高二数学平面向量的数量积PPT精品课件
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件
向量 $vec{a}$ 与单位向 量 $hat{u}$ 的数量积等 于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影 ，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个 力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐 角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计 算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也 互相垂直，求 的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =
平面向量的数量积公开课ppt课件
积（或内积），记作a b ，即
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
a b a b cos .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
注：
(1) 两个向量的数量积是一个数量，这数
量的大小与两个向量的长度及其夹角有
关.
(2)前面所说的力所做的功，就是力
此 点
F 与其作用下物体产生的位移 s 的数 很
重
量积 F s .
要
(3)两个向量a 与 b 的数量积
D
求：(1)AD • BC
(2) AB • CD
60
A
C B
(3) AB • DA
4. 向量的投影的概念
(1) 定 义 ： 如 图 ， 设OA a , OB b , AOB ,
过 点 B 作 BB1 垂 直 于 直 线OA , 垂 足 为B1 , 则
OB1 b cos .
我 们 把 b cos 叫 做 向 量b 在 a 方 向 上 的 投 影.
2 则a • b ( ) 2、 | a | 12,| b | 9, a • b 54 2,
则向量a与向量b的夹角 （ ）
例2 : 如图：边长为 2的正三角形ABC中，
设BC a，CA b
C
求a • b 的值。
A
B
练习：在平行四边形ABCD中，
已知|AB|=4，|AD|=3，DAB 60
特别地，a 2 a 2 , 也就是 a
2
a.
(4) cos a b . (5) a b a b .
ab
• 6. 进一步思考：
(1) 在实数中，如果 a b 0 , 且 a 0 , 那么， 一定有 b 0.这一结论对于向量，还 成立吗？
若 a b 0 , 且 a 0 , 是否一定有 b 0 .
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
平面向量的数量积
❖ 教学目标：1 ．理解平面向量数量积的含义及其物理
意义. 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.
❖ 教学重点：1.平面向量数量积的几何意义。
类型三 数量积的基本运算
已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)． 解：由已知得，a·b＝4×8× 12＝－16. (1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2× (－16)＋64＝48，所以 |a＋b|＝4. ②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16× 16－16×(－16)＋ 4×64＝768，所以|4a－2b|＝16. (2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0， 所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
课后作业
《平面向量的数量积》课件
VS
动量与冲量
在物理中，动量和冲量可以通过向量的数 量积来描述，这有助于理解物体运动过程 中的能量和动量变化。
在解析几何中的应用
点积与距离
向量的数量积可以用于计算两点之间的距离 ，通过计算两个单位向量的点积然后取平方 根。
线性代数方程组
在解析几何中，向量数量积可以用于解决线 性代数方程组，例如通过Cramer's Rule利 用点积来求解方程组。
解题技巧
掌握向量夹角和模长的计 算方法
正确计算向量夹角和模长是计算数量积的关 键。
灵活运用数量积的运算律
如交换律、结合律等，简化计算过程。
掌握特殊向量的性质
如单位向量、零向量等，有助于快速解题。
注意事项
注意向量的夹角范围
向量的夹角范围是$0^circ$到$180^circ$，超出这个范围会导致 错误的结果。
公式
数量积的公式为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$， 其中$|mathbf{a}|$和$|mathbf{b}|$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的模长，$theta$是两向 量的夹角。
几何意义
• 数量积的几何意义是向量 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$在垂 直方向上的投影的长度乘积。具体来 说，当两向量之间的夹角为锐角时， 数量积为正，表示两向量在垂直方向 上同向；当夹角为钝角时，数量积为 负，表示两向量在垂直方向上反向； 当夹角为直角时，数量积为零，表示 两向量在垂直方向上相互垂直。
注意向量的模长
向量的模长不能为零，否则会导致无法计算。
注意运算的优先级
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高中数学平面向量的数量积(公开课)(共22张PPT)
时，
；
3或－3 3、若 a 1， a、b共线，则 a b b 3， .
（3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · |b| ．
（2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
|b|cos 的乘积。
练习二：
3 a a e 、 e a e 求 在 方向上的数量及 ； （1）e · a=a · e=| a | cos 4 0 o 2、已知a 2， b 3，a 与b 的交角为90 ，则a b
1、已知 a 8， 为单位向量，当它们的夹角为 e
-20
平面向量的数量积的几何意义 a b a b cos
B b
作OA a， OB b ，过点B作 BB1
O
a
垂直于直线OA，垂足为 B1，
B1
A
则 OB1 | b | cosθ
投影：| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影。
几何意义: a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向 上的投影
O 当
A
B
A
O
A O
B
90 ，a 与b 垂直， 记作 a b
B
新课引入
物理中功的概念
F θ
s
一个物体在力F 的作用下产生位
移s，那么力F 所做的功应当怎样计
算？
W | F || s |cos
其中力F 和位移s 是向量，功是数量.
