华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2

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数学分析11反常积分总练习题

第十一章反常积分总练习题1、证明下列等式： (1)⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx ，p>0；(2)⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx ，0<p<1. 证：(1)∵p>0，∴两个积分都收敛，令x=t1，则⎰+11-p 1x x dx=⎰++→1u 1-p 0u 1x x lim =⎰++∞→1u1p -1u11t1t lim d ⎪⎭⎫⎝⎛t 1=⎰++∞→u 11-p u 11t t lim dt=⎰∞++1-p 1x x dx.(2)∵0<p<1，∴两个积分都收敛，又⎰∞++01-p 1x x dx=⎰+101-p 1x x dx+⎰∞++11-p 1x x dx. 由(1)得⎰+11-p 1x x dx=⎰∞++1-p1x x dx ，又令x=t1，则 ⎰∞++11-p 1x x dx=⎰++∞→u 11-p u 1x x lim =⎰++→u 11p -10u11t1t lim d ⎪⎭⎫ ⎝⎛t 1=⎰++→1u 1-p 0u 11t t lim dt=⎰+10-p 1x x dx. ∴⎰∞++01-p 1x x dx=⎰∞++1-p 1x x dx+⎰+10-p 1x x dx=⎰∞++0-p1x x dx.2、证明下列不等式： (1)22π<⎰14x -1dx<2π；(2)⎪⎭⎫⎝⎛-e 1121<⎰+∞0x -2e dx<1+2e 1. 证：(1)∵)x 1(212-<4x-11<2x-11, x ∈(1,0].∴⎰12x-1dx 21<⎰14x-1dx<⎰12x-1dx .又⎰102x-1dx 21=22π；⎰12x -1dx=2π. ∴22π<⎰104x-1dx <2π. (2)⎰+∞0x -2e dx=⎰10x -2e dx+⎰+∞1x -2e dx<⎰10dx +⎰+∞1x -2x e dx=1+2e1. 又⎰+∞0x -2edx=⎰10x -2edx+⎰+∞1x -2edx>⎰10x -2edx>⎰10x -2x edx=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121<⎰+∞0n -2e dx<1+2e1.3、计算下列反常积分的值：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx (a>0)；(3)⎰+∞+02x1lnxdx ；(4)⎰2π0)θln(tan d θ. 解：(1)bx cos e 0ax -⎰+∞dx=⎰+∞→u 0ax -u e b 1limdsinbx=b 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0-⎰+∞→u 0u sinbx lim b 1de -ax=⎰+∞→u 0ax-u sinbx e lim b a dx=-⎰+∞→u 0ax -u 2e lim b a dcosbx =-2u b a lim+∞→cosbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0u 2cosbx lim b a de -ax=2b a -bx cos e ba 0ax -22⎰∞+dx.∴bx cos eb b a 0ax-222⎰∞++dx=2b a ，即bx cos e 0ax -⎰+∞dx=22ba a+. (2)bx sin e 0ax -⎰+∞dx=-⎰+∞→u0u sinbx lim a1de -ax=-a 1lim u +∞→sinbxe -ax |u 0+⎰+∞→u 0ax-u e lim a 1dsinbx=⎰+∞0ax -cosbx e a b dx=22b a a a b +⋅=22ba b+. (3)⎰+∞+02x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰+∞+12x 1lnx dx=⎰+102x 1lnx dx+⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛12x 11x 1ln d ⎪⎭⎫⎝⎛x 1 =⎰+12x 1lnxdx+⎰+012u 1lnu du=⎰+102x 1lnx dx+⎰+012x1lnx dx=0. (4)令tan θ=t ，则⎰2π)θln(tan d θ=⎰+102t1lntdt=0.4、讨论反常积⎰+∞λxsinbxdx (b ≠0)，λ取何值时绝对收敛或条件收敛. 解：不妨设b>0，记I=⎰+∞0λx sinbx dx ，I 1=⎰b10λx sinbx dx ，I 2=⎰+∞b1λx sinbx dx. 对I 1，当λ≤1时，λ0x x sinbx lim+→=bx sinbx bx lim λ-10x +→=⎩⎨⎧=<1λb 1λ0，∴I 1是正常积分. 