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《向量垂直的坐标表示》进阶练习(二)

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向量垂直坐标运算练习题

向量垂直坐标运算练习题

向量垂直坐标运算练习题一、选择题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (3, 2)，则向量a与向量b 是否垂直？A. 是B. 否2. 若向量a = (4, 5)，向量b = (5, 4)，则向量a与向量b是否垂直？A. 是B. 否3. 设向量a = (x, y)，向量b = (y, x)，若向量a与向量b垂直，则x和y的关系是：A. x = yB. x = yC. x + y = 0D. x y = 04. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (6, 8)，则向量a与向量b 是否垂直？A. 是B. 否二、填空题1. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b 的点积为______。

直，则k的值为______。

3. 设向量a = (x, 3)，向量b = (4, y)，若向量a与向量b垂直，则x与y的关系为______。

4. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (m, 4)，若向量a与向量b 垂直，则m的值为______。

三、解答题1. 已知向量a = (2, 1)，向量b = (3, 4)，求向量a与向量b 的夹角。

2. 设向量a = (x, 5)，向量b = (8, 2x)，若向量a与向量b垂直，求x的值。

3. 已知向量a = (4, 3)，向量b = (5, 2m)，求m的值，使得向量a与向量b垂直。

4. 已知向量a = (k, 6)，向量b = (9, 2k)，求k的值，使得向量a与向量b垂直。

5. 设向量a = (x, y)，向量b = (y, x)，若向量a与向量b垂直，求x和y的关系。

四、判断题1. 若向量a = (1, 1)，向量b = (1, 1)，则向量a与向量b垂直。

（）2. 已知向量a = (3, 0)，向量b = (0, 4)，则向量a与向量b 垂直。

（）3. 若向量a = (2t, t)，向量b = (t, 2t)，且t ≠ 0，则向量a与向量b垂直。

人教A版数学必修四习题：第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示分层训练进阶冲关含答案

人教A版数学必修四习题：第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示分层训练进阶冲关含答案

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知▱ABCD中,∠DAB=30°,则与的夹角为( D )A.30°B.60°C.120°D.150°2.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( B )A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=3.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为( C )A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j4.若AD是△ABC的中线,已知=a,=b,则以a,b为基底表示=( B )A.(a-b)B.(a+b)C.(b-a)D.b+a5.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则P 点的坐标为( D )A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)6.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为( D )A.-3B.2C.4D.-67.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2= (-4,9).8.已知向量a,b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为3.9.已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,则向量的坐标为(-3,3).10.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若λa+μb与a+b共线,则λ与μ的关系是λ=μ.11.已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,k a-b与a+2b共线?(2)若=2a+3b, =a+m b且A,B,C三点共线,求m的值.【解析】(1)k a-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为k a-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-.(2)因为A,B,C三点共线,所以 =λ ,λ∈R,即2a+3b=λ(a+m b),所以解得m=.12.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底.(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式.(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.【解析】(1)若a,b共线,则存在λ1∈R,使a=λ1b,则e1-2e2=λ1(e1+3e2).由e1,e2不共线,得⇒所以λ1不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=m a+n b(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以⇒所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.所以⇒故所求λ,μ的值分别为3和1.B组提升练(建议用时20分钟)13.AD与BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,且=a,=b,则=( B )A.a+bB.a+bC.a-bD.-a+b14.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=k a+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( D )A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向15.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为m≠.16.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=.设=λ+(λ∈R),则λ=.17.在平行四边形ABCD中,=a,=b,(1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.(2)=-=b-a,因为O是BD的中点,G是DO的中点,所以==(b-a),所以=+=a+(b-a)=a+b.18.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系.(2)若=2,求点C的坐标.【解析】(1)若A,B,C三点共线,则与共线.=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),=(a-1,b-1),所以2(b-1)-(-2)(a-1)=0,所以a+b=2.(2)若=2,则(a-1,b-1)=(4,-4),所以所以所以点C的坐标为(5,-3).C组培优练(建议用时15分钟)19.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【解析】因为==(0,5)=,所以C.因为==(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),==.因为∥,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①又=,=,因为∥,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.20.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若++=0,求的坐标.(2)若=m+n (m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以解得所以点P的坐标为(2,2).故=(2,2).(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为=m+n,所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图象上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.关闭Wor d文档返回原板块。

(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)

(压轴题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A ．1B ．25C ．5D ．32．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．323．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．64．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+5．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，6AB =，3AD CD ==，E 是CD 的中点，14DF DA =，若12AE BF ⋅=-，则梯形ABCD 的高为（ ）A ．1B 6C 5D ．26．已知M 、N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则PM PN +的取值范围为（ ）A ．53,53+⎡⎣B ．103,103⎡-⎣C ．523,523-+⎡⎣D ．1023,1023-+⎡⎤⎣⎦7．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．328．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ） A ．(0,21⎤-⎦B ．(0,21⎤+⎦ C ．21,21⎡⎤-+⎣⎦D ．)21,⎡-+∞⎣9．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定10．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b + B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +11．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，且6πθ=，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1，则b =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．412．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（ ）A ．12B ．13C ．2D ．23二、填空题13．已知向量(9,6),(3,)a b x ==，若//a b ，则()b a b ⋅-=___________.14．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内． 其中真命题为______15．已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________. 16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t的值为_____________.18．已知ABC 的三边长3AC =，4BC =，5AB =，P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-的最大值为______________.19．向量a ，b ，c 在正方形网格（每个小正方形的边长为1）中的位置如图所示，若向量a b λ+与c 共线，则||a b λ-=________．20．已知ABC ∆中，3AB =，5AC =，7BC =，若点D 满足1132AD AB AC =+，则DB DC ⋅=__________．三、解答题21．已知向量()sin ,cos a x x =，()3,1b =-，[]0,x π∈.（1）若a b ⊥，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.22．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ⊥，求PA PB ⋅的值； （2）求PA PB ⋅的最小值.23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角； （2）求2a b -.24．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 25．已知||1a =，||2b =.（1）若向量a 与向量b 的夹角为135︒，求||a b +及b 在a 方向上的投影； （2）若向量a b -与向量a 垂直，求向量a 与b 的夹角. 26．已知向量a 、b 的夹角为3π，且||1a =，||3b =. （1）求||a b +的值； （2）求a 与a b +的夹角的余弦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【解析】因为a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则cos cos 4cos 2cos 2a b πθθθθθ===⇒=，又由2()a b a b -=-且4,2a b ==，所以222()225a b a b a a b b -=-=-⋅+=，故选B.2．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,255m n =-，，求得55m =， ∴452555D ⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE OD λλλ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 3．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈， 作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2， 所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.4．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．5．C解析：C 【分析】以,AD AB 为一组基底，表示向量,AE BF ，然后利用12AE BF ⋅=-，求得2cos 3BAD ∠=，然后由梯形ABCD 的高为sin AD BAD ⋅∠求解. 【详解】因为14AE AD DE AD AB =+=+，34BF AF AB AD AB =-=-， ∴22133113444416AE BF AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，223113cos 4416AD AB AD AB BAD =--⋅∠， 31117936cos 12448BAD =⨯-⨯-∠=-， ∴2cos 3BAD ∠=，∴25sin 1cos 3BAD BAD ∠=-∠=， ∴梯形ABCD 的高为sin 5AD BAD ⋅∠=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算以及平面向量的基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】作出图形，可求得线段MN 的中点Q 的轨迹方程为2234x y +=，由平面向量加法的平行四边形法则可得出2PM PN PQ +=，求得PQ 的取值范围，进而可求得PM PN +的取值范围. 【详解】由1MN =，可知OMN 为等边三角形，设Q 为MN 的中点，且3sin 602OQ OM ==，所以点Q 的轨迹为圆2234x y +=，又()3,4P ，所以，3322PO PQ PO -≤≤+，即3355PQ -≤≤+. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2PM PN PQ +=，因此2103,103PM PN PQ ⎡⎤+=∈-+⎣⎦.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量模长的取值范围的计算，考查了圆外一点到圆上一点距离的取值范围的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+， 令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32． 故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出22OB x y d =+=,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 21,O 在BM 的延长线上时,OB 21． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,()()2222222ax cy ac xy x y +≤++=+,取等号条件：ay cx =,令22OB x y d =+=,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得2121d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.9．C解析：C 【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA≥，由垂线段最短可确定结论. 【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥，ABC ∴为直角三角形. 故选：C . 【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.10．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C 【分析】由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+，由二次函数的性质可知，当22cos62b a b t aaπ⋅=-=-时，()g t 取得最小值1，变形可得22sin16b π=，从而可求出b 【详解】解：由题意可知，2222()2b ta a t a bt b +=+⋅+，令222()2g t a t a bt b =+⋅+， 因为2222224()44(cos 1)06a b a b a b π∆=⋅-=-<，所以()g t 恒大于零， 所以当232cos622b b a b t aaaπ⋅=-=-=-时，()g t 取得最小值1，所以2223332122bb bg a a b b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得2114b =，所以2b =， 故选：C 【点睛】此题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，考查转化思想和计算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.二、填空题13．26【分析】先由求出求出再进行的计算【详解】因为所以解得所以故答案为：26【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化利用坐标运算比较简单解析：26 【分析】先由//a b 求出2x =，求出b ，再进行()b a b ⋅-的计算. 【详解】因为//a b ，所以9180x -=，解得2x =，所以(6,4),()362426a b b a b -=⋅-=⨯+⨯=.故答案为：26 【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．14．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.15．【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般【分析】先利用平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-解出2a b ⋅=，然后求解2a b -的最值即可得到a b -的最值. 【详解】因为1·cos 12a b a a b b θ⋅=⋅=-⋅=-，所以2a b ⋅=， 而2222222226a b a a b b a b a b -=-⋅+=++≥⋅+=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以6a b -≥. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一般.16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角 解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心， 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=， 即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心， 则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形， 由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-， 解得||2DA =，ABC∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ， 可得B(3,3),C(3,D(2,0)-， 由||1AP=，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M为PC中点，即有3cos sin (,)22M θθ+， 则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝ 2(3cos )4θ-=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494． 【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】利用向量的数量积公式向量垂直的性质直接直解【详解】非零向量满足=⊥解得故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式向量垂直的性质等基础知识考查运算能力属于中档题 解析：4-【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解． 【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-， 故答案为：4- 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.18．9【分析】根据题意建立直角坐标系用坐标法解决即可得答案【详解】解：根据题意如图建立直角坐标系∴∴∴∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查坐标法表示向量向量的数量积运算线性运算的坐标表示等是中档题解析：9 【分析】根据题意，建立直角坐标系，用坐标法解决即可得答案. 【详解】解：根据题意，如图建立直角坐标系，∴ ()0,3A ()4,0B ，()0,0C ， ∴ ()4,3AB =-，()()()0,34,34,33CP CA AP CA AB λλλλλ=+=+=+-=-，[]0,1λ∈，∴ ()()()[]4,330,3990,9CP BA BC CP CA λλλ⋅-=⋅=-⋅=-∈∴()CP BA BC ⋅-的最大值为9.故答案为：9 . 【点睛】本题考查坐标法表示向量，向量的数量积运算，线性运算的坐标表示等，是中档题.19．【分析】建立平面直角坐标系从而得到的坐标这样即可得出的坐标根据与共线可求出从而求出的坐标即得解【详解】建立如图所示平面直角坐标系则：；与共线故答案为：【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表 13【分析】建立平面直角坐标系，从而得到,,a b c 的坐标，这样即可得出a b λ+的坐标，根据a b λ+与c 共线，可求出λ，从而求出a b λ-的坐标，即得解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则：(1,1),(0,1),(2,1)a b c ==-= ；(,1)a b λλλ∴+=-a b λ+与c 共线2(1)02λλλ∴--=∴=(2,3)a b λ∴-=22||2313a b λ∴-=+=13【点睛】本题考查了平面向量线性运算和共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.20．【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以故答案为：-12【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：12-【分析】 根据1132AD AB AC =+，以,AB AC 为一组基底，由2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅，得到152AB AC ⋅=-，再由2111()()3223⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB 求解.【详解】因为2222()2BC AC AB AC AB AB AC =-=+-⋅ 又因为3AB =，5AC =，7BC = 所以152AB AC ⋅=-， 所以2111()()3223DB DC AB AD AC AD AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22211251521294244AB AC AB AC --+⋅=---=-. 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6x π=；（2）23x π=时，()f x 取到最大值2，0x =时，()f x 取到最小值1-.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示可求得tan x =，结合x 的范围可求得x 的值； （2）将函数化简为()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据x 的范围可求得6x π-的范围，结合正弦函数图象可确定最大值和最小值取得的点，进而求得结果. 【详解】解:（1）因为a b ⊥，所以sin co 30s b x x a =-=⋅，于是sin tan s 3co x x x ==， 又[]0,x π∈，所以6x π=；（2）()())sin ,1cos f x a x b x =⋅=⋅-cos x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 从而12sin 26x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭于是，当62x ππ-=，即23x π=时，()f x 取到最大值2； 当66x ππ-=-，即0x =时，()f x 取到最小值1-.【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示、平面向量与三角函数的综合应用，涉及到三角函数最值的求解问题；求解三角函数最值的关键是能够利用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解.22．（1）223-；（2）2-. 【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB ∠=︒，120APB ∠=︒，再在POB 中，由余弦定理可求得62PB =-，然后根据平面向量数量积的定义cos PA PB PA PB APB ⋅=⋅∠，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有α的式子表示出PA PB ⋅，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解. 【详解】（1）当OA OP ⊥时，如图所示，∵120AOB ∠=︒，∴1209030POB ∠=︒-︒=︒，18030752OPB ︒-︒∠==︒，∴7545120APB ∠=︒+︒=︒， 在POB 中，由余弦定理，得222222cos 22222cos30843PB OB OP OB OP POB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=-∴84362PB =-=，又222PA OA ==，∴1cos 22622232PA PB PA PB APB ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯-=- ⎪⎝⎭（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB ∠=︒，2OB =，∴(3B -，设()2cos ,2sin P αα，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()22cos ,2sin 12cos 32sin PA PB αααα⋅=--⋅-- 2222cos 4cos 234sin αααα=--+-+2cos 2324sin 26πααα⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭. ∵20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,666πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴当62ππα+=，即3πα=时，PA PB ⋅取得最小值为2-.【点睛】 本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．23．（1）π3；（2）27 【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ，()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=， 又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得： ()222a b a b -=-=2244a a b b -⋅+4123627-+=.【点睛】 本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）(2,4)-；（2）5-.【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+=∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．25．（1）1a b +=；-1；（2）45︒.【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律求出||a b +，再根据平面向量的几何意义求出b 在a 方向上的投影；（2）根据向量垂直，则数量积为零，即可得到1a b ⋅=，再根据夹角公式计算可得； 【详解】解：（1）由已知得2222()2121()212a b a b a a b b +=+=+⋅+=+⨯-+=，∴1a b +=；b 在a 方向上的投影为||cos1352(12b =-=- （2）由已知得()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=∴1a b ⋅=，∴[]2cos ,,0,212a b a b a b a b π⋅===∈⨯，， ∴向量a 与b 的夹角为45︒.【点睛】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，属于中档题.26．（12 【分析】（1）利用定义得出a b ⋅，再结合模长公式求解即可；（2）先得出()a a b ⋅+，再由数量积公式得出a 与a b +的夹角的余弦.【详解】（1）313cos 32a b π⋅=⨯⨯=2223()||2||122a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=+⨯=（2）235()||122a a b a a b ⋅+=+⋅=+= 5()2cos ,26113a ab a a b a a b ⋅+∴+===⨯⋅+ 【点睛】 本题主要考查了利用定义求模长以及求夹角，属于中档题.。

