第5章中心极限定理

证明: 证明 由期望与方差的性质知
1 n 1 n E( ∑ X i ) = ∑ E( X i ) n i =1 n i =1
1 n 1 D( ∑ X i ) = n i =1 n2
c 1 ∑ D( X i ) ≤ n2 nc = n i =1
n
利用车贝晓夫不等式,并取极限得
0≤
1 n 1 n lim P( ∑ X i ∑ E ( X i ) ≥ ε ) n →∞ n i =1 n i =1
n n 2 EX i = i , DX i = σ i2 , D ∑ X i = ∑ σ i i =1 i =1
n n 2 EX i = i , DX i = σ , D ∑ X i = ∑ σ i i =1 i =1
2 i
Yn =
∑ X E(∑ X )
i =1 i i =1 i
三,大数定律的一般提法 是一随机变量序列,{a 是一常数序列. 设{Xn}是一随机变量序列,{an}是一常数序列. 令
1 n Yn = ∑ X i n i =1
若对任意的ε 若对任意的ε>0, 有:
n→ ∞
lim P {| Y n a n |< ε } = 1
服从大数定律. 则称 {Xn}服从大数定律.
n →∞ n →∞
∑X
i
n
nσ
≤ x) = Φ( x) = ∫
x
∞
1 e dt 2π
t2 2
P{a < ∑ X i ≤ b}
i =1
n
= P{
a E (∑ X i )
i =1
n
D(∑ X i )
i =1
n
<
∑X
i =1
n
i
E (∑ X i )
i =1 n
n
≤
b E (∑ X i )
i =1
X n X →
P
2. 依分布收敛 定义2 的分布函数分别为F (x)和F(x),若在 定义2 设Xn与X的分布函数分别为Fn(x)和F(x),若在 F(x)的每一连续点x上有: F(x)的每一连续点x上有: 的每一连续点
n→ ∞
lim
Fn (x) = F (x)
则称Xn依分布收敛于X, 记作: 则称Xn依分布收敛于X, 记作: Xn依分布收敛于
c 1 n ≤ lim 2 D( ∑ X i ) ≤ lim 2 n →∞ nε n →∞ ε n i =1
1
=0
推论(独立同分布大数定律) 设X 1 , X 2 , X n 是独立同 分布的随机变量序列, 记E ( X i ) = , D( X i ) = σ 2 (i = 1, 2), 则对任意ε > 0, 有 1 n Lim P( ∑ X i < ε ) = 1 n →∞ n i =1
P X EX ≥ ε) ( =
x EX ≥ε
∫
(x)dx ≤ f
2
x EX ≥ε
∫
2 (x EX)
ε
2
(x)dx f
≤∫
+∞
(x EX)
∞
ε
2
(x)dx ≤ f
DX
ε2
假设随机变量X的分布未知, [例1] 假设随机变量X的分布未知,但已知 试估计X落在(μ 3σ,μ+3σ)内 (μ- EX=μ,DX=σ2.试估计X落在(μ-3σ,μ+3σ)内 的概率. 的概率. 解: 由车贝晓夫不等式,任意的ε 0,有 由车贝晓夫不等式,任意的ε>0,有:
2.贝努里大数定理 贝努里大数定理
定理2 设u n是n次贝努里实验中事件A发生的次数,p是事件 A在每次实验中出现的概率,则对任意ε > 0, 有
un lim P{| p |< ε } = 1 n→∞ n
证明:
1 令 ξi = 0
若第i次实验中A发生 (i = 1, 2 n) 若第i次实验中A不发生
lim P{
n →∞
X n np np (1 p )
≤ x} = Φ ( x )
证明:
1 若A在第i次实验中发生 令ξi = (i = 1, 2 n) 0 若A在第i次实验中不发生
n i =1
则X n = ∑ ξi
由定理1 lim P( i =1
n →∞
∑ξ
n
i
np ≤ x) = Φ( x)
a np X np b np = P{ < ≤ } np(1 p) np(1 p) np(1 p)
四,车贝晓夫不等式 设随机变量X的方差DX存在,则对任意给定的ε DX存在 设随机变量X的方差DX存在,则对任意给定的ε>0, 有:
P { | X E X |≥ ε } ≤ DX
ε2
DX
ε2 证明:就X 为连续型随机变量证明,设其密度函数为(x) f
P { | X E X |< ε } ≥ 1
npq
推论 设随机变量X ~ B(n, p ), 则当n很大时, 近似地有 X ~ N (np, npq ), 从而可得近似公式 :
b np a np P ( a < X ≤ b) = Φ ( ) Φ( ) npq npq
a EX X EX b EX ∵ P{a < X ≤ b} = P{ < ≤ DX DX DX
1 n lim P{| ∑ X i |< ε } = 1 n→∞ n i =1
(证明略)
例4 设随机变量序列ξ1 , ξ 2 ξ n 相互独立, 具有如下分布列 ξn na 0 na
P
1 2n 2
1 1 n2
1 2n 2
问是否满足车贝晓夫大数定律.
