等数学练习题(附答案)
《高等数学》专业 年级 学号 姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（ ）1. 收敛的数列必有界.（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设2)1(x x f =-，则=+)1(x f .2. 若1212)(11+-=xxx f ，则=+→0lim x .3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .4. 设yxxy u +=, 则=du .5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f xf x F f +==',则=')1(F .7. 若),1(2)(02x x dt t x f +=⎰则=)2(f .8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞⎰dx e x 20.10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D5221,1 . 三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.3. 求不定积分dx x x ⎰-)1(1.4. 计算定积分dx x x ⎰-π53sin sin .5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程yxy y 2-='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：2tan arcsin1x arc x x=+ )(+∞<<-∞x .2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x fdt t f dt t f x F x xb⎰⎰+=0)(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.二、 填空题.（每题2分，共20分）1.442++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 21n n+ 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，21lim n n n →∞+=0由迫敛性定理知： ))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ101022111++++++='∴x x x y y Λ )(10()1(++='∴x x y Λ)10102211++++++x x x Λ 3.解：原式=⎰-x d x112=⎰-x d x 2)(112=2c x +arcsin4.解：原式=dx x x ⎰π23cos sin=⎰-2023sin cos πxdx x ⎰ππ223sin cos xdx x=⎰-2023sin sin πx xd ⎰ππ223sin sin x xd=2025][sin 52πx ππ225][sin 52x -=4/55.解： 02832=--='y x x f x 022=-='y x f y故 ⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==22y x当 ⎩⎨⎧==0y x 时8)0,0(-=''xxf ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆Θ 且A=08<-∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f当 ⎩⎨⎧==22y x 时4)2,2(=''xxf ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--⨯=∆Θ ∴无法判断6.解：D={}y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(⎰⎰⎰⎰=∴102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y=dy x y y y y 2][sin 10⎰=dy y y y )sin (sin 1⎰-=⎰+-110cos ]cos [y yd y=⎰-+-110cos ]cos [1cos 1ydy y y=1sin 1- 7.解：令xy u =，xyv =；则21≤≤u ，31≤≤v v vuu vv v uuv y y x x J v uvu 212221=-==∴ 3ln 212131===⎰⎰⎰⎰Ddv v du d A σ 8.解：令 u y =2，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dxdx+⎰-⎰==⎰-)4(22c dx xe e x x +-=⎰-)2(222c e xe e x x x ++=--四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设 21arcsinarctan )(xx x x f +-=222222211111111)(xx x x x x xx f ++-+⋅+--+='Θ=0c x f =∴)( +∞<<∞-x令0=x 0000)0(=∴=-=c f Θ 即：原式成立。
(完整word版)高等数学练习题(附答案).docx
