2_0、MATLAB的矩阵运算
matlab矩阵的代数运算
matlab矩阵的代数运算操作：1.矩阵相加：C = A + B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
2.矩阵相减：C = A - B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
3.矩阵乘法：C = A * B，其中A的列数与B的行数相等，C的维度为A的行数乘以B的列数。
4.矩阵点乘（对应元素相乘）：C = A .* B，其中A、B和C都是具有相同维度的矩阵。
5.矩阵的转置：B = A'，其中A和B具有相同的维度，但是B的行和列与A的行和列交换。
6.矩阵的逆：B = inv(A)，其中A是一个可逆方阵，B是A的逆矩阵，满足A *B = B * A = I，其中I是单位矩阵。
7.矩阵的行列式：det_A = det(A)，其中A是一个方阵，det_A是A的行列式。
8.矩阵的迹：trace_A = trace(A)，其中A是一个方阵，trace_A是A的迹，即A的主对角线元素之和。
9.矩阵的特征值和特征向量：[V, D] = eig(A)，其中A是一个方阵，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵，满足 A * V = V * D。
10.矩阵的广义逆矩阵：B = pinv(A)，其中A是一个矩阵，B是A的广义逆矩阵，满足 A * B * A = A。
11.矩阵的克罗内克积：C = kron(A, B)，其中A和B是两个矩阵，C是A和B的克罗内克积。
12.矩阵的行合并：C = [A; B]，其中A和B具有相同的列数，C是将A和B按行合并得到的矩阵。
13.矩阵的列合并：C = [A, B]，其中A和B具有相同的行数，C是将A和B按列合并得到的矩阵。
矩阵相加：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A + B;矩阵相减：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A - B;矩阵乘法A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A * B;矩阵点乘（对应元素相乘）：A = [1 2; 3 4];B = [5 6; 7 8];C = A .* B;矩阵的转置：A = [1 2; 3 4];B = A';矩阵的逆：A = [1 2; 3 4];B = inv(A);矩阵的行列式：A = [1 2; 3 4];det_A = det(A);矩阵的特征值和特征向量：A = [1 2; 3 4];[V, D] = eig(A); % V为特征向量矩阵，D为特征值矩阵。
第三章_matlab矩阵运算
主讲：陈孝敬 E-mail:chenxj9@
第3章
数学运算
主要内容：
①矩阵运算； ②矩阵元素运算；
3.1 矩阵运算
3.1.1 矩阵分析
1．向量范式定义：
x x x
1
n
k 1
xk
2 k
2
k 1 n
x
n
1/ 2
k 1
xk
向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
3.1.2 矩阵分解
矩阵分解：把矩阵分解成比较简单或对它性质比较熟悉的若干 矩阵的乘积的形式；
1．Cholesky分解： Cholesky分解是把对称正定矩阵表示成上三角矩阵的转 置与其本身的乘积，即：A=RTR，在Matlab中用函数chol 来计算Cholesky分解 例3-13 求矩阵A=pascal（4）的Cholesky分解， A=pascal(4) R=chol(A) R’*R
例3-18.求解方程组
x1 x2 3 x3 x4 1 3 x1 x2 3 x3 4 x4 4 x 5x 9 x 8x 0 2 3 4 1
解 先用Matlab函数null求出对应的齐次线性方程组的基础解 系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解, 这样即可得到该方程组的通解,程序如下: >> >> >> >> >> >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0] ′; format rat C=null(A , ′r′); %求基础解系 [L,U]=lu(A); %A=LU,L为上三角阵,U为下三角阵 X0= U\(L\b) %用LU求出一个齐次方程的特解
matlab第二章矩阵运算基础
南京信息工程大学
4
例2.1 创建矩阵
>>x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>x=[1 2 3 456 7 8 9] >>x=[a b c;e f g;u v w] >>x=[1 2 3;4 5 6]; y=[2 3 4;5 6 7] >>Q=x*y >>a=2;b=3 >>x=a*b
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2.1 矩阵的创建
2、 赋值语句 MATLAB赋值语句有两种格式：
变量=表达式（或数） 表达式
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【例2.2】 x＝[1,2,3;4,5,6;7,8,9] 与[1,2,3;4,5,6;7,8,9]。
5 + cos 47
【例2.3】计算
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 六、点运算
C＝A.*B C=A.\B
C=A./B C=A.^B
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§2.2 矩阵和数组的算术运算 七、幂运算
