2021届高考数学二轮经典深度解读专题6 函数模型及其应用(解析版)

专题6 函数模型及其应用考点剖析
1．几类常见的函数模型
2.三种函数模型的性质
1．a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为
b
a
，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m b
a m a
+>+(0a b >>，0m >).若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则（ ）
A ．123x x x <<
B ．132x x x <<
C ．312x x x <<
D ．321x x x <<
【答案】B
【解析】因为13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =
所以1lg 2lg 3x =
，2lg10lg 2lg 5lg15lg 3lg 5x +==+，32lg 2lg 5
2lg 3lg 5
x +=
+ 根据题意当0a b >>，0m >时
b m b
a m a
+>+成立， 又lg3lg 20,lg50>>>，
所以lg 2lg 5lg 2lg 3lg 5lg 3+>+，
2lg 2lg 52lg 2
2lg 3lg 52lg 3
+>+ 即：1213,x x x x >>，
又23lg 2lg52lg 2lg5lg5(lg3lg 2)
0lg3lg52lg3lg5(lg3lg5)(2lg3lg5)
x x ++-=
-=>++++-
所以23x x >， 所以132x x x <<， 故选：B.
例题赏析
2．若一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg /mL 之后停止喝酒，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过
0.09mg /mL ，那么这个人至少经过多少小时才能开车（精确到1小时）（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】
设x 小时后才能开车, 则有()0.310.250.09x
⋅-≤,
即30.34x
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
, 由于没有对数参考值，
根据选项代入验证，当3,4x =时不等式不成立，当5x =时，不等式成立， 故x 最小为5. 故选：C
3．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为()cosh
x
f x a a
=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2x x e e x -+=，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh 2
x x
e e x --=
.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 分别相交于点A ，B ，曲线1C 在点A 处的切线与曲线2C 在点B 处的切线相交于点P ，则（ ） A ．sinh cosh y x x =是偶函数 B ．()cosh cosh cosh sinh sinh x y x y x y +=- C ．BP 随m 的增大而减小 D ．PAB △的面积随m 的增大而减小
【答案】D
【解析】
对于选项A ：定义域为R ，
()22sinh cosh 4x x e e y f x x x --===，而()()222
x x
e e
f x f x ---==-，所以()f x 是奇函数，所以A 错误；
对于选项B ：cosh cosh sinh sinh 2222
x x y y x x y y
e e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅
()cosh 442
x y x y x y y x x y x y x y y x x y y x
e e e e e e e e e e x y +----+------++++--+=-==-，所以B 错误；
对于选项C 、D ：设,2m m e e A m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，,2m m e e B m -⎛⎫- ⎪⎝⎭
，()()cosh ,sinh 22x x x x e e e e x x ---+''=
=， 则曲线1C 在点A 处的切线方程为：()22m m m m
e e e e y x m --+--=-，
曲线2C 在点B 处的切线方程为：()22
m m m m
e e e e y x m ---+-=-，
联立求得点P 的坐标为(
)1,m
m e
+，则()
2
2
2
1124
m m m m
m e e e e
BP
e --+⎛⎫
-=+-
=+ ⎪⎝
⎭
，
11
22
m PAB S AB e -=
=△，所以BP 随m 的增大而先减小后增大，PAB △的面积随m 的增大而减小，所以C 错误，D 正确. 故选：D
4．（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，
则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．已知函数1
()12=-
+x x e f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ）
A ．()g x 是偶函数
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 在R 上是增函数
D ．()g x 的值域是{1,0,1}-
【答案】BC 【解析】
根据题意知，1
11()1221=-=-++x x x
e f x e e
. ∵1(1)[(1)]012e
g f e ⎡⎤==-=⎢
⎥+⎣⎦
， 1
1(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，
(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，
∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；
111
()()1212
x x x
e f x f x e e ---=-=-=-++， ∴()f x 是奇函数，B 正确；
x y e =在R 上是增函数，由复合函数的单调性知11
()21x f x e
=
-+在R 上是增函数，C 正确； 0x
e >，11x e ∴+>，11
01,1011x x
e e <
<-<-<++， 11
()22
f x ∴-<<，()[()]{1,0}
g x f x ∴==-，D 错误.
