算术基本定理

关于质和计算基本定理的问题

一、知识

大于 1 的整数n总有两个不同的正约数：1和n . 若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为 a b的形式（这里a,b为大于1的整数），则称n为合数.

正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论

1.大于1的整数必有素约数.

2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素.

事实上，p与n的最大公约数（p,n）必整除p ，故由素数的定义推知，或者（p,n） 1，或者（p,n） p，即或者p与n互素，或者p|n.

3.设p为素数，a,b为整数.若p | ab ，则a, b中至少有一个数被p整除.

事实上，若p不整除a和b ，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。这与已知的p|ab 矛盾.

特别地：若素数p 整除a n（n 1），则p|a

4. 定理1 素数有无限多个（公元前欧几里得给出证明）证明：（反证

法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，p k。记

N p1 p2 p w 1 。（N不一定是素数）

由第一节定理 2 可知，p有素因数p ，我们要说明p p i ,1 i k 从而得出矛盾事实上，若有某个i,1 i k 使得p p i ,则由

p | N p1 p2 p w 1

推出p |1 ，这是不可能的。因此在p1，p2，，p k之外又有一个素数p ，这与假设是矛盾的。所以素数不可能是有限个

5. 引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即

n p1 p2 p m (1)

其中p i ,1 i m是素数。

证明当n=2 时，结论显然成立。

假设对于 2 n k ，式(1) 成立，我们来证明式(1) 对于n=k 1也成立，从而

由归纳法推出式(1) 对任何大于 1 的整数n 成立。

如果k 1 是素数，式(1) 显然成立。

如果k 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k 1=pd 。由于 2 d k，由归纳假定知存在素数q1,q2, q l ，使得 d q1,q2, q l ，从而k 1 pq1, q2, q l 。证毕。

6. 定理2( 算术基本定理)

任何大于 1 的整数n 可以唯一地表示成

n p11p22p k k，(2)

其中p1，p2，，p k是素数，p1 p2 p k ，a1,a2, ,a k 是正整数。

我们称n p11p22p k k a1,a2, , a k是n的标准分解式，其中p i,1 i k 是素数，p1 p2 p k ，是正整数.

证明：由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，证明表示式(2) 的唯一性。

假设p i,1 i k 与q j,1 j l 都是素数，

p1 p2 p k，q1 q2 q l，(3)

并且

n p1p2 p k q1q2 q l ，(4)

则由第三节定理 4 推论1，必有某个q j,1 j l ，使得p1| q i，所以p1=q i；又有某个p i,1 i k ，使得q1 | p i，所以q1=p i 。于是，由式(3)可知p1=q1，从而由式

p 2 p k =q 2 q l

重复上述这一过程，得到

k l,p i q i ,1 i k 证毕。

7. 定理：若设 (n)为 n 的正约数的个数， ( n)为n 的正约数之和，则有 1) (n) ( 1 1)( 2 1) ( k 1)

8. 推论 1 使用式(2) 中的记号，有 ( ⅰ ) n 的正因(约)数 d 必有形式

d = d p 11

p 22

p k k

, 1 Z,0 i i ,1 i k

( ⅱ) n 的正倍数 m 必有形式

m p 11

p 22

p k k

M ,M N, i N, i

i

,1 i k

9. 推论 2 设正整数 a 与 b 的标准分解式是

1 2 k 1 1 k

a p 11

p 22

p k k

，b p 11

p 21

p k k

，

其中 p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数， i ， i (1 i k )都是非负整数， 则

(a,b) p 11

p 21

p k k ，

i min{ i , i }， 1 i k ， [a,b]

p 11

p 21

p k k ，

i max{ i ,

i }

， 1 i k 。

10. 推论 3 设 a ，b ，c ，n 是正整数，

ab = c n ，(a, b) = 1 ， (5) 则存在正整数 u ，v ，使得

a = u n ，

b = v n ，

c = uv ，(u, v) = 1 。

证明 设 c = p

11

p 21

p k k

，其中 p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数， i (1

i k )是正整数。又设

(4) 得到

p 1

1 1 2)

(n) p 1p 1 11

p k

k

1 1

p k 1

p 2 1

a p 11

p 22

p k k

，b p 11

p 21

p k k

，

其中 I ， i （1 i k ）都是非负整数。由式 （5） 及推论 2 可知

min{ i , i } = 0 ， i i = n i ，1 i k ， 因此，对于每个 i （1 i k ），等

式

i

= n i ， i = 0 与 i = 0 ， i = n i 有且只有一个成立。这就证

明了推论。证毕。

11. 定理： 对任意的正整数 m 及素数 p ，记号 p ||m 表示 p |m, p 1| m ，

即 p 是 m 的标准分解中出现的 p 的幂 .

设n 1， p 为素数， p p

||n!，则a

p n l

n

n 2

l 1

p l p

p 2

这里 x 表示不超过实数 x 的最大整数 . 由于当 p l n 时, 则 n l

0，故上面和 p l 式中只有有限多个项非零 .

另一种表现形式：

设 p 为任一素数，在 n!中含 p 的最高乘方次数记为 p n! ，则有：

证明：由于 p 是素数，所有 n!中所含 p 的方次数等于 n!的各个因数 1,2, ,n 所含 p 的方次数之总和。由性质 10 可知，在 1,2, ,n 中，有 n

个 p 的倍数， p

有

n 2

个 p 2 的 倍 数 ， 有 n 3

个 p 3 的 倍 数 ， ， 当 p m n p m 1 时 ，

p 2

p 3

n m 1 m n 2

0 ，所以命题成立。

pp

另证：对于任意固定的素数 p ，以 p k 表示在 k 的标准分解式中的 p 的指 数，则

p n! =p(1) p(2) p(n).

p n!

nn n

p

p n

2

n m

m p m

m m 1

p m n p

m 1