谓词逻辑
第七章谓词逻辑
整个公式中，
是自由出现。
z
约束出现，
x
既有约束出现又有自由出现，
y
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变元的约束讨论
❖ 从约束变元的概念可以看出，P(x1,x2, … ,xn)是n元谓词， 它有n个相互独立的自由变元。
❖ 若对其中k个变元进行约束，则P成为n-k元谓词。
❖ 当k = n，即谓词公式中没有自由变元出现时，则该公式就 成为一个命题。
请将下列命题符号化： (1) 某些实数是有理数。 (2) 没有不犯错误的人。 (3) 尽管有人聪明，但未必一切人都聪明。
解：(1) R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 (x)(R(x)Q(x) )
(2) M(x)：x是人。F(x)：x犯错误。 (x)(M(x)F(x))
(3) M(x)：x是人。S(x)：x聪明。 (x)(M(x)S(x)) (x)(M(x)S(x))
某种性质或具有某种关系，需要引入量词。 例如： (1) 某些人会跳舞； (2) 所有人都会跳舞；
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量词
❖ [定义]量词 表示数量的词
1.全称量词: 表示任意的,所有的,每一个，凡是 x 表示对个体域中所有的x……
2.存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个，有些 x 表示在个体域中存在x……
❖ 在∀x A(x)和∃x A(x)中： ❖ 紧跟量词的x称为量词的指导变元或作用变元 ❖ A称为量词的辖域或作用域
回答：(1)(2)是谓词合式。
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谓词逻辑
❖7.1.1 谓词与命题函数
▪ 1. 谓词 ▪ 2. 命题函数
❖7.1.2 量词
▪ 1. 全称量词 ▪ 2. 存在量词
❖7.1.3 谓词合式
❖7.1.4 约束元与自由元
谓词 基本推理公式
谓词基本推理公式
谓词逻辑是逻辑学中的一种形式系统，它使用谓词来表达命题的性质和关系。
基本推理公式是谓词逻辑中的一些基本规则，用于推导命题的真假。
以下是几个常用的谓词逻辑基本推理公式：
1. 交换律：A→B ↔ B→A
2. 结合律：(A→B)→C ↔ A→(B→C)
3. 吸收律：A→(B∧C) ↔ (A→B)∧(A→C)
4. 分配律：(A∧B)→C ↔ A→(B→C)
5. 重写律：A→B ↔ ¬B→¬A
6. 否定引入律：¬(A∧B) ↔ (¬A∧¬B)
7. 否定消去律：¬¬A ↔ A
8. 双条件引入律：A↔B ↔ (A→B)∧(B→A)
9. 双条件消去律：A↔B ↔ (A∧B)∨(¬A∧¬B)
10. 全称量词引入律：∀x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
11. 存在量词引入律：∃x(P(x)) ↔ P(y)/y (y属于某个集合)
这些基本推理公式是谓词逻辑的基础，可以用于推导其他命题的真假。
在具体使用时，需要根据命题的具体情况进行选择和应用。
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。
即，能找出一个就表示存在。
公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。
规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。
2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。
公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。
3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。
4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。
5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。
按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。
以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。
7谓词逻辑
第七章 谓词逻辑
在命题逻辑中,主要研究命题和命题演算,其基本组 成单位是原子命题,并视为不可再分解. 命题逻辑中的推理有很大的局限性. 例如:著名的苏格拉底三段论: 所有的人都是要死的; 苏格拉底是人; 所以苏格拉底是要死的.
在命题逻辑中的符号化:
用P、Q、R分别表示以上三个命题,
则可用
P Q R表示这一推理过程.
谓词逻辑的任务: 对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构,并 在此基础上更深入地刻画推理.
第七章
§7.1 谓词与量词
谓词逻辑
§7.2 谓词公式与变元约束 §7.3 谓词演算的等价式与永真蕴含式
左到右的顺序读出.