2021年沪教版数学必修二同步第12讲 向量的坐标表示(练习)教师版

2021年沪教版数学必修二同步第12讲 向量的坐标表示(练习)教师版

第12讲 向量的坐标表示（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·天津市军粮城中学高一月考）向量()1,2a =，(2,)b λ=，()3,1c =-，且()a b c +⊥，则实数λ=（ ）A ．3B ．3-C ．7D ．7-【答案】C【分析】根据向量坐标的线性运算以及数量积运算求解即可. 【详解】()1,2a =，(2,)b λ=， 则()3,2a b λ+=+，若()a b c +⊥，且()3,1c =-， 所以()()3320a b c λ+⋅=⨯-+=， 解得7λ=. 故选：C2．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知1,0A ，()3,4B ，M 是线段AB 的中点，那么向量AM 的坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()1,2--C ．()2,1D ．()2,1--【答案】A【分析】中点坐标公式可得答案.【详解】由中点坐标公式得134,22M +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2M ，所以()1,2AM =. 故选：A.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a =(1，2)，b =(m ，m +3)，若a //b ，则m =（ ）A ．-7B ．-3C ．3D ．7【答案】C【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于//a b ，所以()132m m ⨯+=⨯，解得3m =. 故选：C4．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（ ）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】(2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--． 故选：A ． 二、填空题5．（2021·上海高一专题练习）设向量23,42,32m a b n a b p a b =-=-=+，若用,m n 表示p ，则p =________. 【答案】71348m n -+ 【分析】根据平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】设p xa yb =+，则有32(23)(42)(24)(32)p a b x a b y a b x y a x y b =+=-+-=++--，得7,243413322.8x x y x y y ⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨--=⎩⎪=⎪⎩，所以71348p m n =-+，故答案为：71348m n -+ 6．（2021·上海高一专题练习）设向量(1,2),(2,3)a b ==．若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ＝________.【答案】2【分析】根据平面向量坐标运算公式，结合共线向量的性质进行求解即可. 【详解】因为(1,2),(2,3)a b ==，所以(2,23)a b λλλ+=++， 又因为向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，所以223247λλλ++=⇒=--， 故答案为：27．（2021·天津市第八中学高一月考）向量()2,3a =，()1,2b =-，则2a b -=___________.【分析】求出2a b -的坐标，利用向量的模长公式可求得结果.【详解】()()()22,321,24,1a b -=--=-，因此，(224a b -=+=8．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ________．（用AB 和AC 表示） 【答案】3144AB AC 【分析】找一条路径，根据所给关系，向AB 和AC 进行转化，即可得解. 【详解】1111131()()2222244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=⨯++-=-. 故答案为：3144ABAC .三、解答题9．（2021·上海高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用,a b 分别表示,BF DE . （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用,a b 表示AG .【答案】（1）12BF a b -+，12DE a b =-（2）1344a b AG =+. 【分析】（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可；（2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.【详解】（1）111222BF BC CF AD CD AD AB a b =+=+=-=-+， 111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=-；（2）111313()444444AD DG AD DB AD DA AB AB AD a b AG =+=+=++=+=+.10．（2021·江苏淮安市·高一月考）已知()()1,0,2,1a b ==. （1）当k 为何值时，ka b +与2a b +共线？ （2）当k 为何值时，ka b +与2a b +垂直？ （3）当k 为何值时，ka b +与2a b +的夹角为锐角？ 【答案】（1）12；（2）125-；（3）125k >-且12k ≠. 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：12210x y x y -=即可求解. （2）利用向量垂直的坐标表示：12120x x y y +=即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需12120x x y y +>且不共线即可求解. 【详解】解：（1）()()2,1,25,2ka b k a b +=++=.ka b +与2a b +平行，()22150k ∴+⨯-⨯=，解得12k =. （2）ka b +与2a b +垂直，()()20ka b a b ∴+⋅+=，即()52210k ⨯++⨯=，125k ∴=-（3）由题意可得()52210k ⨯++⨯>且不共线，解得125k >-且12k ≠.11．（2012·全国高一课时练习）如图所示，在ABO ∆中， 11,42OC OA OD OB ==，AD 与与 BC 相交于点M ，设 OA a =，OB b =，试用 a 和b 表示向量 OM ．【答案】1377OM a b =+ 【试题分析】直接运用向量的共线关系建立方程组求解： 由A 、M 、D 三点共线，()()1112OM OA OD a b λλλλ=+-=+-⋅由C 、M 、B 三点共线，()()1114OM OC OB a b μμμμ=+-=+- 174{{14127μλλλμμ==⇒⇒-=-=1377OM a b ∴=+能力提升一、单选题1．（2021·江苏吴江中学高一月考）已知向量()2,a m =，()3,6b =，若33a b a b +=-，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．4D ．4-【答案】B【分析】计算出3a b +和3a b -的坐标，利用向量的模长公式可得出关于实数m 的等式，进而可求得结果.【详解】已知向量()2,a m =，()3,6b =，则()39,36a b m +=+，()33,36a b m -=-，由33a b a b +=-可得=1m =-. 故选：B.2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考）已知1e ，2e 是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）A ．{}1212,e e e e +-B ．{}122132,46e e e e --C ．{}12212,2e e e e ++D ．{}212,e e e +【答案】B【分析】根据基底的构成条件：非零向量、不共线，由此进行逐项判断即可. 【详解】因为()211246223e e e e =---，所以2146e e -与1232e e -共线， 所以{}122132,46e e e e --不能作为基底， 故选：B.3．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若2AB =，60BAD ∠=︒，则AB DE ⋅=（ ）A ．2-B ．12-C ．72-D ．12【答案】B【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为,x y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.【详解】解：如图，以点O 为坐标原点，,OD OA 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，由2AB =，60BAD ∠=︒，所以(A ，()1,0B -，()1,0D ，0,2E ⎛ ⎝⎭，所以()1,3,1,2AB DE ⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以31122AB DE ⋅=-=-.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.4．（2021·江苏省昆山中学高一月考）在ABC 中，点O 是BC 的三等分点，2OC OB =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于点,E F ，且,(0,0)AB mAE AC nAF m n ==>>，若1t m n +的最小值为83，则正数t 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．83D ．113【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算法则求得233m n AO AE AF =+，可得2133m n+=，则12133t m n t m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开后利用基本不等式可得1tm n+的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，结合1t m n +的最小值为83列方程求解即可. 【详解】因为点O 是BC 的三等分点，2OC OB =则1112123333333m nAO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AE AF =+=+=+-=+=+，又由点,,E O F 三点共线，则2133m n+=， 12122333333t m n t t mt n m n m n n m⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223333t t ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当222tm n =时，等号成立，即1t m n +的最小值为233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则有28333t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭,解可得2t =或18-(舍），故2t =， 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．（2021·天津南开中学高一月考）1,OA OB OA ==与OB 的夹角为120，OC 与OA的夹角为30，若(0,0)OC OA OB λμλμ=+>>，则λμ=（ ）ABC ．12D ．2【答案】D【分析】将OC 沿OA 与OB 方向进行分解，易得,OD OA λ=OE OB μ=，再在DOC△中，1sin ODCODCD=∠，代入相关值即可得到答案.【详解】将OC 沿OA 与OB 方向进行分解，延长OA 、OB 至D 、E ，以OD 、OE 为邻边、OC 为对角线画出平行四边形，如图，由平行四边形法则有OC OA OB OD OE λμ=+=+，且,0λμ>，所以OD OA λ=，OE OB μ=，又30DOC ∠=，90OCD =∠，在DOC △中，1121sin 2OD COD CD===∠，即2OAOBλλμμ==. 故选：D【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到1sin OD CODCD=∠，考查了学生的计算能力.6．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）如图，在△ABC 中，设AB a =，AC b =，AP 的中点为Q ，BQ 的中点R ，CR 的中点为P ，若APma nb =+，则m ，n 对应的值为A ．2477，B ．1124，C ．1267，D ．1367，【答案】A试题分析：由题意可得 12,2,22P QP QB QR B a Q QB P QR A ==A ==A +=A +，① 1322C P PC P RP P QP QR P P QR P QR b A =A +=A +=A +-=A +A -=A -=，②由①②解方程求得 2477a b AP =+,即m ，n 对应的值为27，47考点：平面向量基本定理二、填空题7．（2020·天津市军粮城中学高一月考）与向量()1,2a =平行的单位向量为___________.【答案】525,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或525,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】设与向量()1,2a =平行的单位向量为(),b x y =，利用向量共线的坐标表示可得2y x =，再利用模长公式，21b x y =+=，即可求解.【详解】设与向量()1,2a =平行的单位向量为(),b x y =， 则2y x =，因为b 是单位向量，所以21b x y =+==，解得：x =，当x =y =当5x =-时，5y =-，所以5,55b ⎛=⎝⎭或5,55b ⎛=--⎝⎭故答案为：⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 8．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）已知()1,2a =，()3,b x =-，若a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范为__________． 【答案】()3,66,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【分析】依题意可得0a b <，且a 与b 不共线，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为()1,2a =，()3,b x =-，若a ，b 的夹角为钝角，则0a b <，且a 与b不共线，所以()312023x x -⨯+<⎧⎨≠⨯-⎩，解得32x <且6x ≠-，故()3,66,2x ⎛⎫∈-∞-- ⎪⎝⎭故答案为：()3,66,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭9．（2021·天津静海区·静海一中高一月考）与(2,3)AB=共线反向的单位向量坐标__________．【答案】⎛ ⎝⎭【分析】首先求出AB 的模，再根据ABAB-计算可得；【详解】解：因为(2,3)AB =，所以22AB==(2,3)AB =共线反向的单位向量为)2,31313ABAB ⎛-=-=-- ⎝⎭故答案为：1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭10．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知(3,4),(5,2)a b =-=，则()(2)a b a b +⋅-的值为__________【答案】14【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，向量(3,4),(5,2)a b =-=，可得2222=(3)45,=5229,7a b a b -+=+=⋅=-，则22()(2)222529714a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=⨯--=. 故答案为：14.11．（2021·临澧县第一中学高一月考）已知平面向量()(3,3),sin 20,cos20a b ==︒︒，则向量,a b 的夹角等于_______. 【答案】10︒【分析】根据向量夹角的坐标公式运算即可. 【详解】()(3,3),sin 20,cos20ab ==︒︒,cos ,||||a ba b ab →→→→→→⋅∴<>=12(sin 2020)222︒︒=sin80cos10=︒=︒0,180a b →→︒≤<>≤︒, ,10a b →→∴<>=︒故答案为：10︒12．（2020·广东深圳市·高一期末）如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．【答案】45【分析】设,OA a OB b ==，可得523DC a b =-，()2EC a b λ=--，又因为//EC DC ，即可求解λ．【详解】如图所示：设,OA a OB b ==，由于2OD DB =，所以23OD b =， 由于点C 是点B 关于点A 的对称点，则A 为BC 中点，所以()12OA OB OC =+，得2OC a b =- 所以523DC OC OD a b =-=-由于()2EC OC OE a b λ=-=-- ，又因为//EC DC21523λ-=得45λ= ． 故答案为：45【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．13．（2021·赣州市赣县第三中学高一月考（文））已知边长为4的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，且F 、G 分别是线段EC 和线段EB 的中点，则()FD EA AG +⋅=__________． 【答案】16-【详解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建系，则(3,3),(0,4),(2,2),(3,1)F D E G ∴()FD EA AG +⋅=((3,1)(2,2))(3,1)(5,1)(3,1)16-+--⋅=--⋅=-三、解答题14．（2021·上海高一专题练习）（1）在OAB 中，点P Q 、分别在OA OB 、上，线段PQ 过三角形ABO 的重心G ，设OA a =，OB b =，OP ma =，OQ nb =，试求m nnm +的值． （2）在ABC 中，点M 是AB 的中点，点N 是AC 上一点，且13AN AC =，BN 与CM 相交于点E ，设AB a =，AC b =，试用、a b 表示AE ． 【答案】（1）3；（2）2155AE a b =+． 【分析】（1）利用三角形重心的向量性质，结合向量的线性运算性质进行求解即可； （2）根据平面向量基本定理，结合向量的线性运算性质进行求解即可【详解】（1）设PGx PQ=，因为三角形ABO 的重心是G ， 所以有111()333OG OA OB a b =+=+，()(1)OG OP PG ma xPQ ma x PO OQ m x a xnb =+=+=++=-+，所以有11(1)3(1)31133m x x mxn x n⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，113(1)33x x mn m nm n =+=-+=+； （2）设,ME NEMC BNλμ==，一方面有： 11111()()(1),22222AE AM ME AB MC a MA AC a a b a b λλλλλ=+=+=++=+-+=-+又一方面有：11111()()(1)33333AE AN NE AC NB b NA AB b b a a b μμμμμ=+=+=++=+-+=+-，于是有：11(1)5212(1)35λλμλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩，所以11121(1)25555AE a b a b =-+=+. 15．（2021·上海高一专题练习）已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标.【答案】155(,)22P -- 【分析】设(,)P x y ，根据向量共线的坐标运算求解. 【详解】因为(3,1),(4,2)A B ---， 所以(3,1),(7,1)AP x y AB →→=-+=--， 因为23AP AB →→=，所以2(3,1)3(7,1)x y -+=--， 解得155,22x y =-=-，即155(,)22P -- 16．（2021·上海高一专题练习）已知a →＝(10，－5)，b →＝(3，2)，c →＝(－2，2)，试用b →，c →表示a →.【答案】a →＝b →－72c→. 【分析】根据平面向量的基本定理，利用坐标运算即可. 【详解】设a →＝λb →＋μc →(λ，μ∈R )．则(10，－5)＝λ(3，2)＋μ(－2，2)＝(3λ，2λ)＋(－2μ，2μ)＝(3λ－2μ，2λ＋2μ)．∴1032,522,λμλμ=-⎧⎨-=+⎩解得 1,7,2λμ=⎧⎪⎨=-⎪⎩∴a →＝b →－72c→. 17．（2020·湖北武汉市第十一中学高一月考）已知向量()3,1a =-，5b =，5a b ⋅=-，()1c xa x b =+-．（1）若a c ⊥，求实数x 的值；（2）当c 取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值． 【答案】（1）13x =；（2．【分析】（1）利用平面向量垂直表示可得出关于x 的等式，进而可求得实数x 的值； （2）利用平面向量数量积的运算法则以及二次函数的基本性质可求得c 的值，可求出x 的值，进一步可求出b c ⋅的值，利用平面向量数量积可求得b 与c 的夹角的余弦值． 【详解】（1）由已知条件可得()2223110a =+-=，()1c xa x b =+-，则()()()221110511550c a xa x b a x a x a b x x x ⎡⎤⋅=+-⋅=+-⋅=--=-=⎣⎦， 解得13x =；（2）()()()2222221211c c xa x b xa x x a b x b ⎡⎤==+-=+-⋅+-⎣⎦()()()2222101015125205521x x x x x x x =--+-=-+=-+.当25x =时，c 取最小值1. 2355c a b =+，则()2232323551555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，因此，cos ,51b c b c b c⋅<>===⨯⋅【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得cos ,a b a b a b⋅<>=⋅，其中两向量,a b <>的取值范围是[]0,π；（2）坐标法：若非零向量11,ax y 、22,bx y ，则cos ,a b <>=18．（2020·天津市军粮城中学高一月考）已知向量(1,0)a =，(,1)b m =，且a 与b 的夹角为4π. （1）求||2a b -；（2）若a b λ+与b 垂直，求实数λ的值. 【答案】（1）52a b -=；（2）12λ=-【分析】（1）由向量的夹角为4π即可得1m =，进而得()1,22a b =---，再根据模的计算即可得答案；（2）由（1）得()1,a b λλλ+=+，(1,1)b =，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案.【详解】解：（1）由向量夹角的坐标表示121,cos a b a b a bx ==+⋅⋅得：)02m =>，解得：1m =，所以()()()1,021,1,221a b =-=--- 所以52a b -=（2）由（1）知1m =，故()()()1,01,11,a b λλλλ+=+=+，(1,1)b = 由于a b λ+与b 垂直，所以()1120a b b λλλλ+⋅=++=+=，解得：12λ=-. 【点睛】方法点睛：已知()()1122,,,a x y b x y ==， 则121,cos a b a b a bx ==+⋅⋅12120a b x x y y ⊥⇔+=19．（2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考）已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE ； （2）当2AE EB =时，试求AD CE ⋅． 【答案】（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）0. 【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点，2CB b ∴=，2AB CB CA b a ∴=-=-，12CE CA AE a AB =+=+11(2)22a b a a b =+-=+． （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设(0,)A a ，B ∴点坐标为(,0)a ，另设点E 坐标为(,)x y ，点D 是CB 的中点，∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，又2AE EB =，(,)2(,)x y a a x y ∴-=--，23a x ∴=，3a y =，所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2()0233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解．。

