《电磁场与电磁波》PDF讲稿集合

特性：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。

在空E和§6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量1、坡印廷定理能量的流动是时变场中出现的一个重要现象 流动的能量同空间媒质所消耗的能量以及电磁储能之间应满足能量守 恒定律，即Poynting定理，也称能流定理v v v ⎛ ∂ B ⎞ v ⎛ v ∂D ⎞ v v v v v v Q ∇ ⋅ (E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) = H ⋅ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎜ ∂t ⎟ − E ⋅ ⎜ J + ∂t ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ v v v ∂H v v v ∂E = − μH ⋅ − E ⋅ σ E − εE ⋅ ∂t ∂t 1 ω m = μH 2 ∂ ⎛1 ∂ ⎛1 ⎞ ⎞ 2 = − ⎜ μH 2 ⎟ − σE 2 − ⎜ εE 2 ⎟ ∂t ⎝ 2 ∂t ⎝ 2 1 ⎠ ⎠ ω e = εE 2 ∂ 2 v v = − (ω m + ω e ) − p p = E ⋅ J = σE 2 ∂t假定：媒质是线性、各向同性的，且不随时间变化；无外加源Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量v v ∂ ∇ ⋅ (E × H ) = − (ωm + ωe ) − p ∂t v v v v ∂ 令 S = E × H，得 − ∇ ⋅ S = (ω m + ω e ) + p ∂t单位时间内流入单 位体积中的能量坡印廷定理微分形式 单位体积内焦耳热损耗单位体积内电场能量和磁场能量的增加率 坡印廷定理积分形式取体积分，应用高斯定律得：v v d − ∫ S ⋅ ds = s dt∫ (ωVm+ ω e )dv + ∫ pdvV体积V内变为焦耳 热损耗的功率体积V内电场能量和磁场能量每秒的增加量 由于假设体积V内无外加源，根据能量守恒定律，等式左 端即为单位时间内穿过闭合面S进入体积V中的能量Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量坡印廷定理物理意义： v ∂ 微分形式： − ∇ ⋅ S = ∂t (ω m + ω e ) + p外界向电磁场某点提供的电磁功率密度，等于该点电磁场能量密 度的时间增加率，与对这点自由电荷提供的功率密度之和v v d 积分形式： − ∫s S ⋅ ds = dt ∫V (ω m + ω e )dv + ∫V pdv 某时刻外界通过闭合面进入其所包围体积V中的电磁功率，等于V 内电磁场能量的时间增加率与体积内焦耳热损耗的瞬时功率之和Poynting定理是电磁场中的能量守恒与转换定律 它清楚地表明电磁场是能量的携带者与传播者Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量2、坡印廷矢量v v v v v 由坡印廷定理可知， S ⋅ ds = ∫ (E × H )⋅ ds表示通过闭合面S的总瞬时功率 ∫s s定义:v v v S = E×H为坡印廷矢量，也称能流密度矢量。

大小：表示通过单位面积的瞬时功率，即瞬时功率流密度， 单位：具有单位面积上流过的功率的量纲，瓦/米2（W/m2） 方向：该点瞬时功率流动的方向。

与E和H成右手螺旋关系。

v v v S (t ) = E (t ) × H (t )瞬时值坡印廷矢量v 1 S av = T∫T0v 1 S (t )dt = T∫[T 0v v E (t ) × H (t ) dt]平均坡印廷矢量Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量例题6-3-1 一根半径为a的无限长直导线中通有工频（50~60Hz）交 流电流i，设稳态时导线表面上有均匀面电荷密度为ρs， (1)求导线外侧表面处的能流密度矢量 (2)证明由导线表面进入导线内的电磁能量恰好等于导线内的热损耗解:(1) 由于电流频率很低，电流在导体横截面上近似均匀分布 v ∂D i i 且近似可忽略 , （磁准静态场） J≈ = 2 ∂t s πa v v v v v v ⎛v ⎞ v • 由安培环路定理求H : H ⋅ dl = ⎜ J + ∂D ⎟ ⋅ dS ≈ J ⋅ dS ∫C ∫S ⎜ ∂t ⎟ ∫S ⎝ ⎠iv v ⇒ H (ρ ) = eϕi 2πρ(ρ ≥ a )v v i ⇒ H (ρ = a ) = eϕ 2πaChap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量v • 可利用边界条件求Ev v v v J v 设分界面空气一侧为 E 2，导体一侧为 E1，且 E1 = = e zv v v v i Q E 2 t = E1t ⇒ E 2 t = E1t = E1 = e z 2 πa γ v v ρs v ρs 又D2 n − D1n = ρ S , 且D1n = 0 ⇒ E 2 n = e ρ = eρv v v v ρs v ⇒ E2 = E2n + E2t = eρ + ezγi πa 2γε2ε0ε0i v v ρ v i ⇒ E 2 (ρ = a ) = e ρ s + e z 2 2 πa γ ε πa γ0• 导线外表面处的能流密 度为：v v v ⇒ S = E×H v = −eρ v v i2 v ρsi + ez = Sn + St 2 3 2π a γ 2πε 0 av Sρv Sv SziChap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量(2) 从外部流进长为l 的导线内的功率为：P = −∫Sv v S ρ ⋅ d s ρ = S ρ 2π all l i2 = 2πal = i 2 2 = i 2 = i2R πa γ 2π 2 a 3γ Sγ（3）讨论 在一个供电回路中传输过程中，一部分能量进入 导体内部变为焦耳热损耗v v ρs v E 2 (ρ = a ) = e ρ + ezε0i πa 2 γ电导率γ 很小时（如负载电阻处）， Et >>En， Sn>> St ， 能流趋于垂直地进入负载成为热损耗 电导率γ→∞ 时（如导线处）， Et <<En， Sn<< St ， 能流几乎不进入导体，而是近似平行 于导线，在外部向电路负载流动。

