常用地一些矢量运算公式

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常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a ,b 和c 是三个矢量,组合

()a b c

⨯∙叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中,设坐标轴向的三个单位矢量标记为

(),,i j k ,令三个矢量的分量记为()()1

2

3

1

2

3

,,,,,a a a a b b b b 及()1

2

3

,,c c c c 则有

()()

123

123

1

2

3123

123

123

c c c i jk

a b c a a a c i c

j c k a a a b b b b b b ⨯∙=∙++=

因此,三重标量积必有如下关系式:

()()()a b c b c a c a b ⨯∙=⨯∙=⨯∙即有循环法则成立,这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合,其结果相等。

2.三重矢量积

如a ,b 和c 是三个矢量,组合

(

)

a b c

⨯⨯叫做他们的三重标量积,因有

()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯

故有中心法则成立,这就是说只有改变中间矢量时,三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质(证略):()

()()a b c a b c a c b

⨯⨯=-∙+∙ (1-209)

将矢量作重新排列又有:()()()

a b c b a c b a c

∙=⨯⨯+∙ (1-210)

3.算子(

a ∇

是哈密顿算子,它是一个矢量算子。(

a ∇

)则是一个标量算子,将它作用于标量φ

,即

()a φ∇是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量

d r

代替以上矢量a

,则

()dr φ

∇是φ在位移方向

d r

的变化率的

d r

倍,即

d φ

()

()d dr dr φφφ=∇=∇

若将

()

dr ∇作用于矢量v

,则

()dr v

∇就是v 再位移方向

d r

变化率的

d r

倍,既为速度矢量

的全微分()

dv d r v

=∇ 应

1-209

()()()

00()()()()

a b a b a b b a a b b a a b ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯=∙∇-∙∇-∇∙+∇∙

应用三重矢量积公式(1-210)又有

()()()

00()()()()a b a b a b a b a b b a b a

∇∙=∇∙+∇∙=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇∙

将以上两式结合(相减)后可得

()

{()}

1

()()()()()

2

a b a b a b b a a b b a a b ∇=

∇∙-∇⨯⨯-⨯∇⨯-⨯∇⨯-∇∙+∇∙ 一个重要的特例,令a b v

==,因()

0v v ∇⨯⨯=则有21

()()2v v v v v ∇=∇-⨯∇⨯ 4.算子

的应用

令φ是标量,a

是矢量,

;a b

为并矢量,则有

00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a

a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ∇=∇+∇=∇∙+∙∇∇⨯=∇⨯+∇=∇⨯+∇⨯∇⨯∇⨯=∇∇∙-∇∇=∇+∇=∇∙+∙∇

在直角坐标中,令

2222

222

()x y z y x z

x y z

x y z

a ia ja ka i

j k x y z a a a a x y z i jk a x y z a a a x y z

a a a a x y z

φφφ

φφφφφφ=++∂∂∂∇=++∂∂∂∂∂∂∇∙=++

∂∂∂∂∂∂

∇⨯=

∂∂∂∂∂∂∇=∇∙∇=++∂∂∂∂∂∂

∇=++∂∂∂

对一组正交曲线坐标系

123(,,)

εεε,其单位矢量123(,,)

e e e ,将任意位置矢量

R

变分写为

111222333

R h d e h d e h d e δεεε=++

其中

123

,,h h h 为尺度因子(拉美系数)。因在直角坐标中,

R dxi dx j dxk

δ=++,所以

1231

h h h ===。在柱坐标

(,,)

r z ϕ中,因

r z

R dre rd e dze ϕδφ=++,所以

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