C=A^B C=A.^B
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例2.12 例2.13 例2.14 例2.15
find(x)
检查x是 否全为1
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例2.20 建立矩阵A，然后找出大于4的元素位置 （1）建立A >>A=[4 -6 5 -54 0 6 56 0 67 -45 0] （2）找出大于4的元素位置 >>find(A>4)
MATLAB矩阵及矩阵操作
MATLAB矩阵及矩阵操作数值数组（Numeric Array）和数组运算（Array Operations）始终是MATLAB的核心内容。
自MATLAB5.x版起，由于其“面向对象”的特征，这种数值数组（以下简称为数组）成为了MATALB最重要的一种内建数据类型（Built-in Data Type），而数组运算就是定义在这种数据结构上的方法（Method）。
本节系统阐述：一、二维数值数组的创建、寻访；数组运算和矩阵运算的区别；实现数组运算的基本函数；多项式的表达、创建和操作；常用标准数组生成函数和数组构作技法；高维数组的创建、寻访和操作；非数NaN、“空”数组概念和应用；关系和逻辑操作。
顺便指出：（1）本章所涉内容和方法，不仅使用于数值数组，而且也将部分地延伸使用于在其他数据结构中。
一、变量和数据1 数据类型MATLAB7.3定义了15种基本的数据类型1.1 建立double类型数据：例：（注：double为系统默认数据类型）a=3.3a =3.3000方法一：whos 要查看的变量名注：查看多个变量时各变量之间用空格分开，不能用逗号分开例：查看上面定义的变量awhos aName Size Bytes Classa 1x1 8 double arrayGrand total is 1 element using 8 bytes方法二：使用class函数，函数调用常用格式：str = class(object) ——函数返回object的类型例：class(a)ans =double方法三：使用isa函数，函数调用常用格式：n = is(object,'类型')——函数返回值为1，说明object为第二个参数指定的类型，0表示不是。
例：isa(a,'double') ans =1 isa(a,'char') ans =1.2建立其他数值类型数据的方法●使用single、int_、uint_分别建立单精度、有符号整型、无符号整型的数据例：b=single(a)%建立单精度变量bb =3.3000whos a b %查看变量a b的详细信息Name Size Bytes Classa 1x1 8 double arrayb 1x1 4 single arrayGrand total is 2 elements using 12 bytesclass(b) %获取变量b的数据类型ans =single isa(b,'single') ans =1c=int8(a) %尝试把变量a的值改为3.8，看结果有何变化，得出什么结论?c =3class(c)%获取变量c的数据类型ans =int8 isa(c,'int8') ans =1结论：a的值改为3.8后变量c的值变为4，说明在MATLAB中将一个浮点型数据转换为整型数据是遵循“四舍五入”的法则2、数值●需了解MATLAB表达方式的组成、类型●了解数组（array）、矩阵（matrix）、向量(vector)、标量(数字)(scalar)的概念和它们之间的关系。
matlab矩阵的加减乘除运算法则
matlab矩阵的加减乘除运算法则
在Matlab中，矩阵的加减乘除运算法则遵循线性代数的规则。
加法运算：两个矩阵的维数必须相同，对应位置的元素相加得到新的矩阵。
减法运算：两个矩阵的维数必须相同，对应位置的元素相减得到新的矩阵。
乘法运算：有两种乘法运算，逐元素乘法和矩阵乘法。
逐元素乘法要求两个矩阵的维数相同，对应位置的元素相乘得到新的矩阵。
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，使用`*`操作符进行矩阵乘法运算。
除法运算：两个矩阵相除可以通过乘以逆矩阵的方式实现，使用`/`操作符进行除法运算。
需要注意的是，这些运算法则适用于数值矩阵和标量之间的运算。
对于逻辑矩阵和非数值矩阵，这些运算法则可能不适用。
Matlab矩阵运算基础数值运算
data =
1.1000 3.0000 4.0000
2.3000 2.0000 1.0000
.
13
3.2 矩阵运算
主要介绍矩阵的算术运算、关系运算、逻辑 运算和常用的有关矩阵的其他运算（矩阵的 逆，矩阵的秩、矩阵的分解等）。
.
14
3.2.1 矩阵的算术运算
1、矩阵的加（+）减（-）运算：
A±B 矩阵A和矩阵B的和与差，即矩阵相应 位置的元素相加、减。
>> A=magic(3)
D=
A= 816
0.5492 0.2421 -0.6520 0.9075
357
1.0047 -0.4941
492
>> C*D
>> B=inv(A)
ans =
B=
1.0000 0.0000
0.1472 -0.1444 0.0639
0.0000 1.0000
-0.0611 0.0222 0.1056
~ A 对单个矩阵或标量进行取反运算，结果是0-1矩阵。
.
28
3.2.3 矩阵的逻辑运算
例3-11 1 0 3
1 2 0
A2.6 1 2, B0 5 0
0 3 1
1 0 1
计算 A&B, A|B, ~A Nhomakorabea.
29
3.2.4 矩阵函数
1、矩阵的共轭
MATLAB中求矩阵的共轭矩阵的函数是conj，其 调用格式为：
除或浮点溢出都不按错误处理，只是给出警告信息，同时用“Inf”
标记。
.