《高等数学》专业 年级 学号 姓名一、判断题 . 将√或 ×填入相应的括号内 .（每题 2 分，共 20 分）（ ） 1. 收敛的数列必有界 .（ ） 2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ） 3. 闭区间上的间断函数必无界 . （ ） 4. 单调函数的导函数也是单调函数.（） 5. 若 f (x) 在 x 0 点可导，则 f (x ) 也在 x 0 点可导 . （ ）6. 若连续函数 yf ( x) 在 x 0 点不可导，则曲线 yf ( x) 在 ( x 0 , f (x 0 )) 点没有切线 .（ ） 7. 若 f (x) 在 [ a, b ] 上可积，则 f (x) 在 [ a,b ] 上连续 .（） 8. 若 zf ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处的两个一阶偏导数存在，则函数 z f ( x, y) 在（ x 0 , y 0 ）处可微 . （ ） 9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（） 10. 设偶函数 f ( x) 在区间 (1,1 ) 内具有二阶导数，且f (0)f ( 0) 1 , 则f (0) 为 f ( x) 的一个极小值 .（每题 2 分，共 20 分）二、填空题 .1. 设 f (x 1)x 2 ，则 f (x 1) .1若 f (x)2x12. 1 ，则 lim.2 xx 013.设 单 调 可 微 函 数 f ( x) 的 反 函 数 为 g( x) , f (1)3, f(1) 2, f(3)6 则g (3).4. 设 ux , 则 du.xyy5. 曲线 x 26 y y 3 在 ( 2 , 2) 点切线的斜率为.6. 设 f (x) 为可导函数 , f (1)1, F ( x)f ( 1) f ( x 2 ) ,则 F (1).xf (x )x 2(1 x), 则 f (2)7. 若t2dt .8. f ( x) x 2 x 在 [0,4] 上的最大值为.9. 广义积分e 2 x dx.10. 设 D 为圆形区域 x 2y 21, y1 x 5 dxdy.D三、计算题 （每题 5 分，共 40 分）1. 计算 lim ( 121 2 1 2 ) .nn(n 1)(2n)2. 求 y ( x 1)(x2) 2 ( x 3) 3(x 10)10 在（ 0，+）内的导数 .1 3. 求不定积分dx .x(1 x)4. 计算定积分sin 3 x sin 5 xdx .5. 求函数 f ( x, y)x 3 4x 2 2xy y 2 的极值 .6. 设平面区域 D 是由 yx, y x 围成，计算sin ydxdy .Dy7. 计算由曲线8. 求微分方程xy 1, xy 2, y x, y3x 围成的平面图形在第一象限的面积 .y2 x 的通解 .yy四、证明题 （每题 10分，共 20 分）1. 证明： arc tan xx (x) .arcsin1 x 22. 设 f (x) 在闭区间 [ a, b] 上连续，且f ( x) 0,xx1F ( x)f (t )dtdtbf (t )证明：方程 F ( x)0 在区间 (a, b) 内有且仅有一个实根 .《高等数学》参考答案一、判断题 . 将√或×填入相应的括号内（每题2 分，共 20 分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ； 10.√.二、 填空题 . （每题 2 分，共 20 分）1. x 24x 4 ； 2. 1；3. 1/2；4. ( y 1/ y) dx ( x x / y 2 )dy ；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ；8. 8 ；9.1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题 5 分，共 40 分）1.解： 因为n 1 11L1n 1(2n)2n 2(n1)2(2n)2n2且lim n1n 120 ， lim2 =0n(2 n)nn由迫敛性定理知：lim (12(n 121 2 )=0n n1)(2n)2.解： 先求对数 ln yln( x 1) 2 ln( x 2) 10ln( x10)1 y 11210 yx x 2 x 10y ( x1)(x 10)(1 210x1x 2x )103.解： 原式 = 21d x1x= 21d x1 ( x )2=2 arcsin x c4.解：原式 =sin 3 x cos2 xdx33=2 cos x sin 2xdx cosxsin 2xdx233=2 sin 2xd sin x sin 2xd sin x22525x] 02[sin2 x]=[sin 2552=4/55.解： f x3x 28x 2 y 0 f y2x 2 y 0故x0或x2 y0y2当x0时 f xx( 0,0)8 ， f yy (0,0)2， f xy ( 0,0)2 y0( 8) ( 2) 220 且A=8 0（ 0， 0）为极大值点且 f ( 0,0)0当x2时 f xx( 2,2) 4 ， f yy (2,2)2， f xy ( 2,2)2 y24(2)220无法判断6.解： D= (x, y) 0y1, y2x ysin y dxdy dy21yD y0ysin y1 sin y ydydx =[ x]y2y y1= (sin y y sin y)dy= [ cos y]11yd cos y=1cos1[ ycos y]11cos ydy= 1 sin17.解： 令 uxy ， vy；则 1 u2 ， 1 v3xx ux v 1uJ2 uv2v v 1y uy vv u2v2 uvAd2 31 ln31du dvD12v8.解： 令y 2u ，知 (u)2u 4x由微分公式知： uy 22 dx2dxdxc)e ( 4xee 2 x ( 4xe 2 x dx c)e 2 x (2xe 2xe 2xc)四 . 证明题（每题 10 分，共 20 分）1.