故选：BC.
5．（多选）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其
中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不．
正确的是（ ）
A ．若在1t 、2t 时刻满足：()()12y t y t =，则()()12x t x t =
B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降
C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值 【答案】ABD 【解析】
由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确；
在曲线上半段中观察到()y t 是先上升后下降，而()x t 是不断变小的，故B 不正确；
捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，()()25,30x t ∈，()()0,50y t ∈，
此时二者总和()()()25,80x t y t +∈，由图象可知存在点()10x t =，()100y t =，
()()110x t y t +=，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，
被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误，
故选：ABD.
6．2020年上半年，新冠肺炎疫情在全球蔓延，超过60个国家或地区宣布进入紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封城”.疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，江苏某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，通过市场调研分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产x (百套)该监测设备，需另投
入生产成本()R x 万元，且2101002600050()4900
70165005010x x x R x x x x ⎧++<<⎪
=⎨+-≥⎪
+⎩
，根据市场调研知，每套设备售价7万元，生产的设备供不应求
（1）求出2020的利润()L x (万元)关于年产量x (百套)的函数关系式(利润=销售额-成本) （2）2020年产量为多少百套时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）2106006600,050
()49002500,5010x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛⎫
-++≥ ⎪⎪+⎝
⎭⎩；（2）2020年产量为30(百套)时，企业所获利润最大，最大利润为2400万元. 【解析】（1）当050x <<时，
()22()7001010026004000106006600L x x x x x x =-++-=-+-，
当50x ≥时，
49004900()7007016500400025001010L x x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝
⎭，
所以2106006600,050
()49002500,5010x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪
=⎨⎛⎫
-++≥ ⎪⎪+⎝
⎭⎩. （2）若050x <<，则2
()10(30)2400L x x =--+，
当30x =时，则max ()2400L x =，
49004900()25001025101010L x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-++=-+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
若50x ≥，则()()4900
25102
10237010
L x x x ≤-+⋅
=+，
当且仅当4900
1010
x x +=
+，即60x =时，max ()2370L x =. 所以2020年产量为30(百套)时，企业所获利润最大，最大利润为2400万元.
7．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，且每万部的销售收入为()R x 万元，且
()24006,040840040000,40x x R x x x
x -<≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩.
（1）写出年利润y （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机生产中所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）2638440,04040000168360,40x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
；（2）当年产量为50万部时所获利润最大，最大利
润为6760万元.
【解析】（1）由题意，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24006,040
840040000
,40x x R x x x
x -<≤⎧⎪
=⎨->⎪⎩. 当040x <≤时，2
(4006)1240638440y x x x x x =---=-+-，
当40x >时，284004000040000
(
)1240168360y x x x x x
x =--=---+， 所以年利润y 关于年产量x 的函数解析式2638440,040
40000
168360,40x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
.
（2）由（1）知，函数2638440,04040000168360,40x x x y x x x ⎧-+-<≤⎪
=⎨--+>⎪⎩
，
当040x <≤时，26(32)6104y x =--+，所以当32x =时，y 取得最大值6104万元；
当40x >
时，40000(
16)836083606760y x x =-++≤-=万元， 当且仅当
40000
16x x
=时，即50x =时，y 取得最大值6760万元， 综上可得，当50x =时，y 取得最大值6760万元，
即当年产量为50万部时所获利润最大，最大利润为6760万元.
8．如图，有一块边长为15 cm 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.
（1）求出盒子的体积y 以x 为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x 是多少(精确度为0.1 cm)?
【答案】（1）2
(152),(07.5)y x x x =-<<；（2）0.8cm 或4.7cm .
【解析】
（1）由题意，截去的小正方形的边长为xcm ，
折成的无盖合作的底面的边长为(152)x cm -的正方形，高为xcm ， 所以盒子的体积为2
(152),(07.5)y x x x =-<<
.