数学必修4课后导练：2.3向量的坐标表示 含解析 精品

数学必修4课后导练：2.3向量的坐标表示 含解析 精品

课后导练基础达标1.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-43) 解析：e 1与e 2应非0且不共线，只有B 适合.答案：B2.已知a =(-1,3),b =(-1,x),且a ∥b ，则x 等于（ ）A.3B.-31C.31 D.-3 解析：由a ∥b ，得-x=-1×3,x=3.答案：A3.下列各式正确的是（ ）A.a =(-2,4) b =(5,2) 则a +b =(3,6)B.a =(5,2) b =(2,4) 则a -b =(-3,2)C.a =(1,0) b =(0,1) 则a +b =(0,1)D.a =(1,1) b =(1,2) 则2a +3b =(4,8)解析：用向量坐标运算的法则来解，逐一计算，只有A 正确.答案：A4.已知A （1,-3）,B(8, 21)且A 、B 、C 三点共线，则C 点的坐标是（ ） A.（-9，1） B.（9，-1） C.（9，1） D.（-9，-1） 解析：设C(x,y)，则=(7,27),=(x-1,y+3). ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥,∴7(y+3)=27(x-1),7x-14y-49=0.只有C 满足. 答案：C5.设a =（31，t a nα）,b =(cosα, 23),且a ∥b ，则锐角α的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 解析：∵a ∥b ,∴31×23-t a nα·cosα=0， 即sinα=21,α=6π. 答案：B6.若A 点的坐标为A （1，2），O 为原点，且'OA =2OA ，则A′点的坐标（ ）A.（1，4）B.（2，2）C.（2，4）D.（4，2）解析：设A （x,y ）.由（x,y ）=2(1,2),得x=2,y=4.答案：C7.若|a |=32,b =(-1,3)，且a ∥b ,则a =____________.解析：设a =(x,y)，则⎩⎨⎧=+=+,03,1222y x y x 解出x,y.答案：(530,3053-)或（-530,3053） 8.已知点A 、B 、C 的坐标分别是（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2=___________，-21=_________________. 解析：=（-2，10），=（-8，4），∴+2=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),用同样方法得-21=(-3,-3). 答案：（-18,18） (-3,-3)9.已知向量a =(3,-2),b =(-2,1),c =(7,-4).试用a 和b 来表示c .解：设c =λ1a +λ2b .将已知坐标代入有(7,-4)=λ1(3,-2)+λ2(-2,1)=(3λ1-2λ2，-2λ1+λ2).故⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+-=-3.2,1,42,72212121λλλλλλ 故c =a -2b .10.已知向量a =(5,2),b =(x 2+y 2,xy),且a =b ,求x,y 的值.解：根据两向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等,)2()1(2522⎩⎨⎧==+xy y x ①+②×2得（x+y ）2=9,①-②×2得（x-y ）2=1,可有⎩⎨⎧±=-±=+,1,3y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,2,2,1,2,1,1,2y x y x y x y x 综合运用11.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）、（1，-5），则第四个顶点的坐标为（ ）A.（1，5）或（5，-5）B.（1，5）或（-3，-5）C.（5，-5）或（-3，-5）D.（1，5）或（5，-5）或（-3，-5） 解析：设出第四个顶点坐标（x,y ），根据点写出向量坐标，再用向量相等求出.答案：D12.已知向量e 1≠0，λ∈R ，a =e 1+λe 2,b =2e 1.若a 与b 共线，则下列关系中一定成立的是（ ）A.λ=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或λ=0 解析：若e 1与e 2共线.当e 1与e 2同向时，a =e 1(1+λ1)=211λ+·b ，满足题意；当e 1与e 2反向时，a =(1-λ2)e 1=b 211λ-，满足题意. 若e 1与e 2不共线.由a ∥b ，可知，λ=0.答案：D13.设①AB =22(a +5b ) ②BC =-2a +8b ③CD =3(a -b )，则共线的三点是（ ） A.A 、B 、C B.B 、C 、D C.A 、B 、D D.A 、C 、D 解析：=-2a +8b , =3a -3b , ∴=+=a +5b . 从而AB =22BD . 答案：C14.(2004上海高考)已知点A （1，-2），若向量AB 与a =（2，3）同向，|AB |=132，则点B 的坐标为__________________.解析：设AB =（x,y ）,因AB 与a 同向，∴AB =λa (λ>0),即（x,y ）=λ(2,3)，∴⎩⎨⎧==,3,2λλy x 又|AB |=132，∴x 2+y 2=52. ∴4λ2+9λ2=52,λ=2(λ>0).即=（4，6）.∴点B 的坐标为（5，4）.答案：（5，4）15.已知a =(1,2),b =(-3,2).当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时，它们是同向还是反向？ 解：k a +b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ,使k a +b =λ(a -3b ).于是(k-3,2k+2)=λ(10,-4),∴⎩⎨⎧-=+=-.422,103λλk k解得k=-31,λ=-31. 故k=-31时，k a +b 与a +3b 平行. 这时k a +b =-31a +b ， ∵λ=-31＜0， ∴-31a +b 与a -3b 反向. 拓展探究16.已知△ABC 的面积为14 c m 2,D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且AD ∶DB=BE ∶EC=2∶1，求△APC 的面积.思路分析：据题目所给的比例关系解出△PAB ，与△PBC 的面积，再相减得到所求. 解：设=a , =b . 则=a +32b , =31a +b . ∵点A 、P 、E 与D 、P 、C 分别共线，∴存在λ和μ，使得AP =λAE =λa +32λb , =μ=31μa +μb . 又∵=+=(32+31μ)a +μb , ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.74,7632,3132μλμλμλ∴S △PAB =74S △ABC =14×74=8 c m 2. ∴S △PBC =14×(1-76)=2 c m 2. 故S △APC =14-8-2=4 c m 2.。

【2019秋人教B版必修3】8.1.3第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

【2019秋人教B版必修3】8.1.3第二课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

1第二课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件课标要求素养要求1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直.2.能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直.通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重点培养学生数学运算及逻辑推理素养.教材知识探究平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也不同．向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极大方便． 问题 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．如何用向量的坐标来表示a ⊥b? 提示 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，通过向量的坐标表示可以实现向量问题的代数化．设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔ x 1x 2＋y 1y 2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不可混淆，可以对比学习记忆．,教材拓展补遗[微判断]1．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(×) 提示 只有a 与b 为非零向量时才正确． 2．已知a ＝(7，1)，b ＝(－2，14)，则a ⊥b .(√) 3．已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，则AB →⊥AC →.(√) [微训练]21．已知OA →＝(－1，2)，OB →＝(3，m )，若OA →⊥OB →，则m ＝________． 答案 322．已知a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，若a ＋λb 与a 垂直，则λ＝__________． 答案 523．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若A ＝90°，则k ＝__________． 答案 －23 [微思考]已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当a 与b 平行或垂直时，需满足什么条件？提示 当a ∥b 时，有x 1y 2－x 2y 1＝0；当a ⊥b 时，有x 1x 2＋y 1y 2＝0，这两种情况对应的公式差不多，在使用的过程中一定要分清.题型一 向量的夹角及垂直问题向量的夹角问题隐藏了许多陷阱，常因忽视“两向量夹角的概念及其范围”而出错例1 (1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．(1)解析 ∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，3∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a |·|c | ＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝120°. 答案 C(2)解 设c 的坐标为(x ，y )， 则a ＋c ＝(1＋x ，2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0， 即3x －2y ＝1.①又a ＋b ＝(3，5)，且(a ＋b )⊥c ， ∴3x ＋5y ＝0.②联立①②得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |4求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)要注意cos θ<0有两种情况：一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.训练1 已知平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解 (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3. ∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n|m ||n | ＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）2·72＋12＝－25252＝－22. ∴θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4. 题型二 向量垂直的坐标表示 注意垂直的结论例2 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD→|及点D 的坐标．解 设D 点坐标为(x ，y )，5则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD→＝(x －3，y －2)， ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ， ∴AD →·BC→＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0. 即2x ＋y －3＝0.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD→|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，∴|AD→|＝5，点D 的坐标为(1，1)． 规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法．【训练2】 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB→＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b . 解 设向量b ＝(x ，y )．根据题意得OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|.∴(a －b )·(a ＋b )＝0，|a －b |＝|a ＋b |， ∴|a |＝|b |，a ·b ＝0.6又∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即⎝⎛x 2＋y 2＝1，－12x ＋32y ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12或b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.题型三 用平面向量求解平面几何问题例3 已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A (0，0)，B (2，0)．(1)BE→＝(－1，2)，CF →＝(－2，－1)．∴BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE→⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 坐标为(x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，FC→＝(2，1)， ∵FP→∥FC →， ∴x ＝2(y －1)，即x ＝2y －2，7同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.∴|AP→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB . 规律方法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．【训练3】 已知在△ABC 中，C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE . 证明 建立如图所示的直角坐标系，设A (a ，0)，则B (0，a )，E (x ，y )． ∵D 是BC 的中点，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，8∴⎩⎪⎨y ＝2a －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 3，y ＝23a ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a .∵AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2－(a ，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2， OE →＝CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，23a ，∴AD →·CE→＝－a ×a 3＋a 2×23a ＝－13a 2＋13a 2＝0， ∴AD→⊥CE →，即AD ⊥CE .一、素养落地1．通过学习本节内容，重点培养学生的数学运算及逻辑推理素养．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 二、素养训练1．已知A (1，2)，B (－5，8)，C (－2，－1)，求证：AB →⊥AC →. 证明 AB→＝(－6，6)，AC →＝(－3，－3)，∴AB →·AC →＝－6×(－3)＋6×(－3)＝0. ∴AB→⊥AC →. 2．已知|a |＝213，b ＝(－2，3)，且a ⊥b ，求向量a 的坐标． 解 设a ＝(x ，y )，9则⎩⎪⎨－2x ＋3y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.∴a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)．3．求证：对任意实数k (k ≠0)，向量m ＝k (－y ，x )与向量n ＝(x ，y )垂直． 证明 m ＝k (－y ，x )＝(－ky ，kx )． 则(－ky ，kx )·(x ，y )＝－kxy ＋kxy ＝0， ∴m ＝k (－y ，x )与n ＝(x ，y )垂直．4．已知A (3，1)，向量OA→绕原点O 逆时针旋转π2后等于OB →，求点B 的坐标． 解 设B (x ，y )，由题意|OB →|＝|OA →|，OA→⊥OB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝32＋12，3x ＋y ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.∴点B 的坐标为(－1，3)．10基础达标一、选择题1．已知平面向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝( ) A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴3x －3＝0，∴x ＝1. 答案 B2．已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B.17C ．－16D.16解析 由a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17. 答案 A3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．1B. 2C ．2D ．4解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝±3. ∴|a |＝12＋n 2＝2.答案 C4．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4B ．－3C ．－2D ．－111解析 因为m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)． 所以m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B. 答案 B5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 由①②解得x ＝－79，y ＝－73.答案 D 二、填空题6．已知A (7，5)，B (2，3)，C (6，－7)，判断△ABC 的形状为__________． 解析 AB →＝(－5，－2)，AC →＝(－1，－12)，BC→＝(4，－10)， ∴AB →·BC →＝－5×4＋(－2)×(－10)＝0， ∴AB ⊥BC . 答案 直角三角形7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2. 答案 28．设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(m a－b)，则m＝________．解析由题意得m a－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.答案－1三、解答题9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝4＋16＝2 5.10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．解(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，∴cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，1213又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.能力提升11．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)． (1)若|c |＝25，且c 与a 方向相反，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 及|c |＝25， 可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4，因为c 与a 方向相反，所以c ＝(－2，－4)． (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0， 所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， 所以2×5＋3a ·b －2×54＝0， 所以a ·b ＝－52， 所以cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.12．如图，在同一平面内，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，|OA →|＝2，|OB →|＝3， |OC→|＝4.14(1)用OB →和OC →表示OA →；(2)若AD→＝λAC →，AC →⊥BD →，求λ的值． 解 由题意，得∠BOC ＝90°，以OC所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O (0，0)，A (－1，3)，B (0，－3)，C (4，0)． (1)设OA →＝λ1OB →＋λ2OC →， 则(－1，3)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)， ∴λ1＝－33，λ2＝－14， ∴OA→＝－33OB →－14OC →. (2)设D (x ，y )，∵AD→＝λAC →，∴(x ＋1，y －3)＝λ(5，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ－1，y ＝－3λ＋3，∴D (5λ－1，－3λ＋3)， BD→＝(5λ－1，3－3λ＋3)． ∵AC →·BD→＝0， ∴(5λ－1)×5＋(3＋3－3λ)×(－3)＝0， 解得λ＝8＋3328.创新猜想13．(多选题)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值为( )15A ．－23 B.113 C.3±132 D.23解析 ∵AB→＝(2，3)，AC →＝(1，k )，∴BC→＝AC →－AB →＝(－1，k －3)． 若A ＝90°，则AB →·AC→＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 答案 ABC。