20
3.2.1 矩阵的算术运算
4、 矩阵的幂运算：^ A^B A的B次方。
第2章 matlab矩阵及其运算
第2章 MATLAB 矩阵及其运算
2.1.2 MATLAB常用数学函数
MATLAB提供了许多数学函数，函
数的自变量规定为矩阵变量，运算法
则是将函数逐项作用于矩阵的元素上， 因而运算的结果是一个与自变量同维
数的矩阵。
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第2章 MATLAB 矩阵及其运算
1. 三角函数 • sin 正弦函数 • asin 反正弦函数 • cos 余弦函数 • tan 正切函数 • cot 余切函数 • sec 正割函数 • csc 余割函数
在MATLAB命令口输入命令：
x=1+2i; y=3-sqrt(17); z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))
其中pi和i都是MATLAB预先定义的变量，分别
代表代表圆周率π和虚数单位。 输出结果是：
z =
-0.3488 + 0.3286i
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18/128 MALAB 7.X程序设计
第2章 MATLAB 矩阵及其运算
rem与mod的区别
rem（x,y)=x-y.*fix(x./y)
mod(x,y)=x-y.*floor(x./y)
eg: >>x=5;y=3; >>y1=rem(x,y),y2=mod(x,y) >> x=-5;y=3; >>y1=rem(x,y),y2=mod(x,y)
%绝对值 %取复数虚部 %取复数实部 %复数共轭
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第2章 MATLAB 矩阵及其运算
4. 取整函数 fix(x) 朝零方向取整 floor(x) 朝负无穷大方向取整 ceil(x) 朝正无穷大方向取整 round(x)四舍五入 mod(x,y) rem(x,y)取x/y的余数要求x,y 必须为相同大小的实矩阵或为标量。 eg: x=5.3 x=-5.3 -5.3 -5 0 5 5.3
matlab矩阵乘法
matlab矩阵乘法MATLAB（MatrixLaboratory）是一款常用的科学运算计算软件包，用它开发的应用程序可以用于数学、统计、优化、仿真等领域。
MATLAB 中的矩阵乘法是MATLAB的基本计算操作，是能够实现向量和矩阵的运算。
一、矩阵乘法的定义矩阵乘法是指两个同样大小的矩阵相乘，按照一定的计算公式，得到一个新的矩阵。
因为大多数数学问题都可以用矩阵表示，所以用矩阵乘法可以把复杂的运算简化成一步计算，这在大量数字计算中很有帮助。
矩阵乘法的计算公式如下：设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则A×B=C是m×p矩阵，其中：$$C_{ij} = sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$$二、MATLAB的矩阵乘法MATLAB中的矩阵乘法主要提供了三种矩阵乘法指令，即“*”、“.*”、“times”。
1、*”和“.*”“*”是矩阵标准乘法运算符，是指矩阵相乘时，最常用的形式，其计算公式如上所述，但要求两个矩阵的列数一致。
而“.*”则是矩阵的点乘法，即每个元素分别相乘，而不是矩阵乘法，其计算公式为：$$C_{ij} = A_{ij} times B_{ij}$$2、“times”“times”是MATLAB中的特殊形式矩阵乘法。
它接受两个参数，一个是要求被乘数A是m×n矩阵，另一个要求乘数B是n×1向量，计算公式如下：$$C_{ij} = sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{k}$$三、MATLAB中矩阵乘法的应用在各类应用软件中，MATLAB的矩阵乘法有着广泛的应用，主要应用于数据处理、优化计算以及机器学习等领域。
1、数据处理采用矩阵乘法可以实现数据的简单处理，例如矩阵的转置与行列重排。
2、优化问题矩阵乘法可以用于求解复杂优化问题，比如最小二乘法拟合问题、最小角回归问题等，这些优化问题也可以通过矩阵乘法的形式进行解算，大大提高了运算的效率。
Matlab 矩阵的运算
(1) 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和 A-B实现矩阵的加减运算。 运算规则是：若A和B矩阵的维数相同， 则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相 应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则 MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩 阵的维数不匹配。 (2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵， B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。
关系运算符的运算法则为： (1) 当两个比较量是标量时，直接比较两 数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1， 否则为0。 (2) 当参与比较的量是两个维数相同的矩 阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标 量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较 结果。最终的关系运算的结果是一个维数与 原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。
例3-3 先建立 5×5矩阵A，然后将A的第一 行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘 以5。 A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22; 10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，对A的每行 乘以一个指定常数
3.3 字符串
在MATLAB中，字符串是用单撇号(‘)括 起来的字符序列。 MATLAB 将字符串当作一个行向量， 每个元素对应一个字符，其标识方法和数值 向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。
字符串是以ASCII码形式存储的。abs和 double函数都可以用来获取字符串矩阵所对 应的ASCII码数值矩阵。 相反，char函数可以把ASCII码矩阵转换 为字符串矩阵。
3.2.4 方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按 行列式的规则求值，这个值就称为矩阵所对 应的行列式的值。 在MATLAB中，求方阵A所对应的行列 式的值的函数是det(A)。
Matlab教程之矩阵运算
第3章 矩阵、数组和符号运算
c.利用M文件产生矩阵
