初中数学二次函数的图象和性质

初中数学二次函数的图象和性质2019年4月9日

（考试总分：160 分考试时长： 120 分钟）

一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）

1、（4分）如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①2a＋b＝0；

②abc>0；

③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；

⑤当1

其中正确的是（）．

A． 5个B． 4个C． 3个

D． 2个

2、（4分）对于二次函数y=x2+1，则下列结论正确的是（）

A．图象的开口向下B． y随x的增大而增大

C．图象关于y轴对称D．最大值是1

3、（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点

A、B，与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴于抛物线交于点D，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段OB与线段CD的数量关系为（）

A． OB=3CD B． OB=2CD C． 2OB=3CD D． 3OB=4CD

4、（4分）已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A

，B ，P 是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax 2+bx+3=0的一个根，③△PAB 周长的最小值是

+3

．其中正确的是（

）

A ． ①②③

B ． 仅有①②

C ． 仅有①③

D ． 仅有②③

5、（4分）两条抛物线25y x =和25y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（

）

A ． 顶点坐标相同

B ． 对称轴相同

C ． 开口方向相反

D ． 都有最小值

6、（4分）下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ． y=2x ﹣1

B ． y=

C ． y=

D ． y=﹣x 2+2x

7、（4分）已知抛物线y=

14

x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如

图，点M ，3），P 是抛物线y=14

x 2

+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（

）

A ． 4

B ． 5

C ．

D ．

8、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 满足二次函数2y ax bx =+的表达式，则对该二次函数的系数a 和b 判断正确的是(

)

A ． 00a b >>，

B ． 00a b <<，

C ． 00a b ><，

D ． 00a b ，

9、（4分）如图是二次函数

y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ； ③3a+c=0； ④a ﹣b ＜m （ma+b ）（m≠﹣1的实数）； 其中正确的命题是（

）

A ． ①②③

B ． ①②④

C ． ②③④

D ． ①③④

10、（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝bx 2＋ax 的图象可能是(

)

A ． A

B ． B

C ． C

D ． D

11、（4分）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为22y x =，则原来抛物线的表达式为（ ） A ． 222y x =+

B ． 222y x =-

C ． ()

2

22y x =+

D ．()2

22y x =-

12、（4分）在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ax+b 与 y ＝bx 2+ax 的图象可能是（

）

A．B．

C．D．

二、填空题（本题共计 4 小题，共计 16 分）

13、（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a +b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，-

1＜x＜3．其中，正确的说法有___________（请写出所有正确说法的序号）．

14、（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______

15、（4分）如图，直线与坐标轴交于、两点，过，两点的抛物线与轴的另一交点为，为抛物线上的一动点，当时，点的坐标为________．

16、（4分）当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是_____，最大值是______．

三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）

17、（12分）已知点A（2，a）在抛物线y=x2上

（1）求A 点的坐标；

（2）在x 轴上是否存在点P ，使△OAP 是等腰三角形？若存在写出P 点坐标；若不存在，说明理由．

18、（12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （2，-3），且与x 轴交点坐标为（-1，0），（3，0） （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AB 下方抛物线上找一点D ，求出使得△ABD 面积最大时点D 的坐标；

（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

19、（12分）已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长

后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分

和面积增大的部分

分别是

的函数．求出这两个函数的表

达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 20、（12分）已知函数y ＝(m 2－m)x 2＋(m －1)x ＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 21、（12分）已知二次函数y=2x 2﹣4x+1． （1）求出它的顶点坐标及对称轴； （2）画出这个函数的图象．

22、（12分）已知抛物线y=ax 2-bx+3的对称轴是直线x=-1 （1）求证：2a+b=0；

（2）若关于x 的方程ax 2-bx-8=0的一个根是4，求方程的另一个根．

23、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx 经过点A （﹣3，4），直线l 与x 轴相交于点B ，与∠AOB 的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为y=kx ﹣5k （k≠0），BC=OB ． （1）若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，过点A 作y 轴的平行线，与直线l 相交于点D ，设P 为抛物线上的一个

动点，连接PA 、PD ，当

PAD

COB

2S

S 3

时，求点P 的坐标．