第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节 与三角形有关的角(含答案)...八年级数学 学而思
第二节与三角形有关的角1.三角形内角和定理(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形两边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于ο0且小180ο于.180ο(2)三角形内角和定理：三角形内角和是.注：①三角形内角和定理的证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角，在转化中借助平行线．②有时需要设未知数利用列方程的方法进行求解．2.三角形的外角(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角．(2)性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
360ο(3)三角形外角和定理：三角形的外角和等于.1.三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数：(1)直接根据两已知角求第三个角．(2)依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角．(3)在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．2.三角形外角的性质应用(1)已知外角和与它不相邻两个内角中的一个，可求“另一个”；(2)可证明一个角等于另两个角的和；(3)利用它可作为中间关系式证明两角相等；(4)利用它证明角的不等关系．3.几何模型例1．△ABC 中如图1-2-1所示，B ∠的外角平分线的与C ∠外角平分线相交于点P ，且AP 为BAC ∠的角平分线，若,80ο=∠BPC 则BAP ∠的度数为121-- 221-- 321--检测1.如图1-2-2所示，OC OB ,是ACB ABC ∠∠,的角平分线，,120ο=∠BOC 则=∠Aο60.A ο120.B ο110.C ο40.D例2．如图1-2-3所示，在△ABC 中，BC AD BAC ⊥=∠,90ο于点AE D ,平分,DAC ∠,50ο=∠B 则=∠BAD=∠AEC检测2.如图1- 2-4所示，D 是△ABC 的BC 边上的一点，,80,ο=∠∠=∠ADC BAD B .70ο=∠BAC 则=∠B=∠C421--例3．（重庆涪陵区期末）如图1-2-5所示，线段CD AB ,相交于点O ，连接,,CB AD 我们把形如图1-2-5的图形称之为“8字形”，如图1-2-6所示，在图1-2-5的条件下，DAB ∠和BCD ∠的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ．AB 分别相交于M ，N.试解答下列问题：(1)在图1-2-5中，请直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系；521-- 621--(2)仔细观察，在图1-2-6中“8字形”的个数是 (3)在图1-2-6中，若,36,40οο=∠=∠B D 试求∠P 的度数；(4)如果图1-2-6中D ∠和B ∠为任意角时，其他条件不变，试问P ∠与B D ∠∠,之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）检测3．如图1—2-7所示，=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A例4．已知，,90ο=∠AOB 点C ．D 分别在射线OB OA ,上，CE 是ACD ∠的平分线，CE 的反向延长线与CDO ∠的平分线交于点F ．(1)当ο50=∠OCD （图1-2-8），试求.F ∠(2)当C ，D 在射线OB OA ,上任意移动时（不与点0重合）（图1-2-9），F ∠ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出.F ∠821-- 921--检测4.（河北张家港市期末）在△ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D.(1)如图1—2- 10所示，若BC AE C B ⊥=∠=∠,38,62οο于点E ，则=∠EAD(2)如图1-2 -11所示，若点F 是AD 延长线上的一点，BDF BAF ∠∠,的平分线交于点,,x B G =∠ο,y C =∠ο则G ∠的度数为 （用x ，y 表示）．1021-- 1121--第二节 与三角形有关的角721--(建议用时:30分钟)实战演练1．（广东东莞期末）如图1-2-1所示，在△ABC 中，,30,40οο=∠=∠c B 延长BA 到D ，则CAD ∠的度数为( )ο110.A ο80.B ο70.C ο60.D2．（四川乐山中考）如图1-2-2所示，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若,35ο=∠B ,60ο=∠ACE 则=∠Aο35.A o B 95. ο85.C ο75.D3．（四川南江县期末）在三角形的三个外角中，锐角最多有( )个．0.A 1.B 2.C 3.D4．（湖北黄冈期末）如图1-2-3所示，D 是△ABC 中AC 边上的一点，E 是BD 上一点，则对A ∠∠∠,2,1之间的关系描述正确的是( )21.∠<∠<∠A A A B ∠<∠<∠12. A C ∠>∠>∠21. D ．无法确定5．（重庆江津区期末）三角形中，三个内角的比为,6:3:1它的三个外角的比为( )6:3:1.A 1:3:6.B 4:7:9.C 9:7:4.D121-- 221-- 321--6．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( )C B A A ∠=∠+∠. C B A B ∠=∠=∠3121. 3:2:1::.=∠∠∠C B A C C B A D ∠=∠=∠32.7．如图1-2-4所示，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ．XZ 分别经过点B ，C ，△ABC 中，,30ο=∠A 则=∠+∠ACX ABXo A 60. ο45.B ο30.C ο25.D8．如图1-2-5所示，2,1∠∠是△ABC 的外角，已知A ∠=∠+∠,26021ο的度数是9．如图1-2-6所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分,BAC ∠若,202,301οο=∠=∠则=∠B421-- 521-- 621--10.如图1-2-7所示，,32,28,50οοο=∠=∠=∠ACO ABO A =∠BOC 度．11．（河南沈丘县期末）如图1-2-8所示，AD 是△ABC 边BC 上的高，BE 平分ABC ∠交AD 于点 E.若.70,60ο=∠=∠BEDC o则=∠ABC ，=∠BAC12.（江西九江期末）如图1-2-9所示，七星形中+∠+∠+∠+∠DCBA=∠+∠+∠GFE721--821--921--1021--13.（山东黄岛区期末）如图1-2 - 10所示，在△ABC中，1∠是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：.21∠>∠14.（山东定陶县期末）一个零件的形状如图1-2 -11所示，按规定A∠应等于CBo∠∠,,90应分别等于ο21和,32ο现测量得,148OBDC=∠你认为这个零件合格吗，为什么．15.如图1—2- 12所示，△ABC中，,BCAD⊥AE平分BAC∠交BC于点E.,70,30)1(oCB=∠=∠ο求EAD∠的大小；(2)若BCEADCB∠-∠∠∠<∠与2,是否相等？若相等，请说明理由．16.如图1-2 - 13所示，在四边形ABCD中，E，F分别是两组对边延长线的交点，EG，FG分别平分,,DFCBEC∠∠若,80,60οο=∠=∠ABCADC求EGF∠的度数．17．（江苏南京校级期末）如图1-2 - 14所示．(1)如图①，DBC∠与ECB∠分别为△ABC的两个外角，试探究A∠与ECBDBC∠+∠间存在怎样的数量关系直接写出答案；(2)如图②，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，=∠-∠=∠C2,1301则ο1121--1221--1321--(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③所示，在△ABC 中，CP BP ,分别平分外角,,ECB DBC ∠∠则P ∠ 与A ∠有何数量关系？请直接写出答案(4)如图④，在四边形ABCD 中，CP BP ,分别平分外角,,FCB EBC ∠∠则P ∠与,A ∠D ∠有何数量关系？为什么（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）?1421--18．如图1-2 - 15所示．(1)如图①，在△ABC 中，AD 平分,40,,ο=∠⊥∠B BC AE BAC ,70ο=∠C 则DAE ∠度数为(2)如图②，在△ABC 中，若把,BC AE ⊥变成点F 在DA 的延长线上，,BC FE ⊥其他条件不变，则DFE ∠的度数为(3)如图③，若把△ABC 变成四边形ABEC ，把BC AE ⊥变成EA 平分,BEC ∠其他条件不变，DAE ∠的度数是否变化？说明理由，1521--拓展创新19.如图1-2- 16所示，在△ABC 中，CBA CAB C ∠∠=∠,,90ο的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，则=∠ADE1621-- 1721-- 1821--拓展1．如图1—2 - 17所示，△ABC 中，ACB ABC ∠∠,的三等分线交于点E ，D ．若,118,132οο=∠=∠BGC BFC则A ∠的度数为( )ο65.A ο66.B ο70.C ο78.D拓展2．如图1—2 - 18所示,BE 平分CF ABD ,∠平分CF BE ACD ,,∠交于点G ，若BDC ∠,110,140οο=∠=BGC则=∠A拓展3．如图1-2 - 19所示，在△ABC 中，.α=∠A 在图①中C B ∠∠,的角平分线交于点,1O 则可计算得;21901α+=∠οC BO 在图②中，设C B ∠∠,的两条三等分角线分别对应交于,O ,21O 则=∠C B 2O请你猜想，当C B ∠∠,同时被n 等分时，)1(-n 条等分角线分别对应交于,,,,121-n O O O Λ如图③所示，则=∠-C BO n 1（用含n 和α的代数式表示）．1921--极限挑战20.如图1-2- 20所示，在ABC Rt ∆中，,31,90DAB DAF C ∠=∠=∠ο=∠EBG ,31EBA ∠则射线AF 与BG( ) A ．平行 B ．延长后相交 C ．反向延长后相交 D ．可能平行也可能相交2021--答案11。
第二节 解锐角三角形及应用-学而思培优
第二节解锐角三角形及应用-学而思培优
解锐角三角形是三角函数中的重要内容，也是后续研究几何和三角学的基础。
本节课将介绍解锐角三角形的基本概念、性质及应用。
一、基本概念
1. 锐角三角形：指三个内角都是锐角的三角形。
锐角的度数小于90度。
2. 感状角：指与锐角三角形的一个内角相等的锐角。
3. 代角：指与感状角对顶的外角。
二、性质
1. 锐角三角形内角和等于180度。
即：$A + B + C = 180$，其中A、B、C分别为三角形的三个内角度数。
2. 锐角三角形的感状角对应的代角是锐角。
3. 锐角三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线。
三、应用
锐角三角形及其性质在几何和三角学的应用中具有重要意义，
常见的应用包括：
1. 三角定理：锐角三角形中，正弦定理和余弦定理分别描述了
三角形的边与角度之间的关系。
2. 解三角形问题：通过已知锐角三角形的某些边长或角度，求
解其它未知部分的问题。
3. 几何证明：锐角三角形的性质可用于解决一些几何问题，例
如判定锐角三角形的相似性、直角三角形的判定等。
4. 三角函数应用：解锐角三角形可用于理解和应用正弦、余弦、正切等三角函数。
四、总结
解锐角三角形及其应用是研究几何和三角学的基础内容。
通过
掌握锐角三角形的基本概念、性质和应用，我们能够更好地理解和
应用三角函数，解决几何问题，以及在数学问题中进行准确推理和
证明。
以上是本节课的研究内容概述，希望对同学们的研究有所帮助。
谢谢！。
八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思
全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAAC BD ∥．OF E DCBA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB AMEDC BA【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBAMFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．AM NBCD【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．月测备选家庭作业CE O【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．C D B ABBC【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F E D C BAB C FED CBA【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？B F G E DC B AF E A B D CA【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)NMDCBA【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321AOCB A B CD E O【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBACB【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A家庭作业【习题3】AD是ABC∆的角平分线，BE AD⊥交AD的延长线于E，EF AC∥交AB于F．求证：AF FB=．DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．A C（2）求证：CD=CE(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．AAC BA CG FEDCBA【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．家庭作业CD【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．ABCD MNPl【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例11】 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．M BO A lBA NM D A【补充】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DF DA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEN MDCB A板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.CEDB AD CBAD E CBA。