A=[1,2,3,4,5 6,7,8,9,10 11,12,13,14,15 16,17,18,19,20 21,22,23,24,25]
第3章 矩阵、数组和符号运算
d.从外部数据文件调入矩阵 用load命令输入 用Import 菜单输入
第3章 矩阵、数组和符号运算
>> a=[1,2,3,4]; >> x=0:0.5:2;
% x=logspace(a,b,n) 生成有 n 个元素的行向量 x，其元素起点 x(1)=10a， 终点 x(n)=10b。
>> b=logspace(0,2,4) b= 1.0000 4.6416 21.5443 100.0000
第3章 矩阵、数组和符号运算
% eye 生成单位阵
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
% rand 生成均匀分布的随机矩阵
>> R=rand(4) R= 0.9501 0.8913 0.2311 0.7621 0.6068 0.4565 0.4860 0.0185 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057
>> ones(3,4) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> F=5*ones(3) F= 5 5 5 5 5 5 5 5 5
%生成空阵
>> K=[] K= []
-6 0 0 0 0
% zeros 生成全部元素为0的矩阵
>> Z=zeros(2,4) Z= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
MATLAB_简介_2__MATLAB输入及输出格式与矩阵运算函数
在此要稍加说明的是输出数据的格式，以下的 例子各说明了不同型态的输出格式 >> fprintf('f_form: %12.5f\n',12345.2) % 输出 值为12位数，含5位小数 f_form: 12345.20000 >> fprintf('f_form: %12.3f\n',1.23452) % 输出 值为12位数，含3位小数 f_form: 1.235
MATLAB 在许多运算皆是以阵列为对象，即是 以阵列的元素为对象。因此除了+, - 这二个运算 外，其余的运算符号（乘、除、次方）皆须加上. 来强调阵列之间的运算。以下几个例子可以说明 阵列运算的特色。如果a,b各代表二个不同的阵列 ，a与b 之间的运算是元素对元素的方式，例如
>> x = 1.5; % x 是纯量 >> y = exp(x^2); % exp(x^2) 是纯量运算 >> y1 = x/y % x/y 是纯量运算 >> x = 1:0.1:2; % x 是阵列 >> y = exp(x.^2); % exp(x.^2) 是阵列运算 >> y1= x./y % x./y 是阵列运算
而指令fprintf则是用来控制输出数据及文字的格 式，它的基本格式如
>> fprintf('The area is %8.5f\n', area)
在二个单引号间包括输出的字串The area is， 接著是输出数据的格式%8.5f，再来是跳行符号 以避免下一个输出 数据或是提示符号也挤在同 一行，最后键入要输出的数据名area。 The area is 12.56637 % 输出值为8位数含5位小数 注意输出格式前须有%符号，跳行符号须有\符 号
Matlab 矩阵运算
Matlab 矩阵运算说明：这一段时间用Matlab做了LDPC码的性能仿真，过程中涉及了大量的矩阵运算，本文记录了Matlab中矩阵的相关知识，特别的说明了稀疏矩阵和有限域中的矩阵。
Matlab的运算是在矩阵意义下进行的，这里所提到的是狭义上的矩阵，即通常意义上的矩阵。
目录第一部分：矩阵基本知识一、矩阵的创建1.直接输入法2.利用Matlab函数创建矩阵3.利用文件创建矩阵二、矩阵的拆分1.矩阵元素2.矩阵拆分3.特殊矩阵三、矩阵的运算1.算术运算2.关系运算3.逻辑运算四、矩阵分析1.对角阵2.三角阵3.矩阵的转置与旋转4.矩阵的翻转5.矩阵的逆与伪逆6.方阵的行列式7.矩阵的秩与迹8.向量和矩阵的范数9.矩阵的特征值与特征向量五、字符串六、其他第二部分矩阵的应用一、稀疏矩阵1.稀疏矩阵的创建2.稀疏矩阵的运算3.其他二、有限域中的矩阵内容第一部分：矩阵基本知识（只作基本介绍，详细说明请参考Matlab帮助文档）矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。
在MATLAB中a、通常意义上的数量（标量）可看成是”1*1″的矩阵；b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵；c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。
一、矩阵的创建在MATLAB中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]“内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义。
下面介绍四种矩阵的创建方法：1、直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。
建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。
还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b 是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。
Matlab程序设计第2章矩阵及其运算
2.2.2 创建二维数组 方法2：用函数生成特殊矩阵
函数 zeros (全零阵) 格式 B = zeros(n) B = zeros(m,n) 函数 ones (全1阵) 格式 B = ones(n) B = ones(m,n) 函数 eye(单位矩阵) 格式 B = eye(n) B = eye(m,n) %生成n×n全零阵 %生成m×n全零阵
2.2.4二维数组的寻访与赋值
判断数组维数和大小 1) 判断数组维数的指令：ndims 2) 判断数组大小的指令：size 例如：上例中数组A的维数和大小分别为
>> An=ndims(A), As=size(A) An = 2 As = 3 3
表示数组A大小的行数组的长度 (As的长度) 等于数组A的 维数 (An)，length(As)=An 数组A的长度指最长维的长度：length(A)=max(As)。
注意： 1) 子数组寻访取决于 x ( index )中的下标index。 2) 下标 index 可以是单个数值或数组，但是 index 的元素取 值必须在 [ 1 , end ] 的范围内。end 为数组最大下标。 3) 子数组赋值时，注意被赋值的子数组长度与送入的数组长 度一致。
2.2.4二维数组的寻访与赋值
%生成n×n全1阵 %生成m×n全1阵 %生成n×n单位阵 %生成m×n单位阵
2.2.2 创建二维数组 方法2：用函数生成特殊矩阵
函数 randn 格式 y = randn(n) y = randn(m,n) %生成n×n正态分布随机矩阵 %生成m×n正态分布随机矩阵