解： 设f ( x)arctan x x arcsinx 211 1 1 x 2x 2 2f ( x)1 x 1 x2x21x2=011 x2f (x)cx令 x 0f (0) 0 0 0 c0 即：原式成立。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为多少？A. 0B. 1C. 1D. 3答案：A2. 设 $ f(x) = e^x $，则 $ f''(x) $ 等于多少？A. $ e^x $B. $ e^x + x $C. $ e^x x $D. $ e^x + 2 $答案：A3. 设 $ y = \ln(x + 1) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \frac{1}{x + 1} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ \frac{1}{x 1} $D. $ \frac{1}{x + 2} $答案：A4. 设 $ y = x^2 $，则 $ y'' $ 等于多少？A. 2B. 4D. 1答案：B5. 设 $ y = \sin(x) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \cos(x) $B. $ \cos(x) $C. $ \tan(x) $D. $ \tan(x) $答案：A二、填空题1. 设函数 $ f(x) = x^4 2x^3 + x^2 $，则 $ f'(x) $ 的表达式为______。
答案：$ 4x^3 6x^2 + 2x $2. 设 $ y = \ln(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{x} $3. 设 $ y = e^x $，则 $ y'' $ 的表达式为______。
答案：$ e^x $4. 设 $ y = \cos(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \sin(x) $5. 设 $ y = \sqrt{x} $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
(完整word版)《高等数学》练习题库及答案.docx
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数 y=1是（）2x1A. 偶函数B. 奇函数C 单调函数D 无界函数2.设 f(sin x)=cosx+1,则 f(x) 为（）2A 2x 2－2B 2－2x 2＋x 2D 1 － 2C 1x3．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ． 0.9 ，0.99， 0.999，0.9999B ． 3， 2， 5，42345n为奇数n1 , n21nC ． {f(n)}, 其中 f(n)=n ， 为偶数 D. { 2n}1n4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6． lim sin( x 21) （）x 1x 1A.1B.0C.2D.1/27．设 lim (1 k ) x e 6则 k=()xxA.1B.2C.6D.1/68.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）A.x 2 -1B. x 3 -1C.(x-1) 2D.sin(x-1)9.f(x) 在点 x=x 0 处有定义是 A. 必要条件C.充分必要条件f(x) 在x=x 0 处连续的（B.充分条件 D.无关条件）10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B、无界函数C 、有最大值与最小值D、无最小值11、设函数 f （x）=（ 1-x ）cotx要使 f （x）在点： x=0 连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B、 e C、-e D、-e -112、下列有跳跃间断点x=0 的函数为（）A、xarctan1/xB、 arctan1/xC、 tan1/xD、 cos1/x13、设f(x) 在点 x0连续， g(x) 在点 x0不连续，则下列结论成立是（A、f(x)+g(x)在点x0必不连续B、f(x) ×g(x) 在点 x0必不连续须有C、复合函数 f[g(x)]在点x0必不连续）D、在点x0必不连续14、设f(x)=在区间 (-∞,+∞) 上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）A、a＞0,b ＞0 C、a＜0,b ＞0BD、a＞0,b ＜0、a＜0,b ＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A、B、C、tan[f(x)]D、 f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（ 0, л）C、[-л /4,л/4]D、（ - л/4,л /4 ）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b)＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x 4-4x+120、曲线 y=x2在 x=1 处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线 y=x 与对数曲线 y=log a x 相切，则（）A、eB、1/e CxD1/e 、 e、 e22、曲线 y=lnx平行于直线 x-y+1=0 的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e -2 =0C、 x-y-3e-2 =0D、 -x-y+3e -2 =023、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（）A、± 1B、±л/2C、± ( л/2+1)D、± ( л/2-1)24、设 f(x) 为可导的奇函数，且 f`(x 0)=a ，则 f`(-x0)=（）A、 aB、-aC、|a|D、025、设 y=㏑，则 y’|x =0=（）A、 -1/2 B 、1/2C、-1 D、026、设 y=(cos)sinx，则 y’|x =0=（）A、 -1B、0C、1D、不存在27、设 yf(x)=㏑(1+X) ，y=f[f(x)],则 y’|x =0=（）A、 0 B 、 1/㏑ 2 C 、 1 D 、㏑ 228、已知 y=sinx ，则 y(10)=（）A、 sinx B 、cosx C、-sinx D、 -cosx29、已知 y=x ㏑ x，则 y(10) =（）9B 99、9A、 -1/x、1/ x C 、8.1/xD-8.1/x30、若函数 f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0) 不存在 B 、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)=л31、设函数 y=yf(x)在[0 ，л ] 内由方程 x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）32、圆 A 、 -1 B 、0 C 、л/2D、 2x2cos θ,y=2sin θ上相应于 θ =л /4 处的切线斜率，K=（）A 、-1B 、0C 、1D 、233、函数f(x)在点x 0 连续是函数f(x)在 x 0 可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数 f(x) 在点 x 0 可导是函数 f(x) 在 x 0 可微的（）A 、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数A 、0f(x)=|x|在B 、-dxx=0 的微分是（ C 、dx D 、）不存在36、极限 lim ( x1) 的未定式类型是（）x 11x ln xA 、0/0 型B、∞ / ∞型 C 、∞ - ∞D 、∞型137、极限 lim(sin x) x 2的未定式类型是（）xx 0A 、00 型B、 0/0 型∞型C 、 1 型D 、∞x 2sin138、极限limx=（）x 0sin x A 、0 B、1 C 、 2 D 、不存在39、x x 0 时， n 阶泰勒公式的余项 Rn(x) 是较 x x 0 的（）A 、（n+1）阶无穷小B 、 n 阶无穷小C 、同阶无穷小D、高阶无穷小40、若函数 f(x) 在[0, +∞] 内可导，且 f`(x) ＞0，xf(0) ＜0 则 f(x) 在 [ 0,+ ∞]内有（）A 、唯一的零点 B、至少存在有一个零点C 、没有零点D、不能确定有无零点41、曲线 y=x2-4x+3 的顶点处的曲率为（）A、2B、 1/2C、1D、 042、抛物线 y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、 1/2C、1D、 243、若函数 f(x)在（ a,b ）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫ f(x)dx=2e x/2 +C=（）A、2e x/2B、 4 e x/2C、e x/2+CD、e x/245、∫ xe-x dx = （ D）A、xe-x -e -x +CB、-xe -x+e-x+CC、xe-x +e -x +CD、-xe -x -e -x+C-ndx（）46、设 P（ X）为多项式，为自然数，则∫ P(x)(x-1)A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx= （）A、5/6 B 、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y 2 =1及 (x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、л B 、2л C 、4л D 、6л49、曲线 y=x2-2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л /15C、16л/15D、32л/1550、点（ 1， 0， -1 ）与（ 0， -1 ，1）之间的距离为（）A、 B 、2 C 、31/2D、2 1/251、设曲面方程（P， Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、 Z=4 B 、Z=0C、Z=-2D 、x=252、平面x=a 截曲面 x2/a 2+y2 /b 2-z 2/c 2=1 所得截线为（）A、椭圆B、双曲线 C 、抛物线 D 、两相交直线53、方程 =0 所表示的图形为（）A、原点（ 0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程 3x2 +3y2-z 2=0 表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A、X 轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线55、方程 3x2 -y 2-2z 2=1 所确定的曲面是（）A、双叶双曲面 B 、单叶双曲面 C 、椭圆抛物面D、圆锥曲面56 下列命题正确的是（）A、发散数列必无界B、两无界数列之和必无界C、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A、. 