习题:P178
1、2
§7.2 谓词公式与变元约束
引入命题演算合式公式:为了使命题的符号化更准确 和规范,以及正确进行谓词演算和推理. 定义7.2.1 设 R( x1 , x2 ,, xn ) 是n元谓词,其中 x1 , x2 ,, xn 是个体变元,则 R( x1 , x2 ,, xn ) 称为谓词演算的原子公式. 定义7.2.2 谓词演算的合式公式定义如下:
0 元谓词:不含个体变元的谓词,如:原子命题
谓词 P ( x1 , x2 ,, xn ) 不是命题,真值无法确定,只有当以
n个个体常元代替变元后,才有确定的真值,从而成为命 题.
注:命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中仍然可用且含
义不变.
二、量词: 谓词逻辑中表示数量的词.
例:所有的人都是要死的,有些人是要死的 两个命题中的个体词和谓词均相同,区别在于“所有 的”和“有些”两个量词. 量词可分为:全称量词和存在量词 全称量词:对应自然语言中的“一切”、“所有的” 、 “任意的”等,表示对个体域中的所有个体,用符号“ ” 表示.
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑是一种用来描述事物真假性的语言，它的核心是谓词（Predicate）和符号表示法，它可以用来表达自然语言中的复杂概念和描述一些事实及其关系。
谓词逻辑是一种强大的数学模型，可以用来表示我们对自然现象的知识，并且可以推断出未来的情况。
谓词逻辑的发展源自上世纪六十年代，受到欧几里得的哲学思想的启发，以便为数学模型提供更完整的语言。
它发展成为一种用来描述事物的语言，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，它主要用于计算机科学领域，其他领域如哲学也有广泛的应用。
谓词逻辑通过谓词（predicates）来描述一般状况和条件，它是一种抽象的数学语言，可以表达自然语言中的复杂概念，以符号表示法来表达一些有关真假性的概念，并通过推断技术来完成其任务。
谓词逻辑由以下几个部分组成：1.尔谓词：它是一些布尔谓词（Boolean predicates），用来描述一般状况和条件，比如P（x），Q（x），R（x）等等。
2.号表示：谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，以表达一些有关真假性的概念，比如“&”（且），“”（否定），“∨”（或）等等。
3.词逻辑语句（Logical Sentences）：谓词逻辑语句是谓词逻辑中使用的一种有用结构，它由谓词和符号表示法组成，可以表达一些真假性概念。
4.型：谓词逻辑的模型是一种强大的数学模型，它可以用来描述自然现象的知识，它可以用来表达一些事实及其关系（fact and relationship）。
谓词逻辑的最大优势在于它是一种可以描述一些有关真假性的复杂概念的语言，它不但可以用来表达自然语言中的复杂概念，也可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，从而实现机器智能。
谓词逻辑使用比较简单的符号表示法，可以表达一些有关真假性的概念，可以用来计算机科学中的解释和推理，可以用来描述一些事实及其关系，实现机器模拟思维的目的，也可以用于哲学等其他领域。
谓词逻辑自然语言翻译例句
谓词逻辑自然语言翻译例句
谓词逻辑（predicate logic）是一门表示量化关系的语言，其主要用于表达不可直接表达的语言表达及抽象事物关系。
举个例子，以下是一句谓词逻辑表达式及其自然语言翻译：
∀x∃y(Fx⇒Gy)。
对于每个x，存在一个y，如果x是F，那么y就是G。
谓词逻辑是一个基于逻辑的语言，可用来表达抽象的逻辑表达式，并可翻译成自然语言。
根据谓词逻辑，有如下例句：
∀x∃y(Px=>Qy)。
对于任何x，存在一个y，如果x是P，那么y就是Q。
∃x∀z(Mx⇒Nz)。
存在一个x，对任何z，如果x是M，那么z就是N。
∀x∃y(Lx&Fy)。
对于所有x，存在一个y，同时x是L和y是F。
谓词逻辑语言可以帮助人们更清晰地表达一些不能直接表达的逻辑表达式并把它们翻译成自然语言。
下面是另一句谓词逻辑表达式及其自然语言翻译：
∃x∀y(Rx⇒Sy)。
存在一个x，对任何y，如果x是R，那么y就是S。
谓词逻辑_
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示 “2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命 题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定义2：复合命题函数（compound propositional function）：
举例说明：
例1．“有些人是要死的”. 解1： 采用全体人作为个体域.
设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
解2： 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死
的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
（x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。
第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。
解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”.