当λ>1时，x=0是瑕点，λ1-λ0x x sinbxx lim +→=b ∈(0,+∞). ∴当1<λ<2时，I 1绝对收敛；当λ≥2时，I 1发散. 对I 2，当λ≤0时，∵令A n =(2n π+4π)b 1，B n =(2n π+2π)b1，则A n →+∞，B n →+∞(n →+∞)且 |⎰nn B Aλx sinbx dx|=b λ⎰++2πn π24πn π2λu sinu du ≥b λ⎰+++2πn π24πn π2λu )4πn π2sin(du =22b λλ1)4πn π2()2πn π2(λ-1λ-1-+-+>0. ∴当λ≤0时，I 2发散. 当0<λ≤1时，由狄利克雷判别法知I 2收敛.又|λx sinbx |≥λ2x bx sin =λ2x1+λ2x bx 2sin ，其中⎰+∞b1λ2x bx2sin dx 收敛，但⎰+∞b1λ2x dx 发散，∴当0<λ≤1时，I 2条件收敛. 当λ>1时，∵|λx sinbx|≤λx 1，∴I 2绝对收敛.综上，原积分的收敛性如下表：5、证明：设f 在[0,+∞)上连续，0<a<b. (1)若+∞→x lim f(x)=k, 则⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]ln ab； (2)若⎰+∞x f(x)dx 收敛，则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)ln ab. 证：(1)令ax=t ，则⎰Aεx f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt ，同理，⎰A εx f(bx)dx=⎰bA b εtf(t)dt. ∴⎰Aεx f(bx)-f(ax)dx=⎰aA a εt f(t)dt-⎰bA b εt f(t)dt=⎰b εa εt f(t)dt-⎰bA aA tf(t)dt =⎰b aεu u)f(εdu-⎰b a u f(Au)du=⎰b a u u) f(εdu-⎰b a u f(Au)du=[f(εξ)-f(A η)]⎰b a udu , 其中ξ,η∈(a,b)，令ε→0+, A →+∞, 得⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx =[f(0)-k]⎰b a u du =[f(0)-k]ln ab.(2)∵⎰+∞0x f(x)dx 收敛，∴对任何ε>0, 有⎰+∞εx f(ax)dx=⎰+∞a εxf(x)dx ， ∴⎰+∞x f(bx)-f(ax)dx=⎰+∞a εx f(x)dx-⎰+∞b εx f(x)dx=⎰b εa εx f(x)dx=⎰b εa εx x)f(εdx=f(εξ)⎰b a xdx . 令ε→0+, 则⎰+∞0x f(bx)-f(ax)dx =f(0)⎰b a x dx =f(0)ln ab.6、证明下述命题：(1)设f 为[a,+∞)上的非负连续函数. 若⎰+∞a x f(x )dx 收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛；(2)设f 为[a,+∞)上的连续可微函数，且当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，则⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件为⎰+∞'a (x )f x dx 收敛.证：(1)取M=max{|a|,1}，则⎰+∞M x f(x )dx 与⎰+∞a x f(x )dx 同收敛. ∵f 为[M,+∞)上的非负连续，∴0≤f(x)≤xf(x)，x ∈[M,+∞)， ∴⎰+∞M f(x )dx 收敛，同时有⎰+∞a f(x )dx 也收敛. (2)∵f,f ’为[a,+∞)上都连续，∴⎰'Aa(x )f x dx=xf(x)|Aa -⎰Aaf(x )dx.设⎰+∞a f(x )dx 收敛，又当x →+∞时，f(x)递减地趋于0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a). ∴⎰'+∞→AaA (x )f x limdx 存在，即⎰+∞'a (x )f x dx 收敛. 设⎰+∞'a (x )f x dx 收敛，则任给ε>0, 有M>|a|，当A>x>M 时，就有 |⎰'Ax (t)f t dt|<ε，∵f ’≤0, 由积分中值定理知，存在ξ∈[x,A]，使得⎰'Ax(t)f t dt=ξ⎰'Ax(t)f dt=ξ[f(A)-f(x)]，∴0≤x|f(A)-f(x)|≤ξ|f(A)-f(x)|<ε，令A →+∞，则f(A)→0，∴ |xf(x)|= x|f(x)|≤ε (x>M)， ∴+∞→x lim xf(x)=0，∴+∞→A lim xf(x)|A a =-af(a)存在，又⎰'+∞→AaA (x )f x limdx=+∞→A lim xf(x)|Aa -⎰+∞→AaA f(x )limdx 存在，∴⎰+∞→A a A f(x )lim dx 存在，即⎰+∞a f(x )dx 收敛. 得证.。