人教版-八年级数学-与三角形有关的角讲义-(含解析)
人教版-八年级数学-与三角形有关的角讲义-(含解析)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1讲与三角形有关的角知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习三角形的知识，包括与三角形有关的线段和角，本次课重点讲述与三角形有关的角，这是几何题目中出现概率较为频繁的，要熟练掌握三角形相关角的性质并灵活运用。
知识梳理讲解用时：20分钟与三角形有关的线段1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三边都不相等的三角形三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性课堂精讲精练【例题1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（）与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180°2、三角形的外角性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3、三角形的几种特殊模型： 两内角角平分线夹角 两外角角平分线 一内角、一外角角平分线夹角 ∠P=90°+12∠A ∠P=90°-12∠A ∠P=12∠A4、直角三角形的性质： （1）两锐角互余 （2）等面积法计算S=12ab=12ch （3）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 证明方法如左图A.1、2、3B.3、3、7C.20、15、8D.5、15、8【答案】C【解析】根据三角形的三边关系进行判断，若任意两边之和大于第三边则成立讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边难度： 2 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】若a、b、c分别为三角形的三边，化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|【答案】-a+b+3c【解析】根据三角形的三边关系可以得出：b+c＞a，a+c＞b，b+c＞a，再去绝对值符号，化简合并同类项讲解用时：2分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】a、b、c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c-2，a-b=2c-6（1）求c的取值范围；（2）若△ABC的周长为18，求c的值.【答案】（1）2＜c＜6；（2）c=5【解析】根据三角形的两边之和大于第三边a+b=3c-2＞c，两边之差小于第三边a-b=2c-6＜c，求出c的取值范围.讲解用时：3分钟解题思路：利用三角形的三边关系做题.教学建议：熟记三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A．165°B．120°C．150°D．135°【答案】A【解析】根据三角形内角和定理可求出∠1的度数，由三角形外角性质可得出∠2的度数，再根据∠2与∠α互补，即可得出结论．解：给图中标上∠1、∠2，如图所示．∵∠1+45°+90°=180°，∴∠1=45°，∵∠1=∠2+30°，∴∠2=15°．又∵∠2+∠α=180°，∴∠α=165°．故选：A．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定义以及三角形外角的性质是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理和外角的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为（）A．90°B．58°C．54°D．32°【答案】D【解析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C 互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可．解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠C，∵∠B=2∠C﹣6°，∴90°﹣∠C=2∠C﹣6°，∴∠C=32°．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图所示，∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，则∠BCD的度数为（）A．80°B．100°C．120°D．140°【答案】B【解析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和先求出∠CED的度数，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出∠BCD的度数．解：如图所示，延长BC交AD于点E，∵∠A=50°，∠B=20°，∴∠CED=∠A+∠B=50°+20°=70°，∴∠BCD=∠CED+∠D=70°+30°=100°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练使用三角形的外角性质难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【答案】24°【解析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．教学建议：熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上DE∥BC，点B、C、F在一条直线上，若∠ACF=140°，∠ADE=105°，则∠A的大小为（）A．75°B．50°C．35°D．30°【答案】C【解析】根据平行线的性质得出∠DEC=140°，进而利用三角形内角和解答即可．解：∵DE∥BC，∴∠DEC=∠ACF=140°，∴∠AED=180°﹣140°=40°，∵∠ADE=105°，∴∠A=180°﹣105°﹣40°=35°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形内角和，关键是根据平行线的性质得出∠DEC=140°．教学建议：熟练运用平行线的性质和三角形的内角和定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．【答案】105°【解析】证明CD∥EF，得到∠2=∠BCD，证明DG∥BC，根据平行线的性质证明即可．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=105°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握平行线的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，△ABC中，∠A=50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30°【答案】C【解析】根据三角形的角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，根据三角形的外角的性质计算即可．解：∵由三角形的外角的性质可知，∠E=∠ECD﹣∠EBD，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E，∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，∵∠ACD﹣∠ABC=∠A=50°，∴∠ACD﹣∠ABC=25°，∴∠E=∠ECD﹣∠EBD=25°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：充分利用角平分线的性质和三角形的外角性质.教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，在△ABC中，点D在边BA的延长线上，∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，若∠BAC=80°，∠C=60°，则∠M的大小为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠ABC=40°，再根据角平分线的定义求出∠ABM，∠CAM，然后利用三角形的内角和定理求出∠M即可．解：∵∠BAC=80°，∠C=60°，∴∠ABC=40°，∵∠ABC的平分线和∠DAC的平分线相交于点M，∴∠ABM=20°，∠CAM=，∴∠M=180°﹣20°﹣50°﹣80°=30°，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．教学建议：熟记一内角、一外角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，求∠BFC的度数.【答案】120°【解析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．教学建议：熟记两内角角平分线的模型.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且交于点D，∠A=50°，则∠D=（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系：（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，它们相交于点D，请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由．【答案】 B（1）115°；（2）90°-12∠A；（3）∠D=12∠A【解析】（1）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可；（3）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，根据三角形的外角的性质解答．解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；∵∠A=50°，∴∠D=115°，故答案为：115°；（2）BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，∴∠DBC=∠EBC，∠FCB=∠ACB，∴∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠EBC+∠FCB）=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A；故答案为：90°﹣∠A；（3）∵BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角的角平分线，∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，∠D=∠2﹣∠1=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．教学建议：熟记三角形角平分线的3种模型.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【答案】（1）∠ACD=∠B；（2）∠CEF=∠CFE【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=30°，∠D=40°，求∠ACD的度数．【答案】80°【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．解：∵DF⊥AB，∠B=40°∴∠DFB=90°，∴∠B=90°﹣∠D=90°﹣40°=50°，∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=30°，∴∠ACD=∠B+∠A=50°+30°=80°．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查三角形外角与内角的关系，关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及三角形内角和定理、外角性质. 难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（）A．50°B．57.5°C．60°D．65°【答案】A【解析】先根据三角形内角和定理得出∠BCF+∠CBF的度数，再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．解：∵∠BFC=115°，∴∠BCF+∠CBF=180°﹣115°=65°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=2（∠BCF+∠CBF）=130°，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=．【答案】270°【解析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解．解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．故答案是：270°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】一个三角形的最大角不会小于度．【答案】60【解析】因为三角形的内角和是180度，假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于60度．解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．（用度数表示）【答案】180°【解析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．解：如右图所示，∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠C+∠A+∠D，又∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案是：180°．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BOA=125°，求∠DAC的度数．【答案】20°【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再求出∠C的度数，即可求出答案．解：∵AE，BF是角平分线，∴∠OAB=∠BAC，∠OBA=∠ABC，∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=2（180°﹣∠AOB），∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠CBA=110°，∴∠C=70°，∵∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．