产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵 >> mu=0.6; sigma=0.1; >> x=mu+sqrt(sigma)*randn(4) x= 0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527
MATLAB中的矩阵运算
哈 工 程 大 学 数 值 计 算 软 件
●randn生成正态分布的随机阵 生成正态分布的随机阵 randn(n)生成 ×n的正态随机阵； 生成n× 的正态随机阵 的正态随机阵； 生成 randn(m,n),randn([m,n])生成 ×n的正态随机阵； 生成m× 的正态随机阵 的正态随机阵； 生成 randn(size(A))生成与矩阵 大小相同的正态随机阵。 生成与矩阵A大小相同的正态随机阵 生成与矩阵 大小相同的正态随机阵。 （５）其它基本运算 左右翻转； 上下翻转； ●fliplr(A) 将A左右翻转；●flipud(A) 将A上下翻转； 左右翻转 上下翻转 旋转90度 返回Ａ ● rot90(A) 将 A旋转 度 。 ● tril(A)返回 Ａ 的下三角部分 ； 旋转 返回 的下三角部分； tril(A,k)返回Ａ第Ｋ 条对角线以下部分，Ｋ＝０为主对角线， 返回Ａ 条对角线以下部分，Ｋ＝０为主对角线， 返回 Ｋ＞０为主对角线以上，Ｋ＜０为主对角线以下。 Ｋ＞０为主对角线以上，Ｋ＜０为主对角线以下。 返回Ａ ●triu(A), triu(A,K)返回Ａ的上三角部分，其它同上。 返回 的上三角部分，其它同上。 返回以向量v为主对角线的矩阵 ●diag(v)返回以向量 为主对角线的矩阵； 返回以向量 为主对角线的矩阵； diag(v,k) 若 v 是 n 个 元 素 的 向 量 ， 则 它 返 回 一 个 大 小 为 n+abs(k)方阵，向量 位于第 条对角线上。K=0代表主对角线 方阵， 位于第k条对角线上 方阵 向量v位于第 条对角线上。 代表主对角线 为主对角线以上， 为主对角线以下。 ， k>0为主对角线以上，k<0为主对角线以下。 diag(A)以向量 为主对角线以上 为主对角线以下 以向量 形式， 返回Ａ 的主对角线元素； 对于矩阵Ａ 形式 ， 返回 Ａ 的主对角线元素 ； diag(A,k)对于矩阵 Ａ ， 返回 对于矩阵 由第k条对角线构成的列向量 条对角线构成的列向量。 由第 条对角线构成的列向量。
MATLAB的矩阵运算
MATLAB的矩阵运算阅读⽬录 MATLAB是基于矩阵和数组计算的，可以直接对矩阵和数组进⾏整体的操作，MATLAB有三种矩阵运算类型：矩阵的代数运算、矩阵的关系运算和矩阵的逻辑运算。
其中，矩阵的代数运算应⽤最⼴泛。
本⽂主要讲述矩阵的基本操作，涉及矩阵的创建、矩阵的代数运算、关系运算和逻辑运算等基本知识。
矩阵的创建直接输⼊法创建矩阵% 1. 直接输⼊法创建矩阵>> A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]A =1 2 34 5 67 8 9函数法创建矩阵简单矩阵% 2. 函数法创建矩阵>> zeros(3)% ⽣成3x3的全零矩阵ans =0 0 00 0 00 0 0>> zeros(3,2)% ⽣成3x2的全零矩阵ans =0 00 00 0>> eye(3)% ⽣成单位矩阵ans =1 0 00 1 00 0 1>> ones(3)% ⽣成全1矩阵ans =1 1 11 1 11 1 1>> magic(3)% ⽣成3x3的魔⽅阵ans =8 1 63 5 74 9 2>> diag(1:3)% 对⾓矩阵ans =1 0 00 2 00 0 3>> diag(1:5,1)% 对⾓线向上移1位矩阵ans =0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 >> diag(1:5,-1)% 对⾓线向下移1位矩阵ans =0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 05 0 >> triu(ones(3,3))% 上三⾓矩阵ans =1 1 10 1 10 0 1>> tril(ones(3,3))% 下三⾓矩阵ans =1 0 01 1 01 1 1随机矩阵>> rand(3)% ⽣成随机矩阵ans =0.2898 0.8637 0.05620.4357 0.8921 0.14580.3234 0.0167 0.7216>> rand('state',0); % 设定种⼦数，产⽣特定种⼦数下相同的随机数>> rand(3)ans =0.9501 0.4860 0.45650.2311 0.8913 0.01850.6068 0.7621 0.8214>> a = 1; b = 100;>> x = a + (b-a)* rand(3)% 产⽣区间（1,100）内的随机数x =38.2127 20.7575 91.113389.9610 31.0064 53.004043.4711 54.2917 31.3762>> a = 1; b = 100;>> a + fix(b * rand(1,50))% 产⽣50个[1,100]内的随机正整数ans =列 1 ⾄ 154 72 77 6 63 27 32 53 41 90 58 57 40 70 57列 16 ⾄ 3035 60 28 5 84 11 73 45 100 57 47 42 22 24 32列 31 ⾄ 4587 26 97 31 38 35 71 62 76 80 22 90 90 94 28列 46 ⾄ 5048 26 37 53 39相似函数扩展>> randn(3)% ⽣成均值为0，⽅差为1的正太分布随机数矩阵ans =-0.4326 0.2877 1.1892-1.6656 -1.1465 -0.03760.1253 1.1909 0.3273>> randperm(10)% ⽣成1-10之间随机分布10个正整数ans =4 9 10 25 8 1 3 7 6% 多项式x^3 - 7x + 6 的伴随矩阵>> u = [1,0,-7,6];>> A = compan(u)% ⽣成伴随矩阵A =0 7 -61 0 00 1 0>> eig(A) % 此处eig()函数⽤于求特征值% 利⽤伴随矩阵求得⽅程的根ans =-3.00002.00001.0000矩阵的运算矩阵的代数运算矩阵的算术运算>> A = [1,1;2,2];>> B = [1,1;2,2];>> AA =1 12 2>> BB =1 12 2>> A + Bans =2 24 4>> B-Aans =0 00 0>> A * Bans =3 36 6>> A^2ans =3 36 6>> A^3ans =9 918 18矩阵的运算函数>> C = magic(3)C =8 1 63 5 74 9 2>> size(C)ans =3 3>> length(C)ans =3>> sum(C)ans =15 15 15>> max(C)ans =8 9 7>> C'ans =8 3 41 5 96 7 2>> inv(C)ans =0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028矩阵的元素群运算元素群运算，是指矩阵中的所有元素按单个元素进⾏运算，也即是对应位置进⾏运算。
matlab中的矩阵的基本运算命令
[R,jb] = rref(A,tol) %tol为指定的精度
rrefmovie(A) %给出每一步化简的过程
