考点15 旋转变换(解析版)

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旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系,线段与线段之间的位置关系与数量关系,经常作为作为中等偏难一点的题型出现.

★★★

○○○○

旋转的性质有:①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角;②旋转前后的图形全等;③对应点到旋转中心的距离相等.

如图,△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置,则①旋转角是∠AOA′=∠BOB′=∠COC′;

②△ABC≌△A′B′C′;③OA=OA′,OB=OB′,OC=OC′.

1.注意旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角;

2.抓住旋转只是改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,即旋转前后的图形全等;

3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段,这个公共端点往往会是旋转中心.

例1.如图,将Rt△ABC(其中∠B=35°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )

A. 55°

B. 70°

C. 125°

D. 155°

【答案】C

例2.如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON 的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为()

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】B学科@网

【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征,故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线,再结合旋转的性质求解.

如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.

例3.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点P为△ABC内一点.

(1)连接PB,PC,将△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,点B,C,P的对应点分别为点D、

A、E,连接CE.

①依题意,请在图2中补全图形;

②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的长.

(2)如图3,以点A为旋转中心,将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN,连接P A、PB、PC,当AC=3,AB=6时,根据此图求P A+PB+PC的最小值.

【答案】(1)33(2)37

∵△BCP沿射线CA方向平移,得到△DAE,∴BC∥AD且BC=AD,∵∠ACB=90°,∴四边形BCAD是矩形,∴CD=AB=6,

∵BP=3,∴DE=BP=3,∵BP⊥CE,BP∥DE,∴DE⊥CE,

∴在Rt△DCE中,22

--;

CE=CD DE=369=27=33

(2)证明:如图所示,

1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′,边BC与D′C′交于点O,则四边形ABOD′的周长是 ( )

A. 6

B. 6

C. 3

D. 3+3

【答案】A

【解析】试题解析:连接BC′,

∵旋转角∠BAB′=45°,∠BAD′=45°,∴B在对角线AC′上,

∵B′C′=AB′=3,在Rt△AB′C′中,AC′=,∴BC′=3-3,

在等腰Rt△OBC′中,OB=BC′=3-3,

在直角三角形OBC′中,OC′=(3-3)=6-3,∴OD′=3-OC′=3-3,

∴四边形ABOD′的周长是:2AD′+OB+OD′=6+3-3+3-3=6.

故选A.

2.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F.已知∠ACB=∠DCE=90°,∠B=30°,AB=8cm,则CF =_________cm.

【答案】23

3.如图,菱形ABCD中,边长为2,∠B=60°,将△ACD绕点C旋转,当AC(即A′C)与AB交于一点E,CD(即CD′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值,如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.

【答案】2+3

(每道试题10分,总计100分)

1.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′,若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为()

A. 130°

B. 150°

C. 160°

D. 170°

【答案】C

【解析】根据平行四边形对角相等、邻角互补,得∠ABC=60°,∠DCB=120°,再由∠A′DC=10°,可运用三角形外角求出∠DA′B=130°,再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°,从而得到答案.

解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,∴∠ABC=60°,∠DCB=120°,

∵∠ADA′=50°,∴∠A′DC=10°,∴∠DA′B=130°,

∵AE⊥BC于点E,∴∠BAE=30°,

∵△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,∴∠BA′E′=∠BAE=30°,

∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°.

故选C.学科@网

2.如图,中,,,将绕点顺时针旋转得到,当点、、三点共线时,旋转角为,连接,交于点.下面结论:①为等腰三角形;②;

③;④中,正确的是()

A. ①③④

B. ①②④

C. ②③④

D. ①②③④

【答案】B

3.三角板ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,三角板绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动,则B点转过的路径长为()

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