空间向量及其运算的坐标表示(解析版)-高二数学新教材同步题型+能力+素养练

空间向量及其运算的坐标表示(解析版)-高二数学新教材同步题型+能力+素养练

1.3 空间向量及其运算的坐标表示题型一：空间向量的坐标运算1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)- D ．(3,1,4)【答案】D【点拨】利用空间直角坐标系点关于坐标轴对称的特点求解作答. 【详解】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4). 故选：D2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7 B ．()2,0,1- C ．()2,0,1- D ．()2,0,1【答案】B【点拨】利用空间向量的坐标表示，即得. 【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =， ∴()()1,2,31,2,4x y z =----， 解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -. 故选：B.3．如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（ ）一维练基础A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【点拨】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．4．已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（ ）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A【点拨】直接根据空间向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A5．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1- B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【答案】D【点拨】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D题型二：空间向量模长的坐标表示1．已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（ ） A ．6-B ．a - C ．32D ．34-b【答案】C【点拨】直接由数量投影的公式求解即可. 【详解】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()22122232a b b-⨯⋅==+-. 故选：C.2．若向量()1,2,3a =-，()2,3,1b =--，则2a b +=（ ） A ．27B ．5 C 26D ．42【答案】C【点拨】求出2a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果. 【详解】由已知可得()23,4,1a b +=-，故()222234126a b +=-++=．故选：C.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(345)A ，，在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则BC →=（ ）A ．5B 34C 41D ．52【答案】C【点拨】写出点A 在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，再计算BC →的值．【详解】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，4，5)在坐标平面Oxy ，Oxz 内的射影分别为点B ，C ，则(3B ，4，0)，(3C ，0，5)， ∴(0BC →=，4-，5)，||0162541BC →∴++故选：C ．4．已知()1,1,0a t =-，()2,,b t t =，则b a -的最小值是（ ） A ．1 B 2C 3D 5【答案】B【点拨】利用空间向量坐标的减法求出b a -，然后利用求模公式求出b a -. 【详解】解：()()1,1,0,2,,a t b t t =-= (1,1,)b a t t t -=+-∴2222(1)(1)32b a t t t t ∴-=++-+=+∴当0=t 时，b a -取最小值2故选：B5．已知向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，那么b →等于（ ）A 10B 11C ．3D ．5【答案】B【详解】解：因为向量()1,21a →=-，，()3,,1b x =，且a b →→⊥，所以13210x -⨯++=，解得1x =， 所以()3,1,1b =，所以22231111b →=++故选：B题型三：空间向量平行的坐标表示1．已知()1,4,4a =--，(),2,21b m m =-+，若a b ∥，则m 的值为（ ） A ．－2 B ．2C ．12-D ．12【答案】C【点拨】根据向量共线的性质即可求解. 【详解】因为a b ∥，所以221144m m -+==--，解得12m =-， 故选：C.2．已知()1,2,a y =，(),1,2b x =，且//a b ，则x y ⋅=（ ） A ．1 B ．1-C ．2-D ．2【答案】D【点拨】利用空间向量共线的坐标表示可求得x 、y 的值，即可得解.【详解】因为//a b ，则214x y =⎧⎨=⎩，所以，12x =，4y =，因此，2x y ⋅=.故选：D.3．已知空间三点()0,1,2A ，()2,3,1B ，()1,2,C m ，若,,A B C 三点共线，则m =（ ）． A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】C【点拨】求出向量AB 与向量AC 的坐标，根据,,A B C 三点共线，可得向量AB 与向量AC 共线，由此即可求出结果.【详解】因为()2,2,1AB =-，()1,1,2AC m =-，且,,A B C 三点共线， 所以向量AB 与向量AC 共线， 所以1221m -=-，得32m =．故选：C.4．已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（ ） A ．20- B ．17- C ．11 D ．4【答案】B【点拨】根据空间向量共线的性质进行求解即可. 【详解】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--， 因为AB AC ∥，所以122213y z --==--， 解得3y =-，7z =，故217y z -=-. 故选：B5．已知两个向量()2,1,3a =-，(),2,b s t =，且//a b ，则s t -的值为（ ） A ．-2 B ．2C ．10D ．-10【答案】C【点拨】根据向量共线可得,s t 满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项. 【详解】因为//a b ，故存在常数λ，使得a b λ=，所以2123s t λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，故4,6s t ==-，所以10s t -=，故选：C.题型四：空间向量垂直的坐标表示1．已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D【点拨】解方程2123(6)0x -⨯+⨯-=即得解.【详解】解：因为a b →→⊥，所以2123(6)0,10x x -⨯+⨯-=∴=. 故选：D2．设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【点拨】根据向量平行和垂直的坐标表示求出y 和x 即可． 【详解】024201a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-+=⇒=， b ∥1224y c y ⇒=⇒=--， ∴1x y +=. 故选：A.3．已知()1,2,1u =是直线l 的方向向量，()2,,2v y =为平面α的法向量，若l ∥α，则y 的值为（ ） A ．2- B ．12-C ．4D ．14【答案】A【点拨】由l ∥α，可得u v ⊥，再计算即可求解.【详解】由题意可知u v ⊥，所以=0u v ⋅，即12+21202y y ⨯+⨯=⇒=-. 故选：A4．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（ ） A ．()2,3,3B ．()3,7,4C ．()1,7,1--D ．()2,0,1-【答案】D【点拨】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上 对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上 对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上 对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D5．已知()1,1,3a =-，(),,1b x y =，若a b ⊥，则x y +=（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3【答案】D【点拨】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】0303a b a b x y x y ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒+=. 故选：D.题型五：空间向量夹角余弦的坐标表示1．若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0 B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【点拨】由空间向量夹角余弦的坐标表示直接计算可得. 【详解】由题知，22cos ,31414a b a b a bλ⋅<>===+++即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C2．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成3π夹角的是（ ） A ．()1,1,0- B ．()1,1,0- C ．()0,1,1- D ．()1,0,1--【答案】B【点拨】利用空间向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+， 所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为23π，故不符合题意； B ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-2222121(1)1(1)=+-⨯+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,1,0-夹角为3π，故符合题意； C ：因为向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-2222121(1)(1)1=-+-⨯-+，所以向量()1,0,1a =-与向量()0,1,1-夹角为23π，故不符合题意； D ：因为向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角的余弦值为222201(1)(1)(1)=+-⨯-+-，所以向量()1,0,1a =-与向量()1,0,1--夹角为2π，故不符合题意，故选：B4．若()1,,2a λ=，()2,1,2b =-，且a ，b 的夹角的余弦值为89，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-【答案】C【点拨】根据8cos ,9a b a b a b⋅==，解得即可得出答案.【详解】解：因为()1,,2a λ=，()2,1,2b =-， 所以2248cos ,935a b a b a bλλ⋅-+===+，解得：=λ2-或255. 故选：C.4．已知空间向量()()2,3,63,1,,4a b ==-，则,a b =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】A【点拨】求得0a b ⋅=，即可得出. 【详解】()()2,3,63,1,,4a b ==-，()2334610a b ∴⋅=⨯+⨯-+⨯=，a b ∴⊥，,2a b π∴=.故选：A.5．已知空间向量()1,0,1a =，()1,1,b n =，3a b ⋅=则向量a 与b λ（0λ≠）的夹角为（ ） A ．6πB ．6π或56π C ．3π D ．3π或23π 【答案】B【详解】,13a b a b cos a b n ⋅==+=解得2n =，222,?3n cos a b ⨯+= 代入得32cos a b ⋅=，又向量夹角范围：[]0,π 故,a b 的夹角为6π，则a 与b λ的夹角， 当0λ>时为6π；0λ<时为56π. 故选：B.1．已知向量()(),1,1,1,2,0a k b ==，且a 与b 互相垂直，则k 的值为（ ）二维练能力A ．－2B ．－12C ．12D ．2【答案】A【点拨】由题意0a b ⋅=，由空间向量的数量积运算可得答案. 【详解】由a 与b 互相垂直，则20a b k ⋅=+=，解得2k =- 故选：A2．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A 485B ．485C ．0D ．1【答案】B【点拨】利用空间向量的夹角余弦值公式cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅即可求得.【详解】解：(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，40485cos ,||||1725a b a b a b ⋅+-∴<>===⋅⋅故选：B.3．已知向量()1,0,a m =，(2,0,23b =-，若a b ∥，则a =（ ） A ．1 B 2C 3D ．2【答案】D【点拨】由空间平行向量，先求出m 的值，再由模长公式求解模长. 【详解】由//a b ，则λa b ，即(1,0,)(2,0,23)m λ=-， 有1223m λλ==-，， 所以1123322m λ==-=-， 所以(1,0,3a =-，则()2221032a =++-故选：D4．下列四个结论正确的是 （ ）A ．任意向量,a b ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线C ．空间中任意向量,,a b c 都满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D ．已知向量()()1,1,,2,,4a x b x ==-，若25x <，则,a b 为钝角 【答案】B【点拨】A 选项，0a b ⋅=也可以是0,0a b ≠≠，a b ⊥；B 选项，利用向量线性运算得到2AC CB =，从而得到三点共线；C 选项可以举出反例；D 选项，求出,a b 为钝角时x 的取值范围，从而得到答案. 【详解】0a b ⋅=则0a =或0b =或0,0a b ≠≠，a b ⊥，故A 错误； 若空间中点O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，即()()1233OC OA OB OC -=-， 所以1233AC CB =，化简得：2AC CB =，则A ，B ，C 三点共线，B 正确；设()()()1,1,1,2,2,1a b c ===。

8.1.3 第二课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

8.1.3 第二课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

规律方法 将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解 是解向量题常用的方法.
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@《创新设计》
【训练 2】 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB 是以 O 为直 角顶点的等腰直角三角形，求向量 b. 解 设向量b＝(x，y). 根据题意得O→A·O→B＝0，|O→A|＝|O→B|. ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0.
规律方法 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤 ①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关 系；④把几何问题向量化. (2)向量的坐标运算法的四个步骤 ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相 应关系；④把几何问题向量化.
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则 cos θ＝|mm|·|nn|
＝
－3×7＋（－4）×1 （－3）2＋（－4）2· 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
2 2.
∴θ∈[0，π]，∴θ＝34π，即 m，n 的夹角为34π.
@《创新设计》
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核心素养
@《创新设计》
题型二 向量垂直的坐标表示 注意垂直的结论
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0).
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核心素养
(1)B→E＝(－1，2)，C→F＝(－2，－1).
∴B→E·C→F＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴B→E⊥C→F，即 BE⊥CF. (2)设点 P 坐标为(x，y)，则F→P＝(x，y－1)， F→C＝(2，1)， ∵F→P∥F→C， ∴x＝2(y－1)，即 x＝2y－2，

数学必修4自主训练：2.3向量的坐标表示 含解析 精品

数学必修4自主训练：2.3向量的坐标表示 含解析 精品

自主广场我夯基我达标1.向量，，的终点A ，B ，C 在一条直线上，且=-3.设=p ，=q ,=r ，则下列等式成立的是( )A.r =-21p+23q B.r =-p +2q C.r =23p -21q D.r=-q +2p 思路解析：由AC =-3CB ,得OC -OA =-3(OB -OC )，即2=-+3， ∴=-21+23，即r =-21p +23q . 答案：A2.设一直线上三点A,B,P 满足=λ(λ≠1)，O 是空间一点，则用,表示为( ) A.OP =OA +λOB B.=λ+(1-λ) C.=λλ++1OB OA D.OP =λ1OA +λ-11OB 思路解析：由=λ(λ≠1),得-=λ(-)， 即=λλ++1OB OA . 答案：C3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP 等于( ) A.λ(+),λ∈(0,1) B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,22) 思路解析：∵点P 在对角线AC 上，∴AP 与AC 共线.又AC =AB +AD ,AP =λ(AB +AD ),当P 与A 重合时，λ=0；当P 与C 重合时，λ=1.答案：A4.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 可表示为（ ） A.-21a +23b B.21a -23b C.23a -21b D.23-a +21b 思路解析：平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，本题可用待定系数法,也可对各选项进行排除.答案：B5.下面所给向量共线的是( )A.(1，5)，(5，-5)B.(2，-3)，(21,43-) C.(1，0)，(0，1) D.(1，-3)，(8，21) 思路解析：将所给坐标代入公式，看“x 1y 2-x 2y 1=0”是否成立即可.答案：B6.与a =(12,5)平行的单位向量为( ) A.(135,1312-) B.(135,1312--) C.(135,1312)或(135,1312--) D.(135,1312±±) 思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即由与a 共线的单位向量是±||a a 可得. 答案：C我综合我发展7.(2006山东高考，文4) 设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)思路解析：4a =(4，-12)，3b -2a =(-8，18).设向量c =(x ，y)，依题意，得4a +(3b -2a )+c =0，所以4-8+x=0，-12+18+y=0，解得x=4，y=-6.答案：D8.已知点A(3，1)，B(0，0),C(3，0).设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么=λ,其中λ等于( )A.2B.21 C.-3 D.-31 思路解析：∵AE 为∠BAC ||CE ||AC =12=2.∴CE BE 2-=. ∴BC =BE -CE =-2CE -CE =-3CE .答案：C9.(2006北京高考，文11) 若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则ba 11+的值等于________. 思路解析：AB =(a-2,-2)，AC =(-2,b-2)，依题意，有(a-2)·(b-2)-4=0，即ab-2a-2b=0.所以b a 11+=21. 答案：21 10.已知|a |=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =__________.思路解析：首先设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x,y 的两个等式，解出x,y. 答案：(6,8)或(-6,-8)11.在△ABC 中，设=m ，=n ，D 、E 是边BC 上的三等分点，则=______,=______.思路解析：由D 、E 是边BC 上的三等分点，可得=31,=32，转化为已知向量即可. 答案：32m +31n 31m +32n 12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C 满足=α+β，其中，α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为__________.思路解析：将点C 所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C 的轨迹方程. 答案：x+2y-5=013.已知向量p =a +t b ,q =c +s d (t 、s 是任意实数)，其中a =(1,2),b =(3,0),c =(1,-1),d =(3,2)，求向量p 、q 的交点坐标.思路分析：本例主要利用向量相等的坐标运算,即若a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则a =b 的充要条件是x 1=x 2且y 1=y 2.另外当t 、s ∈R 时，向量p =a+t b ,q =c +s d 表示两条直线，(211,2)为这两条直线的交点.解：设交点坐标为(m,n)，则存在实数t′，使p =a +t′b =(3t′+1,2)=(m,n).∴⎩⎨⎧=+'=,2,13n t m 同理，存在实数s′，使p =c +s′d =(3s′+1，2s′-1)=(m,n).∴⎩⎨⎧-'=+'=,12,13s n t m 得⎩⎨⎧-'=+'=+'.122,1313s s t . 解得s′=t′=23. ∴(m,n)=(1，2)+t′(3，0)=(3t′+1,2)=(211,2)， 即向量p 、q 的交点坐标为(211,2).。