离散数学第二章谓词逻辑
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
人工智能第3章谓词逻辑与归结原理
人工智能第3章谓词逻辑与归结原理
1、谓词逻辑是什么？
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种通用的符号化语言，用来表达
和分析各种谓词命题（Propositional Statements）的逻辑关系。
它可以
用来表达抽象概念和客观真理，并以精确的形式描述这些概念和真理。
谓
词逻辑最重要的功能是，它能够发现和解决各种类型的逻辑问题，这在人
工智能中显得尤为重要。
2、归结原理是什么？
归结原理是一种认识论。
它提出的基本原则是，如果要获得B给定A，应当给出一个充分陈述，即必须提供一系列真实可信的参数，以及由此产
生B的能力证明，在这种情况下A必须是正确的。
因此，归结原理会被用
来推理。
例如，通过归结原理，如果一个具体的概念被认为是正确的，那
么人们可以得出结论，即所有概念的结果也是正确的。
第2章 谓词逻辑
（3）不是所有的人都喜欢看电影。 解：令F(x)：x是人，G(x)：x喜欢看电影。 则命题表示为：(x)(F(x)G(x))
21
第二章 谓词逻辑
练习
在谓词逻辑中将下列命题符号化（个体域为全体鸟类）： (1) 所有蜂鸟都有鲜艳的羽毛。 (2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类有灰暗的羽毛。 (4) 蜂鸟是小鸟。 解：设P(x)：x是蜂鸟， Q(x)：x是大鸟，R(x)：x以蜂蜜为 食。S(x)：x有鲜艳的羽毛。
16
第二章 谓词逻辑
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义
例：取个体域为实数集：
考虑命题： 对任意的x，存在着y，使得x+y=5
H(x,y): x+y=5 真命题 符号化为：∀x∃yH(x,y)，
但颠倒量词顺序得：∃y∀xH(x,y)，表示的含义：
存在着y，对任意的x，都有x+y=5，假命题
18
第二章 谓词逻辑
§2-1-3 谓词逻辑命题符号化
例2-1.3 用谓词逻辑符号化下列命题。 （1）所有大学生都爱学习。 解：令S(x)：x是大学生，L(x)：x爱学习，(x)(S(x)L(x)) （2）每个自然数都是实数。 解：令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，(x)(N(x)R(x))
6
第二章 谓词逻辑 定义2-1.1 一个原子命题用一个谓词（如P）和n个有次 序的个体常元（如a1，a2，…，an）表示成P(a1，a2，…， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 定义2-1.2 由一个谓词（如P）和n个体变元（如x1， x2，…，xn）组成的P(x1，x2，…，xn)，称为n元原子谓词 或n元命题函数，简称n元谓词。 • n=1，一元谓词——表示性质 • n2，多元谓词——表示事物之间的关系， • 例如：L(x,y)：xy • 0元谓词——不含个体变元的谓词——命题常元或变元； 例如：ab:a取为2,b取为3 命题看成谓词的特殊情况，命题逻辑的联结词均可应用。
谓词逻辑符号
谓词逻辑符号，又称为谓词演算或逻辑演算，是一种描述语言和逻辑推理的形式语言，是一种
用来表示真假命题的逻辑表达式。
它是一种精确描述问题和提出解决方案的工具，它可以用来
表达任何复杂的逻辑关系。
谓词逻辑符号包括两个部分：符号和参数。
符号表示逻辑关系，参数表示操作对象。
常见的谓
词逻辑符号有：“∧”表示与，“∨”表示或，“↔”表示双边关系，“→”表示条件关系等。
例1：比如，我们可以用“A∧B”表示A且B，也就是A和B都成立时，结果才为真，例如：“星期一∧星期二”，只有同时是星期一和星期二时，才是真的。
例2：我们可以用“A∨B”表示A或B，也就是只要A或B其中之一成立，结果就为真，例如：“星期一∨星期二”，只要是星期一或星期二，结果就是真的。
例3：我们可以用“A↔B”表示A关于B，也就是A和B互相关联，当A成立时，B也成立，当
B成立时，A也成立，例如：“星期一↔星期二”，只要有一个成立，另一个也必定成立。
例4：我们可以用“A→B”表示A到B，也就是A条件成立，B才能成立，例如：“星期一→
星期二”，只有星期一成立时，星期二才能成立。
谓词逻辑符号可以用来表达复杂的逻辑关系，可以用来描述客观事物之间的联系，也可以用来
描述抽象概念之间的联系。
比如，我们可以用“真∧假”表示真且假，“贫穷∨富有”表示贫穷或富有，“美好↔幸福”表示美好关于幸福，“勤奋→成功”表示勤奋到成功。
