初中八年级数学 13.4最短路径问题 学案

13.4 课题学习最短路径问题

【学习目标】

1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题,

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用.

【重点难点】

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题

【学习过程】

一、自主学习：

如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？

二、合作探究：

探究点一探索最短路径问题

活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？

追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？

探究点二选址造桥问题

如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)

三、尝试应用

1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）

2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水

再回家，所走的最短距离是米.

4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。

四、补偿提高

5、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．

【学后反思】

参考答案：

探究一、

追问1、

答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．

追问2

答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．

追问3

作法：

(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′，与直线l交于点C.

则点C即为所求．

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC′＝B′C′.

∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，

AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

∴AC＋BC＜AC′＋BC′.

即AC＋BC最短.

探究二、

分析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN最短即可．

解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，

∵线段A′N′是线段AM平移得到的

∴AA′＝MN′，A′N′＝AM

∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′

∵MN平行AA′且MN＝AA′

∴MN可以看作是AA′经过平移得到的

∴A′N＝AM

∴AM＋NB＝A′N＋NB

∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B

∴AM＋NB＝A′N＋NB

∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B

∴AM＋NB

∵MN＝MN′

∴AM＋MN＋NB

尝试应用：

1、D；

2、1000；

3、A

4、答案如图所示：

P点就是所求做的点

补偿提高

5、思路分析：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线

段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为

一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC

的同侧，如何在BC上找到

一点R，使PR与QR 的和最

小”．