第11章反常积分答案

第十一章反常积分一、单选题（每题2分）1、广义积分dxx x ⎰∞+-1211=（）A 、0B 、2πC 、4πD 、发散2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221=（） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散3、广义积分⎰+-20234x x dx =（）A 、3ln 1-B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（）A 、⎰∞+edx x xln B 、⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞+e x x dx 2)(ln D 、⎰∞+ex x dx21)(ln~5、下列广义积分发散的是（）A 、⎰∞-0dxe xB 、⎰π2cos x dx C 、⎰-202x dx D 、⎰∞+-0dx e x6、下列积分中（）是收敛的A 、⎰∞+∞-xdx sin B 、⎰-222sin ππx dx C 、⎰∞+0dx e xD 、⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（）A 、⎰-11sin x dx B 、⎰--1121x dx C 、⎰∞+-02dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx8、⎰=-10121dx e x x（）A 、e 1B 、11-eC 、e 1-D 、∞9、已知2sin 0π=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （）A 、0B 、4πC 、 2πD 、π》10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 211（）A 、0B 、2πC 、2π-D 、π11、下列积分中绝对收敛的是（）A 、dx x x ⎰∞+12sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin12、已知广义积分dxx ⎰∞+∞-sin ，则下列答案中正确的是（）A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞+∞-dx x B 、dx x ⎰∞+∞-sin =()()()[]0cos cos cos =∞--∞+-=∞-∞+-xC 、dx x ⎰∞+∞-sin =()0cos cos lim sin lim =+-=⎰-+∞→+∞→b b xdx bbb bD 、dxx ⎰∞+∞-sin 发散13、设广义积分dxe kb ⎰∞+-0收敛，则k （）^A 、0≥B 、0>C 、0<D 、0=答案：BCDCB DAABD ADB二、判断题（每题2分）1、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ条件收敛；（）2、当10<<λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1sin λ绝对收敛；（）3、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，而函数()x ϕ在[)+∞,a 单调有界，则无穷积分()()⎰∞+adxx x f ϕ收敛；（）4、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ；（）/5、若()x f 在[)+∞,a 无界，则()⎰∞+a dx x f 发散；（）6、若()x f x +∞→lim 不存在，则()⎰∞+adxx f 发散；（）7、若()x f 单调，()⎰∞+adxx f 收敛，则()0lim =+∞→x f x ；（）8、若()⎰∞+adxx f 收敛，则()⎰∞+adxx f 2收敛；（）9、若()⎰∞+adxx f 2，()⎰∞+adxx g 2收敛，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（）10、如果()⎰∞+adxx f 收敛，()x g 在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞+a dx x g x f 收敛；（）11、若()⎰∞+adxx f 收敛，()0lim =+∞→x f x ，则()⎰∞+adxx f 2收敛；（）12、如果()⎰∞+adxx f 绝对收敛，()1lim =+∞→x g x ，则()()⎰∞+adxx g x f 收敛；（）答案：××× ××× ×、三、填空题（每题2分） 1、若无穷积分()⎰∞+a dx x f 收敛，则()=⎰∞++∞→dx x f pp lim；2、若无穷积分()⎰∞+adxx f 收敛，则a b >时，无穷积分()⎰∞+bdxx f ；3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x ax λ，若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰ba dx x f ；4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，0>a ，且极限())0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a x λ，若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞+a dx x f ；5、若()⎰∞+adxx f 收敛，则无穷积分()⎰∞+adxx f ；6、当1>λ时，无穷积分dx x x⎰∞+1cos λ ；7、当1≥p 时，瑕积分⎰10px dx ；'8、若()⎰∞+adxx f 收敛，且存在极限()Ax f x =+∞→lim ，则=A ；9、=+⎰∞+12)1(x x dx ；=⎰∞+e x x dx 2ln ；10、设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+at axx