总之，谓词逻辑符号是一种用于表达逻辑关系的有效工具，可以用来准确描述问题，用来提出
解决方案，是数学和计算机等领域的基础工具。
谓词逻辑简介
谓词逻辑简介
谓词逻辑是一种形式逻辑的分支，它用于表示和推理关于状态和关系的命题。
它是由 Gottlob Frege 于1879年提出的。
谓词逻辑的基本元素是谓词（predicate）和变量（variable）。
谓词是用来描述一个命题中的关系或状态的词，如“是大的”，“是蓝色的”等。
变量则是用来表示命题中的实体，如“x”，“y”等。
谓词逻辑中最重要的运算符是量化运算符。
量化运算符有两种：全称量化和存在量化。
全称量化运算符（∀）表示“对于所有”的意思，如“对于所有的x，x 是蓝色的”，而存在量化运算符（∃）则表示“存在”的意思，如“存在一个x，使x是蓝色的”。
谓词逻辑还有其它运算符，如否定运算符（¬），且运算符（∧）和或运算符（∨）等。
这些运算符可以结合起来构成更复杂的命题。
谓词逻辑最重要的应用之一就是在数学中的应用。
谓词逻辑可以用来描述数学定理和命题，并进行推理和证明。
此外，谓词逻辑还广泛应用于人工智能领域，如机器学习和自然语言处理。
在机器学习中，谓词逻辑可以用来描述和表示各种规则和模型。
在自然语言处理中，谓词逻辑可以用来描述语言中各种关系和状态。
总之，谓词逻辑是一种非常重要和有用的逻辑学分支，它在数学、人工智能等领域都有着广泛的应用。
它的基本思想是使用谓词和变量来表示和推理关于状态和关系的命题，并通过量化运算符和其它运算符来构造更复杂的命题。
谓词逻辑推理定律
谓词逻辑推理定律首先，让我们了解什么是谓词逻辑。
谓词逻辑是一种逻辑分析方法，用于分析一些断言或句子的真假性。
谓词逻辑推理是指根据给定的谓词逻辑语句推理出另一个谓词逻辑语句的过程。
通常情况下，谓词逻辑推理被用于解决语义相关问题，如逻辑谬误，语言理解等。
谓词逻辑推理定律是用于谓词逻辑推理过程中所应注意的一些基本原则，它们能够帮助我们合理地进行推理，确保推理的合法性和准确性。
下面我们将详细介绍几个常见的谓词逻辑推理定律。
1. 否定演算规律：一个命题与它的否定命题不能同时成立。
例如，如果说“所有动物都能呼吸”，那么这么说就是错误的：“所有动物不能呼吸”。
因此，被推理的命题不能同时成立为“真”和“假”。
2. 否定引入规律：在一个推理中，当我们不能证明一个命题时，我们可以推出它的否定命题是真的。
例如，如果一个人说“我已经搜索了整个屋子，但是没有找到我的钥匙”，那么我们可以推断出：“我的钥匙不在我的房子里”。
因为如果钥匙在房子里，就一定会被找到。
3. 等价规律：如果两个命题具有相同的真值，那么它们具有等价关系。
例如，命题“猫是哺乳动物”和“所有哺乳动物都是猫”就是等价的。
4. 分配律：如果一个逻辑命题包含多个逻辑操作符，将它们分成两个组合不影响其含义。
例如，命题“(p∧q)∨r”和“(p∨r)∧(q∨r)”就是等价的。
5. 归纳法则：当推理一组命题时，我们通常可以通过研究一组具有相似特征的实例来了解整个集合的性质。
例如，如果我们希望证明所有偶数之和是偶数，我们可以归纳地首先证明2和4之和为6，接着证明6和6之和为12，以此类推。
通过这种归纳方法，我们可以得出结论：所有偶数之和是偶数。
6. 相反法则：只有证明命题的逆否命题为真，才能真正证明该命题为真。
例如，如果我们想证明“如果人类能够站立，那么他们就能够行走”，我们可以相反地批判性地假设人类不能行走，然后我们就可以推断出，他们也不能站立。
以上谓词逻辑推理定律是推理过程中注意的基本原则。
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑，又称词义逻辑，是20世纪晚期出现的一种对概念的认知逻辑和思维方式，在当今的社会发展过程中发挥着越来越重要的作用。
谓词逻辑涉及多方面的内容，其定义可以分为两部分概括：一是逻辑概念：谓词逻辑是指以有意义的形式表达出概念、定义和结论的一种逻辑思维方法，主要用于解决日常生活中复杂的推理问题。
二是形式概念：这里指的是谓词逻辑的形式系统。
谓词演绎语言（First-Order Logic，FOL）是其中最核心的内容，它由一组基本形式模式（变元、谓词、量词和逻辑符号）组成，用来构成更加复杂的语句，形成一种关系系统。
谓词逻辑的定义是以概念与形式为基础的，其目的是用正确的方法更好地表达概念，特别是当表达的概念非常复杂、也涉及到很多因素时，谓词逻辑便发挥了它的作用。
举个例子，当我们要求一个团体每一位成员都要参与一次活动时，为了使这个活动有效，我们就可以用谓词逻辑来表达：“对于X，X是每一位成员”。
从这个简单的定义就能看出，谓词逻辑的主要目的就是帮助我们更加准确、更加简洁、更加明确地表达出概念来。