讲解用时：4分钟难度：3适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业6】已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，F是AD上一点，FE的延长线交BC的延长线于点G．求证：（1）∠EGH＞∠ADE；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．【答案】（1）成立；（2）∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF【解析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，根据三角形的外角性质得出∠EGH＞∠B，即可得出答案；（2）根据三角形的外角性质得出∠BFE=∠A+∠AEF，∠EGH=∠B+∠BFE，根据平行线的性质得出∠B=∠ADE，即可得出答案．证明：（1）∵∠EGH是△FBG的外角，∴∠EGH＞∠B，又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE．（两直线平行，同位角相等），∴∠EGH＞∠ADE；（2）∵∠BFE是△AFE的外角，∴∠BFE=∠A+∠AEF，∵∠EGH是△BFG的外角，∴∠EGH=∠B+∠BFE．∴∠EGH=∠B+∠A+∠AEF，又∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE（两直线平行，同位角相等），∴∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF．讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业7】如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．【答案】（1）成立；（2）110°【解析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，在△ABC中，∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣×140°=110°．讲解用时：4分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角-学而思培优第二节与三角形有关的角本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。
同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
1.三角形内角和定理及其应用三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
2.三角形的外角三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。
它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
此外，三角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。
这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
3.几何模型在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。
例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。
4.思想方法在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。
基础演练1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。
2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。
3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角形的顶角为100度。
4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。
2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。
3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角分是锐角三角形。
5.已知如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30度，则∠C的度数为150度。
6.已知如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于XXX60度，在B处测得灯塔C位于XXX25度，则∠ACB=95度。
7.已知如图11-2-5所示，∠XXX∠E+∠F，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为360度。
著名机构初中数学培优讲义与三角形有关的线段和角.第04讲(B级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题模块一、与三角形有关的边１ 三角形的基本概念：⑴三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．三角形具有稳定性．⑵三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角．在同一个三角形内，大边对大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角． ⑷三角形的分类：()()():⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形:三角形中有一个角是直角三角形按角分锐角三角形:三角形中三个角都是锐角斜三角形钝角三角形:三角形中有一个角是钝角不等边三角形:三边都不相等的三角形三角形按边分底边和腰不相等的等腰三角形:有两条边相等的三角形等腰三角形等边三角形正三角形有三边相等的三角形注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角(直角或钝角)时，该三角形即为锐角三角形(直角三角形或钝角三角形)．２ 与三角形相关的边⑴三角形中的三种重要线段知识点睛中考要求与三角形有关的线段和角①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部． ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心． 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部， 直角三角形有两条高分别与两条直角边重合．反之也成立．画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高． ⑵三角形三条边的关系①三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边．②三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边．即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段．注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．模块二、与三角形有关的角三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180︒．三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)． 三角形的外角和等于360︒． 三角形内角和定理的三个推论：推论1： 直角三角形的两个锐角互余．推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形内角和180︒的几种证明方法： ①添加平行线法：22112211②帕斯卡(法国数学家)折纸法：332211③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．三角形外角和360︒的证明法：CBA三角形按最大角的大小来分类：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形三角形的角与不等式：⒈若ABC ∆为锐角三角形，则090A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒； ⒉若ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，90A B C ∠=∠+∠=︒，B A C ∠=∠-∠，C A B ∠=∠-∠．⒊若ABC ∆为钝角三角形，且90A ∠>︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，090B C ︒<∠+∠<︒．模块三、多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质 ⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．例题精讲板块一、与三角形有关的线段【例1】若三角形的两边长分别为6cm，9cm，则其第三边的长可能为（）A、2cmB、3cmC、7cmD、16cm【解析】已知三角形的两边长分别为6cm和9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，或者任意两边之差＜第三边，即可求出第三边长的范围．【答案】设第三边长为xcm．由三角形三边关系定理得9﹣6＜x＜9+6，解得3＜x＜15．故选C．【例2】如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【解析】（1）由于都是以BC所在边为底，因此边上的高都相等．要两个三角形的面积相等，只需在BC上找出两条相等线段即可；（2）可通过构建全等三角形来求解．分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．那么我们不难得出△AEC≌△FBD，此时AC=DF，AE=BF，那么只需在三角形BFG和ADG中找出它们的关系即可．【答案】（1）如图1，相应的条件就应该是BD=CE≠DE，这样，三角形ABD和AEC的面积相等，由于BD=CE，因此BE=CD，那么三角形ADC和三角形ABE 的面积就相等．（2）证明：如图2，分别过点D、B作CA、EA的平行线，两线相交于F点，DF于AB交于G点．∴∠ACE=∠FDB，∠AEC=∠FBD在△AEC和△FBD中，又CE=BD，图2GFEDCBA∴△AEC ≌△FBD ， ∴AC=FD ，AE=FB ， 在△AGD 中，AG+DG ＞AD ， 在△BFG 中，BG+FG ＞FB ，∴AG+DG ﹣AD ＞0，BG+FG ﹣FB ＞0， ∴AG+DG+BG+FG ﹣AD ﹣FB ＞0， 即AB+FD ＞AD+FB ∴AB+AC ＞AD+AE ．图1DCBA【例3】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是 ． 【解析】不妨设三角形三边长分别为a ，b ，c 且a b c <<，故2b a c =+，设三角形的面积为S ，则S S a k c a c ==:，则1k <，由a b c +>，2a c a c ++>，则13k >．故113k <<．【答案】113k <<【例10】 在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A ．314k <<B ． 113k <<C ． 12k <<D ． 112k <<【解析】题目可以转化为，已知02a b c a c b a b c>>>⎧⎪+⎪=⎨⎪-<⎪⎩，求c a 的范围．由已知条件易得3c a c <<，即113ca<<，选B ．【答案】B【例11】 已知三角形中两条边的长分别为a 、b ，且a b >，求这个三角形的周长l 的取值范围( )A ．33a l b >>B ．2()2a b l a +>>C ．22a b l b a +>>+D ．32a b l a b ->>+ 【解析】∵a b c a b -<<+，∴22()a a b c a b <++<+，故选择B ．【答案】B【例12】 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )．A ．8B ．7C ．6D ．4 【解析】设5a b -=，由已知可得a b c ++为奇数，所以c 为偶数，且c a b >-，所以c 的最小值为6． 【答案】6【例13】 周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【解析】设三角形的三边长为a 、b 、c ，且a b c <<，则有30a b c a b c b a ++=⎧⎨+>>-⎩故230c a b c <++=，15c <；又330c a b c >++=，10c >，即1015c << 当14c =时，有5组解：13b =，3a =；12b =，4a =；11b =，5a =；10b =，6a =；9b =，7a =；当13c =时，有4组解：12b =，5a =；11b =，6a =；10b =，7a =；9b =，8a =； 当12c =时，有2组解：11b =，7a =；10b =，8a =； 当11c =时，有1组解：10b =，9a =；故周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有12个．【答案】12板块二、三角形内角和【例14】 如图，127.5∠=︒，295∠=︒，338.5∠=︒，求4∠的大小．4321ABDEC【解析】Q 23ADC ∠=∠+∠， 14180ADC ∠+∠+∠=︒，∴2314180∠+∠+∠+∠=︒， ∴9538.527.54180︒+︒+︒+∠=︒， ∴419∠=︒．【答案】19︒【例15】 如图，求A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值．(2)A BC D EFGIH【解析】连接BE 、FI ，AE 、AF ，那么D C BED EBC ∠+∠=∠+∠，G H HIF IFG ∠+∠=∠+∠ A B C D E F G H I ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠()BAI ABC BED EBC =∠+∠+∠+∠+()DEF GFE HIF IFG AIH ∠+∠+∠+∠+∠BAI ABE BEF IFE AIF =∠+∠+∠+∠+∠3180540=⨯︒=︒ 【答案】540︒【例16】 如图，P 是ABC △内一点，试比较BPC ∠与A ∠的大小．PCBA【解析】略【答案】图中没有三角形的外角，可适当引辅助线构造外角，再比较．延长BP 交AC 于D ．则有BPC PDC ∠>∠，且PDC A ∠>∠，所以BPC A ∠>∠．A PCBD【例17】 已知三角形的三个内角分别为α、β、γ，且αβγ≥≥，2αγ=，则β的取值范围是 ．【解析】由题意可得2(180)3αβ=︒-，1803βγ︒-=，解不等式组2180(180)33βββ︒-︒-≥≥，得：4572β︒︒≤≤．【答案】4572β︒︒≤≤【例18】 已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围． 