dtte x x 1lim ，则常数=a ；11、如果广义积分dxx p ⎰∞++11收敛，则p ；12、如果广义积分dxx p ⎰-11发散，则p ；答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛7、发散 8、0 9、2ln 21；1 10、2 11、2-< 12、2≥四、计算题（每题5分） | 1、⎰∞+++0284x x dx解：⎰∞+++0284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰=8)42(21)422(arctan 21lim ππππ=-=-++∞→u u 2、dxx x 1sin 122⎰∞+π解：设x t 1=，则dt t dx 21-=，有dx x x 1sin 122⎰∞+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+222x x dx解：⎰∞+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u4、⎰1ln xdx，解：⎰1ln xdx =()1)ln 1(lim 1ln lim ln lim 0100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx5、⎰--1121x dx解：⎰--1121x dx=⎰⎰-→+-→-+-++εεεε10200121lim 1lim x dxx dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0εεε-++-+→x x))1arcsin()1arcsin((lim 0εεε-++--=+→=πππ=+226、()⎰--112x x dx 解：因为()C x C t t dtt x xx dx+--=+-=+-=---⎰⎰1arctan 2arctan 2121122所以()⎰--1012x x dx=01)1arctan 2(lim 1)2(lim 010εεεε---=--++→-→⎰x xx dx=2)4arctan lim (20ππεε=--+→7、⎰∞+++04211dx x x-解：由 Cx x x x xx d dx x x x dx x x +-=+--=++=++⎰⎰⎰21arctan 212)1()1(111112222342得 ⎰∞+++04211dx x x =221arctan 21lim 11lim 20420πεεεε=-=++⎰++→+∞→→+∞→u x x dx x x u u u8、())0(ln >⎰∞+a x x dxa p解：1=p 时，+∞===+∞→∞++∞→⎰⎰a u x x x d x x dxu u a au ln ln lim ln ln lim ln1≠p 时，()()a u x p x xd x x dxpu uapu a p-+∞→+∞→∞+-==⎰⎰1)(ln 11limln ln limln=⎪⎩⎪⎨⎧<∞>--11)(ln 111p p a p p故当1>p 时，()⎰∞+a px x dx ln =()pa p --1ln 111≤p 时，()⎰∞+apx x dxln 发散；9、⎰2)ln(sin πdxx解：=I ⎰20)ln(sin πdx x =⎰+→20sin ln lim πεxdx ⎰+→=422sin ln lim 2πεεtdt t x、=⎰+++→42)cos ln sin ln 2(ln lim 2πεεdtt t=⎰⎰++⋅404cos ln 2sin ln 242ln 2πππtdttdt=⎰⎰+=++404022ln 2cos ln 2sin ln 22ln 2ππππIxdx xdx由此求得 2ln 2π-=I10、⎰∞+-∈=0)(N n dx e x I x n n解：当0=n 时，⎰∞+-==001dx e I x当1≥n 时，dx x e n ux e dx x e I un x u nx u un x u n ⎰⎰--+∞→-+∞→-+∞→+-==010lim 0)(lim lim=⎰---+∞→=u n n x u nI dx x e n 011lim则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） ~ 1、证明01ln 02=+⎰∞+dx x x证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111ln1ln dt t t dt t t t dx x x =⎰∞++-021ln dxx x则有 01ln 02=+⎰∞+dx x x2、证明dx x x⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x证：dx x x ⎰∞++01cos =dxx x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =dxx x⎰∞++02)1(sin又()22111sin x x x+≤+）（，而dxx ⎰∞++02)1(1收敛，所以dx x x ⎰∞++02)1(sin 收敛⇒dxx x ⎰∞++01cos 收敛而≤+=+⎰⎰∞+∞+02)1(sin 1cos dx x xdx xx1011)1(102=∞++-=+⎰∞+x dx x3、证明：若()x f 在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞+-=x x f dt t f dx d ,证：,a ∀由条件()1J dx x f =⎰∞-，()⎰∞+=02J dx x f 都存在；再由()x f 连续可得…()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a x x f J dt t f dx d dt t f dx d ,24、设()⎰∞+adxx f 收敛，证明：（1）若极限()x f x +∞→lim 存在，则()0lim =+∞→x f x（2）若()x f 在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x证：（1）设()Ax f x =+∞→lim 。