必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58 函数 f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0, л ]B、（0,л）C、[- л/4, л/4]D、（-л/4,л /4）59 下列函数中能在区间 (0,1) 内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x 2-1D、f(x)=5x4-4x+160 设 y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在二、填空题1、求极限 lim(x 2+2x+5)/(x 2+1)= （）x1、求极限3（）lim2x 03、求极限 lim x-2/(x+2)1/2 =（）x 24、求极限 lim[x/(x+1)]x=（）x5、求极限 lim1/x= （）(1-x)x 06、已知 y=sinx-cosx ，求 y`| x=л/6 =（）7、已知ρ=ψsin ψ+cosψ/2 ，求 dρ /d ψ| ψ=л/6=（）8、已知 f(x)=3/5x+x2 /5 ，求 f`(0)=（）9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx相切，则 a=（）10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= （）11、函数 y=2x3极小值与极大值分别是（）12、函数 y=x2-2x-1的最小值为（）13、函数 y=2x-5x 2的最大值为（）14、函数 f(x)=x 2e-x在[-1,1]上的最小值为（）315、点（ 0， 1）是曲线 y=ax +bx2+c 的拐点，则有 b=（） c= （）16、∫ xx 1/2 dx= （）17、若 F`(x)=f(x) ，则∫ dF(x) = （）18、若∫ f(x)dx =x2e2x+c，则 f(x)= ()b19、d/dx∫a arctantdt =（）1x t2x2(e1)dt0, x 0在点x=0连续，则a=（）20、已知函数 f(x)=a, x0、∫ 02(x 2+1/x 4 )dx =（）21x1/2(1+x1/2)dx=（）22、∫4923、∫031/2a dx/(a2+x2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）л25、∫л/3 sin (л /3+x)dx=（）x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫4931、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式 |x-2|＜1 的 X 所在区间为34、设 f(x) = [x] +1 ，则 f （л+10）=（35、函数 Y=|sinx|的周期是（）(）)36、y=sinx,y=cosx 直线 x=0,x= л/2 所围成的面积是（）238、心形线 r=a(1+cosθ )的全长为（）39、三点（ 1，1，2），（-1，1，2），（ 0， 0， 2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（ 2，3，1）和（ 4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（ 3，0，-1），且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程是（）42、求三平面 x+3y+z=1 ，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0 的交点是()43、求平行于 xoz 面且经过（ 2，-5， 3）的平面方程是（）44、通过 Z 轴和点（ -3， 1， -2）的平面方程是（）45、平行于 X 轴且经过两点（ 4， 0， -2）和（ 5， 1， 7）的平面方程是（）46求极限 lim [x/(x+1)]x=（）x47函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1)= （）9x 1/2(1+x1/2)dx= （）48∫449y=sinx,y=cosx直线 x=0,x= л /2 所围成的面积是（）50求过点（ 3，0，-1 ），且与平面 3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题21、设 Y=2X-5X ，问 X 等于多少时 Y 最大？并求出其最大值。
高等数学B1答案(含综合练习)
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞表示小于b 的实数，或记为b x <<∞-。
7．)(∞+，a 表示大于a 的实数，或记为+∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
(整理)高等数学数学基础综合练习题解答([1].1)
![(整理)高等数学数学基础综合练习题解答([1].1)](https://img.taocdn.com/s3/m/f5d2d6da102de2bd9705881b.png)
高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。
()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。
2101122240xx x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。
202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000xy y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