解: 由题意 ξ1 , ξ 2 ξ n 相互独立, 又 1 1 1 E (ξ n ) = na 2 + 0 (1 2 ) + na 2 = 0 n 2n 2n D(ξ n ) = E (ξ n2 ) ( Eξ n ) 2
n
D (∑ X i )
i =1
D(∑ X i )
i =1
n
n a n 1 b n = P{ < ( ∑ X i n ) ≤ } n σ n σ i =1 n σ
b n a n ≈ Φ( ) Φ( ) n σ n σ
2. 德莫佛---拉普拉斯定理
定理2 设随机变量X n ~ B( n, p ), (n = 1, 2), 则对 任意x ∈ R, 有
五,几个常用的大数定律
1.车贝晓夫大数定理: 1.车贝晓夫大数定理: 车贝晓夫大数定理
定理1 设相互独立的随机变量序列X 1 , X 2 , X n 的数学期望与方差都存在,且存在常数c,使得 D(Xi )≤ c (i=1,2 ),则必有 1 n 1 n lim P ( ∑ X i ∑ E ( X i ) < ε ) = 1 n →∞ n i =1 n i =1
1 1 1 2 2 2 = [n a 2 + 0 (1 2 ) + n a 2 ] 02 n 2n 2n
2 2
=a
2
即每个随机变量都具有有限的数学期望,有限的方差 满足定律 即每个随机变量都具有有限的数学期望 有限的方差,满足定律 有限的方差 满足定律.
例5 设随机变量序列X 1 , X 2 相互独立, 且都在[π , π ]上服从 均匀分布, 记Yk = cos(kX k ), (k = 1, 2), 证明对任意ε > 0, 有 1 n lim P( ∑ Yk < ε ) = 1 n →∞ n k =1 证明: ∵ X k ~ U [π , π ], 其密度函数为
n i =1
显然ξi ~ (0 1)分布, 且相互独立. 而u n = ∑ ξi
则E (ξi ) = p, D(ξi ) = n(1 p ) un 由推论, lim P( p < ε ) = 1 n →∞ n
3.辛钦大数定理 3.辛钦大数定理
定理3 设随机变量序列X 1 , X 2 , X n 独立同分布, 且E ( X i ) = 存在(i=1,2 ),则对任意ε > 0, 有
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
基本要求: 基本要求 理解实际推断原理; 1. 理解实际推断原理; 掌握车贝晓夫不等式; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 熟悉几个常用的大数定律; 3. 熟悉几个常用的大数定律; 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 重点: 重点 1.车贝晓夫不等式的运用; 1.车贝晓夫不等式的运用; 车贝晓夫不等式的运用 2.中心极限定理的应用. 2.中心极限定理的应用. 中心极限定理的应用 学时数 3-4
X ~ B(1000, 0.5)
1 EX = 1000 × = 500 2
1 1 DX = 1000 × × = 250 2 2
由车贝晓夫不等式得: 由车贝晓夫不等式得:
P{400 < X < 600} = P{| X 500 |< 100}
250 ≥ 1 = 0.975 2 100
例3 一机床制造长度为50cm的工件,有随机误差.统计 表明,长度的均方差为2.5mm.若工件实际长度在49.25~ 50.75之间算合格,估计该机床制造工件的合格率. 解: 设X 表示工件的长度, 则
定理1(独立同分布的中心极限定理)设X1 , X 2 X n 是相互独立同分布的随机变量序列,且具有有限的数 学期望和方差,E(Xi )= ,D(Xi )=σ 2 ≠ 0 (i = 1, 2).则