反常积分概念

同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua
1
例6 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1 ln xdx lim
x ln x 1
1
dx
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义
类似定义 b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx,
u u
(2)
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx. (3)
a
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值与a的选取无关.
如果存在极限
b
lim f ( x)dx J ,
ua u
则称此极限为无界函数 f 在(a, b]上的反常积分,
记作
b
J f ( x)dx, a
并称 b f ( x)dx 收敛.若极限 lim b f ( x)dx不存在,
a
ua u
则称 b f ( x)dx 发散.
a
通常称a 为 f 的瑕点. 又称
之间应满足 πR2dx vπr 2dt, 因此
dt
R2
dx , x 0,h.
r2 2gh x
于是流完一桶水所需时间形式上为
数学分析第十一章反常积分
高等教育出版社
§1 反常积分概念
反常积分的背景
两类反常积分的定义

数学分析(华中师范版)11-1

当r 时，
mgR 1 2 1 mgR . R x 2 dx mgR R r
r
2
这就是火箭无限远离地球需作的功。
记
R

2 r mgR mgR 2 2 dx lim R 2 dx mgR . r x x
动能 E W , 才能脱离地球引力，
o x
x
设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，
则 R dx vr [0, h]. 2 g( h x )
2
流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”：
tf
h
0
r
2
R2 dx . 2 g( h x )
这里注意被积函数是 [0, h) 上的无界函数，
u a u b
极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b] 上的反常积分（瑕积分），称 a 为瑕点。记作a f ( x )dx .
b
b

b
f ( x )dx lim f ( x )dx a f ( x )dx ulim a u 0 a

b
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.
c
b
f ( x )dx
f ( x ) dx ）
a
u
f ( x )dx lim
vc

b
v
如果 a f ( x )dx 和c f ( x )dx 都收敛，就称反常积分
c
b
a f ( x )dx 收敛；否则，就称发散.
b
（4）如果a,b都是瑕点，则定义
a f ( x )dx a f ( x )dx c

数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC

第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。

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u xq
1
1
q
1 u1q
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1; 1q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
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同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
证设 F(u)
u f ( x)dx , u [a , ), 则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F (u) .由函数 u
极限的柯西准则,此等价于
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a
a
u1
前页后页返回
从而 F (u) 是单调递增的 (u [a,)). 由单调递增函数的收敛判别准则, lim F (u) 存在的充要条
u
件是 F (u) 在 [a, ) 上有界,即 M 0, 使
u [a,), 有
u