高等数学数学基础综合练习题解答Word版
高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。
()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。
2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。
202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()00xy y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷代号： 7032上海开放大学 2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数 f ( x)sin(x 2 4) x2在 x 2 连续，则常数 k 的值为（）。
x 2kx 2A ． 1；B ． 2 ；C ． 4；D ． 42．下列函数中（）的图像关于 y 轴对称。
A ． x cos ．31xx3．下列函数中（）不是奇函数。
1A ． sin( x 1) ；B ． e x e x ；C ． sin 2x cosx ；D ． ln x x 2 14．当 x0 时，（）是无穷小量。
A ．sin 2xB ． (1 1) xcos 1． x sin 1x xx x 5．函数 f ( x)f ( x) （）。
sin 4x ，则 lim xx 0A ． 0 ；B ． 4；C ． 1；D ．不存在 4 f (x)f (2)6．函数 f ( x) ln x ，则 lim （）。
x 2 x 2A ． ln 2 ；B ． 1； C ． 1；D ．2x27. 设 f ( x) 在点 x x 0 可微，且 f (x 0 ) 0 ，则下列结论成立的是（）。
A ．x x 0 是 f ( x) 的极小值点 ． x x 0 是 f ( x) 的极大值点；BC ． x x 0 是 f ( x) 的驻点； ． x x 0 是 f (x) 的最大值点；D8．下列等式中，成立的是（）。
A ．1dxd． e 2 xdx2de 2 xxx BC ． e 3 x dx1 de 3 x ． 1dxd ln 3x3 D 3x9．当函数 f ( x) 不恒为 0， a, b 为常数时，下列等式不成立的是（）( f ( x) dx) f ( x) .d bf ( x) dx f ( x) dxaf ( x)dx f ( x) c .a bd f ( x) f ( b) f (a)10．曲线y e x x 在 (0,) 内是（）。
A．下降且凹； B．上升且凹； C．下降且凸； D．上升且凸11．曲线 y 1 x3 2 x23x 在区间 2,3内是（）。
3A．下降且凹 B．上升且凹 C．下降且凸 D．上升且凸12．下列无穷积分为收敛的是（）。
A.sin xdxB.0e2 x dxC.0 1 e x dxD.11 dx02x 13．下列无穷积分为收敛的是（）。
x2dx 1dx x 2dx xA. B.1C. D.1e2 dx1x1 14．下列广义积分中（）发散。
1113A．x 2 dx ；B．dx ；C．dx ；D．x 2 dx 11x31x2115．设函数 f ( x) 的原函数为 F (x) ，则11（）。
x2 f (x )dxA． F ( x)C；B．1；．1；．1F ( ) C C F ( ) C D f ( ) Cx x x 16．下列广义积分中收敛的是（）x 3 dx2x3 dx cosxdx1xdx 二．填空题1111．函数f ( x)ln( x 3)的定义域是。
4x2．函数y x 1的定义域是。
x33．函数 y5x 的定义域是。
ln( x1)4．曲线y e 2 x在点M处的切线斜率为2e 2，则点M处的坐标为。
5．曲线y ln x 在x 2 处的切线方程为。
6．设函数y f (cos 2x) 可导，则dy。
7. 设 f ( x) x 21，则 f ( f ( x)) 。
8. 设 f ( x) 的一个原函数是 sin 2x ，则 f ( x) 。
9．已知 F ( x)f ( x) ，则xf (x 2 1)dx 。
1 x( x1x 2 )dx 。
10．11x 3 (cosx 1)dx11． 。
112．dt cost 2dt =。
dx x13．设 F ( x)xe sin tdt ，则 F ( )。
0214．设 F ( x) 为 f (x) 的原函数，那么 f (cos x)sin xdx 。
15．设 F ( x)xe (t 1) 2dt ，那么 F (1) 。
三．计算题1 2x4 x 11、求极限 lim 4x 12、求极限 lim 2x 1 x 4x 1x2 x 33x 4xsin 3x 3、求极限 lim4、求极限 lim3x 21 4x 1xx 05、求极限 lim x ln(1 3x 2 )6、求极限 lim ln(12x)x 01 3x 31 x 01 4x 17、设函数 y x cosx2 x ，求 dy。
、设函数 yx cos(3x 1) ，求dye89、设函数y x 2ln 2xx ，求 dy 。
、设函数y 3x 1 ，求 dy 。
10 cos2x11、设函数 y 2xe 2 x，求 dy 。
1 3 x ，求 dy 。
12、设函数 yx 2e113、设函数 y1 sin2x ，求 dy 。
14、计算不定积分 x 2sin xdxcosx215、计算不定积分x2cos xdx 16、计算不定积分x 2e 3 x dx3四、应用题1、求由抛物线 y 2 x 2 与直线 y x 所围的面积。
2、求由抛物线 yx 2与直线 y2 x所围的面积。
-3、求由抛物线y x2x 与直线 y x 所围的面积。
y4、求由抛物线x 22 与直线y x 所围的面积。