（2）如果要做成一个容积是3150cm 的无盖盒子，即2
(152)150,(07.5)x x x -=<<， 令()2
(152)150,(07.5)f x x x x =--<<
下面用二分法来求方程在(0,7.5)内的近似解， 因为f (0)＝0－150＜0，
f (1)＝(15－2)2×1－150＞0，f (2)＝(15－4)2×2－150＞0， f (3)＝(15－6)2×3－150＞0，f (4)＝(15－8)2×4－150＞0， f (5)＝(15－10)2×5－150＜0，f (6)＝(15－12)2×6－150＜0， f (7)＝(15－14)2×7－150＜0，f (7.5)＝0－150＜0，
又()f x 在(0,7.5)内连续，故函数()f x 在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x )2x ＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解， 下面用二分法求方程的近似解.
取区间(0，1)的中点x 1＝0.5，用计算器可算得f (0.5)＝－52. 因为f (0.5)·
f (1)<0，所以x 0∈(0.5，1). 再取(0.5，1)的中点x 2＝0.75，用计算器可算得f (0.75)≈－13.31. 因为f (0.75)·
f (1)<0，所以x 0∈(0.75，1). 同理可得x 0∈(0.75，0.875)，x 0∈(0.75，0.812 5)，此时区间的长度小于0.1， 所以方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.8. 同理可得方程在区间(4，5)内的近似解可取为4.7.
所以要做成一个容积是150 cm 3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8cm 或4.7cm .
9．为了保护城市环境，发展低碳经济，某电厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理总成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：2
1200800002
y x x =
-+，且
每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能便每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】（1）该单位每月处理量为400吨时，才能便每吨的平均处理成本最低为200元，
（2）该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.
【解析】
（1）由题意可得：二氧化碳的每吨平均处理成本为
21200800008000022002002002x x y x x x x -+==+-≥=， 当且仅当800002x x
=，即400x =时等号成立， 所以该单位每月处理量为400吨时，才能便每吨的平均处理成本最低为200元，
（2）设该单位每月获利为S ，则
2211200800001001003008000202S x y x x x x x ⎛⎫=-=-=-+- ⎪⎝⎭
-+()400600x ≤≤ 开口向下的抛物线，对称轴为300x =， 所以在()400,600单调递减，
当400x =时，S 有最大值为
214004002
3008000040000S =-+⨯-=-⨯， 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损.
10．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．
（1）求森林面积的年增长率；
（2倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到6a 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）
【答案】（1）
11021-；（2）5；（3）26. 【解析】
（1）设年增长率为x ，则()1012a x a +=，即()1012x +=，解得11021x =-， 因此，森林面积的年增长率为1
1021-；
（2）设已植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即110222n =，1102n ∴=，解得5n =， 因此，该地已经植树造林5年；
（3）设至少需要植树造林m 年，则1101216m
a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，可得1026m ≥， 所以，2lg 6lg 2lg3lg3log 6110lg 2lg 2lg 2m +≥===+，10lg3100.4771101025.8lg 20.3010
m ⨯∴≥+=+≈， 因此，至少需要植树造林26年.
11．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为()y f x =时，该公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()90f x ≤恒成立；③()5
x f x ≤恒成立.
（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）1()1015
f x x =+；（Ⅱ）()6f x =-.试分析这两个函数模
型是否符合公司要求？
（2）已知函数()10(2)f x a =-符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）函数（Ⅱ）模型符合公司要求；（2）5
[2,]2
. 【解析】（1）对于函数（Ⅰ）：因为(30)126f =>，即函数（Ⅰ）不符合条件③， 所以函数()1015
x f x =+不符合公司奖励方案函数模型的要求； 对于函数（Ⅱ）：当[25,1600]x ∈时，()f x 是增函数，
且max ()(1600)24067490f x f ==⨯-=<，所以()90f x ≤恒成立
设21()65)155
x h x =-=---[5,40]，
5=时max ()10h x =-≤，所以()5x f x ≤
恒成立. 所以函数（Ⅱ）模型符合公司要求.
（2）因为2a ≥，所以函数()g x 满足条件①，
由函数()g x 满足条件②得：1090≤，所以52
a ≤，
由函数()g x 满足条件③得：105
x ≤对[25,1600]x ∈恒成立，
即
5a ≤[25,1600]x ∈恒成立，因为5+≥
当且仅当50x =时等号成立，所以a ≤
综上所述，实数a 的取值范围是5
[2,]2
.。