当我们更进一步地深入研究谓词逻辑时，我们会发现，它不仅仅是一种表达概念的方法，还可以被用于许多其他用途，比如它可以帮助我们更加清楚、更有效地定义问题本身，以及在处理模糊问题时使用模糊逻辑，当处理逻辑错误时就可以使用模式识别，帮助我们区分正确与错误。
除此之外，谓词逻辑也能应用到数理逻辑，用来解决一些难解的数学问题。
总之，谓词逻辑是一种全面、系统的思维方式，它能够用来处理一些语言和逻辑计算的关系。
它能够帮助我们更加正确、清楚地表达出概念和定义，也可以用来处理一些日常生活中的模糊问题，这使得它成为当今社会对概念认知和思维方式的一种重要发展。
谓词逻辑表示法的举例
谓词逻辑表示法的举例谓词逻辑表示法是一种符号逻辑表示法，它是用来描述论述中陈述的关系和命题。
简而言之，谓词逻辑就是需要用到谓词的逻辑。
谓词是指在命题中可以用来刻画对象或主语属性特征的一种语言成分。
谓词逻辑非常适用于在大量数据和信息集合中推理、分类和描述数据特征。
在本文中，我们将通过几个举例来展示谓词逻辑的表示能力和优越性。
举例一：家族关系假设我们有三个人，一个爷爷（Grandfather）、一位父亲(Father)和一个儿子(Son)。
然后我们就可以把他们的关系表现为：GrandFarther(GF) ----- Father(F) | | | --- Son(S)通过谓词逻辑公式表示为：GrandFarther(GF) - Son(S)其中，- 表示“拥有“或者”儿子“, GF 表示爷爷，F 表示父亲，S 表示儿子。
这个谓词逻辑公式基本上就代表了这个家族的结构和关系，可以方便地实现数据建模和分类。
举例二：环境保护假设现在有两个动物，一个是乌龟(Turtle)，一个是袋鼠(Kangaroo)。
然后我们想要描述它们和环境的关系，可以表示为：Turtle(T) --- LivesIn(LI) --- WaterEnv(W) | --- LandEnv(LE)Kangaroo (K) --- LivesIn (LI) --- LandEnv (LE) 这组谓词逻辑公式表示表明乌龟生活在水环境中，而袋鼠生活在陆地环境中。
这样的结构是非常重要的，因为它给我们提供了更多的信息和描述性，这可以用来分类和描述这两个动物。
举例三：人物关系网络假设现在有四个人物，分别是John、Mary、Tom和Kevin。
他们之间的关系为：John(J) -----SisterOf (SO) ---- Mary(M) | FatherOf(FO) -- Tom(T) -- FriendOf(FO) -- Kevin(K)通过谓词逻辑公式可以表示为：SisterOf(SO) (Mary, John) FatherOf(FO) (Tom,John) FriendOf(FF) (Tom, Kevin)这个公式可以很好地描述这个人物网络之间的联系和关系，对于人物分析和推理非常有用。
谓词逻辑的概念与基本要素
谓词逻辑的概念与基本要素谓词逻辑（Predicate Logic），也称一阶逻辑（First-order Logic），是逻辑学中的一个重要分支。
它是对命题逻辑的扩展，通过引入谓词和变量，使得我们能够更加准确地描述自然语言的复杂逻辑关系。
本文将介绍谓词逻辑的概念与基本要素，帮助读者理解和运用这一逻辑工具。
一、概念1. 谓词逻辑的定义谓词逻辑是一种用来描述对象之间关系的逻辑系统。
它通过引入谓词和变量来表示命题中的主体和特性，以更加细致和准确的方式分析和推理。
2. 谓词谓词是用来描述对象特性或关系的符号。
在谓词逻辑中，谓词可以是单个个体或者多个个体之间的关系。
例如，谓词"P(x)"表示x具有性质P，谓词"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
3. 变量变量用来表示命题中的主体，可以是个体、集合或其他对象。
变量在谓词逻辑中是可以被替换的，通过替换不同的变量，我们可以针对不同情况进行推理。
二、基本要素1. 基本命题在谓词逻辑中，基本命题由谓词和变量构成。
它们可以是简单的描述性语句，也可以是较为复杂的逻辑判断。
例如，命题"P(x)"表示x具有性质P，命题"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。
2. 量词量词用来限定变量的范围。
谓词逻辑中有两种常见的量词：全称量词（∀，表示“对于所有”）和存在量词（∃，表示“存在某个”）。
全称量词用来表示命题在所有情况下都成立，存在量词用来表示命题在某些情况下成立。
3. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接不同的命题，以构成更复杂的逻辑表达式。
谓词逻辑中常见的逻辑连接词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等值（↔）。
这些逻辑连接词能够帮助我们表达命题之间的逻辑关系。