y xyyy x 2x4xy x32x- 15、求由抛物线y x2与直线 y 6x 所围的面积。
y x22126、要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为立方米 , 试问如何选取底半径和高4的尺寸 , 才能使所用材料最省。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器, 已知容器的容积为16 立方米 , 底面单位面积的造价为10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为 20 元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸, 才能使建造费用最省。
8、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为 108 立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使建造费用最省。
试卷代号： 7032上海开放大学2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题答案一．选择题1．D2．C3．A4．D5．．C9．B10．B11． A12．B13．C14．A15．B16． A二．填空题1． 3 x 4 2．x1且 x 33．1x 5且 x 04．1,e2 5．y ln 21 2 6．2sin 2xf (cos2x) dx1224x2 14sin 2x F ( x21)C0xcos x2 e 1 F (cos x) C 三．计算题231、求极限 lim1 2x 4x1x4x 1解： lim 4x12 x 1 2 x 1 2 x 1lim4x 12lim 12＝ ex4x1x4x1x4x12、求极限 lim4 x 12x 1x2x 3解： lim2x4 x 14 x 14 x 11lim2x3 4lim 14＝ e 8x2x3x2x3x2x34x3x3、求极限 limx3x 23x 4x24x8解： limlim 1e33x23x 2xxsin 3x 4、求极限 limx1 4x 1解： limsin 3x 3x 31 4x 1lim2x 0x 02x5、求极限 limx ln(1 3x 2 )x1 3x 3 1解： lim x ln(1 3x 2 ) limx3x 221 3x 3 13x 3 x 0x 026、求极限 limln(1 2x)x 01 4x 1解： lim ln(1 2 x)lim 2x1x 01 4x1 x 0 2x7、设函数 yxe cosx2 x ，求 dy 。
xe cos x3解： y2x 28、设函数 y x cos(3x 1) ，求 dy 。
9、设函数 yx 2 ln 2xx ，求 dy 。
x 2 ln 2x 5解： yx 210、设函数 y3x 1，求 dy 。
cos2x3x 1 cos2x3x 1 cos2 x3cos 2x 2 3x 1 sin 2x解： y22cos2 xcos2x11、设函数 y2x ，求 dy 。
1 e 3 x12、设函数 ye 2x ，求 dy 。
1 2x13、设函数 ysin2x ，求 dy 。
1 cosxsin 2x 1 cosx sin 2x1 cos x解： y1 2cosx14、计算不定积分 x 2sin xdx2 解 : x 2 2x 20+—+x 2sin xdx ＝ 2x 2cosx8 x sinx16cosxC222215、计算不定积分 x 2cos xdx3 解 : x 2 2x 20+—+16、计算不定积分 x 2 e 3x dx解： x 2 2x20+—+四、 应用题1、求由抛物线 y 2x 2 与直线 yx 所围的面积。
解：由y 2x 2x 11,x 22yx2、解：抛物线 yx 2 与直线 y2 x 的交点为 ( 2,4),(1,1)面积 A1x x 2dx223、求由抛物线 yx 2x 与直线 y x 所围的面积。
yy 2 x 2xy x解：由 y x 2x x 1 0, x 2 2y x所围的面积 S22 x 2)dx( x (x 2x)) dx(2 x4、解：抛物线 yx 2 2 与直线 y x 的交点为 ( 1, 1),(2,2)面积 A2 (x22) dxx15、解：解：抛物线 y x 2 与直线 y6 x 的交点为 ( 3,9),(2,4)面积 A 6 x x 2 dx 1252366、要做一个有底无盖的圆柱体容器 , 已知容器的容积为 4 立方米 , 试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才能使所用材料最省。
解：设圆柱体底半径为 r ，高为 h ，则体积 Vr 2h4h4 r2材料最省即表面积最小表面积 S ＝ r 22 rh ＝ r 22 r4 ＝ r 2 8r 2rS ' ＝ 2 r 8r34r 2 ，令 S ' ＝ 0，得唯一驻点所以当底半径为34米，此时高为 34 米时表面积最小即材料最省。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器 , 已知容器的容积为 16 立方米 , 底面单位面积的造价为 10 元/ 平方米，侧面单位面积的造价为 20 元/ 平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸 , 才 能使建造费用最省。
解：设圆柱体底半径为 r ，高为 h ，则体积 Vr 2h 16h 16r2且造价函数 f10 r 220 2 rh10 r 2640r 令 f20 r 6400 ，得唯一驻点 r 2 34r 2所以当底半径为234米，此时高为 34米时造价最低。
8、在半径为 8 的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。