[Q,R] = qr(A,0) %产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] = qr(A,0) %E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
R = qr(A) %稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R = A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
说明 一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。
1.3.7 奇异值分解
函数 svd
格式 s = svd (X) %返回矩阵X的奇异值向量
[U,S,V] = svd (X) %返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
[C,R] = qr(A,b) %用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0) %针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] = qr(A,b,0) %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
函数 qrdelete
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A?X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
格式 z = null % z的列向量为方程组的正交规范基，满足 。
matlab矩阵运算
矩阵操作
改变矩阵的形状： 改变矩阵的形状：reshape
reshape(A,m,n): 将矩阵元素按 列方向 进行重组 重组后得到的新矩阵的元素个数 必须与原矩阵元素个数相等！ 必须与原矩阵元素个数相等！
矩阵操作
查看矩阵的大小： 查看矩阵的大小：size
size(A) 列出矩阵 A 的行数和列数 size(A,1) 返回矩阵 A 的行数 size(A,2) 返回矩阵 A 的列数
例： 解下列方程组
x + y =1 （） 1 (定解方程组） x − y = 4 x + 2y + z =1 （2） （不定方程组） 3 x − 2 y + z = 4 x + 2y =1 （3） 3 x − 2 y = 4 (超定方程组） x− y =2 x + 2y =1 （4） （奇异方程组） 2 x + 4 y = 2
矩阵的 Kronecker 乘积
乘积的定义 矩阵 Kronecker 乘积的定义
设A是n×m矩阵，B是p×q矩阵，则A与B的kronecker乘积为： a11 B a12 B … a1m B a B a B … a B 22 2m C = A ⊗ B = 21 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ an1 B an 2 B … anm B
矩阵基本运算
矩阵的除法： 、 矩阵的除法：/、\ 右除和左除 除法
若 A 可逆方阵，则 B/A <==> A 的逆右乘 B <==> B*inv(A) A\B <==> A 的逆左乘 B <==> inv(A)*B 通常，矩阵除法可以理解为 X=A\B <==> A*X=B X=B/A <==> X*A=B 行数相等时即可进行 时即可进行左除 当 A 和 B 行数相等时即可进行左除 当 A 和 B 列数相等时即可进行右除 列数相等时即可进行右除 时即可进行
MATLAB中的矩阵运算函数
MATLAB中的矩阵运算函数1，round函数函数简介调用格式：Y = round(X)在matlab中round也是一个四舍五入函数。
对数组A中每个元素朝最近的方向取整数部分，并返回与A同维的整数数组B，对于一个复数参量A，则分别对其实部和虚数朝最近的方向取整数部分，并返回一复数数据B。
(1)fix(x) : 截尾取整.>>fix( [3.12 -3.12])ans =3 -3(2)floor(x):不超过x 的最大整数.(高斯取整)>>floor( [3.12 -3.12])ans =3 -4(3)ceil(x) : 大于x 的最小整数>>ceil( [3.12 -3.12])ans =4 -3(4)四舍五入取整>> round(3.12 -3.12)ans =0>> round([3.12 -3.12])ans =3 -32，reshape函数：重新调整矩阵的行数、列数、维数先给上一段代码：>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12];>> b=reshape(a,2,6);这段代码的结果是这样的：>>a1 2 34 5 67 8 910 11 12>>b1 72 83 94 105 116 12对于 b=reshape（a,m,n）;其中的规律是这样的，先把矩阵a按列拆分，然后拼接成一个大小为m*n的向量。
然后对这个向量每隔m间隔取一个元素组成一个向量b_i，之后的向量b_i+1也是这样生成，只不过第一个元素往下移一位。
这样做完之后得到m个大小为n的行向量，将这些行向量拼接即可得到矩阵b。
3，取模（mod）与取余（rem）通常取模运算也叫取余运算，它们返回结果都是余数.rem和mod 唯一的区别在于:当x和y的正负号一样的时候，两个函数结果是等同的；当x和y的符号不同时，rem 函数结果的符号和x的一样，而mod和y一样。
Matlab 教程第2章 MATLAB矩阵及其运算
H=invhilb(4)
(4) 托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外， 其他每个元素都与左上角的元素相同。生 成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普 利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等 长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普 利兹矩阵。例如
它专门建立一个M文件。下面通过一个简 单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。
例2-2 利用M文件建立MYMAT矩阵。 (1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑 器，并输入待建矩阵：
(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文 件名为mymatrix.m)。 (3) 在MATLAB命令窗口中输入mymatrix， 即运行该M文件，就会自动建立一个名为 MYMAT的矩阵，可供以后使用。
M=100+magic(5)
(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1， 倒数第二列为一个指定的向量，其他各列 是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用 一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在 MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V 为基础向量的范得蒙矩阵。例如， A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩 阵。