4. 推理规则推理规则是谓词逻辑中用来推导新命题的方法。
常见的推理规则有：全称推理规则、存在推理规则、析取引入规则、蕴含引入规则和等值引入规则等。
谓词逻辑定义
谓词逻辑定义谓词逻辑（PredicateLogic）是一种语言学对语言句子和理解文本的有效工具，它可以帮助我们更好地审视概念和把握原则。
而它的定义，则是一种把句子的结构转化成可用来证明概念论断的形式的方式，因此也被称为“论证谓词”。
首先，谓词逻辑涉及定义一个符号语言，一种以符号标记句子的结构的文本。
比如对于一个简单的句子“杰克很高兴”，可以标记为p(Jack)，其中p表示“很高兴”。
在谓词逻辑中，用两个谓词连接起来组成一个子句，比如句子“如果Jack快乐，他就会笑”可以标记为[Happy(Jack)→Smile(Jack)]，表示“Jack如果快乐，他就会笑”。
使用谓词逻辑的最大优势是它可以更清楚地定义概念和证明主张。
在谓词逻辑中，它可以将一个概念或者原理用符号表示，并且用精确陈述描述这些概念及其关系，比如我们可以把日常生活中经常遇到的“如果A，就B”这样的句子用谓词逻辑表示：[if A then B]，可以用来证明概念及其论断。
另外，使用谓词逻辑也可以使你对文中的概念有更深刻的理解。
比如我们可以用谓词逻辑来定义“偶然性”：[ A is true if and only if B is not true ]，这句谓词逻辑表明，当且仅当B不发生时，A 才会发生，它可以帮助我们更具体地理解文中的概念。
此外，谓词逻辑还可以帮助我们把握复杂的逻辑关系。
比如对于一个有三个以上的逻辑要素的论断，比如：如果A且B均为真，C才为真，我们可以用谓词逻辑来表述如下：[if A and B, then C]，而这可以帮助我们清晰地把握这一复杂的逻辑关系。
最后，谓词逻辑也有一些缺点。
首先，它有时可能无法解释抽象概念，或者概念之间有着复杂而精辟的联系，而谓词逻辑本身也有可能表达不出这些复杂的联系，所以我们必须小心使用谓词逻辑，使用时也应该考虑到本身的局限性。
总之，谓词逻辑是一种有效的表达句子结构和把握原理的工具，既可以帮助我们定义概念，用精确的陈述来定义概念和证明论断，也可以帮助我们把握复杂的逻辑关系。
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第五章谓词逻辑习题5.11.a)每个自然数都有唯一的后继；解：“每个”是全称的概念；“自然数”需引进一个特性谓词；“有”表示存在；“唯一”表示所有具有该性质的元素均相等（即若x具有该性质，y也具有该性质，则x等于y）；“后继”用谓词表示。
于是，可令：N(x)：x是自然数；Q(x, y)：y是x的后继；E(x, y)：x等于y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) ( N ( x ) → (∃ y) (Q ( x, y ) ∧ (∀ z) (Q ( x, z ) → E ( y, z ) )b) 没有以0为后继的自然数；解：“没有”表示不存在；“自然数”用特性谓词表示；“后继”用谓词表示。
于是，可令：N(x)：x是自然数；Q(x, y)：y是x的后继；则上述命题可以符号化为：⌝ (∃ x)( N ( x ) ∧ Q ( x, 0 ) )注意：①对于引进的特性谓词，在全称量词约束下要用逻辑联结词“→”，在存在量词约束下要用逻辑联结词“∧”。
②“唯一”概念的符号化。
2.a)存在唯一的偶素数；解：“存在”是存在量词的概念；“唯一”可参照上题；“偶数”、“素数”用谓词表示。
于是，可令：E(x)：x是偶数；S(x)：x是素数；R(x, y)：x等于y；则上述命题可以符号化为：(∃ x) ( E ( x ) ∧ S ( x ) ∧ (∀ y) ( E ( y ) ∧ S ( y ) → R ( x, y ) )b)没有既是奇数又是偶数的数；解：“没有”表示不存在；“奇数”、“偶数”、“数”用谓词表示。
于是，可令：O(x)：x是奇数；E(x)：x是偶数；Q(x)：x是数；则上述命题可以符号化为：⌝ (∃ x) ( Q ( x ) ∧ O ( x ) ∧ E ( x ) )3.a)所有可证明的算术命题都是真的；b)存在真的但不可证明的算术命题；c)对于任意的三个算术命题x, y, z ，若z = x ∨ y且z是可证明的，则x是可证明的或y是可证明的；d)对于任意的三个算术命题x, y, z ，若x是真的并且z = x ∨ y，则z是真的；4.a)对任意整数x, y和z，x < z是x < y且y < z的必要条件；解：“任意”是全称的概念；“整数”需引进一个特性谓词；“<”用谓词表示；“必要条件”用逻辑联结词来表示。
