矩阵论试题

222211A=011.(){}2.3.()C A B P AB BA P C A C A ⨯⨯⎛⎫

⎪

⎝⎭

=∈=一.（15分）设证明：是的子空间；求（）的一般表达式；求的维数与一组基；

22222212212211111.10010000,00001001P a b a b a b P c d c d c d P E E E ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11二.（15分）在中定义，

T ；证明：T是上的线性变换；

2.求T在基下E 的矩阵；

三.（20分）

1.已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关，下表记录了某厂生产中y 与相应x 的数值。

y （%） 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35 x （%） 3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

用最小二乘法求y 对x 的一个一次近似公式（y=ax+b ） 2. 求方程组

12121

20

2120

x x x x x x +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩ 的最优最小二乘解 四.（15分）

3

321.0

1086

5A --⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪⎝

⎭

求矩阵＝的Jordan标准形；

42

22f 23m 23ordan A J λλλλλλ----2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：

（）＝（）（）；（）＝（）（）；

求的标准形

8542102.10 011010g 34A A A A A A E

⎛⎫

⎪

=- ⎪

⎪⎝⎭

-++-五（分）设试计算（）＝2 A At

1e e 0

2⎛⎫

⎪⎝⎭

六.（15分）设A＝，求和； 12n n e e e V V 七.（10分）设V是实数域R上的维线性空间，，，，是的一组基；

对中任二向量：

1

n

i i i x e α=∑＝ 1

n

i i

i y e β=∑＝

1

, n

i i i ix y αβαβ=∑规定（）＝证明（）是V中的一种内积，从而V对此内积

构成一欧式空间。

2222

11A=011.(){}2.3.()C A S P AB BA P C A C A ⨯⨯⎛⎫

⎪

⎝⎭=∈=一.（20分）设证明：是的子空间；求（）的一般表达式；求的维数与一组基；

{}

()

22112211 ,()0,01 1.2.3.ij ij T T V X x x x x R T TX B X X B X V T V T ⨯⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭

=-∈二.（20分）已知B=线性空间＝的

变换为证明是线性变换；求的一组基；求在该基下的矩阵。

() t '30

81 3

16,(0)120511.e 2.()(0)A x Ax t x ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-= ⎪ ⎪

⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭

=三.（15分）已知 A=求；

应用矩阵函数方法求微分方程组x t 满足初始条件的解。

110.20 21, b 11201.2.;

3.4.A A Ax b Ax b +⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

==四（分）已知A=＝求的满秩分解；求求的最小二乘解；求的极小范数解。

332 A 0

1

086

51.2.ordan A A J --⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

五.（15分）已知＝求的最小多项式；求的标准形。

()()n n n

, T A αβαβαβαβ∈⇔六.（10分）在R 中，R ，定义，＝证明：R 对，是一个欧氏空间A是正定矩阵。