平面向量基本定理及坐标表示-同步练习(含解析)2023——2024学年人教A版高中数学必修第二册

平面向量基本定理及坐标表示-同步练习(含解析)2023——2024学年人教A版高中数学必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，13BE FC BC ==，则⋅= AE AF （ ）A ．419B ．4C ．329D ．2962．已知向量(a =，(,0)b λ= ，若12a b a ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭ ，则a 在b 方向上的投影向量为（ ）A．B．(C．⎫⎪⎪⎭D．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3．在ABC 中，D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，若DC x AB y AE =+，则x y +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．32-4．已知向量(1,2)a =- ，向量b满足a b -=cos ,a b 〈〉= ，则||b = （ ）AB ．5CD ．255．已知向量()(),3a m n m =≠ ，()3,2b =- ，()1,1c = ，且()a b c -⊥，则（ ）A ．1m n +=-B ．1m n +=C ．5m n -=D ．5-=-m n 6．已知向量()1,0a = ，()2,1b = ，则向量a 和向量b夹角的正弦值为（ ）A ．25BC ．15D7．设向量(),1m a = ，()2,3n a =+- ，且m n ⊥，则=a （ ）A ．1B ．12-C ．1或3-D ．1-或38．已知点P 是ABC 的重心，则（ ）A ．1166AP AB AC=+ B ．1144AP AB AC=+C ．1133AP AB AC=+ D ．2133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r二、多选题9．已知点()0,0A ，()2,1B ，()2,0C ，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 是直角三角形B ．若点()4,1D ，则四边形ACDB 是平行四边形C ．若AP AB AC =+，则()4,2P D ．若2AP BP =，则()4,2P 10．两个粒子,A B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，他们的位移分别为()s 4,3A =，()2s 1,B =- ．则（ ）A ．在该时刻，s s A B⊥B C ．在该时刻，粒子B 相对于A 的位移为()s 5,1=D ．在该时刻，A s 在B s 上的投影向量为24,55⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知向量()(),1,4,2a x b ==，则（ ）A ．若a b∥，则2x =B ．若a b ⊥，则12x =C ．若3x =，则向量a 与向量bD ．若=1x -，则向量b 在向量a上的投影向量为12．已知向量()()1,1,2,,,a b k a b c a tb =-=⊥=-．若,,a c b c = ，则（ ）A ．12a b=B ．4b c ⋅=C ．b 在c 方向上的投影向量为cD ．与b反向的单位向量是三、填空题13．已知向量()1,1a = ，()1,b m = ．若()0,λ∀∈+∞，()1a b a b λλ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭ ，则m = ．14．在边长为2的菱形ABCD 中，,M N 分别为,BC CD 的中点，5AM AB ⋅=，则AM AN ⋅=.15．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边44B C 上有10个不同的点，1210,,,P P P ⋯，记2(1,2,3,,10)i i m AB AP i =⋅=…，若1210180m m m +++=…，则等边三角形的边长为 ．16．如图，OAB 所在平面内的两点,P Q 满足OP OQ xOA yOB +=+．若,P Q 是线段AB 的两个三等分点，则xy = ；若,P Q 是线段AB 上的动点，则x y += ．四、解答题17．已知向量()3,4a =，()1,= b x ．(1)若()a ab ⊥- ，求a b -；(2)若()1,2c = ，()2c a b - //，求2a b -与a 的夹角的余弦值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()4,3,6,8A B ，点M 满足,R OM OB λλ=∈．(1)若AM OB ⊥，求λ；(2)若()OM OA AB +∥，求M 的坐标．19．如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0πθ<<），OQ OA OP =+，四边形OAQP 的面积为S．(1)求OA OQ S ⋅+的最大值及此时θ的值0θ；(2)设点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOB α∠=，在（1）的条件下，求()0tan αθ+的值．20．已知向量()()1,,2,3a x b ==．(1)若()3b a b ⊥- ，求a b - ；(2)若()()3,4,//c b a c =--+ ，求3b c + 与a的夹角的余弦值．21．已知O 为坐标原点，()2,3A -，()8,1B .(1)判断OAB 的形状，并给予证明；(2)若()11,3C ，求证：A 、B 、C 三点共线；(3)若D 是线段AB 上靠近点A 的四等分点，求D 的坐标.参考答案：1．A【分析】根据平面向量的加法法则，减法法则，将AE ，AF 用AB，AC 表示，再利用向量的数量积公式计算即可求解.【详解】因为13BE FC BC ==，所以()11213333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，()11123333AF AC CF AC BC AC AC AB AB AC =+=-=--=+ ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则21123333AE AF AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22252251241423999999299AB AB AC AC =+⋅+=⨯+⨯⨯⨯+⨯= .故选：A.2．B【分析】根据向量垂直的坐标表示求得λ，再利用投影向量的定义求解即可.【详解】由题意得1322a b λ⎛⎫⎪ ⎪⎝+=⎭ ，因为12a b a ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭ ，所以102a b a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即3302λ⎛+⨯= ⎝，解得=λ，所以b =，则b = 6a b ⋅=-，故a 在b方向上的投影向量为2(2||a b b b b ⋅=-=，故选：B ．3．C【分析】根据题意画出示意图，结合图形，利用平面向量的线性运算性质，从而得到322DC AB AE =-+，进而即可求解．【详解】由()()11132222222DC DA AC AB AB BC AB BE AB BA AE AB AE =+=-++=+=++=-+，又DC x AB y AE =+ ，所以31222x y +=-+=．故选：C ．4．B【分析】由()22a b a b -=- ，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.【详解】由于向量(1,2)a =-由||a b -=，得()22222cos ,20a b a ba ab a b b -=-=-+= ，故520-，得22150b b --= ，得5b = 或3b =- (舍去)．所以5b = 故选：B 5．B【分析】根据坐标运算的加减法进行运算，再结合向量垂直·0a b a b ⊥⇔=即可得出结果.【详解】由题()()3,23b a m n m -=---≠，因为()a b c -⊥，所以()()()111032m a b c m n n -=⨯+⨯=--+=--- ，1m n ⇒+=.故选：B.6．D【分析】根据向量的夹角公式求出cos ,a b，再根据平方关系求出正弦值.【详解】因为向量()1,0a = ，()2,1b =，所以cos ,a b = 因为0,πa b ≤≤，所以sin ,a b == 所以向量a 和向量b故选：D.7．C【分析】由m n ⊥ ，可得0m n ⋅=，再根据数量积的坐标公式计算即可.【详解】因为m n ⊥，所以()230m n a a ⋅=+-=，解得1a =或3-.故选：C.8．C【分析】根据重心的性质和向量的线性运算求解.【详解】延长AP 与BC 交于D 点，根据重心的性质，D 为BC 中点，且2AP PD =，于是由13()22AD AB AC AP =+= ，可得1()3AP AB AC =+.故选：C9．ABD【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．【详解】()2,0AC = ，()0,1BC =- ，所以0AC BC ⋅= ，⊥AC BC ，ABC 是直角三角形，A 正确.若点()4,1D ，则(2,0)BD = ,AC BD =，四边形ACDB 是平行四边形，B 正确.若()4,1AP AB AC =+=，则()4,1P ，C 错误.若2AP BP =，则B 是AP 中点，()4,2P ，D 正确.故选：ABD ．10．BCD【分析】由向量垂直的坐标表示可得A 错误；由两点间距离公式可得B 正确；由向量的减法法则可得C 正确；由投影向量的运算可得D 正确.【详解】A ：因为()()s 4,31,24620s A B ⋅=⋅-=-+=≠ ，所以A s 与B s不垂直，故A 错误；B=，故B 正确；C ：在该时刻，粒子B 相对于A 的位移为()s 5,1B A s s =-=，故C 正确；D ：A s 在B s 上的投影向量为24,55A B B B B s s s s s ⎛⎫==- ⎪⋅⋅⎝⎭，故D 正确；故选：BCD.11．AC【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A ；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B ；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若a b∥，则240x -=，解得2x =，故A 正确．若a b ⊥ ，则420x +=，解得12x =-，故B 错误．若3x =，则()3,1a =，又()4,2b = ，所以向量a 与向量b的夹角的余弦值为a b a b⋅==C 正确．若=1x -，则()1,1a =- ，又()4,2b = ，所以向量b 在向量a上的投影向量为()1,1a b a aa ⋅⋅==-，故D 错误．故选：AC ．12．ABC【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.【详解】()()()1,1,2,,,12,1a b k c a tb c t tk =-==-∴=---．()(),20,2,2,2,12,12a b k k b c t t ⊥∴-=∴=∴==---．,,,cos ,cos ,a c b c a c b c =∴= ，即a c b c a c b c⋅⋅= ．a cb ca b ⋅⋅∴=，即=12t =-，则()2,0c = ．对于A，12a ab =∴=，故A 正确；对于B ，因为()()2,22,04b c ⋅=⋅=，故B 正确；对于C ，b 在c 方向上的投影向量为41cos ,22c b c c b c b c c c cc ⋅⋅=⋅=⨯=，故C 正确；对于D ，与b反向的单位向量是b b ⎛-= ⎝ ，故D 错误．故选:ABC ．13．1-【分析】根据()1a b a b λλ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭ 可得：()10a ba b λλ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭ ，借助平面向量数量积的坐标运算，用,m λ表示出上式，根据()0,λ∞∈+时恒成立，可求m 的值.【详解】因为()1a b a b λλ⎛⎫+⊥-⎪⎝⎭，所以()10a b a b λλ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭ .因为()()()1,11,1,1a b m m λλλλ+=+=++，()()1111,11,1,1m a b m λλλλ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭ ，由()11,11,10m m λλλλ⎛⎫++⋅--= ⎪⎝⎭⇒()()111110m m λλλλ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()()1110m m λλ⎡⎤⎛⎫+-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为上式对任意()0,λ∞∈+都成立，所以10m +=⇒1m =-.故答案为：1-14．132【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出AM ，再由余弦定理求得2π3ABC ∠=，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得.【详解】记AC 与BD 交于点O ，,BAM AM x θ∠==，由题知，2cos 5AM AB x θ⋅==①，在ABM 中，由余弦定理有244cos 1x x θ+-=②，联立①②解得x =所以2224171cos 22212AB BM AM ABC AB BM +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为()0,πABC ∠∈，所以2ππ,33ABC OBC ∠=∠=.所以ππsincos 133OA OC BC OB OD BC ======，以O 为原点，,AC BD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()11,,22A M N ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以1122AM AN ⎫⎫=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，，所以2211322AM AN ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭.故答案为：13215【分析】建立坐标系，求出直线44B C 的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.【详解】以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建系，如图所示：设等边三角形边长为a ,可得：23()2B a，35()2B a，47()2B a ，4(4,0)C a ，设直线44B C 的方程为：y kx b =+，则有7204a k b ak b =+⎪=+⎩，解得k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，直线44B C 的方程为：4)y x a =-，可设：(,)i i i P x y i i y +=，即有：223)26i i i i i i m AB AP ax y a =⋅=+== ，21210610180m m m a ∴++⋅⋅⋅+=⨯=，解得a =【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，得出相关点的坐标，则得到直线44B C 的方程为：4)y x a =-，最后得到26i m a =，代入计算即可.16． 1 2【分析】第一空由向量的加法法则结合图形关系可得；第二空取PQ 的中点R ，然后由向量共线的充要条件可得.【详解】因为y OA OP AP O OQ xO B BQ A OB =+++++=，①因为,P Q 是线段AB 的两个三等分点，所以0AP BQ += ，所以由①可得1,1x y ==，所以1xy =；取PQ 的中点R ，由平行四边形定则可得2OP OQ OR +=，所以1122OR xOA yOB =+ ，因为,,A B R 三点共线，所以111222x y x y +=⇒+=，所以2x y +=，故答案为：1；2.17．(1)52【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得x 值，然后由模的坐标表示计算；（2）由向量平行的坐标表示求得x ，然后由数量积的坐标运算求向量夹角的余弦值．【详解】（1）由题意(2,4)a b x -=-，因为()a a b ⊥- ，则()64(4)0a a b x ⋅-=+-= ，得112x =，则3(2,)2a b -=- ，所以52a -= ；（2）由已知2(1,42)a b x -=- ，又()1,2c =，()2c a b -//，所以(2)2(42)0c a b x ⋅-=--=，得1x =，则2(1,2)a b -=，故(2)cos 2,2a b a a b a a b a -⋅-===-18．(1)1225λ=(2)(6,8)--【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可；（2）由平面向量平行的坐标表示，列出方程求解即可．【详解】（1）由题可得，(6,8)OM λλ= ，(64,83)AM λλ=-- ，因为AM OB ⊥，所以6(64)8(83)0λλ-+-=，解得1225λ=．（2）由题可知，(64,83),(2,5)B OM OA A λλ=+++=，因为()OM OA AB +，所以5(64)2(83)λλ+=+，解得1λ=-，所以(6,8)OM =--，即M 的坐标为(6,8)--．19．(1)1，此时0π4θ=.(2)17-【分析】（1）根据三角函数定义可得P 点坐标，根据向量数量积可得OA OQ ⋅，根据向量加法几何意义得四边形OAQP 为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数OA OQ S⋅+化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；（2）由三角函数定义可得α的正切值，结合两角和的正切公式可得()0tan αθ+．【详解】（1）由题意知,A P 的坐标分别为()1,0，()cos ,sin θθ．()()1,0cos ,sin OQ OA OP θθ=+=+()1cos ,sin θθ=+，()()1,01cos ,sin 1cos OA OQ θθθ∴⋅=⋅+=+.由题意可知sin S θ=.πsin cos 114OA OQ S θθθ⎛⎫∴⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ，()0πθ<<.所以ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故πππ,424θθ+==时πsin 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，OA OQ S ∴⋅+1，此时0π4θ=.（2）34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，AOB α∠=，4tan 3α∴=-.()041πtan 113tan tan 441tan 713ααθαα-++⎛⎫∴+=+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.20．【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出x ，再根据向量模的坐标运算可得结果；（2）根据向量平行的坐标运算求出x ，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.【详解】（1）由()3b a b ⊥- 可得()30b a b ⋅-= ，整理得20a b b ⋅-= ．因为22223,2313a b x b ⋅=+=+= ，所以23130x +-=，解得113x =．所以1121,,1,33a a b ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b -== （2）()2,4a c x +=--，因为()//b a c + ，所以()23240x -⨯--=，解得1x =．所以()1,1a =，又()33,5b c += ，所以()3cos3,3b c a b c a b ca+⋅+==+所以3b c + 与a．21．(1)直角三角形，证明见解析；(2)证明见解析；(3)7,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）法一：求出OA ，AB 的坐标，根据0OA AB ⋅= 证明即可；法二：求出2OA ，2OB ，2AB ，根据勾股定理逆定理证明即可；（2）首先求出AB ，AC 的坐标，根据向量共线的坐标表示得到AB与AC 共线，即可得证；（3）依题意可得14AD AB = ，再由OD OA AD =+u u u r u u r u u u r 求出OD 的坐标，即可得解.【详解】（1）法一：因为()2,3A -，()8,1B ，所以()2,3OA =- ，()8,1OB =，()()()8,12,36,4AB =--= ，其中()26340OA AB ⋅=⨯+-⨯= ，所以OA AB ⊥，即OA AB ⊥，故ABC 为直角三角形.法二：因为()2,3A -，()8,1B ，所以24913OA =+=，264165OB =+=，()()222821352AB =-++=，所以222OA AB OB +=，所以90OAB ︒∠=，即OA AB ⊥，故ABC 为直角三角形.（2）因为()2,3A -，()8,1B ，()11,3C ，所以()()()8,12,36,4AB =--= ，()()()11,32,39,6AC =--=，因为66490⨯-⨯=，所以AB与AC 共线，又AB与AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 三点共线.（3）因为D 是线段AB 上靠近点A 的四等分点，所以13,142AD AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以()372,3,1,222OD OA AD ⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故7,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