【解析】①若(180)x -度为最大角，则最小角为(156)x -度，那么，156180(180)(156)180x x x x ------≤≤，解得104112x ≤≤；②设(180)x -度是中间角，则121801222x xx --+≤≤，112128x ≤≤； ③设(180)x -度为最小角，则180180(180)(204)204x x x x ------≤≤，解得128136x ≤≤，综合⑴、⑵、⑶得x 的范围是104136x ≤≤．【答案】104136x ≤≤．【例19】 在锐角三角形ABC ∆中，AB BC AC >>，且最大内角比最小内角大24︒，则A ∠的取值范围是 ． 【解析】∵AB BC AC >>，∴C A B ∠>∠>∠．设B x ∠=︒，则24C x ∠=︒+︒， 180(24)1562A x x x ∠=︒-︒-︒+︒=︒-︒． ∴24156215622490x x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+<⎩，解得4452x <<， 因此52156268x ︒<︒-︒<︒．故5268A ︒<∠<︒．【答案】5268A ︒<∠<︒【例20】 如右图所示，在ABC ∆中，CD 、BE 是外角平分线，BD 、CE 是内角平分线，BE 、CE 交于E ，BD 、CD 交于D ，试探索D ∠与E ∠的关系： ．ABCDEFGO【解析】在BEO ∆和DCO ∆中，∵11118090222EBO ABF ABC ∠=∠+∠=⨯︒=︒同理90DCO ∠=︒∴EBO DCO ∠=∠∵EOB DOC ∠=∠，∴D E ∠=∠【答案】D E ∠=∠【例21】 如图所示，点E 和D 分别在ABC ∆的边BA 和CA 的延长线上，CF 、EF 分别平分ACB ∠和AED ∠，试探索F ∠与B ∠，D ∠的关系： ．ABCDE FGH【解析】EGD ∆与CGF ∆中，EGD CGF ∠=∠∴F D DEG FCG ∠=∠+∠-∠同理BHC ∆与FHE ∆中，BHC FHE ∠=∠ ∴F B HCB HEF ∠=∠+∠-∠ ∵DEG HEF ∠=∠，FCG HCB ∠=∠∴2F D B ∠=∠+∠即1()2F D B ∠=∠+∠，也可连接EC ，而后利用等量代换求证．【答案】1()2F D B ∠=∠+∠【例22】 如图所示，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，试探索DCE ∠与DBE ∠和DAE ∠的关系： ．ABC DE【解析】连接DE ，∵在BDE ∆中，180DBE BDE BED ∠+∠+∠=︒ ∴180BDE BED DBE ∠+∠=︒-∠∵在ADE ∆中，180DAE ADE AED ∠+∠+∠=︒ 又∵ADE ADB BDE ∠=∠+∠，AED AEB BED ∠=∠+∠ ∴180()DAE ADB AEB BDE BED ∠+∠+∠=︒-∠+∠180(180)DBE DBE =︒-︒-∠=∠∴ADB AEB DBE DAE ∠+∠=∠-∠在DCE ∆中，180DCE CDE CED ∠+∠+∠=︒∵1()()2CDE CED ADB AEB BDE BED ∠+∠=∠+∠+∠+∠∴1180()()2DCE DBE DAE BDE BED ∠=︒-∠-∠-∠+∠11()()22DBE DBE DAE DBE DAE =∠-∠-∠=∠+∠，即：1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠ABC DE【答案】1()2DCE DBE DAE ∠=∠+∠【例23】 如图，60A ∠=︒，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，则BPE ∠的大小是 ．EPCBA【解析】思路1：分析可知BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，因为60A ∠=︒，故可以先考虑求出ABP ACP∠+∠的度数，根据题设条件，线段BP 、BE 把ABC ∠三等分，线段CP 、CE 把ACB ∠三等分，所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，12BPE BPC ∠=∠，这样只要求出ABC ACB ∠+∠的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出． 解法1 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠， 所以PE 是BPC ∠的平分线．即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒，又因为BP 、BE 把ABC ∠三等分，CP 、CE 把ACB ∠三等分．所以13ABP ABC ∠=∠，13ACP ACB ∠=∠，又因为BPC A ABP ACP ∠=∠+∠+∠，所以12()3BPE A ABC ACB ∠=∠+∠+∠，所以11601205026BPE ∠=⨯︒+⨯︒=︒．思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC ∆中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12BPE BPC ∠=∠，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23BCP ACB ∠=∠，23CBP ABC ∠=∠．解法2 ：在BPC ∆中，因为BE 平分CBP ∠，CE 平分BCP ∠，所以PE 是BPC ∠的平分线，即12BPE BPC ∠=∠．因为60A ∠=︒，所以120ABC ACB ∠+∠=︒．2()803BCP CBP ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，所以100BPC ∠=︒，所以1100502BPE ∠=⨯︒=︒．【点评】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．P 1C B AP 2P 1CB A易得结论：图1中有0011809022A AP +∠∠∠==+， 图2中有001180226033A AP +∠∠∠==+， 00001218029*********P A A P ∠+∠∠∠=+=+=+． 【答案】50︒【习题1】如图，△ABC 中，已知AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的取值范围是（ ）课后作业A 、0＜x ＜3B 、x ＞3C 、3＜x ＜6D 、x ＞6【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x 的取值范围． 【答案】若△ABC 是等腰三角形，需满足的条件是：6﹣x ＜x ＜6+x ，解得x ＞3； 故选B ．【习题2】已知在ABC ∆中，8AB =，14BC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 【解析】8787AD -<<+，即115AD <<；【答案】115AD <<【习题3】设ABC ∆的三边a 、b 、c 的长度均为自然数，且a b c ≤≤，13a b c ++=，则以a 、b 、c 为三边的三角形共有 个．【解析】由13a b c ++=，可知13a b c +=-，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，又a b c +>，所以13c c ->，即132c <，从而c 可取5、6又由a b c ≤≤，可知a 、b 、c 可取：3、5、5；4、4、5；1、6、6；2、5、6；3、4、6，共可组成5个三角形． 【答案】5个【习题4】如图所示，已知EGF BEG CFG ∠=∠+∠，试探索A B C D ∠+∠+∠+∠的度数．ABC D EFGMN【解析】略【答案】延长FG 交EB 于点O∵EGF BEG EOG ∠=∠+∠又∵EGF BEG CFG ∠=∠+∠ ∴EOG CFG ∠=∠，∴EB ∥FC∴180EMN FNM ∠+∠=o∵180()EMN A B ∠=-∠+∠o ，180()FNM C D ∠=-∠+∠o ∴180A B C D ∠+∠+∠+∠=o【习题5】如下图，ABC ∆中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．21ED B CA【解析】略【答案】260︒．【习题6】ABC ∆中，A ∠是最小角，B ∠是最大角，且25B A ∠=∠，若B ∠的最大值是m ︒，最小值是n ︒．则m n += ．【解析】25A B ∠=∠，依题意得2718055B B B ∠︒-∠∠≤≤，解得75100B ︒∠︒≤≤，故175m n +=．【答案】175【习题7】如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．AB C DE【解析】∵ACE A ABC ∠=∠+∠∵12DCE ACE ∠=∠，12DBC ABC ∠=∠∴12DCE A DBC ∠=∠+∠∵DCE D DBC ∠=∠+∠∴12D DBC A DBC ∠+∠=∠+∠，即12D A ∠=∠【答案】12D A ∠=∠【习题8】如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．A BCDEFG【解析】延长BD 交AC 于H ，则BDC HCD DHC ∠=∠+∠G F EDCBA H∵DHC A ABH ∠=∠+∠∴BDC A ABH HCD ∠=∠+∠+∠①∵BGC GFC FCG ∠=∠+∠，GFC A ABF ∠=∠+∠ ∴BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ ∴2222BGC A ABF FCG ∠=∠+∠+∠ 即22BGC A ABH ACD ∠=∠+∠+∠② ②－①得2BGC BDC A ∠-∠=∠ ∴211014080A ∠=⨯︒-︒=︒【答案】80︒。
2020七年级升八年级数学暑期衔接班讲义与三角形有关的角(无答案)新人教版
精品12CB AD A CB A B CFE DH DAB C EHE D C B A 第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 .②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 .④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 . 例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C DE I精品DA B E FC D E A FC B例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC 的度数.ED C B AMEDC B AED C B A精品ABO 4．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC 与∠E 互补，求∠BAC 的度数.第 二 讲作 业 1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ). (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A (C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠1 3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D) 4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ). A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠ =( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ). (A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC 中，∠C ＝70º，沿图中虚线截去∠C ， 则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).(A)150° (B)210° (C)105° (D)75°9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B+∠C =3∠A，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为 (B)一定有一个内角为(C)一定是直角三角形(D)一定是钝角三角形M EDCB A精品C BD AF E 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．。
人教版数学八上第2讲与三角形有关的角(基础) 知识讲解
第二讲与三角形有关的角（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ， 因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）． 又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】（春•安岳县期末）如图，在△ABC中，∠A=50°，E是△ABC内一点，∠BEC=150°，∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，则∠BDC的度数为多少？【答案】100°.解：∵△ABC中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段于点E,在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°.类型三、三角形的内角外角综合4.（春•江阴市校级月考）已知如图∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围．【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，即∠ABE=45°+∠CAB，又∵∠ABE=∠C+∠CAB，∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB．∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°．又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°．∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．与三角形有关的角（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是( ).A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( ).A．40° B．80° C．60° D．120°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝( ).A．80° B．90° C．100° D．110°4．（•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A.118°B.119°C.120°D.121°5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( ).A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( ).A．