是F的方向 与s的方向 的夹角。
平面向量的数量积的定义
复习回顾
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若 0，则显然成立
若 0，
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角分别是什
若 0,
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角又是什么
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b │cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所 做的功为多少？
W |F |s||co θs 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
(2a)b ab0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
|ab||a||b|成立?吗
（ 3） |ab||a||b|
a b
(4c)oθs
ab
2
(5)aa aaco0sa
2
2
即 a a
例2、填空
(1若 ) |a|1， 2|b|9， ab542, 则a与b的夹θ角 _1_35_0 ____
(2已 ) 知 AB， A CB a,ACb, 当 ab0时， AB为 C_直_角__三 __角 _ 形。
用向量的几何意义验证
（ 3）分配 (a律 b)c： acbc
向量a、b、a + b
b
在c上的投影分别是 OM、MN、 ON, 则
a a+b
(a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例3、证明
2
2
(1 )a ( b )2 a 2 a b b
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知 a,b均为非零向量 a与， b的且 夹角θ为
（ 1）当 a与 b同向,a时 b| a| | b| 当a与b反向,a时 b| a| | b|
即 a/b / ab|a|b ||
1、a b 不能写成 a b，且“”不能省略。
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
当 a ,b 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 0a0
2
4、特别记 aaa
例1、已知| a|5,|b|4, (1)当a与b的夹角1是 200时，求 ab； (2当 ) ab时，求 ab； (3当 ) a//b时，求 ab.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。
(2)当为锐角时投影为正值 OB1 当为钝角时投影为负值- OB1 当为直角时投影为0 当为0时投影为 b
当为时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向 a、 b量 的数量积是其向 中量 a的 的一 模 a与 个 另一个向 b在量 向a量 方向上的b投 co影 s的乘
立 ？
（ 4）数乘结 (a)合 b律 (a： b)a(b)
验证向量数量积的运算律
（1）交换律 ab：ba
a b ab c o b sa c o b s a
思考：
(ab)ca(bc) 能否对任意 a,b向 ,c都量成立？
即：向量数量积运算不满足结合律
（2） 数 乘 结 合 律 ：
(a)b(ab) a(b)
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)
2
bcosOB1
(2)
2
（3） 2
bcosO B 1 bcos0
│b│cosθ叫做向量 b 在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律 ab：ba
（ 2）结合 (ab律 )ca： (bc)
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律 ab：ba
否 都
（ 2）结合 (a律 b)c： a(bc)
成
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
B
b
O
a
A
（ 1）若 0，则向 a与b量 方向相同；
a
Ob B
A
（ 2）若 ，则向 a与b量 方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或时，向 a与b量 互相平行
（3）若 ，则向 a与 量 b垂直B ，
2
b
记作 ab
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求
求（1）AB与AC的夹角；
W |F |s||co θs
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非 a、 b， 零如 向果 O 量 为以 起点
作OA a， OBb,那么射 O、 A线 O的 B 夹角
叫做向 a与量 向b的 量夹角， 0其 .中
(×)
2、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
奎屯
D、 不能确定
3、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
C
（ C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
平移向量至
120 60
A
始点重合
1200
B
D
2、向量的数量积的定义
一般地，如果两个非零向量 a、b 的夹角 为 （ 0）那， 么我们把 |a|b ||coθs
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
ab|a||b|coθs
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab|a||b|coθs
(3 已 ) 知 a满 向 a2 足 8 量 ，|a 则 |_2_2 __
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0a0 (×)
(2)0a0 ( × )
(3 )若 a b |a |b ||则 ,a /b /( √ )
(4)aaa2|a|2 ( √ )
(5)若ab0,则a与b中至少有一0个 . 为
若 0，
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角分别是什
若 0,
(a)与b；a与b；a与(b)的夹角又是什么
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
如何验证？
可借助向量数量积的几何意义验证； 或通过向量数量积的坐标表示验证。
5、向量的数量积的几何意义
如图，作出│b │cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义又是什么？
问题1:
我们学习了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的加法、减法和数乘三种运算； 运算的结果仍是向量
问题2: F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所 做的功为多少？
W |F |s||co θs 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
(2a)b ab0
两个重要的充要条件
3、向量的数量积的重要性质
|ab||a||b|成立?吗
（ 3） |ab||a||b|
a b
(4c)oθs
ab
2
(5)aa aaco0sa
2
2
即 a a
例2、填空
(1若 ) |a|1， 2|b|9， ab542, 则a与b的夹θ角 _1_35_0 ____
(2已 ) 知 AB， A CB a,ACb, 当 ab0时， AB为 C_直_角__三 __角 _ 形。
用向量的几何意义验证
（ 3）分配 (a律 b)c： acbc
向量a、b、a + b
b
在c上的投影分别是 OM、MN、 ON, 则
a a+b
(a + b) ·c = ON |c|
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例3、证明
2
2
(1 )a ( b )2 a 2 a b b
如图所示，等边三角形ABC的边长为1，求
（1）AB与AC 的数量积； （2）AB与BC 的数量积；
C
A
B
3、向量的数量积的重要性质
已知 a,b均为非零向量 a与， b的且 夹角θ为
（ 1）当 a与 b同向,a时 b| a| | b| 当a与b反向,a时 b| a| | b|
即 a/b / ab|a|b ||
1、a b 不能写成 a b，且“”不能省略。
2、向量的数量积是一个数量,不是向量。
当 a ,b 为非零向量时，数量积的正负
由夹角余弦值决定。
3、规定 0a0
2
4、特别记 aaa
例1、已知| a|5,|b|4, (1)当a与b的夹角1是 200时，求 ab； (2当 ) ab时，求 ab； (3当 ) a//b时，求 ab.