第十一章反常积分习题课

第十一章反常积分习题课一概念叙述 1．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的定义．答：()dx x f a⎰+∞收敛⇔()()lim+∞→+∞=⎰⎰uaau f x dx f x dx 存在．⇔()lim0+∞→+∞=⎰uu f x dx ．2．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的定义．答：()ba f x dx ⎰收敛⇔()()lim +→=⎰⎰b buau a f x dx f x dx 存在．⇔0,0,εδ∀>∃>当δ<<+a u a ，有()()ε-<⎰⎰b buaf x dx f x dx ．3．叙述()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则．答：无穷积分()dx x f a⎰+∞收敛的柯西准则是：任给0ε>，存在0M >，只要12,u u M >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．4．叙述()b af x dx ⎰（a 是暇点）收敛的柯西准则．答：瑕积分()dx x f ba ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，只要()12,,u u a a ∈+δ，总有()()()2121b bu u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε⎰⎰⎰．二疑难问题1．试问⎰+∞adx x f )(收敛与0)(lim =+∞→x f x 有无联系？答：首先，0)(lim =+∞→x f x 肯定不是⎰+∞adx x f )(收敛的充分条件，例如01lim=+∞→x x ，但⎰+∞11dx x发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是⎰+∞adx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x ，⎰+∞14sin dxx x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得到⎰+∞12sin dx x 1+∞=⎰，21cos x dx +∞=⎰=dt tt ⎰+∞12cos ，则⎰+∞12sin dx x ，⎰+∞12cos dx x 是条件收敛，对于第三个无穷积分，经换元2t x =而得⎰+∞14sin dx x x =⎰+∞12sin 21dt t ，它也是条件收敛的．从这三个无穷积分的收敛性可以看到，当x →+∞时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．注：若lim ()0x f x A →+∞=≠，则⎰+∞ax x f d )(发散．注：1）若⎰+∞ax x f d )(收敛,且lim ()x f x A →+∞=存在, 则定有0)(lim =+∞→x f x ；2）若⎰+∞a x x f d )(收敛,且f 在[)+∞,a 上为单调，则0)(lim =+∞→x f x ；3）若⎰+∞a x x f d )(收敛，且f 在[)+∞,a 上一致连续，则0)(lim =+∞→x f x ；4）若⎰+∞ax x f d )(收敛，且()d af x x +∞'⎰收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证：1）设A x f x =+∞→)(lim ．若0≠A （不妨设0A >），则由极限保号性，M a ∃>，当x M ≥时满足于是有()()2MaAf x dx u M ≥+-⎰，于是而这与⎰+∞ax x f d )(收敛相矛盾，故0A =．2）不妨f 在[)+∞,a 上单调增，若f 在[)+∞,a 上无上界，则0A ∀>，M a ∃>，当x M ≥时，使A x f ≥)(．类似于1）的证明，推知⎰+∞+∞=a dx x f )(，矛盾．所以f 在[)+∞,a 上单调增而有上界，于是由单调有界定理知A x f x =+∞→)(lim 存在．依据已证得的命题1），0)(l i m =+∞→x f x ．3）由f 在[)+∞,a 上一致连续，则0,0εδ∀>∃>，（设)δε≤[),,x x a '''∀∈+∞ x x δ'''-<只要时，就有()()2f x f x ε'''-<．又因⎰+∞adx x f )(收敛，故对上述,M a δ∃>，当12,x x M >时，有212()2x x f x dx δ<⎰．现对任何x M >，取12,x x M >，且使1221,.x x x x x δ<<-=此时由便得(),.f x x M ε<>这就证得.0)(lim =+∞→x f x4）因为()d af x x +∞'⎰收敛，则()()()lim()d lim uau u f x x f u f a →+∞→+∞'=-⎰存在，于是()lim u f u →+∞存在，由1)得证．2．()af x dx +∞⎰收敛，与|()|af x dx +∞⎰收敛，2()af x dx +∞⎰收敛的关系？答：1）因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例，则|()|af x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰收敛．2）()af x dx +∞⎰2()af x dx +∞⎰收敛，例1+∞⎰条件收敛，但 21111sin 1cos 21cos 2222xx x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞+∞-==-⎰⎰⎰⎰，112dx x +∞⎰发散，1cos 22x dx x+∞⎰发散，则21sin x dx x +∞⎰发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3）()af x dx +∞⎰收敛2()af x dx +∞⎰收敛，例 ()2441,10,1n n x n n f x n x n n ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪+≤<+⎪⎩，对ε∀，总存在1M >，使当n M >时，都有41221n n nn dx n ε+=<⎰．故但对于()2f x ，例302sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即302sin x dx x+∞⎰收敛，因为312sin x dx x+∞⎰绝对收敛，即312sin x dx x+∞⎰收敛，而1302sin x dx x⎰，0是暇点，取12p =，则3322sin lim lim 1ppx x x x x x xx++→→==，因为112p =<收敛．因为2133330010sin 1cos 21cos 21cos 2222x x x x dx dx dx dx x x x x+∞+∞+∞---==+⎰⎰⎰⎰， 311cos 22xdx x +∞-⎰收敛．1301cos 22x dx x -⎰，0是暇点，取1p = ，则23300141cos 22lim lim 122p p x x xx x x x x ++→→-==，因为1p =，则发散．例 211dx x +∞⎰收敛，但11dx x+∞⎰发散． 3．()baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，与|()|baf x dx ⎰收敛，2()baf x dx ⎰收敛的关系？答：1）|()|baf x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰收敛．因为绝对收敛⇒收敛，反之不对，条件收敛的例子都是反例． 2）()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛，()baf x dx ⎰收敛2()baf x dx ⇒⎰收敛．反例1⎰收敛，但101dx x ⎰发散．3）若2()b af x dx ⎰（a 为瑕点）收敛，则|()|baf x dx ⎰（a 为瑕点）收敛．证因()()212f x f x +≤，则由比较原则，可得|()|b a f x dx ⎰收敛，从而()b a f x dx ⎰收敛．3．下列说法对吗？1）因为sin xx 在0没有定义，则10sin x dx x⎰是瑕积分；2）因为ln 1xx -在1x =没有定义，则1x =是10ln 1x dx x-⎰的暇点．答：若被积函数f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为f 的瑕点．1）错误，因为0sin lim 1x x x +→=，则s i n xx在0的近旁有界，因此不是瑕点，10sin x dx x ⎰是定积分．若()x f 在(]b a ,上连续，()A x f ax =+→lim （常数），则()⎰badx x f 可看成正常积分，事实上，定义()()(]⎩⎨⎧∈==.,,,,b a x x f a x A x F 知()x F 在[]b a ,上连续，即()⎰badxx F 存在，而()()()⎰⎰⎰-→-→++==ba ba b adx x F dx x f dx x f εεεε00lim lim ，由于()x F 在[]b a ,上连续，知变下限函数()()⎰-=ba dx x F G εε在[]a b -,0上连续，有()()()⎰==+→ba dx x F G G 0limεε，即()().⎰⎰=b a b a dx x F dx x f 故()⎰ba dx x f 可看成正常积分。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章