30° B．45° C．60° D．75°二、填空题7．如图，AD⊥BC，垂足是点D，若∠A＝32°，∠B＝40°，则∠C＝_______，∠BFD＝_______，∠AEF＝________．8．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，则∠C＝_______．9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．10．如图所示，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38°(即∠A ＝38°)，飞到了C地．已知∠ABC＝20°，现在飞机要到达B地，则飞机需以_______的角飞行(即∠BCD的度数)．11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB是________的外角．12.（春•通川区校级期末）如图中，∠B=36°，∠C=76°，AD、AF分别是△ABC的角平分线和高，则∠DAF=度．三、解答题13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．14．已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．15．（春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC，（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EPF=是否成立，并说明理由．16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】B；【解析】设∠B＝2x°，则∠C＝x°，由三角形的内角和定理可得，2x°＋x°＋60°＝180°，解得x°＝40°，∠B＝2x°＝80°．3. 【答案】D.4. 【答案】C；【解析】解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．5. 【答案】B；【解析】先求出三角形的三个内角度数，再判断三角形的形状．6. 【答案】D；【解析】利用平行线的性质及三角形的外角性质进行解答．二、填空题7. 【答案】58°，50°，98°；【解析】在Rt△ADC中，∠A＝32°，∠C＝58°；在Rt△BDF中，∠B＝40°，∠BFD＝50°；在△BEC，∠AEF＝∠B＋∠C＝98°．8. 【答案】90°.9. 【答案】 (1)48°； (2)27°； (3)85°；【解析】充分利用：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．10．【答案】58°.11.【答案】8，△DBC，△ADE；【解析】考查三角形外角的定义．12.【答案】20；【解析】解：∵∠B=36°，∠C=76°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣36°﹣76°=68°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=×68°=34°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36°+34°=70°，∵AF⊥BC，∴∠AFD=90°，∴∠DAF=180°﹣∠ADC﹣∠AFD=180°﹣70°﹣90°=20°．三、解答题13.【解析】解：连接AD，在△ADC中，∠1+∠CAD+∠CDA＝180°，在△ABD中，∠3+∠BAD+∠BDA＝180°．∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠CAD+∠BAD+∠3+∠CDA+∠BDA．＝(∠1+∠CAD+∠CDA)+(∠3+∠BAD+∠BDA)＝180°+180°＝360°．14.【解析】解：设∠A＝x°，则∠ABC＝∠C＝2x°．在△ABC中，由内角和定理有x+2x+2x＝180°，∴ x＝36°．人教版初中数学（知识讲解+例题+课后习题）∴∠C＝72°，在△BDC中，∵ BD是AC边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°，∴∠DBC＝90°-∠C＝18°．15.【解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==72°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．16.【解析】解：分别延长CB、DA交于点P．因为∠C＝85°，∠D＝55°，由三角形内角和可知∠P＝180°-∠C-∠D＝40°，即DA与CB相交成40°角．同理可得BA与CD相交成20°角．所以这个模板是合格的．。
第二节 解直角三角形及应用-学而思培优
第二节 解直角三角形及应用一、课标导靛二、核心纲要1.直角三角形的性质（如下表所示）如下右图所示，在Rt△ABC 中，C B A C ∠∠∠=∠、、,90 的对边分别为a ，b ，c ，斜边中线长为d ．2．解直角三角形(1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． (2)解直角三角形的基本类型（如下表所示）．3．几种常见的兰角形（如下表所示）4．相关概念(1)仰角和俯角都是视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的 角叫做俯角，如下左图所示．(2)如下中图所示，坡面的铅直高度h 和水平宽度L 的比叫做坡度（坡比）．用字母i 表示，即⋅=lhi 坡度一般写成1：m 的形式，如5:1=i 等，把坡面与水平面的夹角，记作α（叫做坡角），那么lhi =.tan α= (3)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角．如下右图所示，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东,30 南偏东 45（东南方向），南偏西,60 北偏西45（西北方向）．本节重点讲解：一个性质，四个图形，五个概念．三、全能突破基 础 演 练1．在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m ，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )m ．αcos 5.A αcos 5.B αsin 5.C αsin 5.D2．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图28-2-1所示，此时测得地面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为,30同一时刻，一根长为1m 且垂直于地面 放置的标杆在地面上的影长为2m ，则树的高度为( )m.36.+A 12.B 324.-C 10.D3．图28-2-2所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD OE m CD E AB CD ⊥=-,24,//￠于点E ．已测得⋅=∠1312sin DOE 根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过 小时才能将水排干．4．如图28-2-3所示，在△ABC 中，,32,45,30==∠=∠AC B A o 求△ABC 的面积．5．小红在学习教科书上相关内容后自制了一个测角仪(如图28-2-4(a)所示），并尝试用它来测量校园内一 座教学楼CD 的高度(如图28-2-4(b)所示）．她先在A 处测得楼顶C 的仰角,30=α再向楼的方向直10 米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角,60o=β若小红的目高(眼睛到地面的高度)AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：).24.25,73.13,41.12≈≈≈6．图28-2-5是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由045改为030．已知原传送带AB 长为4m.(1)求新传送带AC 的长度．(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2m 的通道，试判断距离B 点4m 的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由（计算结果精确到0.1m ，参考数据：，45.2624.2573.1.341.12≈≈≈≈，，，）7．如图28-2-6所示，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A 、B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为,60然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500 米，在点D 测得端点B 的俯角为,45求岛屿两端A 、B 的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈3).41.12,73.1≈8．如图28-2-7所示，一艘货轮在A 处发现其北偏东45方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海 警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里， 并测得海盗船位于海警舰北偏西60方向的C 处．(1)求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离．(2)若货轮以45海里／时的速度从A 处向正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里／时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）?能 力 提 升9．一副直角三角板按图28-2-8所示放置，点C 在FD 的延长线上，=∠=∠=∠E ACB F CF AB o ,90,//,212,45,30==∠AC A 则CD 的长为10.学校校园内有一小山坡，如图28-2-9所示，经测量，坡角,30 =∠ABC 斜坡AB 长为12m ．为方便学 生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1:3（即为CD 与BC 的长度之比），A 、D 两点处于同一铅垂线上，则开挖后小山坡下降的高度AD 为 m ．11.如图28-2-10所示，△ABC 内接于⊙0，,m BC =锐角,α=∠A 则⊙0的半径为 ，△ABC 的面积的最大值为12.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且,2=AC 设,tan m BOC =∠则m 的取值范围是13.如图28-2-11所示，四边形ABCD 中，,30,45,60,90,2o CAD ACB B BCD CD =∠=∠=∠=∠=求AB 的长．14.如图28-2-12所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点ABD CDB DAB E ∠=∠=∠,90,.6,30,45==∠=AB DCA 求AE 的长和△ADE 的面积．15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28-2-13所示，把一张长方形卡片AB-CD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知,36 =∠α求长方形卡片的 周长．”请你帮小艳解答这道题(结果精确到1mm).16.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图28 -2 -14所示，观测点设在A 处，离益阳大道的距离AC 为30m.这时，一辆小轿车由西向东 匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为.75,8 =∠BAC s (1)求B 、C 两点的距离．(2)请判断此车是否超过了益阳大道60km/h 的限制速度？（计算时距离精确到1m ，参考数据：,732.13,732.375tan ,2588.075cos ,9659.075sin ≈≈≈≈)/7.16/60s m h km ≈17.如图28 -2 -15所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500m ，高10m ，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m ，加固后背水坡EF 的坡比.3:1=i (1)求加固后坝底增加的宽度AF ．(2)求完成这项工程需要土石多少立方米（结果保留根号）?18．如图28 -2 -16所示，在△ABC 中，P AC BC ,2,3==为BC 边上一个动点，过点P 作PD∥AB，交AC 于点D ，连接BD ．(1)若,45oC =∠请直接写出：当=PCBP时，△BDP 的面积最大． (2)若α=∠C 为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时，△BDP 的面积最大？中 考 链 接19.（2012．杭州）如图28-2 -17所示，在Rt△ABO 中，斜边.1=AB 若,36,// =∠AOC BA OC 则( )．A.点B 到AO 的距离为o54sin B ．点B 到AO 的距离为36tan C ．点A 到OC 的距离为54sin 36sin D ．点A 到OC 的距离为54sin 36cos o20.（2012．张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图28-2-18(a)所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图28-2-18(b)所示，其中,23,15,90km CD km BC AB D B ====∠=∠ 请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据).45.2673.13414.12≈≈≈，， (2)求∠ACD 的余弦值．巅 峰 突 破21．如图28-2-19所示，在△ABC 中，C C A ∠=∠=∠,80,60的平分线与∠A 的外角平分线交于点D ，连接BD ，则BDC ∠tan 的值是( )．1.A 21.B 3.C 33.D22.如图28-2-20所示，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，,120,21=∠=ADB DC BD ,2=AD 若△ADC 的面积为,33-则=∠BAC。
八年级上数学课件11.2.1与三角形有关的角第二课时
分析：要想找出∠CAE与∠DBE有什
么关系，它们不在同一个三角形中， 通过观察知它们是在两个不同的直角
C
E
三角形中的锐角，只要找另外两个锐
角的关系即可。
A
D B
解：在△ACE中，∠C=90°， 所以∠CAE+∠AEC=90°，
在△BDE中，∠D=90°，所以∠DBE+∠BED=90°， 因为∠AEC=∠BED（对顶角相等）， 所以∠CAE=∠DBE.