于是，可令：I(x)：x是整数；L(x, y)：x < y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) (∀ y) (∀ z) ( I ( x ) ∧ I ( y ) ∧ I ( z ) →( L ( x, y ) ∧ L ( y, z ) → L ( x, z ) ) )b) 对任意整数x，若x = 2，则3∙ x = 6；反之亦然；解：“任意”是全称的概念；“整数”需引进一个特性谓词；“=”用谓词表示；“∙”用函词表示。
于是，可令：（2、3、6可以用常元表示）I(x)：x是整数；E(x, y)：x = y；f(x, y)：x∙ y；则上述命题可以符号化为：(∀ x) ( I ( x ) → ( E ( x, 2 ) → E ( f(3, x), 6 ) ) ∧ ( E ( f(3, x), 6 ) → E ( x, 2 ) ) )或(∀ x) ( I ( x ) → ( E ( x, 2 ) E ( f(3, x), 6 ) ) )习题5.21.b)除了最后一个x是自由出现外，其它的6次x的出现都是约束出现。
第一个(∀ x) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )第一个( ∃ x ) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )第二个(∀ x) 的辖域为下面的划线部分：(∀ x) ( P ( x ) → ( ∃ x ) Q ( x ) ) ∨( (∀ x) P ( x ) → Q ( x ) )2.a) T；b) F；c) F；d) T；e) T；f) T。
以a)为例：解：因为P ( a , a ) 为T，所以( ∃ y ) P ( a , y ) 为T；因为P ( b , b ) 为T，所以( ∃ y ) P ( b , y ) 为T；因为( ∃ y ) P ( a , y ) 和( ∃ y ) P ( b , y ) 均为T，所以( ∀ x ) ( ∃ y ) P ( x , y ) 也为T。
3. a) F；b) T；c) F。
4. a) T；b) F；c) T。
习题5.31.a)(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 为永真式。
证明：给定(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在论域D上的任意解释I，如果(∀ x ) P ( x ) →( ∀ x ) Q ( x ) 在I下为假，则(∀ x ) P ( x ) 在I下为真，并且(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假。
因为(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假，所以存在c ∈ D使Q ( c )在I下为假。
因为(∀ x ) P ( x ) 在I下为真，所以P ( c ) 在I下为真。
因此，P ( c ) →Q ( c )在I下为假。
所以，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) )在I下为假。
于是，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x ) Q ( x ) ) 为永真式。
b) ( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) →(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 不是永真式。
解：取上述合式公式的解释I 如下：i)论域D = {a, b}；ii)P ( a )P ( b )Q ( a )Q ( b )_______ ________ _______ _______F T F F则(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 在I下为假，( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) 在I下为真。
所以，( (∀ x ) P ( x ) → (∀ x )Q ( x ) ) →(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) )在I下为假。
c)( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 为永真式。
