考点15 旋转变换(解析版)
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旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系,线段与线段之间的位置关系与数量关系,经常作为作为中等偏难一点的题型出现.
★★★
○○○○
旋转的性质有:①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角;②旋转前后的图形全等;③对应点到旋转中心的距离相等.
如图,△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置,则①旋转角是∠AOA′=∠BOB′=∠COC′;
②△ABC≌△A′B′C′;③OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′.
1.注意旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角;
2.抓住旋转只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,即旋转前后的图形全等;
3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段,这个公共端点往往会是旋转中心.
例1.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A. 55°
B. 70°
C. 125°
D. 155°
【答案】C
例2.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON 的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为()
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B学科@网
【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征,故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线,再结合旋转的性质求解.
如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
例3.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点P为△ABC内一点.
(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点分别为点D、
A、E,连接CE.
①依题意,请在图2中补全图形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.
(2)如图3,以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接P A、PB、PC,当AC=3,AB=6时,根据此图求P A+PB+PC的最小值.
【答案】(1)33(2)37
∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,∴BC∥AD且BC=AD,∵∠ACB=90°,∴四边形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,
∵BP=3,∴DE=BP=3,∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,
∴在Rt△DCE中,22
--;
CE=CD DE=369=27=33
(2)证明:如图所示,
1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是 ( )
A. 6
B. 6
C. 3
D. 3+3
【答案】A
【解析】试题解析:连接BC′,
∵旋转角∠BAB′=45°,∠BAD′=45°,∴B在对角线AC′上,
∵B′C′=AB′=3,在Rt△AB′C′中,AC′=,∴BC′=3-3,
在等腰Rt△OBC′中,OB=BC′=3-3,
在直角三角形OBC′中,OC′=(3-3)=6-3,∴OD′=3-OC′=3-3,
∴四边形ABOD′的周长是:2AD′+OB+OD′=6+3-3+3-3=6.
故选A.
2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF =_________cm.
【答案】23
3.如图,菱形ABCD中,边长为2,∠B=60°,将△ACD绕点C旋转,当AC(即A′C)与AB交于一点E,CD(即CD′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值,如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
【答案】2+3
(每道试题10分,总计100分)
1.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′,若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为()
A. 130°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
【答案】C
【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补,得∠ABC=60°,∠DCB=120°,再由∠A′DC=10°,可运用三角形外角求出∠DA′B=130°,再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°,从而得到答案.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,∴∠ABC=60°,∠DCB=120°,
∵∠ADA′=50°,∴∠A′DC=10°,∴∠DA′B=130°,
∵AE⊥BC于点E,∴∠BAE=30°,
∵△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,∴∠BA′E′=∠BAE=30°,
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°.
故选C.学科@网
2.如图,中,,,将绕点顺时针旋转得到,当点、、三点共线时,旋转角为,连接,交于点.下面结论:①为等腰三角形;②;
③;④中,正确的是()
A. ①③④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①②③④
【答案】B
3.三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为()