5、向量的数量积的几何意义
(1)投影是一个数量，不是向量。
(2)当为锐角时投影为正值 OB1 当为钝角时投影为负值- OB1 当为直角时投影为0 当为0时投影为 b
当为时投影为- b
5、向量的数量积的几何意义
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
两个向 a、 b量 的数量积是其向 中量 a的 的一 模 a与 个 另一个向 b在量 向a量 方向上的b投 co影 s的乘
立 ？
（ 4）数乘结 (a)合 b律 (a： b)a(b)
验证向量数量积的运算律
（1）交换律 ab：ba
a b ab c o b sa c o b s a
思考：
(ab)ca(bc) 能否对任意 a,b向 ,c都量成立？
即：向量数量积运算不满足结合律
（2） 数 乘 结 合 律 ：
(a)b(ab) a(b)
B
b
θ┐
O a B1 A
(1)
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
(2)
（3）
5、向量的数量积的几何意义
B
b
θ┐
O a B1 A
B
B
b
b
┐θ a
┓θ
a
B1 O A O(B1) A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)
2
bcosOB1
(2)
2
（3） 2
bcosO B 1 bcos0
│b│cosθ叫做向量 b 在向量 a 上的投影， │a │cosθ叫做向量 a 在向量 b 上的投影.
（2）这些运算律是否能适用于 向量的数量积的运算？
实数乘法（1）交换律 ab：ba
（ 2）结合 (ab律 )ca： (bc)
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
类比猜想
向量的数量积
是
（1）交换律 ab：ba
否 都
（ 2）结合 (a律 b)c： a(bc)
成
（ 3）分配 (ab律 )c： acbc
B
b
O
a
A
（ 1）若 0，则向 a与b量 方向相同；
a
Ob B
A
（ 2）若 ，则向 a与b量 方向相反；
b
a
B
O
A
即当 0或时，向 a与b量 互相平行
（3）若 ，则向 a与 量 b垂直B ，
2
b
记作 ab
O
a A
规定：零向量与其它向量的夹角可根据需要确定。
如图,等边三角形ABC中,求
求（1）AB与AC的夹角；
W |F |s||co θs
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积。
出现了向量的一种新的运算
1、向量的夹角
对于两个非 a、 b， 零如 向果 O 量 为以 起点
作OA a， OBb,那么射 O、 A线 O的 B 夹角
叫做向 a与量 向b的 量夹角， 0其 .中
(×)
2、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
A、 锐角三角形
B、 直角三角形 （ D ）
C、 钝角三角形
新疆 王新敞
奎屯
D、 不能确定
3、 在 AB 中 C A， B B C 0， 则 AB 的 C形状
C
（ C）
A
B
4、向量的数量积的运算律
问题:
（1）实数乘法有哪些运算律？
（2）AB与BC的夹角。
C'
C
平移向量至
120 60
A
始点重合
1200
B
D
2、向量的数量积的定义
一般地，如果两个非零向量 a、b 的夹角 为 （ 0）那， 么我们把 |a|b ||coθs
叫做向量 a与b 的数量积，记作 a b ，
即
ab|a||b|coθs
B
b
O
a
A
向量的数量积的说明 ab|a||b|coθs
(3 已 ) 知 a满 向 a2 足 8 量 ，|a 则 |_2_2 __
1、已知 a, b, c 均为非零向量,试
判断下列说法是否正确？
(1)0a0 (×)
(2)0a0 ( × )
(3 )若 a b |a |b ||则 ,a /b /( √ )
(4)aaa2|a|2 ( √ )
(5)若ab0,则a与b中至少有一0个 . 为