余角、补角、对顶角的概念及习题答案.doc

余角和补角和对顶角

余角：

如果两个角的和是一个直角, 那么称这两个角互为余角, 简称互余 , 也可以说其中一个角是另一个角的余角。

∠A + ∠C=90°, ∠A= 90°-∠ C , ∠C的余角 =90° - ∠C 即: ∠A 的余角 =90°- ∠A

补角：

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角

∠A + ∠C=180°, ∠A= 180 °- ∠C , ∠C的补角 =180°- ∠C 即: ∠A的补角 =180°- ∠A

对顶角：

一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且

两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。

两条直线相交, 构成两对对顶角。对顶角相等.对顶角与对顶角相等.

对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称;对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。

补角的性质：

同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°, ∠ A+∠ C=180° , 则：∠ C=∠ B。

等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°, ∠ D+∠ C=180° , ∠ A=∠ D则：∠ C=∠ B。

余角的性质：

同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90° , ∠ A+∠ C=90° , 则：∠ C=∠ B。

等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90° , ∠ D+∠ C=90° , ∠ A=∠ D 则：∠ C=∠ B。

注意：

①钝角没有余角；

②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠ A+∠B+∠ C=90°，不能说∠ A、∠ B、∠ C 互余；同样：如∠ A+∠ B+∠C=180°，不能说∠ A、∠ B、∠ C 互为补角；

③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。

余角与补角概念认识提示：

（ 1）定义中的“互为”一词如何理解

如果∠ 1 与∠ 2 互余，那么∠ 1 的余角是∠ 2 ，同样∠ 2 的余角是∠ 1 ；如果∠ 1 与∠ 2 互补，那么∠ 1 的补角是∠

2 ，同样∠ 2 的补角是∠ 1。

（ 2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边

两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。

（3）∠ 1 + ∠2 + ∠ 3 = 90 °（ 180°） , 能说∠ 1 、∠ 2、∠3 互余（互补）吗不

能，互余或互补是两个角之间的数量关系。

已知∠ A 与∠ B 互余，∠ B 与∠ C 互补，若∠ A=50°，则∠ C 的度数是

[ D ]

A ．40°

B ．50°

C ．130°

D ．140°

如果∠ A 的补角是它的余角的 4 倍，则∠ A=______度．

设∠ A 为 x ，则∠ A 的余角为 90° -x ，补角为 180° -x ，

根据题意得， 180° -x=4 （ 90° -x ），

解得 x=60°． 故答案为： 60．

已知∠ α=50°17' ，则∠α 的余角和补角分别是

[ B ]

A ．49°43' ，129°43'

B ．39°43' ，129°43'

C ．39°83' ，129°83'

D

．129°43′， 39°43′

两个角的比是 6：4，它们的差为 36°，则这两个角的关系是（

）

A ．互余

B

．相等

C ．互补

D ．以上都不对

设一个角为 6x ，则另一个角为 4x ，

则有 6x-4x=36 °，∴ x=18°，

则这两个角分别为

108°， 72°，

而 108° +72°=180°

∴这两个角的关系为互补． 故选 C ．

如果∠ A=35° 18′，那么∠ A 的余角等于 ______．

如果∠ A=35° 18′，那么∠

A 的余角等于 90° -35 ° 18′ =54° 42′． 故填 54°42′．

1

已知∠ 1 和∠ 2 互补，∠ 3 和∠ 2 互余，求证：∠ 3= = 2

（∠ 1- ∠ 2）．

证明：由题意得：∠ 2+∠ 3=90°，∠ 1+∠ 2=180°， ∴ 2（∠ 2+∠3） =∠ 1+∠ 2，故可得：∠ 3= 1

（∠ 1- ∠ 2）

2

如图，∠ 1 的邻补角是 [

]

A. ∠BOC

B. ∠BOC 和∠ AOF

C.∠AOF

D.∠BOE 和∠ AOF

两个角互为补角，那么这两个角大小

[ D ]

A. 都是锐角

B. 都是钝角

C. 一个锐角，一个钝角

D.

无法确定

如果两个角互为补角 , 那么这两个角一定互为邻补角，证明此命题真——加原因

如果两个角互为补角 , 那么这两个角一定互为邻补角

, 这是假命题 .

如果两个角互为领补角

, 那么这两个角一定互为补角

, 这是真命题 .

譬如说 , 两直线平行 , 同旁内角互补 , 但互为同旁内角的两个角一定不互为领补角

.

如果两个角互补 , 那它们是邻补角”——————为什么说这个是假命题

两条平行线切出的同旁内角也互补, 但是它们不是邻补角.

所以说：“如果两个角互补, 那它们是邻补角”是假命题!

因为邻补角是相邻的两个角互补，那么这两个角是互为邻补角，而互补的两个角有不相邻的，比如四边形的两个对角互补，则这四点共圆

如果一个角是36°，那么[ D ]

．它的余角是64°B．它的补角是64° C ．它的余角是144° D ．它的补角是144°

下列说法中：①同位角相等；②两点之间，线段最短；③如果两个角互补，那么它们是邻补角；

④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确的个数是（）

A．2个B．3个 C ．4个D．5个

①同位角相等，说法错误；

②两点之间，线段最短，说法正确；

③如果两个角互补，那么它们是邻补角，说法错误；

④两个锐角的和是锐角，说法错误；

⑤同角或等角的补角相等，说法正确；

说法正确的共有 2 个，故选：A．

下列说法正确的是（）

A．小于平角的角是锐角B．相等的角是对顶角 C．邻补角的和等于 180°D．同位角相A、小于平角的角有：锐角、直角、钝角，故本选项错误；

B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；

C、邻补角的和等于180°正确，故本选项正确；

D、只有两直线平行，才有同位角相等，故本选项错误．故选C．

下列说法正确的是（） A ．相等的角是对顶角 B ．对顶角相等 C ．同位角相等

A、相等的角是对顶角，说法错误；

B、对顶角相等，说法正确；

C、同位角相等，说法错误；

D、锐角大于它的余角，说法错误；故选：D ．锐角大于它的余角

B．

下列说法中，正确的是（） A．对顶角相等B．内错角相等C．锐角相等D．同位角相等

A、对顶角相等，说法正确；

B、内错角相等，说法错误，只有两直线平行时，内错角才相等；

C、锐角相等，说法错误，例如30°角和 20°角；

D、同位角相等，说法错误，只有两直线平行时，同位角才相等；故选：A．三条直线相交于一点可以构成几对对顶角

两条直线出现2* （ 2-1 ） =2 对对顶角四条直线出现4* （ 4-1 ） =12 对对顶角三条直线出现3* （ 3-1 ）=6 对对顶角

依次类推， n 条直线相交于一点有n*(n-1) 对对顶角

三条直线相交于一点，共可组成______对对顶角．如图，单个的角是对顶角的有 3 对，

两个角的复合角是对顶角的有 3 对，