《空间向量及其运算的坐标表示》同步练习及答案

《空间向量及其运算的坐标表示》同步练习及答案

《1.2空间向量及其运算的坐标表示》同步练习一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．14．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）A ．BC ．D ． 5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-26．若，则的最小值是（ ）ACD7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．910．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 222()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =(1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=21111ABCD A B C D -E BC P ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）A ．B ．C ．．二、多选题11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则C ．D．若，则为单位向量13．若，，与的夹角为，则的值为（）A ．17B ．－17C ．－1D ．1三、填空题 11B P D E ⊥1B P 523(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(1,1,1)()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ14．已知，，则______.15．已知向量，，则____；若，则______16．已知，，，，，则______.17如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.21．已知空间三点，设. ()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=(1,2,2)a (2,,1)b x a =a b ⊥x =()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x ()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y (2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x ()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求的值.22．已知向量.（1）求与共线的单位向量；（2）若与单位向量垂直，求m ，n 的值.23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.答案解析一、单选题1．已知向量，，则向量（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知可得.故选：A.2．已知向量，向量，若，则实数（ ）A ．B ．C ．D ． a b θka b +2ka b -k ()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆(1,2,1)a =-(1,2,1)a b -=--b =(2,4,2)-(2,4,2)--(2,0,2)--(2,1,3)-()()()1,2,11,2,12,4,2b =----=-()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥x =33-66-【答案】D【解析】，，，，解得.故选：D.3．若向量，且，则实数的值是（ ）A ．B ．0C ．D ．1【答案】C【解析】由已知，由得：，，故选：C.4．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）ABC．【答案】A【解析】由空间向量，，若与垂直，则，即，即，即，即，即， 故选：A. ()3,2,a x =()2,0,1b =a b ⊥60a b x ∴⋅=+=6x =-(0,1,1),(1,1,0)a b =-=()a b a λ+⊥λ1-2-(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a bλλλλ+=-+=+-()a b a λ+⊥()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=2λ∴=-()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b a 2()1,,2a n =()2,1,2b =-2a b -b (2)0a b b -⋅=22a b b ⋅=249n +=52n =51,,22a ⎛⎫= ⎪⎝⎭251a =+=5．已知，，且，则（ ）A ．-4B ．-5C ．5D ．-2【答案】A【解析】因为，，且，所以存在实数，使得，即解得 故选：6．若，则的最小值是（ ）ACD【答案】C【解析】，所以故选C7．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点， 所以,则，故选 D. 8．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b x =()2,1,2a =-()4,2,b x =-//a b λb a λ=4222x λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪=⎩24x λ=-⎧⎨=-⎩A (1,21,0),(2,,)a m m b m m =--=b a -(1,1,)b a m m m -=+-(1)b a m -=+=≥(2,1,3)A -xOz B OA OB ⋅=10-1012-12(2,1,3)A -xOz (2,1,3)B =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -=22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,6(5a b +=--()2,1,6a b -=--10a b ⋅=6a =【解析】因为，所以，，故选：9．已知，， ，若、、三个向量共面，则实数( )A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】A【解析】，， ， 、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数．故选：．10．如图，在边长为的正方体中，为的中点，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）),4(4,2a =--)6,(3,2b =-)10,,2(5a b +=--()2,1,6a b -=--()()()46234222a b =⨯+-⨯-+-⨯=(246a =+=D ()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c λ=()2,1,3a =-()1,4,4b =--()7,7,c λ=a b c ∴m n c ma nb =+727434m n m n m n λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩5m =3n =∴35433λ=⨯-⨯=A 21111ABCD A B C D -E BC P ABCD 11B P D E ⊥1B PA． C ．． 【答案】D【解析】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、，设点，，， ，，得， 由，得，得，23D DA DC 1DD x y z D xyz -()12,2,2B ()10,0,2D ()1,2,0E ()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤()11,2,2D E =-()12,2,2B P x y =---11D E B P ⊥()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=22x y =-0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩01y ≤≤，当时，取得最大值. 故选：D.二、多选题 11．已知向量，则与共线的单位向量（ ）A． B ． C ．D ． 【答案】AC【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到． 故，而或． 故选：AC ． 12．对于任意非零向量，，以下说法错误的有( )A ．若，则B ．若，则 C．D ．若，则为单位向量【答案】BD【解析】 对于A 选项，因为，则，A 选项正确； 对于B 选项，若，且，，若，但分式无意义，B 选项错误； ()124B P x ∴=+=01y ≤≤1y =1B P 3(1,1,0)a =a e =(22--(0,1,0)(22(1,1,1)a e a e λ=a e λλ==a λ=±ae a =±11a =+=2(,22e =2(,2e =-()111,,a x y z =()222,,b x y z =a b ⊥1212120x x y y z z ++=//a b 111222x y z x y z ==cos ,a b =><1111===x y z a a b ⊥1212120a b x x y y z z ⋅=++=20x =20y ≠20z ≠//a b 12x x对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C 选项正确；对于D 选项，若，则，此时，不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.13．若，，与的夹角为，则的值为（ ）A ．17B ．－17C ．－1D ．1【答案】AC【解析】由已知，， ，解得或， 故选：AC.三、填空题 14．已知，，则______.【答案】 【解析】，故答案为：15．已知向量，，则_____；若，则_______ 【答案】3 0【解析】∵向量，， ∴. cos ,a b =><1111===x y z 2211a =+=a ()1,,2a λ=--()2,1,1b =-a b 120︒λ224a b λλ⋅=---=--22145,4116a b λλ=++=+=++=1cos12025a b a b λλ⋅-∴===-⋅+17λ=1λ=-()3,2,5a =-()1,5,1b =-a b ⋅=2()3,2,5a =-()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=2(1,2,2)a(2,,1)b x a =a b ⊥x =(1,2,2)a (2,,1)b x ||143a =++=若，则，解得.故答案为：3，0.16．已知，，，，，则______.【答案】-1【解析】依题意，所以.故答案为：17．如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P 在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________.【解析】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，. a b ⊥2220a b x ⋅=+-=0x=()1,1,0a =()0,1,1b =()1,0,1c =p a b =-2q a b c =+-p q ⋅=()()1,0,1,0,3,1p a b q =-=-=0011p q ⋅=+-=-1-1111ABCD A B C D -M 1AA 11ABB A 1D P CM PBC ∆1DD 1(2,,),(0,0,2)P y z D 1(2,,2)D P y z =-(0,2,0),(2,0,1)C M (2,2,1)CM =-1D P CM ⊥4220y z -+-=22z y =-(0,2,)BP y z =-BP ===02y ≤≤65y =min BP =因为BC ⊥BP,所以. 四、解答题18．已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）-6；（2）-4.【解析】（1）， ∴，∴. （2），∵，∴，∴，∴.19．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若、、、四点共面，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），得，，，，解得；min 1()22PBC S ∆=⨯=()2,1,3a =-()4,2,b x =-()1,,2c x =-//a b x ()a b c +⊥x b a λ=2423x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩6x =-()2,1,3a b x +=-+()a b c +⊥()0a b c +⋅=()2230x x --++=4x =-()1,1,1AB =()1,2,1AC =-()3,,1AD y =AD AC ⊥y A B C D y 1y =-4y =AD AC ⊥AD AC ⊥0AD AC ∴⋅=()()3,,11,2,10y ∴⋅-=3210y ∴+-=1y =-（2）由、、、四点共面，得，，使得，，，，解得.20.已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（Ⅰ）实数和的值分别为和.（Ⅱ） 【解析】 (Ⅰ)因为,.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）. 因为, 所以 所以实数的值为. 21．已知空间三点，设.（1）求和的夹角的余弦值； A B C D λ∃R μ∈AD AB AC λμ=+()()()1,1,11,2,13,,1y λμ∴+-=321y λμλμλμ+=⎧⎪∴+=⎨⎪-=⎩4y =(2,1,2)=--a (1,1,2)b =-(,2,2)x =c ||22c =ka b +c x k c a b x x k 03-12-||22c =0x ==ka b =+(21,1,22)k k k ---+ka b +c ()0ka b c =+⋅260k +=x k 03-c a b c a b λμ=+,R λμ∈(,2,2)(2,1,2)(1,1,2)x λμ=--+-2,2,222,x λμμλλμ=--⎧⎪=-⎨⎪=+⎩1,21,23.2x λμ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩x 12-()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---,a AB b AC ==a b θ（2）若向量与互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ，．（1）所以与的夹角的余弦值为. （2），，所以, 即，所以或. 22．已知向量.（1）求与共线的单位向量； （2）若与单位向量垂直，求m ，n的值.【答案】（1）或.（2）或 【解析】（1）设=(λ,2λ,-2λ)，而为单位向量，∴||=1，即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，∴λ=±. ka b +2ka b -k 52k =-2k =(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯a b θ,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=22100k k +-=52k =-2k =()1,2,2a =-a b a ()0,,c m n =122,,333b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭122,,333b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,2m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b b b 13∴=或=. （2）由题意，知，且故可得 解得或 23．已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】（1）空间中三点，，，设，， 所以，，，，且，设，，，或．（2）， 且向量与互相垂直， b 122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭b 122,,333⎛⎫-- ⎪⎝⎭0a c ⋅=1c=10220,1,m n ⨯+-=⎧⎪=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =3c =//c BC c ka b +b k ABC ∆()2,1,2c =-()2,1,2c =--532()2,0,2A -()1,1,2B --()3,0,4C -a AB =b AC =()()()1,1,22,0,21,1,0a AB =--=--=--()()()3,0,42,0,21,0,2b AC ==---=-∴(3,0,4)(1,1,2)(2,1,2)BC =----=-3c =//c BC c mBC =∴()()2,1,22,,2c mBC m m m m ==-=-(233c m m ∴=-==1m ∴=±∴()2,1,2c =-()2,1,2c =--()()()1,0,21,,21,1,0ka b k k k -++=---=--()1,0,2b =-ka b +b，解得． 的值是．（3）因为，， ，，，． ()140ka b b k ∴+=-+=5k =k ∴5()1,1,0AB =--()1,0,2AC =-()2,1,2BC =-1AB AC ∴=-(AB =-21AC ==11cos ,||||2510AB AC AB AC AB AC -∴<>===-sin ,1AB AC ∴<>==1sin ,2ABC S AB AC AB AC ∆∴=⨯⨯⨯<>12=32=。

数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案

数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案

数学必修二：空间向量的坐标表示习题答案导语：在数学中，空间向量是一个重要的概念，对于学习几何和代数的学生来说，掌握空间向量的坐标表示是必不可少的。

本文将为大家提供数学必修二中关于空间向量的坐标表示的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、选择题1.已知向量$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$，则向量$\overrightarrow{BA}$的坐标表示是：A. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$B. $3\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$D. $3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：向量$\overrightarrow{BA}$就是向量$\overrightarrow{AB}$的反向，所以坐标表示就是将$\overrightarrow{AB}$的坐标取相反数，即$-3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$。

答案选A。

2.设向量$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+4\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$，则$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标表示是：A. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$B. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$C. $\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$D. $-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$解析：将向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的各个分量相加，得到$(2+(-1))\overrightarrow{i}+((-3)+5)\overrightarrow{j}+(4+(-2))\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+2\overright arrow{k}$。

6.3 平面向量基本定理及坐标表示(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练必修二

6.3 平面向量基本定理及坐标表示(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练必修二

则 a b (1,3),3a 2b (7, 4)，所以 (a b) (3a 2b) 1 7 3 4 5，故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知 e1, e2 是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是
（）
A． e1 e2 和 e1 e2
CF
2DF，所以源自AE2 a1
b，AF
3 1 a
b
，
2
3
又因为
BD
AE
AF
，且
BD
AD
AB
b
a
，
所以
a
b
AE
AF
a
1 2
b
1 3
a
b
1 3
a
1 2
b
，
所以
1 3
1
，解得
8 5
，所以
1
。
1 2
1
9 5
5
故选：B.
10．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一期末）（多选）设向量
B．
C．
D．1
2
3
3
【答案】D
【解析】选取
AB,
AD
为基底，则
AF
AD
DF
1 3
AB
AD
，
又 AF AC DE
AB AD
1 2
AB
AD
2
AB
AD
，
将以上两式比较系数可得 1．故选 D．
9．（2022
广东）在平行四边形
ABCD
中，点
E，F
B． 3e1 e2 和 6e1 4e2
C． e1 e2 和 e2 e1 D． e2 和 e2 e1