检测反馈
1．一个三角形三个内角之比为1：1：2，则三角形 的形状是 等腰直角三角形 .
解析：设三角形三个内角度数分别为x，x， 2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，所以三 角形三个内角分别为45°，45°，90°，故此 三角形为等腰直角三角形.
2．直角三角形两锐角的平分线所成的夹角的度数
为_1__3_5__°_或__4__5__°.
解析:因为直角三角形的两个锐角互 余，所以角平分线分得两个锐角之和 为45°，则平分线相交成钝角为135°， 锐角为45°.
3.如图所示，在△ABC中，∠B=∠ACB=2∠A， CD⊥AB于D，求∠ACD和∠BCD的度数.
点拨:设∠A为x，则5x=180，解得x=36，所以 ∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，因为CD⊥AB，所以 ∠ACD=90°-36°=54°，∠BCD=90°-72°=18°.
三、探究直角三角形的判定
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三 角形两锐角互余。反过来，有两个角互余的三角 形是直角三角形吗？
参照直角三角形性质的几何推理过程，判定 定理几何推理过程又该怎样表示呢？
推理过程
如图，在△ABC中， ∠A+∠B+∠C= 180° A
2024年八年级07与三角形有关的角(基础)知识讲解
12
利用外角性质求角度
80%
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角之和。
100%
应用方法
已知一个外角及相邻的一个内角 ，求另一个内角；或已知两个内 角及一个外角，求第三个内角。
80%
示例
在△ABC中，已知∠A的外角为 120°，∠B=30°，则∠C的外角 =120°-30°=90°，进而求得 ∠C=180°-90°=90°。
已知等腰三角形MNO中， MN=NO，且角MNO=120度 ，求角NMO和角NOM的度数 。
21
在等腰三角形中，两个底角的 度数相等。由于角MNO=120 度，我们知道其他两个角的和 必须等于60度（因为三角形的 内角和为180度）。因此，每 个底角的度数等于60度的一半 ，即30度。所以，角NMO= 角NOM=30度。
10
03
三角形角度计算方法
2024/2/29
11
利用内角和定理求角度
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
应用方法
已知两个内角，求第三个内角；或已知一个内角及 相邻的两边，求另一个内角。
示例
在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°60°-45°=75°。
2024/2/29
题目二
已知三角形DEF中，DE=DF，且角D=80度，求 角E和角F的度数。
2024/2/29
解析
由于DE=DF，根据等边三角形的性质，我们知 道等边三角形的两个底角相等。因此，角E和角F 的度数相等，并且它们的和加上角D的度数等于 180度。所以，角E=角F=(180度-80度)/2=50 度。
20
八年级07与三角形有关的角( 基础)知识讲解
第一节 与三角形有关的线段-学而思培优
第一节与三角形有关的线段-学而思培优本文讲解了与三角形有关的线段，包括三角形的定义、分类、三边关系定理及其应用、三条重要的线段（高、中线、角平分线）以及三线交点位置等。
文章还介绍了三角形的稳定性和整数边三角形，并提供了数学方法和几何模型。
最后，文章提供了基础演练题目。
1.三角形的定义：三条不在同一条直线上的线段首尾相接组成的图形。
2.三角形的分类：按边分类。
3.三角形的三边关系定理及其应用：1) 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2) 应用：判断能否围成三角形、确定第三边的长或周长取值范围、化简代数式、证明线段间的不等关系等。
4.三角形的三条重要线段：1) 高：从一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。
2) 中线：连接一个顶点和对边中点的线段。
3) 角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段。
5.三线交点位置：1) 锐角三角形的三条高线交点在内部，直角三角形的交点是直角顶点，钝角三角形的交点在外部，叫做垂心。
2) 三角形的三条中线交于内部的一点，叫做重心。
3) 三角形的三条角平分线交于内部的一点，叫做内心。
6.三角形具有稳定性。
7.整数边三角形：1) 边长都是整数的三角形。
2) 若a、b、c是三角形的三边，且a≥b≥c，则a<b+c，且仅当a=b=c时等号成立。
8.数学方法：几何问题代数化、分类讨论等。
9.几何模型：三角形、三角形的高线、中线和角平分线、整数边三角形。
基础演练：1.(1) C (2) A2.根据图11-1-1，小方在池塘的一侧选取一点，测得OA=15米，OB=10米。
求估计池塘岸边A、B两点的距离。
已知A、B间的距离不可能是（）A.5米B．10米C．15米D．20米。
3.如果三角形三条高线的交点恰好是这个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．均有可能。
4.如果一个三角形的两边长分别为5和7，则周长L的取值范围是多少？如果x为最长边，则x的取值范围是多少？5.设三角形三边之长分别为3，8，2a-1，则a的取值范围是多少？6.根据图11-1-2，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定。
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角一、课标导航二、核心纲要1.三角形内角和定理及其应用180(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是.(2)三角形内角和定理的应用①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；②证明角之间的关系．2．三角形的外角(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．(2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．360(3)三角形外角和定理：三角形外角和是.(4)三角形外角的性质的应用①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；②可证一个角等于另两个角的和；③利用它作为中间关系式证明两个角相等；④利用它证明角的不等关系．3．几何模型4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．三、全能突破基 础 演 练1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )．75.A o B 60. 65.C o D 55.2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )．36.A 72.B 108.C 144.D3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40则这个等腰三角形的顶角 为( )．40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D4．(1)在△ABC 中，若,4:3:2::=∠∠∠C B A 则=∠A =∠B , =∠C , (2)在△ABC 中，若,3121C B A ∠=∠=∠则=∠C (3)若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形按角分是 三角形．5．已知：如图11-2 -3所示，AB CE ⊥于点BC AD E ⊥,于点,30,=∠A D 则C ∠的度数为6．已知：如图11—2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东,60在B 处测得灯塔C 位于北偏东,25则=∠ACB7．如图11-2—5所示，已知D C B A F E EGF ∠+∠+∠+∠∠+∠=∠求,的度数．8．(1)已知，如图11—2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，试说明：).(21B C DAE ∠-∠=∠(2)如图11-2 -7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点,,BC IH I ⊥垂足为H ，HIC BID ∠∠与是否相等？并说明理由．能 力 提 升9．在三角形中，最大角口的取值范围是( )．900.<<αA 18060.<<αB 9060.<≤αC 18060.<≤αD10.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是( )．45.A 135.B 45.C 或 135 D ．都不对11.如图11-2 -8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则21∠+∠∠与A 之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是( )．21.∠+∠=∠A A )21(21.∠+∠=∠A B )212(31.∠+∠=∠A C )21(32.∠+∠=∠A D12.已知△ABC 的三个内角为,C B A ∠∠∠、、且C A C B B A ∠+∠=∠+∠=∠+∠=γβα,,则γβα,, 中，锐角的个数最多为( )．0.A 1.B 2.C 3.D13.在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，C B ∠∠,越来越大，若A ∠减少B ∠,α增加C ∠,β增加,γ则γβα,,三者之间的关系是14.在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，,50=∠A 则=∠BHC15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20角，则这个三角形的顶角是16.如图11-2 -9所示，在△ABC 中，B A 1平分C A ABC 1,∠平分,ACD ∠B A 2平分C A BD A 21,∠平分B A CD A 31,∠平分C A BD A 32,∠平分,2CD A ∠若,64 =∠A 则=∠3A ；依此类推，若=∠=∠n A A ,α17．(1)如图11—2-10所示，在△ABC 中，么ABC 的咒等分线与么ACB 的咒等分线分别相交于,,21G G,,,13-n G G 试猜想：C BG n 1-∠与A ∠的关系．（其中咒是不小于2的整数）．首先得到：当2=n时，如图(a)所示，=∠C BG 1 ，当3=n 时，如图(b)所示，=∠C BG 2 ，…，如图(c)所示，猜想=∠-C BG n 1(2)如图(d)所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是BCD ABC ∠∠,的角平分线，则D A P ∠∠∠,与 之间的数量关系为18.如图11-2 -11所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分CG AE AG BAC ,,⊥∠是△ABC 的外角么ACF 的平分线，若,60=∠-∠DAE G 则ACB ∠=19.阅读材料：如图11-2 -12所示，AD 与CB 相交于0点，在△AOB 和△COD 中，=∠+∠+∠AOB B A,180 ,180 =∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠所以,D C A B ∠+∠=∠+∠图形类似于数字“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题如图11-2 -13所示，BE 平分DE ABC ,∠ 平分BE C A ADC ,46,48,=∠=∠∠与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ． (1)仔细观察图11-2 -13中有 个“8”字形． (2)求BED ∠的度数．(3)试探究C F A ∠∠∠,,之间的关系．（直接写出结论）20.如图11-2 -14所示，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，(1)若BAN ABM ∠∠,的平分线交于点C ．问：点B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改 变？若不改变，直接写出结论；若改变，说明理由． (2)如图11-2 -15所示，若BAN ABO ∠∠、的平分线所在的直线相交于点C ，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．21.如图11-2 -16所示，在△ADE 和△ABC 中，=∠=∠=∠=∠=∠BAD BCA BAC AED EAD o,45 BCF ∠(1)求ECA DAC ECF ∠+∠+∠的度数；(2)判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．