可见导线只对电磁波起导引的作用++++v v S = −eρi2 v ρsi + ez 2π 2 a 3γ 2πε 0 av E·v Sv× E v U（电源） E-- --i v Sv × S负载RLv× Ev S · v Ev· EChap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量例题6-3-2 设同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间 为空气。

若内外导体间加恒定电压U，内外导体上有大小相同、方向 相反的恒定电流I 求：(1) 忽略导体电阻，计算介质间功率流密度和同轴线传输功率 (2) 考虑内外导体的有限电导率，计算通过内导体表面进入内 导体的功率流，并证明它等于内导体的损耗Uz RLabρUChap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量（1）若忽略导体内阻，则导体可看作理想导体，导体内E1和H1均为0， 两导体间（a<ρ<b时）介质中的场强为E2和H2 ：* 利用安培环路定理v v I ⇒ H 2 = eϕ 2πρ(a < ρ < b )Uz RL设内外导体面单位长度上分别有电荷量ρl和- ρl v v v v D v ρl (a < ρ < b ) * 由高斯定理 ∫ D ⋅ dS = Q ⇒ E = = e ρ S ε 2πρε v v b b ρ ρl b l 又由电位差U = ∫ E ⋅ dl = ∫ E (ρ )dρ = ∫ ln dρ = a a 2πρε 2πε a v v U 2πεU (a < ρ < b ) ⇒ E = eρ ⇒ ρl = b b ρ ln ln a aChap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量∴介质中的功率流密度为 v v v v U v I UI v × eϕ S = E × H = eρ = ez b b 2πρ 2 ρ ln 2πρ ln a a能量在内外导体间的空气中沿z轴方向流动故同轴线的传输功率：abρUv v P = ∫ S ⋅ dsSUz RL=∫ba⎛v ⎞ v UI ⎜ ⎟ ∫ϕ =0 ⎜ ez 2πρ 2 ln b / a ⎟ ⋅ (ez ρdρdz ) = UI ⎝ ⎠2πP＝UI 即为电路中所表示的传输功率 该功率是在内外导体间的空气中传输给负载的(导体内S＝0)Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量（2）若考虑导体内阻，即内外导体不是理想导体，电导率为有限值。

要计 算通过内导体表面进入内导体的功率，关键要求出内导体表面出的E和H。

v ∴ Q γ有限， 内导体中E1 =v v v v v v v v ∴ S = E × H = e ρ E 2 ρ + e z E 2 z × eϕ H 2ϕ = e z E 2 ρ H 2ϕ + e ρ E 2 z H 2ϕv = ez UI I2 v + − eρ 2πρ ln b / a 2π 2 a 3γI ≠0 2 γ πa γ v v v v I 在ρ=a的分界面上，由边界条件可知： ⇒ E 2 t = E1t = E1 = e z πa 2γ v v v U E的径向分量同前可计算得 ⇒ E 2 n ρ = a = e ρ b a ln v v I a 磁场同前计算可得 ⇒ H 2 ρ = a = eϕ 2πav J1v = ez() ()()v v = ez S z + eρ S ρ除了沿z方向传播的分量外，还有沿径向进入导体内的分量Chap.6 时变电磁场 —— §6－3 坡印廷定理及坡印廷矢量沿导体表面进入长度为l 的内导体内部的功率为 v SρP=∫⎛ v I2 ⎞ v U ⎜ − eρ ⎟ ⋅ e ρ adϕdz =∫ ∫ ⎜ z =1 ϕ = 2π 2 a 3γ ⎟ ⎝ ⎠ l I2 2 2 l = 2πla = I =I = I 2R πa 2γ 2π 2 a 3γ Sγl 2πSv v S ρ ⋅ ds ρv Szv Sz()RLP＝I2R正是此段导体内的损耗功率，可见通过内导体表面进入导体内的 功率流等于导线的损耗功率，导线上的损耗功率也是由场提供的 总之： 传输给负载RL以及在导线上损耗的功率完全是在场中传播的。