第十一章反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。

B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。

C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。

D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。

3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ；（2）()⎰∞++12x 1x dx；（3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2；（4）⎰∞+0x e dx ；（5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x；（3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ；（7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ；（8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++；（3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ；（2）⎰-1dx x1x；（3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ；（5）⎰-103dx x 1arctgx；（6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）：（1）()⎰10ndx x ln ；（2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章

第十一章重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。

.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ，其中等号仅在f 为常量函数时成立。

《数学分析》第11章反常积分ppt课件

f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.

2021华师大版七数下第十一章体验不确定现象同步测试及答案 (2)

2021华师大版七数下第十一章体验不确定现象同步测试及答案(2) 一、用心思考，明辨是非（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题2分，共10分）1．由世界乒乓球冠军现排名世界第一的张怡宁参加2007年亚运会，则她夺得冠军的机会是100%．（）2．射击时，一男生对一个从没有玩过枪的女生说：你打中10环的机会是0．（）3．已知某种体育彩票的中奖机会是1100，那么小明买100张彩票，肯定有一张中奖．（）4．一副扑克牌共有54张，抽出一张恰好为红桃的机会为14．（）5．抛掷一枚质地均匀的硬币，由于出现“正面”和“反面”的机会是均等的，因此抛1000次的话，一定是500次“正面”，500次“反面”．（）二、正本清源，做出选择（每小题2分，共20分）6．下列事件中，是确定事件的是（）Ａ．掷一枚骰子，6点朝上Ｂ．黑龙江的冬天会下雪Ｃ．买一张电影票，座位号是偶数Ｄ．巴西队一定会在2006年世界杯上夺得大力神杯7．下列事件中，属于必然事件的是（）Ａ．节气“大雪”这一天，一定会下雪Ｂ．抛掷一枚均匀的硬币，“正面”一定朝上Ｃ．上、下同一层楼梯，总共跨越的台阶数必是偶数Ｄ．三个小朋友合影，一定得到三张照片8．一个不透明的口袋中，装着10个大小和外形一模一样的小球，其中有5个红球、3个蓝球、2个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．从口袋中任取1个球，它恰是红球．这是（）Ａ．不可能事件Ｂ．必然事件Ｃ．不确定事件Ｄ．以上均不对9．在下列布袋中摸到白球可能性最大的是（）Ａ．袋中装有1个红球，9个白球Ｂ．袋中装有8个红球，2个白球Ｃ．袋中装有4个红球，6个白球Ｄ．袋中装有5个红球，5个白球10．“小明所在的七（2）班54名学生都在今天早晨6点起来”，这件事是（）Ａ．不可能的Ｂ．可能的Ｃ．必然的Ｄ．无法判断11．任意买一张电影票，可能性最大的是（）Ａ．座号是2Ｂ．座号是2的倍数Ｃ．座号是3Ｄ．座号是3的倍数12．从六名同学中选取2名同学去参加某数学竞赛，小明是这六名同学之一，他被选派的机会是（）Ａ．16Ｂ．15Ｃ．14Ｄ．1313．不透明的袋子中均有2个红球，3个白球，摸出一个是红球的可能性是（）Ａ．35Ｂ．15Ｃ．25Ｄ．2314．两个袋子中均有一个白球，一个黑球，它们除了颜色外都相同，分别从两个袋子中任取一球，两个球都是白球的可能性是（）Ａ．0Ｂ．1Ｃ．0与12之间Ｄ．12与1之间15．小明向一个不透明的袋中装进a 只红球，b 只白球，它们除颜色不同外，其他没有差别，他让小军从袋中任摸一球出来，则小军摸到红球的机会是（）Ａ．a b Ｂ．b a Ｃ．a a b + Ｄ．b a b+ 三、有的放矢，圆满填空（每小题3分，共30分）16．可能发生的事件是指发生的机会介于______和______之间．17．“抛出的篮球会下落”，这个事件是______事件；两个硬币投掷于地上，出现“一正一反”，是______事件．（填“确定”或“不确定”）18．某人掷一枚骰子，连掷10次都出现4点，则再掷一次______（填“不可能、可能、必然”）出现4点．19．在一个装有若干个红球和白球的袋子里，摸到______是不确定的，摸到______是必然的，摸到______是不可能的．20．将一枚均匀的硬币抛掷两次，出现一正一反的机会是______．21．如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分．谁先累记到10分，谁就获胜．你认为______（填“甲”或“乙”）获胜的可能性更大．22．从装有3个红球，2个白球，2个蓝球的口袋里，摸出一个蓝球的机会是______，摸出一个红球的机会是______．23．有种彩票的中奖机会是万分之一，某人按要求写了不同号码的100注，他中奖的可能性为______．24．根据你的经验，分别写出下列事件发生的机会，并用符号A ，B ，C 把这些事件发生的机会在直线上表示出来．A ．在一个不透明的袋中装有红球3个，白球2个，黑球1个，每种球除颜色外其余都相同，摇匀后随机地从袋中取出1个球，取到红球的机会是______；B ．投掷一枚普通正方体骰子，出现的点数为7的机会是______；C ．投掷两枚普通硬币，出现两个正面的机会是______． 25．从一个不透明的口袋中摸到红球的成功率为35，已知袋中的红球有6个，则袋中共有______个球．四、细心解答，运用自如（每小题20分，共60分）26．甲、乙两人生产同一种零件，甲生产的200件产品中有6件是不合格产品，乙生产的1000件产品中有15件是不合格产品，问谁的生产技术水平高？27．现有两个60的角，一个90的角和一个120°的角．（1）从中任取2个角，这两个角一定能互补吗？（2）请你试验一下，看看取出的两个角恰好互补的机会是多少？0 14 12 34 128．袋中装有红、绿、蓝、白球各一个，摸出后即放回再摸，说明摸到红球的机会是多大？如果没有球，可否用其他试验来验证？如何验证？参考答案：一、1．⨯ 2．⨯ 3．⨯ 4．⨯ 5．⨯二、6．Ｂ 7．Ｃ 8．Ｃ 9．Ａ 10．Ｂ 11．Ｂ 12．Ｄ 13．Ｃ14．Ｃ 15．Ｃ三、16．0，1 17．确定，不确定 18．可能19．红球（或白球），红球和白球，除红白球以外其它颜色的球20．12 21．甲 22．37 23．1100 24．12，0，14（直线表示略） 25．10 四、26．乙的生产技术水平高．27．（1）不一定；（2）13． 28．14．其它试验略（工放性问题，答案不惟一）．。

数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

第十一章反常积分复习自测题一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d p ax x +∞⎰（0a >）；（2）01d a p x x ⎰（0a >）；（3）01d px x +∞⎰（0a >）。

2、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d (ln )pax x x +∞⎰（1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ⎰（1a >）；（3）11d (ln )p x x x +∞⎰。

3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值：（1）201d 1x x +∞+⎰；（2）21d 1x x+∞-∞+⎰；（3）10x ⎰；（4）11x -⎰。

4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征）（1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。

（2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记()lim ()x F f x →+∞+∞=，()lim ()x F f x →-∞-∞=，则无穷积分()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔()lim ()x F f x →+∞+∞=和()lim ()x F f x →-∞-∞=都存在，且()d ()af x x F x a+∞+∞=⎰。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞存在，则无穷积分()()d af xg x x +∞'⎰收敛⇔()()d af xg x x +∞'⎰收敛，且()()()d ()()()()d aaf xg x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞''=-⎰⎰，其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞+∞+∞=。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)

第十一章重积分§ 1二重积分的概念1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D「i j网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n其界点•2•证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g •性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得D f =f , D5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且D o = D1 D 2, intD j int D j = •一，试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充要条件是f在D2上都可积，且6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明：(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ；(2) 若在D内任一子区域D D上都有D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。