向量垂直的坐标表示

向量垂直的坐标表示

向量垂直的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。

它可以用坐标来表示，这些坐标描述了向量在特定坐标系中的位置。

当两个向量相互垂直时，它们之间存在一些特殊的性质和坐标表示方法。

本文将探讨向量垂直的坐标表示的概念和应用。

在二维平面上，一个向量由x和y两个分量组成，可以表示为V = (x, y)。

这表示向量的起点位于原点(0, 0)，终点位于(x, y)。

当两个向量V1 = (x1, y1)和V2 = (x2, y2)垂直时，它们满足下列条件：x1 * x2 + y1 * y2 = 0。

这个条件可以通过向量的数量积来证明。

垂直向量的坐标表示方法提供了一种简单且直观的方式来描述向量之间的关系。

通过计算坐标之间的乘积，我们可以确定两个向量是否垂直。

例如，给定两个向量V1 = (1, 2)和V2 = (-2, 1)，我们可以计算它们的数量积为1 * (-2) + 2 * 1 = 0，因此这两个向量是垂直的。

向量垂直的坐标表示方法可以应用于多个领域，包括几何、物理和工程等。

在几何中，垂直向量的坐标表示可以用于计算直线和平面的垂直性质。

例如，在平面几何中，一条直线的斜率为k，则与其垂直的直线的斜率为-1/k。

这可以通过向量的坐标表示来证明。

在物理学中，向量垂直的坐标表示方法可以用于计算力和力矩之间的关系。

力矩是由力在某一点产生的转动效果，可以用向量的叉乘来表示。

当两个向量相互垂直时，它们的叉乘结果为零，表示力和力矩之间没有转动效果。

工程中的应用包括电路和信号处理等领域。

在电路中，交流电的电流和电压之间存在相位差的概念。

如果两个信号的相位差为90度，则它们被认为是垂直的。

这可以通过向量的垂直坐标表示来计算和解释。

除了二维平面外，向量垂直的坐标表示方法也适用于三维空间。

在三维空间中，向量的坐标由x，y和z三个分量组成。

当两个向量V1 = (x1, y1, z1)和V2 = (x2, y2, z2)垂直时，它们满足下列条件：x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = 0。

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-6.3.5平面向量数量积的坐标表示(含答案)

人教A版高中数学必修第二册强化练习题-6.3.5平面向量数量积的坐标表示(含答案)

人教A版高中数学必修第二册6.3.5　平面向量数量积的坐标表示基础过关练题组一　向量数量积的坐标运算1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1B.0C.1D.2A.π6 B.π4 C.π3 D.π29.(2024江苏无锡辅仁高级中学月考)如图,正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则cos∠EMF= .10.(2024山东滨州北镇中学月考)在平面直角坐标系中,向量a=(1,-2),b=(-2,6),若a与a+λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为 .(B.C.D.1.A.(0,1) ,1∪(1,3) D.(1,3)2.(多选题)(2024辽宁七校协作体期中)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb,λ∈R,则下列说法正确的是( )A.当λ=-1时,|c|最小5B.当|c|最小时,b⊥cC.当λ=1时,a与c的夹角最小D.当a与c的夹角最小时,a=c3.(2024福建莆田第二十五中学月考)定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a||b|·sin<a,b>,<a,b>表示向量a与b的夹角.若点A(1,0),B(1,-3),O为坐标原点,则|OA ×OB|= .4.(2024湖南师范大学附属中学月考)在△OAB中,OA·OB=0,|OA|=2,|OB|=4,E点满足AE=t AB (t∈R),D为OB的中点.(1)当t=12时,求直线AD与OE相交所成的较小的角的余弦值;(2)求|AE-AO|的最小值及相应的t的值.题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用5.(2024广东第一次调研)已知AB⊥AC,|AB|=t(t>0),|AC|=1t.若点P是△ABC所在平面内一点,且AP=AB|AB|+2AC|AC|,则PB·PC的最大值为( )A.13B.5-22C.5-26D.10+226.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨实验中学开学考试)图1为折扇,其平面图为图2中的扇形COD,其中∠COD=2π3,OC=3OA=3,动点P在CD上(含端点)运动,连接OP交扇形OAB的弧AB 于点Q,且OQ=x OC+y OD,则下列说法中正确的是( )A.若y=x,则x+y=23B.若y=2x,则OA·OP=0C.AB·QP≥-2D.AP·BP∈,77.(2024天津河东第四十五中学月考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC 的中点,则ME·BD= ;若点P在线段BD上运动,则PE·PM的最小值为 .8.(2024天津第五中学月考)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6.(1)求AB·BC的值;9.(在平面斜坐标系Oxy中,∠xOy=60°,分别为与x轴,y轴正方向同向的单位向量为=(1,2),OB=(m,4),试探究以下问题10.(2023黑龙江鹤岗一中月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知A(1,5),B(7,1),C(1,2).(1)若四边形ABCD为平行四边形,求AC与DB夹角的余弦值;(2)若M,N分别是线段AC,BC的中点,点P在线段MN上运动,求PA·PB的最大值.答案与分层梯度式解析6.3.5　平面向量数量积的坐标表示基础过关练1.C2.C3.C4.A5.D8.B11.C12.C 13.AB1.C　∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1.2.C　BC=AC-AB=(2,1)-(1,0)=(1,1),因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC=AB=(1,0),所以BC·DC=1×1+1×0=1,故选C.3.C　建立平面直角坐标系,如图所示:6.7.解析　因为a与b方向相反,所以存在k<0,使a=kb,即m=k,3=km,解得m=−3,k=−3或m=3,k=3(舍去),故m=k=-3,则a=(-3,3),b=(1,-3),所以a-3b=(-23,6),故|a-3b|=(-23)2+62=43.8.B　由题意得b=2a+b-2a=(2,0),所以a·b=1×2+1×0=2,易得|b|=2,|a|=2,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a ||b |=22×2=22,又因为θ∈[0,π],所以θ=π4,故选B.9.答案　210解析　以A 为原点,AB ,AD 的方向分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),D(0,6),E(3,0),F(6,2),∴DE =(3,-6),AF =(6,2).易知向量DE 与AF 的夹角等于∠EMF,∴cos ∠EMF=DE ·AF |DE ||AF |=18−129+36×36+4=210.10.答案　(-∞,0)∪0,解析　由题意得a+λb=(1,-2)+λ(-2,6)=(1-2λ,-2+6λ),因为a 与a+λb 的夹角为锐角,所以a·(a+λb)>0,且a 与a+λb 不共线易错点,由a·(a+λb)>0,得1-2λ+(-2)×(-2+6λ)>0,解得λ<514,由a 与a+λb 共线,得-2×(1-2λ)-(-2+6λ)=0,解得λ=0,故λ≠0.综上,λ的取值范围为(-∞,0)∪0,11.C 因为AB =(2,1),AC =(3,-6),所以AB ·AC =2×3-6=0,即AB⊥AC ,所以S △ABC =12|AB |·|AC |=12×4+1×9+36=152,故选C.12.C 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),设P(t,1)(0≤t≤4),则AP =(t,1),BP =(t-4,1),因为AP ⊥BP,所以AP ·BP =0,即t(t-4)+1=0,解得t=2±3,即满足条件的点P 有2个.故选C.13.AB |a|=t 2+1,则当t=0时,|a|取最小值,为1,故A 正确;若a ⊥b,则2t+t=0,解得t=0,故B 正确;若t=1,则a=(1,1),设与a 垂直的单位向量为m=(x,y),=1,解得x =22,y =−22或x =−22,y =22,故与a -22故C 错误;若解知∠b3c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),则|c|2=(1-3λ)2+(2+4λ)当当|c|最小时所以b·c=-3×85+4×65=0,所以b ⊥c,故B 正确;设向量a 与c 的夹角为θ,则cos θ=a ·c |a ||c |=5+5λ5×5+10λ+25λ2=1+λ1+2λ+5λ2,要使向量a 与c 的夹角最小,则cos θ最大,由于θ∈[0,π],所以cos θ的最大值为1,令1+λ1+2λ+5λ2=1,解得λ=0,所以当λ=0时,a 与c 的夹角最小,此时a=c,故C 错误,D 正确.故选ABD.解析　由题意得OA =(1,0),OB =(1,-3),∴|OA |=12+02=1,|OB |=12+(−3)2=2,∴cos<OA ,OB >=OA ·OB|OA ||OB |=1×1+0×(−3)1×2=12,∵<OA ,OB >∈[0,π],∴<OA ,OB >=π3,∴|OA ×OB |=|OA ||OB |sin<OA ,OB >=1×2×sin π3=3.4.解析　(1)由OA ·OB =0,得OA⊥OB ,以O 为原点,OA,OB 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则O(0,0),A(2,0),B(0,4),D(0,2),故AD =(-2,2),因为AE =12AB ,所以E 为AB 的中点,故E(1,2),所以OE =(1,2),设AD 与OE 的夹角为θ,则cos θ=AD ·OE |AD ||OE |=-2×1+2×222×5=1010,所以直线AD 与OE 相交所成的较小的角的余弦值是1010.(2)解法一:由(1)知AB =(-2,4),AO =(-2,0),则AE =t AB =(-2t,4t),则|AE -AO |=(-2t +2)2+(4t)2=20t 2-8t+4=故当t=15时,|AE -AO |取得最小值,为455.解法二:AE =t AB (t ∈R)表示E 是直线AB 上任意一点,|AE -AO |=|OE |,其最小值就是原点O 到直线AB 的距离,设为d,则|AB |·d=|OA |·|OB |,可得d=2×422+42=455,此时|AE |==255,则t=|AE ||AB |=15,故当t=15时,|AE -AO |取得最小值,为455.5.B 解析　以A 为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,3,设Q(cos θ,sin θ),θ∈0,则P(3cos θ,3sin θ),由OQ =x OC +y OD ,可得(cos θ,sin θ)=3x -32y ,332y ,即cos θ=3x-32y,sin θ=332y,易知x≥0,y≥0,若y=x,则cos 2θ+sin 2θ=3x -32x2x 2=1,解得x=13 (负值舍去),故x+y=2x=23,A 正确;若y=2x,则cos θ=3x-32y=0,故sin θ=1,则P(0,3),所以OA ·OP =(1,0)·(0,3)=0,故B 正确;AB ·QP =-32,θ,2sin θ)=3sin θ-3cos θ=23sin θ因为θ∈0,所以θ-π3∈-π3故23sin θ[-3,3],故C 错误;AP =(3cos θ-1,3sin θ),BP =3cos θ+12,3sin θ故AP ·BP =(3cos θ-1)3cos θ+θ·3sin θ=172-3sin θ+易得θ+π6∈所以sin θ+,1,故AP ·BP =172-3sin θ+,7,故D 正确.故选ABD.7.答案　5;2352解析　解法一:由题意得DE=2,BM=1.以A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,2),E(2,2),M(3,1),则ME =(-1,1),BD =(-3,2),AB =(3,0),AD =(0,2),所以ME ·BD =(-1)×(-3)+1×2=5.由题意可设AP =λAB +(1-λ)AD =(3λ,2-2λ),0≤λ≤1,(点P 在线段BD 上运动,可设DP =λDB ,0≤λ≤1,则AP =AD +λ(AB -AD )=λAB +(1-λ)AD )故P(3λ,2-2λ),则PE =(2-3λ,2λ),PM =(3-3λ,2λ-1),所以PE ·PM =(2-3λ)(3-3λ)+2λ(2λ-1)=13λ2-17λ+6=13λ+2352,所以当λ=1726时,PE ·PM 取得最小值,为2352.解法二:由题意知CE=CM=1,则ME ·BD =(MC +CE )·(BC +CD )=MC ·BC +MC ·CD +CE ·BC +CE ·CD =2+0+0+3=5.设PB =t DB (0≤t≤1),则PB =-t BD ,PD =(1-t)BD ,故PE·PM=(PD+DE)·(PB+BM)=[(1-t)BD+DE]·(-t BD+BM)=-t(1-t)BD2+(1-t)BD·BM-t BD·DE +DE·BM,又|BD|==AD-AB,所以PE·PM=-13t(1-t)+(1-t)AD·BM+t AB·DE=13t2-9t+2,=13t+2352,PE·PM取得最小值8..所以当x=2时,DM·DN取得最小值,为132,9.解析　(1)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos 60°=12因为OA=(1,2),OB=(3,4),所以OA=e1+2e2,OB=3e1+4e2,+8×12=16.所以OA·OB=(e1+2e2)·(3e1+4e2)=3e21+10e1·e2+8e22=3×12+10×12(2)若OA⊥OB ,则OA ·OB =0,即(e 1+2e 2)·(me 1+4e 2)=0,即m e 21+(2m+4)e 1·e 2+8e 22=m×12+(2m+4)×12+8×12=2m+10=0,所以m=-5,故OB =(-5,4).(3)设所求向量为n=(x 0,y 0),则n=x 0e 1+y 0e 2,所以n 2=(x 0e 1+y 0e 2)2=x 20e 21+2x 0y 0e 1·e 2+y 20e 22=x 20+x 0y 0+y 20=1①,因为n·OA =0,所以(x 0e 1+y 0e 2)·(e 1+2e 2)=0,即x 0e 21+(2x 0+y 0)e 1·e 2+2y 0e 22=x 0+x 0+12y 0+2y 0=2x 0+52y 0=0②,由①②解得x 0=−52121,y 0=42121或x 0=52121,y 0=−42121,所以n=-52121即与OA 垂直的单位向量的坐标为-52121,10.解析　(1)由题可得AB =(6,-4),AC =(0,-3).设D(x,y),则DC =(1-x,2-y).因为四边形ABCD 为平行四边形,所以AB =DC ,所以1−x =6,2−y =−4,解得x =−5,y =6,即D(-5,6),所以DB =(12,-5).设AC 与DB 的夹角为θ,则cos θ=AC ·DB |AC ||DB |=0×12+(−3)×(−5)02+(−3)2×122+(−5)2=513,所以AC 与DB 夹角的余弦值为513.(2)因为M,N 分别是线段AC,BC 的中点,所以M 1,4,所以MN =(3,-2),MA =0,,MB =因为点P 在线段MN 上运动,所以可设MP =λMN ,λ∈[0,1],则MP =(3λ,-2λ),所以PA =MA -MP =-3λ,32+2λ,PB =MB -MP =6−3λ,2λ所以PA ·PB =-3λ(6-3λ)++2λ2λ2-20λ-154,0≤λ≤1.令f(λ)=13λ2-20λ-154,λ∈[0,1],因为函数y=13λ2-20λ-154的图象的对称轴方程为λ=1013,1013∈[0,1], f(0)=-154, f(1)=-434,所以当λ=0时, f(λ)取得最大值,为-154,即PA ·PB 的最大值为-154.。

《向量垂直的坐标表示》进阶练习 (二)

《向量垂直的坐标表示》进阶练习 (二)