n
∑X
随机变量
i =1
i
n 的分布函数Fn ( x), 对任意实数x, 有
n
nσ
i =1
lim Fn ( x) = lim P(
1 f ( x) = 2π 0
π ≤ x ≤ π 其它
∴ E (Yk ) = ∫
π
π
π 1 1 1 2 cos kxdx = 0 D(Yk ) = E (Yk ) = ∫ cos 2 kxdx = π 2π 2 2π
由于X 1 , X 2 相互独立, 则Y1 , Y2 也相互独立, 满足定理1
X n X →
L
二,实际推断原理
人们在长期的生产和生活实际中积累了丰富 的经验,能够很自然地把那些概率接近于0 的经验,能够很自然地把那些概率接近于0的事件 (小概率事件),在一次试验中看成实际上是不可能 小概率事件),在一次试验中看成实际上是不可能 ), 事件;而把概率接近于1的事件(大概率事件),在一 事件;而把概率接近于1的事件(大概率事件),在一 ), 次试验中看成实际上是必然事件, 次试验中看成实际上是必然事件,这就叫实际推断 原理. 原理.
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σ2 P{| X |< ε } ≥ 1 2 ε
σ2 8 P{| X |< 3σ } ≥ 1 2 = 9σ 9
8 ∴ P { 3σ < X < + 3σ } ≥ 9
将一枚硬币抛掷1000 1000次 [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等 式估计: 1000次中,出现正面H的次数在400至600次 式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次 次中 400 之间的概率. 之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为 则 次抛掷中出现正面的次数为X, 次抛掷中出现正面的次数为
则对任意ε > 0, 有
1 n lim P( ∑ Yk < ε ) = 1 n →∞ n k =1
第二节 中心极限定理
凡有关论证独立随机变量和的极限分布是正态分 布的一系列定理统称为中心极限定理. 布的一系列定理统称为中心极限定理. 一,中心极限定理的一般提法 }(n=1,2,…)相互独立,有有限的期望和方差, 设{X n}(n=1,2, )相互独立,有有限的期望和方差, 令
第一节
一,随机变量的收敛性 1. 依概率收敛
大数定律
定义1 若对任意给定的ε 定义1 若对任意给定的ε>0, 有:
lim P{| X n X |< ε } = 1,
n→∞
( lim P{| X n X |≥ ε } = 0 )
n→∞
则称{X 依概率收敛于X, 记作: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作:
E ( X ) = 50, D ( X ) = (0.25) 2
(工件长度合格) = (49.25 < X < 50.75) = ( X 50 < 0.75)
由车贝晓夫不等式
P(工件长度合格) = P( X E( X ) < 0.75)
D( X ) (0.25) 2 8 ≥ 1 = 2 = 1 2 (0.75) (0.75) 9
n
n
D(∑ X i )
i=1 =
n
若对任意的实数x, 都有: 若对任意的实数x, 都有:
lim F n ( x ) = lim {Y n ≤ x } = Φ ( x )
n→ ∞ n→ ∞
则称序列{X 服从中心极限定理. 则称序列{Xn}服从中心极限定理.
二,几个常见的中心极限定理 1.林德贝格---勒维定理