22.如图ll-2-17(a)所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分,DEQ ∠过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使,BDC ADE ∠=∠已知),0,(),0,(n E m C 其中m ，n 满足.0)4(|3|2=++-n m(1)求点C 、E 的坐标．(2)若,30=∠ABC 求Q ∠的度数．(3)如图11-2-17 (b)所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D 作,AB DH ⊥交x 轴 于点G ，交y 轴于点H.直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①Q ∠的大小不变；②OHDQ∠∠的值不变，选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．中 考 链 接23.（2011．四川绵阳）将一副常规的三角尺按图11-2 -18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为( )．75.A 95.B 105.C 120.D24.（2012．烟台）一副三角板叠在一起，按图11-2 -19所示方式放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．如果,100=∠ADF 那么BMD ∠的度数为巅 峰 突 破25.如图11-2 - 20所示，在Rt△ABC 中，,31,90DAB DAF C ∠=∠=∠,31EBA EBG ∠=∠则射线AF 与BG( )．A ．平行B ．延长后相交C ．反向延长后相交D ．可能平行也可能相交26.如图11-2 - 21所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分,,βα=∠=∠∠B A AEB 若则=∠C ．（用βα、 表示）。
《与三角形有关的角》人教版2课件pptx
内错角
在两条直线被第三条直线所截，两个 角分别在截线的两侧，且夹在两条被 截直线之间，具有这样位置关系的一 对角叫做内错角。
角度计算与证明方法
01
角度计算：在三角形中，已知两个角的度数，可以计算出第 三个角的度数。同时，也可以利用三角形的内角和性质进行 计算。
02
证明方法：在证明与三角形有关的角度问题时，常采用以下 方法
判定
有两条边相等的三角形是等腰三角形；有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称： 等角对等边）。
等边三角形性质与判定
性质
等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°；每条边上的中线、 高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）；是轴对称图形， 对称轴分别是三条边的垂直平分线。
判定
三边相等的三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形是 等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
三角形外角性质
三角形外角的定义
三角形的一边与另一边的延长线组成 的角，叫做三角形的外角。
三角形外角性质
三角形的外角和为360°，且每个外角等 于相邻两个内角的和，同时每个外角大 于任何一个和它不相邻的内角。
02
与三角形有关的角度概念
邻补角与对顶角
邻补角
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角， 叫做邻补角。
直角三角形性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余；斜边上 的中线等于斜边的一半；勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
判定
有一个角为90°的三角形是直角三角 形；若a²+b²=c²，则以a、b、c为边 的三角形是以c为斜边的直角三角形 （勾股定理的逆定理）。
04
【人教版】数学八年级上 册 11.2三角形有关的角第二课时(共23张ppt)
7、人往往有时候为了争夺名利，有时驱车去争，有时驱马去夺，想方设法，不遗余力。压力挑战，这一切消极的东西都是我进取成功的催化剂。 8、真想干总会有办法，不想干总会有理由;面对困难，智者想尽千方百计，愚者说尽千言万语;老实人不一定可靠，但可靠的必定是老实人;时间，抓起来是黄金，抓不起来是流水。 9、成功的道路上，肯定会有失败;对于失败，我们要正确地看待和对待，不怕失败者，则必成功;怕失败者，则一无是处，会更失败。1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。
又∵∠C＝180°－∠ADC－∠DAC
∴∠C＝180°－80°－30°＝70°
五、运用新知
例1：如图，D是△ABC的BC边上 一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝
80°，∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数. B
A
80°
D
C
（2）解法2：∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180° ∴∠C＝180°－∠B－∠BAC ＝180°－40°－70°＝70°
12、你们要学习思考，然后再来写作。——布瓦罗 13、在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。——华罗庚
14、许多年轻人在学习音乐时学会了爱。——莱杰 15、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基 16、我们一定要给自己提出这样的任务：第一，学习，第二是学习，第三还是学习。——列宁 17、学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。——毛泽东
学而思培优之线段与角的画法拓展(二)
2．角的表示方法 ⑴用三个大写字母来表示，取两边上各一点和顶点的字母 ，顶点一定要写在中间，如图⑴。也可记为∠BOA，但 不能写成∠BAO或 ∠ABO等。 A O B ∠AOB ⑴ A ∠A ⑵ 1 ∠1 ⑶ α ∠α ⑷
⑵ 用一个大写字母来表示，这个大写字母一定要表示角的顶 点，而且以它为顶点的角有且只有一个。如图⑵。 ⑶用数字来表示角，如图⑶。 ⑷ 用希腊字母来表示角，如图⑷。 A O B ∠AOB ⑴ A ∠A ⑵ 1 ∠1 ⑶ α ∠α ⑷
7
6
5
4 3 2 1
A D B C
⑶饭后，韩老师准备外出散步，出发时看了一下钟，时间是6 点多，时针与分针成 90°角，散完步后回家，韩老师又看 了一下钟，还不到7点，而时针与分针又恰好成90°角，问 韩老师外出多少分钟？
【例7】如图，将两块三角板的直角顶点重叠在一起。 ⑴若∠AOD＝20°，则∠COB＝_____。
O
【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分 线， ⑴如果∠AOC＝28°，∠MON＝35°，求出∠AOB 的度数； ⑵如果∠MON＝n°，求出∠AOB的度数； ⑶如果∠MON＝n°的大小改 变， ∠AOB的大小是否随之 改变？它们之间有怎样的大 小关系？请写出来。 O B N C M A
A C 20° O
D
B
4
⑵若∠AOD＝30°，则∠COB＝____。 A C 30° O B D
⑶若∠AOD＝50°，则∠COB＝____。 C A D 50° O B
⑷若∠AOD＝α，猜想∠COB与α的数量关系为_____(用式子 表示)。 C 【例1】 A α O D B
角的计算与证明(下)
下列图中的角表示方法正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C AOB C A B A B A B ∠ABC ∠CAB 直线是平角 ∠AOB是平角
初中数学.与三角形有关的角.第02讲.学生版
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180︒．三角形的外角：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等．每个顶点处的两个外角是相等的．三角形的外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6个外角之和)．三角形的外角和等于360︒． 三角形内角和定理的三个推论：推论1： 直角三角形的两个锐角互余．推论2： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3： 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形内角和180︒的几种证明方法： ①添加平行线法：22112211②帕斯卡(法国数学家)折纸法：332211③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角． 三角形外角和360︒的证明法：CBA三角形按最大角的大小来分类：⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形：最大的内角为锐角的三角形直角三角形：最大的内角为直角的三角形钝角三角形：最大的内角为钝角的三角形三角形的角与不等式：⒈若ABC ∆为锐角三角形，则090A ︒<∠<︒，090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒； ⒉若ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=︒，则090B ︒<∠<︒，090C ︒<∠<︒，90A B C ∠=∠+∠=︒，B A C ∠=∠-∠，C A B ∠=∠-∠．与三角形有关的角多边形及其内角和１ 基本概念⑴ 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ⑵ 多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． ⑶ 多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．⑷ 多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． ⑸ 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．⑹ 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． ⑺ 正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．⑻ 凸多边形：如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧的多边形．２ 基本性质⑴ 稳定性．⑵ 内角和与外角和定理．如下图，n 边形的内角和为(2)180n -⨯︒(3)n ≥，多边形的外角和都是360︒．分割成(n-2)个三角形求内角和n 个平角-内角和⑶ n 边形的对角线：一个顶点有(3)n -条对角线，共有(3)2n n-条对角线． ⑷ 不特别强调多边形都指凸多边形，凸多边形的每个内角都小于180︒．板块一、三角形的面积【例1】 在ABC △中，D 是BC 边上的点，且:2:1BD DC =，ABC △的面积是36，则ABD △的面积是 ．【例2】 已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差． 方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 现给出三点坐标：(14)A -，，(22)B ，，(41)C -，，请你选择一种方法计算ABC ∆的面积，你的答案是ABC S ∆=_________．板块二、三角形内角和【例3】 已知在ABC ∆中，80C ∠=︒，20A B ∠-∠=︒，则B ∠的度数是( )A ．60︒B ．30︒C ．20︒D ．40︒【例4】 如下图，求C D ∠+∠的度数．70︒30︒E DCBA【例5】 如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数．ABC D EF【例6】 如图所示，已知70A ∠=︒，40B ∠=︒，20C ∠=︒，求BOC ∠度数．ABCO【例7】 如图所示，已知EGF BEG CFG ∠=∠+∠，试探索A B C D ∠+∠+∠+∠的度数．ABC D EFGMN【例8】 如下图，已知133α∠=︒，83β∠=︒，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．DCAβα【例9】 如下图，ABC ∆中，80A ∠=︒，剪去A ∠后，得到四边形BCED ，则12∠+∠= ．21ED B CA【例10】 如图所示，将ABC △沿着DE 翻折，若1280∠+∠=︒，则B ∠= ．