第九章三向应力状态(6,7,8)

(0, )
max
min

1 , 2 0, 3
E 2(1 )G
(0, )

1 2 1 1 2 2 2 v ( 1 3 2 1 3 ) 2G 2E E
作业：7-15，16，18
§9-7 强度理论及其相当应力
2＋4 2
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
对于最大剪应力理论 例 题 二
r3=1-3= 2＋4 2
对于形状改变比能理论
r4=
= 2＋3 2
[例9-12]在纯剪切应力状态下：用第三强度理 论和第四强度理论得出塑性材料的许用剪应力 与许用拉应力之比。 解（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
[ ] 由此得： 2 剪切强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ]
[ ]
按第三强度理论可求得：[ ] 0.5[ ]
（2）第四强度理论的相当应力：
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 2


第四强度理论强度条件
3 [ ]
由此得： [ ]
剪切强度条件为：
3
[ ]
按第四强度理论可求得：[ ] 0.578[ ]
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.5 [ ]
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
1 2 vu 2 s 6E

v f vu

屈服破坏条件是：
1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) s 2
第四强度理论：


1 2 2 2 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) [ ] 2
[例9-11]已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁
拉伸许用应力 [] =30MPa。试校核该点的强度。
解：首先根据材料和应力状态确 定破坏形式，选择强度理论。
脆性断裂，最大拉应力理论
max= 1 [] 其次确定主应力
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa 结论：强度是安全的。
二. 强度理论的概念
1.对强度理论的要求： （1）能够解释破坏；
（2）能够预言破坏；
（3）形式简单使用方便。
2.建立强度理论的原则：
（1）考虑材料性质；
（2）考虑应力状态的影响；
（3）获得材料性能较容易。
F ( 1 , 1 , 1 , 1, 2 , 23 , 31 ) [ ]
1 ( 2 3 ) b [ ] n 第二强度条件： ( ) [ ] 1 2 3
b
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，
如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向 发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的 方向，这与第二强度理论的结果相近。
3.最大剪应力理论（第三强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何，只 要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸屈服 剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形 或屈服。
[ ] 应力与许用拉应力之比 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
3、微元体应变比能
dW 1 v 11 2 2 3 3 dxdydz / dxdydz dV 2 1 1 1 2 2 3 3 2
1 1 1 v 11 2 2 3 3 2 2 2 1 1 （ 2 3） 1
E 1 2 （ 3 1） 2 E 3 1 3 （ 1 2） E
1 2 2 2 v 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E


变形比能=体积改变比能+形状改变比能ຫໍສະໝຸດ vd v vV2
1 vd ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6E

m

2 m
1 3
m m
3 m
1 m
[9-10]求证 E 2(1 )G 证明： max min
允许应力由简单拉伸实验得到。
三.几种常用的强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 假设：无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂 时的极限应力σu，材料即破坏。 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ]
b
n
第一强度强度条件： 1 [ ]
假设：无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点 的最大伸长线应变ε1达到单向拉伸断裂时应变的极
限值 εu，材料即破坏。
所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu
若材料直到断裂前全在线弹性范围内工作，则 u b 1 u 1 1 （ 2 3） E E E 由此导出失效条件的应力表达式为：
这个理论和许多塑性材料的试验结 果相符，用此判断碳素钢的屈服失效是 比较准确的。


几种常用的强度理论(1)
1. 第一强度理论
2
3
= b
1

max
1 ( 1 0)

o max
b
几种常用的强度理论(3)
2 3
3. 最大剪应力理论
= s
1
1 3 max 2
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
例题二
已知： 和 试写出最大剪应力 理论和形状改变比 能理论的表达式。
第9章
失效分析与设计准则 几种常用的强度
设计准则
应用举例
例 题 二 解：首先确定主应力 ＋1 2＋4 1＝ 2 2
2
2＝0
3＝ 2
－
1 2
[例]冬天自来水管冻裂而管内冰并未 破裂，其原因是?
冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态
例：填空题。
冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，
其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
§9-8 莫尔强度理论 [ t ] 1 3 [ t ] [ c ] [ t ] r M 1 3 [ c ]
屈服破坏条件是：
max s
1 3 s max , s 2 2 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s s [ ] n
第三强度条件：
1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结
果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多
数情况下远比此为小。
4.形状改变比能理论(第四强度理论)
假设：复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单 向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会 发生屈服。
屈服破坏条件是：
简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
1 2 2 2 vf ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 6E
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、
陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，
这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉
应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏， 也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都 与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考 虑其它两个主应力的影响。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
一.单参数强度条件的局限性
1.单参数强度条件
max [ ]
max [ ]
2.单参数强度条件的局限性
（1）破坏形式与应力状态有关 铸铁的拉压破坏说明同种材料不 同的受力方式破坏形式不同；
（2）材料的破坏方式与材料性能有关。 铸铁和低碳钢的扭转破坏说明相同的受力方式材料不 同破坏方式不同。 2. 材料破坏的形式 材料破坏的形式主要有两类： 断裂面为主应力作用面的正断-- 脆性破坏 断裂面为主切应力作用面的剪断-- 塑性破坏
r 称为相当应力 r1 1
r [ ]
r 2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
1 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2


一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材 料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度 理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、 第四强度理论。 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低 温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动 载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持 塑性。 无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形 式破坏，所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑 性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。
2
v vV vd
m
1
2 m
m
3 m
1 m
3
m
m 1 2 3