证明：给定( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 在论域D上的任意解释I，如果(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 在I下为假，则存在c ∈ D使P ( c ) →Q ( c )在I下为假。
即P ( c ) 在I下为真并且Q ( c ) 在I下为假。
因为P ( c ) 在I下为真，所以( ∃ x ) P ( x )在I下为真。
因为Q ( c ) 在I下为假，所以(∀ x ) Q ( x )在I下为假。
所以，( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) 在I下为假。
于是，( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) → (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) 为永真式。
d) (∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 不是永真式。
解：取上述合式公式的解释I 如下：i)论域D = {a, b}；ii)P ( a )P ( b )Q ( a )Q ( b )_______ ________ _______ _______F T F T则(∀ x ) ( P ( x ) → Q ( x ) ) 在I下为真，( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在I下为假。
所以，(∀ x ) ( P ( x ) →Q ( x ) ) → ( ( ∃ x ) P ( x ) →(∀ x ) Q ( x ) ) 在I下为假。
2.∀∃→⌝∧∨a)(∀ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∨ Q ( y ) )⇔(∀ x ) ( P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）所以，(∀ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∨ Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y )。
b)(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇔(∃ x ) ( P ( x ) ∧ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∃ x ) P ( x ) ∧ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）⇒(∃ x ) P ( x )所以，(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇒(∃ x ) P ( x ) 。
c)(∀ x ) (∀ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) )⇔(∀ x ) ( P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) ) （因为y在P ( x )中没有自由出现）⇔(∀ x ) P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) （因为x在(∀ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）所以，(∀ x ) (∀ y ) ( P ( x ) ∧ Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) ∧ (∀ y ) Q ( y ) 。
d)(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) → Q ( y ) )⇔(∃ x ) (∃ y ) ( ⌝ P ( x ) ∨ Q ( y ) )⇔(∃ x ) (⌝ P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) ) （因为y在⌝ P ( x )中没有自由出现）⇔(∃ x ) (⌝ P ( x ) ) ∨ (∃ y ) Q ( y ) （因为x在(∃ y ) Q ( y ) 中没有自由出现）⇔⌝ (∀ x ) P ( x ) ∨ (∃ y ) Q ( y )⇔(∀ x ) P ( x ) → (∃ y ) Q ( y )所以，(∃ x ) (∃ y ) ( P ( x ) → Q ( y ) ) ⇔(∀ x ) P ( x ) → (∃ y ) Q ( y ) 。