《向量垂直的坐标表示》进阶练习一、选择题1.已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A.（0，2]B.C.[2）D.[0，4]2.已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A. B. C. D.3.已知非零向量、，满足•=0且32=2，则与-的夹角为（）A. B. C. D.二、解答题4.已知向量，O是坐标原点，动点P满足：（1）求动点P的轨迹；（2）设B、C是点P的轨迹上不同两点，满足，在x轴上是否存在点A（m，0），使得，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．5.已知A（4，1），B（1，4），C（-4，-1），D（-1，-4），通过作图判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．参考答案【参考答案】1.B2.D3.A4.解：（1）令P（x，y），则∴即y2=4（x+1）（4分）（2）存在⇒-2≤m＜-1或m≥2使得，设BC：x=ky设B（x1，y1），C（x2，y2）⇒y2-4ky-4=0y1+y2=4k，y1y2=-4（6分）∵即（x1-m）（x2-m）+y1y2=0即（k2+1）y1y2-mk（y1+y2）+m2=0（8分）∴-4（k2+1）-mk-4k+m2=0（4m+4）k2=m2-4（10分）若存在则⇒-2≤m＜-1或m≥2．（12分）5.解：如图，四边形ABCD为长方形．∵A（4，1），B（1，4），C（-4，-1），D（-1，-4），∴，．∴AB∥CD，AD∥BC，AB⊥BC．则四边形ABCD为长方形．【解析】1. 解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与 O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．2. 解：∵，，∴=（-3λ-1，2λ），∵与垂直，∴（）•=0，即-（-3λ-1）=0，∴λ=，故选：D．根据向量与垂直，利用数量积的关系建立方程即可求解实数λ的值．本题主要考查向量垂直与数量积之间的关系，要求熟练掌握向量的数量积的坐标公式，考查学生的计算能力．3. 解：∵,∴,∵,设与-的夹角为θ，则cosθ====,∵0＜θ＜π,∴,故选A.本题主要考查了向量的数量积的性质：向量的夹角公式、向量的模||=等公式的应用，向量夹角的范围等知识的综合应用，设与-的夹角为θ，则cosθ==，结合已知可求cosθ，由0＜θ＜π可求.4.（1）令P（x，y），由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点P的轨迹方程．（2）设BC：x=ky设B（x1，y1），C（x2，y2），将直线的方程与点P的轨迹方程联立得到B，C两点的坐标与参数k的关系，再由，得到（x1-m）（x2-m）+y1y2=0，建立起参数m，k的方程，由其形式作出判断求参数的取值范围，若能求出则说明存在，否则说明不存在．本题考查平面向量的正交分解与坐标表示，解题的关键是由向量的坐标表示与模与内积的坐标表示求出点P的轨迹方程以及利用直线与圆锥曲线的位置关系及向量的内积为0建立起参数的方程．本题综合性强运算量大，思维含量较大，极易因变形及运算出错，解题时要严谨认真．5.由题意画出图形，求出向量的坐标，利用向量相等及数量积为0得答案．本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．。

向量的平行与垂直练习题含解析

向量的平行与垂直练习题含解析

向量的平行与垂直练习题含解析一、基础知识回顾：1．平行向量定义：①方向 或 的非零向量叫平行向量，向量、平行，记作∥；②规定：与任一向量 ； ③共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.2. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件：有且只有一个实数λ，使=λ.（等价于：存在两个不同为零的实数1、2，使得3. 非零向量和的数量积的定义：·= （向量和的夹角为）4. 非零向量和垂直的定义：如果两个非零向量和 ，则说和垂直，记作⊥5.非零向量垂直的充要条件：符号语言： 坐标语言：设=(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则6. 向量共线的充要条件：符号语言：=λ（，）坐标语言：设=(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 二、基础训练1．与向量垂直的单位向量是_________ _____.a b a b 0b ab a λλ).021=+b a λλa b a b a b θa b a b a b a b ⇔⊥b a →a →b ⇔⊥b a ⇔b a //b a a0≠R ∈λ→a →b ⇔b a //)4,3(-=a2．与向量平行的单位向量是_______ _______. 3．若三点共线，则k =______________.4．若 （ ）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件 三、典型例题例1．已知向量，，且，求实数的值。

例2．已知 （1）求； （2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？. （3）当为何实数时，与垂直？.例3．已知点及,试问: （1）当为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限?)4,3(-=a D B A e e CD e e CB e k e AB e e ,,,2,3,2,,21212121若已知是两个不共线的向量-=+=+=的是则b a y y xx y x b y x a //),,(),,(21212211===(1,2),(,1),2a b x u a b ===+2v a b =-//u v x ).1,2(),0,1(==b a |3|b a+k k -a bb a 3+k k -a bb a 3+)5,4(),2,1(),0,0(B A O AB t OA OP ⋅+=t P x P y P（2）O 、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由. 例4.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.四、课后作业 班级 姓名（ ）1．如果互相垂直，则实数x 等于t a b c)(b a -c 1||>++c b a k )(R k ∈k )4,1()3,22(++=--=x x b x a 与A ．B ．C ．或D ．或－2 （ ）2．三点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(x 3,y 3)共线的充要条件是 A ．x 1y 2－x 2y 1=0 B ．x 1y 3－x 3y 1=0C ．D ． （ ）3．已知 A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±（ ）4．非零向量、的位置关系是A ．平行B ．垂直C ．共线且同向D ．共线且反向（ ）5．下列命题中正确的是A ．若B ．若C ．若D ．若 （ ）6.向量＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） （ ）7．下面四个条件：②③2127212727))(())((12131312y y x x y y x x --=--))(())((13121312y y y y x x x x --=--为则且b a b a b a ⋅==,2||,1||//3a b a b a b a b a b -+=与则向量不平行于且满足,|,|||0,0==⋅b a b a 或则b a b a //,0则=⋅2)(,b a b a b a ⋅=⋅⊥则||||,,b a b a b a =⋅则共线→AB e b a e b a 53=-=+且①)0(≠∈=b R b a 且唯一且λλλ),(02121R xx b x a x ∈=+)0,(0=+∈=+y x R y x b y a x 且④其中能使共线的是 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④（ ）8. 在△ABC 中，∠C=90°，则k 的值是 A ．1.5B ．－1.5C ．5D ． －59．已知 10.设,且有,则锐角 。

课时作业4：8.1.3　第二课时　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

课时作业4：8.1.3　第二课时　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

第二课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件基础达标一、选择题1．已知平面向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，且a ⊥b ，则x ＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1D ．－3解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴3x －3＝0，∴x ＝1. 答案 B2．已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17 B.17 C ．－16D.16 解析 由a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)， 知λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－17. 答案 A3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n ＝± 3. ∴|a |＝12＋n 2＝2. 答案 C4．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 解析 因为m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)． 所以m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)． 因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B. 答案 B5．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上．若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →的值为( )A. 2 B ．2 C ．0D ．1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，可得A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)． 设F (x ，2)，则AB→＝(2，0)，AF →＝(x ，2)．∴AB →·AF →＝2x ＝2，解得x ＝1， ∴F (1，2)．∴AE→＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)， ∴AE →·BF →＝2(1－2)＋1×2＝ 2.故选A. 答案 A 二、填空题6．已知A (7，5)，B (2，3)，C (6，－7)，判断△ABC 的形状为__________．解析 AB →＝(－5，－2)，AC →＝(－1，－12)， BC→＝(4，－10)， ∴AB →·BC →＝－5×4＋(－2)×(－10)＝0， ∴AB ⊥BC . 答案 直角三角形7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 解析 由题意知a ·b ＝2×1＋(－1)×x ＝0，得x ＝2. 答案 28．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为__________．解析 建立平面直角坐标系如图所示．设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b )，A (2，0)，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )．∴|P A →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2(0≤y ≤b )， 当y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|最小，|P A →＋3PB →|min ＝5. 答案 5 三、解答题9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)， |a －b |＝4＋16＝2 5.10．如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x ，3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC→＝(3，0)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA→－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值． (1)证明 ∵OA→－OB →＝(0，2sin x )，∴(OA→－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA→－OB →)⊥OC →. (2)解 若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ，∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ，即2cos 2x －3cos x ＝0， 解得cos x ＝0或cos x ＝32，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，∴x ＝π6.能力提升11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，4)，B (－2，3)，C (2，－1)． (1)求AB→·AC →及|AB →＋AC →|； (2)设实数t 满足(AB→－tOC →)⊥OC →，求t 的值．解 (1)∵AB→＝(－3，－1)，AC →＝(1，－5)，∴AB →·AC →＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB→＋AC →＝(－2，－6)， ∴|AB→＋AC →|＝4＋36＝210. (2)∵AB→－tOC →＝(－3－2t ，－1＋t )， OC→＝(2，－1)，且(AB →－tOC →)⊥OC →， ∴(AB→－tOC →)·OC →＝0， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.12．如图，在同一平面内，∠AOB ＝150°，∠AOC ＝120°，|OA →|＝2，|OB →|＝3，|OC →|＝4.(1)用OB →和OC →表示OA →；(2)若AD→＝λAC →，AC →⊥BD →，求λ的值． 解 由题意，得∠BOC ＝90°，以OC 所在的直线为x 轴，以BO 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则O (0，0)，A (－1，3)，B (0，－3)， C (4，0)．(1)设OA →＝λ1OB →＋λ2OC →， 则(－1，3)＝λ1(0，－3)＋λ2(4，0)＝(4λ2，－3λ1)， ∴λ1＝－33，λ2＝－14，∴OA→＝－33OB →－14OC →. (2)设D (x ，y )，∵AD→＝λAC →，∴(x ＋1，y －3)＝λ(5，－3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ－1，y ＝－3λ＋3，∴D (5λ－1，－3λ＋3)， BD→＝(5λ－1，3－3λ＋3)． ∵AC →·BD →＝0，∴(5λ－1)×5＋(3＋3－3λ)×(－3)＝0， 解得λ＝8＋3328.创新猜想13．(多选题)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，则k 的值为( ) A ．－23 B.113 C.3±132D.23解析 ∵AB→＝(2，3)，AC →＝(1，k )，∴BC→＝AC →－AB →＝(－1，k －3)． 若A ＝90°，则AB→·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132. 答案 ABC14．(多空题)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD→·AB →＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN→|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．解析 因为AD→＝λBC →， 所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD→·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32， 解得|AD→|＝1.因为AD→，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD→＝16BC →，即λ＝16. 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，332，所以DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1，－332， DN→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－332， 所以DM→·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM→·DN →取得最小值132.答案 16 132。

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《向量垂直的坐标表示》进阶练习
一、选择题
2 2
1. 已知点P 是椭圆 | 上的动点，F i , F 2为椭圆的两个焦点，0是
閒 24
坐标原点，若 M 是/ F 1PF 2的角平分线上一点，且]J 心:,■,则|0M|的取值范围是 ( )
2. 已知左—㈠，可—：—二门，向量剧亠可与 垂直，则实数入的值为( ) ] 1 I I A. B. C. D.- 2 2
:i
3
，满足壬？ =0且3壬2= 2
,则寸与 P 的夹角为(
二、解答题 4.
已知向量「 0是坐标原点，动点 P 满足：|匸广;”：“：■ = ]
(1) 求动点P 的轨迹；
(2) 设B C 是点P 的轨迹上不同两点，满足 朋=.江::;如爭：讥w Q ,在x 轴上是 否存在点A ( m 0),使得而_丿「，若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，说 明理由.
5.
已知 A (4, 1) , B ( 1, 4), C (-4 , -1 ), D (-1 , -4 ),通过作图判断四边形 ABCD 勺
形状，并证明你的结论.
A. (0, 2
]
B.
C.[2 ,)
D.[0 , 4]
3.已知非零向量卫、
7T
B.
fi
【参考答案】
1.
B 2.D 3.A
4.解：(〔)令 p (x , y )，贝V
— (T —切-(L II) 2
J '
-丄即 y =4 (
x+1) (
4 分)
(2)存在？ -2W m< -1或m>2使得： 打，
即(x i -m ) (X 2-m ) +y i y 2=0 即
2 2
(k +i ) y i y 2-mk (y 计y 2)+m=0 ( 8 分) .-4 ( k 2+i ) -mk-4k+m 2
=0 (4m+4) k =m-4 (i0 分)
四边形ABCD 为长方形.
••• A ( 4, i ), B (i , 4), C (-4 , -i ), D( -i , -4 ), ••• . , 一一 •.一 一.
.AB// CD AD// BC AB 丄 BC 则四边形ABCD 为长方形. 【解析】
i.解：由题意得c=2 ',当P 在椭圆的短轴顶点处时， M 与0重合，|OM|取得最小值
等于0.
当P 在椭圆的长轴顶点处时， M 与F i 重合，|OM|取得最大值等于 c=2
.
参考答案
设 BC: x=ky 设 B (x i , y i ), C (X 2,，y2 y i +y 2=4k , y i y 2=-4 (6 分)
2
y
_4ky_4=0
AB 1.
若存在则
4(皿+ I) 一
? -2W m< -i 或 m>2. (i2 分) >
y
5.解：如图,
由于xy 丰0,故|OM|的取值范围是 ，
故选B .
结合椭圆的图象，当点 P 在椭圆与y 轴交点处时，点 M 与原点O 重合，此时|OM|取最小 值0;当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点 M 与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2 ，
由此能够得到|OM|的取值范围.
本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍.
2.
解：•••£ = ：］£,!；, I ,
=(-3 入-1，2 入)，
•••：玄；与垂直，
• ) ? =0， 即-(-3 入-1 ) =0, •••入= , 故选：D. 根据向量. 与習垂直，利用数量积的关系建立方程即可求解实数 入的值.
本题主要考查向量垂直与数量积之间的关系，要求熟练掌握向量的数量积的坐标公式， 考查学生的计算能力.
3.
解：!1,
二石亠下， 设与-的夹角为0,
7T 1J -7T 2
冷-7T||N|
- 27T * T 4-
冷亍||亓 |
•/ 0<9<n ,
• •• • 故选A.
本题主要考查了向量的数量积的性质：
向量的夹角公式、向量的模| |=
等公式的
应用，向量夹角的范围等知识的综合应用，设
与-的夹角为
(T - TTP 7?
盘 b -1T'
cos 0=
=
，结合已知可求 V 『-帀■了 4- 7f 2
n 可求.
4.
(1) 令P (x , y )，由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点 (2) 设BC x=ky 设B (X i , y i ), C (X 2, y 2),将直线的方程与点 到B, C 两点的坐标与参数 k 的关系，再由： 打，得到( 立起参数m, k 的方程，由其形式作出判断求参数的取值范围，若能求出则说明存在， 否则说明不存在.
本题考查平面向量的正交分解与坐标表示，
解题的关键是由向量的坐标表示与模与内积
的坐标表示求出点 P 的轨迹方程以及利用直线与圆锥曲线的位置关系及向量的内积为 0
建立起参数的方程.本题综合性强运算量大，思维含量较大，极易因变形及运算出错， 解题时要
严谨认真. 5.
由题意画出图形，求出向量的坐标，利用向量相等及数量积为 0 得答案． 本题考查了平面向量的坐标表示，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
—"3*
则 cos 0 = 0,则
cos 0,由 0 <0<
P 的轨迹方程. P 的轨迹方程联立得 x i -m ) (X 2-m ) +y i y 2=0,建。

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