(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变
量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与 clear X不同，clear是将X从工作空间中删
除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是 维数为0。
2.2.3 特殊矩阵 1．通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数有：
zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。 rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。 randn：产生均值为0，方差为1的标准正态 分布随机矩阵。
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>>b=[1; 3; 9; 10; 15; 16]
%采用分号隔开构成列向量
• 2．冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：
e1:e2:e3
其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。当步 长为1时可省略e2参数；另外e2也可以取负数。
• >>x=1:2:9 >>z=1:5 %初值=1，终值=9，步长=2 %初值=1，终值=5，默认步长=1
4. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a
a ^ p —— a 自乘p次幂
方阵 >1的整数
对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如 果p是矩阵，a是标量a^p使用特征值和特征向量自 乘到p次幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值， 这个值就称为矩阵所对应的行列式的值。在MATLAB中， 求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。
例、>> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16]; >>det(X) ans = -5464
4．矩阵的秩
f = -3.1416 0 6.2832
3. 矩阵除法
在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分 别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵， 则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左 乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵 的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。 对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同， 如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设 a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.1000 5.0000]。对于矩阵 来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被 除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。
2. 矩阵乘（）运算
假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，
B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。
规则： • A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 • 标量可与任何矩阵相乘。
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b d=[-1;0;2];f=pi*d
c =14
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(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量 X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与 clear X不同，clear是将X从工作空间中删除， 而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数 为0 。
二、矩阵运算
•
• • • • • • • • • • •
主要运算有
(1) 转置： (2) 加与减： A'表示A的转置矩阵。 A＋B表示矩阵A与B的和； A－B表示矩阵A与B的差。 (3)矩阵乘法： A*B表示矩阵A与B的乘积。当其中一个变 量是标量时，K*B＝B*K表示标量与矩阵的乘法。 (4) 矩阵除法： 分左除“\”和右除“/”；X＝A\B表示AX＝ B的解；X＝A/B表示XA＝B的解。 特别地当B为列向量时，X＝A\B是线性方程组AX＝B的解。 如果A是非奇异矩阵，则X＝A\B＝A-1B。 (5) 矩阵乘方： A^P，当P为正整数时，表示P个A的连乘 积。 向量运算符 (1) “.*”：表示矩阵A与B对应元素相乘所得的矩阵 (2) “./” 和“.\”：表示向量对应元素相除。“./”其中表示 A 的元素是被除数 (3) “.^”：表示求A元素以B对应元素为指数的值 注意： MATLAB 的数值运算是在矩阵意义下进行的，单 个数据的算术运算只是一种特例。
5. 点运算——矩阵的数组运算
在MATLAB 中，有一种特殊的运算，因为其 运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点 运算。点运算符有 .*、./、 .\和.^。两矩阵进行点 运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两 矩阵的维参数相同。 数组加减(+,-) a+b a- b 对应元素相加减（与矩阵加减等效）
2. 矩阵的逆与伪逆
