线性回归分析与线性模型

线性回归分析与线性模型2

回归分析的基本问题是：如何从表1.1那样的数据出发找出（1.1）式中的函数f 使得（1.1）中的随机项e 在某种意义下最小？

函数f 的可选范围太广了，难以下手。如果预先假定f 是线性函数：

12011(,,,)p p p f x x x b b x b x =+++L L

（均可知），则模型（1.1）变成

01,,,p b b b L 011p p y b b x b x e =++++L

称之为线性回归模型。结合表1.1的数据可得如下关系式：

1011121211

20121222201122 p p p p n n n p np y b b x b x b x e y b b x b x b x e y b b x b x b x e =+++++=+++++=+++++L L M M L 2

n

M

) 称之为线性模型

线性回归分析的基本问题就是如何确定使得（1.4）中的e 在某种

意义下最小。

01,,,p b b b L 线性函数是极特殊的多元函数，但线性回归分析却是回归分析里最重要的组成部分。这是为什么呢？原因有二：①线性回归模型在数学上有成熟的处理方法，线性代数的工具可以发挥其强大的威力，这一点在本章中将充分表现出来。②实际当中不仅是经常遇到线性回归模型，而且许多非线性回归模型经过适当的变换可以化为线性回归模型。这一点现作如下解释。

例1.1 在彩色显影中，根据以往的经验，染料光学密度y 与析出银的光学密度x 之间有下面类型的关系

/(0B y Ae B −∞≈>

其中A ，B 未知。这里y 与x 之间不是线性关系，但令1*ln ,*y y x x ==，则 *ln *y A B ≈−x

即与*y *x 有近似的线性关系。

一般地，一元多项式回归模型常可化为多元线性回归模型，如设

011p p y b b x b x e =++++L

则只要令(1,2,,j j )x x j p ==L ，就有

011,p p y b b x b x e =++++L

即多元线性回归模型。

例5.2 低钴定膨胀合金由铁、镍、钴、铜组成。在控制杂质含量及一定的工艺条件下，其膨胀特性被合金成分所确定。我国某课题组（1975年）的研究任务就是：确定合适的合金成分，使得钴的用量尽量少，但使得合金的膨胀系数与瓷封材料的膨胀系数相当（在5.5~8.0之间，单位：610−℃）

这就是一个控制问题，首先要建立回归关系式。设铜的百分含量为1x ，镍的百分含量减去30后记为2x ，钴的百分含量为3x ，记300500,αα为300℃及500℃时合金的膨胀系数，它们都是123,,x x x 的函数，要考虑到各种误差。