A BCDE 12【例11】 如图在三角形纸片ABC 中，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC △内，若120∠=︒，则2∠为多少度？FEADC21【例12】 若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是 ．【例13】 如下图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 为AB 上两点，若AE AC =，45DCE ∠=︒，求证：BC BD =．54321E D CB A【例14】 已知三角形有一个内角是(180)x -度，最大角与最小角之差是24︒．求x 的取值范围．板块三、涉及角平分线的图形中角的关系【例15】 如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ACB ∠的角平分线，BD 、CD 交于D ，试探索A∠与D ∠之间的关系： ．A BCD【例16】 如右图所示，BD 是ABC ∆的外角平分线，CD 也是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，试探索A ∠与D ∠之间的关系： ．ABCDEF【例17】 如图，在三角形ABC 中，42A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D 、E ，求BDC ∠的度数．A BCD E【例18】 如图，延长四边形ABCD 对边AD ，交BC 于F ，DC ，AB 交于E ．若AED ∠，AFB ∠的平分线交于O ，求证：1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠．A B CDEF O【例19】 如图，BF 是ABD ∠的角平分线，CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ，若140BDC ∠=︒，110BGC ∠=︒，求A ∠的度数．A BCDEFG【习题1】如图，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠= ．ECDBA【习题2】如下图，求α∠的度数．课后作业αD CB A73︒30︒37︒【习题3】如下图，求A B C D ∠+∠+∠+∠= ．120︒100︒D CB A【习题4】已知ABC ∆的三个内角为A ∠，B ∠，C ∠，令B C α∠=∠+∠，C A β∠=∠+∠，A B γ∠=∠+∠，则α∠，β∠，γ∠中锐角的个数至多为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【习题5】 如右图所示，BD 是ABC ∠的角平分线，CD 是ABC ∆的外角平分线，BD 、CD 交于点D ，若70A ∠=︒，求D ∠．AB C DE。
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第二节与三角形有关的角一、课标导航
二、核心纲要
1.三角形内角和定理及其应用
180
(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是.
(2)三角形内角和定理的应用
①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；
②证明角之间的关系．
2．三角形的外角
(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
(2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
360
(3)三角形外角和定理：三角形外角和是.
(4)三角形外角的性质的应用
①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；
②可证一个角等于另两个角的和；
③利用它作为中间关系式证明两个角相等；
④利用它证明角的不等关系．
3．几何模型
4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，
本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．
三、全能突破
基 础 演 练
1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )．
75.A o B 60. 65.C o D 55.
2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )．
36.A 72.B 108.C 144.D
3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40
则这个等腰三角形的顶角 为( )．
40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D
4．(1)在△ABC 中，若,4:3:2::=∠∠∠C B A 则=∠A =∠B , =∠C , (2)在△ABC 中，若,3
1
21C B A ∠=∠=
∠则=∠C (3)若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形按角分是 三角形．
5．已知：如图11-2 -3所示，AB CE ⊥于点BC AD E ⊥,于点,30,
=∠A D 则C ∠的度数为
6．已知：如图11—2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东,60
在B 处测得灯塔C 位于北偏东,25
则=∠ACB
7．如图11-2—5所示，已知D C B A F E EGF ∠+∠+∠+∠∠+∠=∠求,的度数．
8．(1)已知，如图11—2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，试说明：).(2
1
B C DAE ∠-∠=
∠
(2)如图11-2 -7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点,,BC IH I ⊥垂足为H ，
HIC BID ∠∠与是否相等？并说明理由．
能 力 提 升
9．在三角形中，最大角口的取值范围是( )．
900.<<αA 18060.<<αB 9060.<≤αC 18060.<≤αD
10.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是( )．
45.A 135.B 45.C 或 135 D ．都不对
11.如图11-2 -8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则21∠+∠∠与A 之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是( )．
21.∠+∠=∠A A )21(21.∠+∠=
∠A B )212(31.∠+∠=∠A C )21(3
2
.∠+∠=∠A D
12.已知△ABC 的三个内角为,C B A ∠∠∠、、且C A C B B A ∠+∠=∠+∠=∠+∠=γβα,,则γβα,, 中，锐角的个数最多为( )．
0.A 1.B 2.C 3.D
13.在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，C B ∠∠,越来越大，若A ∠减少B ∠,α
增加C ∠,β增加,γ则γβα,,三者之间的关系是
14.在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，,50
=∠A 则=∠BHC
15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成
20角，则这个三角形的顶角是
16.如图11-2 -9所示，在△ABC 中，B A 1平分C A ABC 1,∠平分,ACD ∠B A 2平分C A BD A 21,∠平分
B A CD A 31,∠平分
C A B
D A 32,∠平分,2CD A ∠若,64 =∠A 则=∠3A ；依此类推，若=∠=∠n A A ,α
17．(1)如图11—2-10所示，在△ABC 中，么ABC 的咒等分线与么ACB 的咒等分线分别相交于,,21G G
,,,13-n G G 试猜想：C BG n 1-∠与A ∠的关系．（其中咒是不小于2的整数）．首先得到：当2=n
时，如图(a)所示，=∠C BG 1 ，当3=n 时，如图(b)所示，=∠C BG 2 ，…，如图(c)所示，猜想=∠-C BG n 1
(2)如图(d)所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是BCD ABC ∠∠,的角平分线，则D A P ∠∠∠,与 之间的数量关系为
18.如图11-2 -11所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分CG AE AG BAC ,,⊥∠是△ABC 的外角么ACF 的平分线，若,60
=∠-∠DAE G 则ACB ∠=
19.阅读材料：如图11-2 -12所示，AD 与CB 相交于0点，在△AOB 和△COD 中，=∠+∠+∠AOB B A
,180 ,180 =∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠所以,D C A B ∠+∠=∠+∠图形类似于数字
“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题如图11-2 -13所示，BE 平分DE ABC ,∠ 平分BE C A ADC ,46,48,
=∠=∠∠与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ． (1)仔细观察图11-2 -13中有 个“8”字形． (2)求BED ∠的度数．
(3)试探究C F A ∠∠∠,,之间的关系．（直接写出结论）
20.如图11-2 -14所示，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，
(1)若BAN ABM ∠∠,的平分线交于点C ．问：点B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改 变？若不改变，直接写出结论；若改变，说明理由． (2)如图11-2 -15所示，若BAN ABO ∠∠、的平分线所在的直线相交于点C ，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．
21.如图11-2 -16所示，在△ADE 和△ABC 中，=∠=∠=∠=∠=∠BAD BCA BAC AED EAD o
,45 BCF ∠
(1)求ECA DAC ECF ∠+∠+∠的度数；
(2)判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．
22.如图ll-2-17(a)所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分,DEQ ∠过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使,BDC ADE ∠=∠已知
),0,(),0,(n E m C 其中m ，n 满足.0)4(|3|2=++-n m
(1)求点C 、E 的坐标．
(2)若,30
=∠ABC 求Q ∠的度数．
(3)如图11-2-17 (b)所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D 作,AB DH ⊥交x 轴 于点G ，交y 轴于点H.直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①Q ∠的大小不变；②OHD
Q
∠∠的值不变，
选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．
中 考 链 接
23.（2011．四川绵阳）将一副常规的三角尺按图11-2 -18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为( )．
75.A 95.B 105.C 120.D
24.（2012．烟台）一副三角板叠在一起，按图11-2 -19所示方式放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰
直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．如果,100
=∠ADF 那么BMD ∠的度数为
巅 峰 突 破
25.如图11-2 - 20所示，在Rt△ABC 中，,31,90DAB DAF C ∠=
∠=∠
,3
1
EBA EBG ∠=∠则射线AF 与BG( )．
A ．平行
B ．延长后相交
C ．反向延长后相交
D ．可能平行也可能相交
26.如图11-2 - 21所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分,,βα=∠=∠∠B A AEB 若则=∠C ．（用βα、 表示）。