a．矩阵的逆 对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B， 使得： A· B=B· A=I (I为单位矩阵) 则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。 求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出 错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。 求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。
例：输入矩阵A、B的值
命令输入为：
>>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16] >>B=[1,5,9,13 2,6,10,14 3,7,11,15 4,8,12,16]
向量的构造 • 1．逐个输入
>>a=[1 3 9 10 15 16] %采用空格和逗号分隔构成行向量
2．矩阵拆分 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 ① A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩 阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元 素。 ② A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素； A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素， A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～ k+m列中的所有元素。 此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标， 从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。
• 3．在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行
向量。其调用格式为： linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n 是元素总数，缺省n为100。
显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。
• >> x=linspace(1, 9, 5) 数目=5 %初值=1，终值=9，元素
MATLAB的矩阵运算
一、矩阵初步
• MATLAB = matrix（矩阵）+ laboratory （实验室）
• 矩 阵 是 MATLAB 最 基 本 的 数 据 对 象 ，
MATLAB 的大部分运算或命令都是在矩阵 运算的意义下执行的。在 MATLAB 中，不 需对矩阵的维数和类型进行说明， MATLAB 会根据用户所输入的内容自动进 行配置。
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a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元 素除 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
例、>> X=[1 2 3 0; 5 6 0 8; 9 0 11 12; 0 14 15 16]; >> Y=inv(X) Y= 0.2299 0.0908 0.0351 -0.0717 0.1940 0.0798 -0.0659 0.0095 0.1274 -0.0835 0.0322 0.0176 -0.2892 0.0084 0.0275 0.0377
6. 向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意 义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同， 范数值也就不同。 a．向量的3种常用范数及其计算函数 在MATLAB中，求向量范数的函数为： (1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。 (2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。 (3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。
1. 矩阵加、减（＋,－）运算
假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B 实现矩阵的加减运算。
规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列，两矩阵对应元素 相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错 误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元 素分别进行加减操作。
数组乘除(，./，.\）
ab —— a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; 注意： b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a*b a.*b ans = 25 37 ans = 55 85 2 8 18 85 133 4 15 30 49 72 90
• 1.1、矩阵的建立
直接输入法 最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩 阵的元素。具体方法如下：将 的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素 之间用分号分隔。 • 注意：1、大的矩阵可分成几行进行输入，用回车符代替
分号 2、矩阵生成不但可以使用纯数字（含复数），也 可以使用变量（或者说采用一个表达式）系统将自动 计算结果。如a=[1 2 3;4 5 6] x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]
数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z= 1.00 4.00 9.00 z=a.^b z= 1.00 32.00 729.00
三、矩阵的常用函数
• 1、矩阵的变向
矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º 的k倍，当k为 1时可省略。 矩阵的左右翻转 对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后 一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次 类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是 fliplr(A)。 矩阵的上下翻转 MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是 flipud(A)。
》eye(2,3) ans= 100 010 》zeros(2,3) ans= 000 000 》ones(2,3) ans= 111 111