7・证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点, D，使得f x,yg x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分r r dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值§ 2二重积分的计算1.计算下列二重积分：⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】；D⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】；D2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域⑶!! cosx y dxdy,其中D=D⑷..Dx1 xydxdy，其中D= 0,1 0,11.2 2 2⑵D 由不等式x y _a 与x y <a (a>0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序5. 计算下列二重积分2(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线D⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [D卄 dxdy(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;D2a -x⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x jD(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.D6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域x(1) 0 dx x f (x,y dy ；11 ^x 2⑵ j d ^_1^2fx,y dy ；⑶ 0dy 0 f x,y dy + dxX 专(p >0)所围的区域；3dy .⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域(3)D= ：x,y x2y2zy,x _0「7•用极坐标计算二重积分：⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2'；D(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』；曽F rD(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.D8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：2 2丄(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;(2) i if x,y dxdy ,其中D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若x= U cos4 v ,D4y 二U sin v .(3) i if x,y dxdy，其中D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.9•求由下列曲面所围立体V的体积：(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；2 2 | 一 ,(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；2 2 2 22 x v x v(3) v由曲面Z 和2Z= 所围的立体•4 9 4 911. 试作适当变换，计算下列积分：(1) 11 [x y sin x - y dxdy ,D= ：x.y 0 _ x y _ 二0 _ x - y _ T；Dy(2)I ie x y dxdy ,D= x,y x y 岂1, x _ 0,y _ 0D12. 设f:[a,b] T R为连续函数，应用二重积分性质证明-b I2j b|[f(xdx I 兰(b—a)[f (xdx，其中等号仅在f为常量函数时成立。

2021华师大版七数下第11章11.1～11.2水平测试及答案

2021华师大版七数下第11章11.1～11.2水平测试及答案一、选择题（每题3分，共24分）1．下列事件中是必然事件的是（）(A)打开电视机，正在播广告(B)掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后朝上的点数是6(C)地球总是绕着太阳转(D)今年10月1日，泸州市一定会下雨2.下列说法正确的是( )A.如果一件事情发生的可能性达到99.9999%,说明这件事必然发生；B.如果一事件不是不可能事件,说明此事件是不确定事件；C.可能性的大小与不确定事件有关；D.如果一事件发生的可能性为百万分之一,那么这事件是不可能事件.3．下列事件中，不可能发生的事件是（）A 抛掷两枚硬币，出现正面和反面B、种子埋在土地里，发芽C 明天会下雨D、太阳绕着地球公转4．一个袋中装有8个红球，4个白球，2个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到（）球的可能性大A．红B．白C、蓝D、以卜答案都不对5．某件事发生的机会为50％，下面文字与它匹配的是（）A 很可能发生，但不是一定发生B 一定不发生C、发生与不发生可能件一样 D 发生的可能性极小6．如图1，方砖除颜色外完全相同，小老鼠在方砖上自由走动，将小老鼠最终停留在白色方砖上的可能性与停留在黑色方砖（阴影部分）上的可能性比较，下列说法正确的是（）A．前者比后者大 B 前者比后者小C．两者一样大 D 以上说法都不正确图17．气象台预报“本市明天降水的可能性是80 %”．对此信息，下列说法正确的是（）A、本市明天将有80％的地区降水;B、本市明天将有80％的时间降水;C、明天肯定下雨;D、明天降水的可能性比较大8．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的可能性是（）A ．81 B ．31 C ．83 D ．53 二、填空题（每题3分，共24分）1.掷一枚骰子,偶数点朝上的可能性______点数大于4的可能性.(填“大于”“小于”“等于”)2.一个口袋中装有5个红球,3个白球,1个绿球,摸到白球的可能性______摸到绿球的可能性(填“大于”“小于”或“等于”)3．从一副扑克牌中任意抽取一张，打到大王的可能性大吗？如果每次抽出一张且不再放回去，那么最多需要次一定会抽到大王？4．某期体育彩票发行100万张，特等将1个，小虎买了1张体育彩票，则小虎获得特等奖的可能性为_________5．一个器材箱里有10个篮球，4个排球，某学生闭L 眼睛摸一个球，模到排球的可能性较（填“大”或小”）6．小明用骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，偶数点时黑方前进一步，奇数点时红方前进一步，你认为这个游戏________（填“公平”或“不公平”）7．在一个袋子里有1个红球，9个黄球，从中任意摸出1个球后不放回，内从袋中摸到1个小球，间摸到红球的可能性（填“变大”、“变小”或“不变”）8．如图2，转动转盘待停后，指针落在什么区域的可能性最小？指针落在什么区域的可能性最大？三、解答题（共52分）1.下列事件中,哪些是确定事件,哪些是不确定事件. (1)明天会下雨.( )(2)买一张彩票会中奖.( )(3)电视机不接电源,电视机播放节目.( ) (4)2008年奥运会在北京举行.( )2.从一副经过充分洗牌的52张(去掉大、小王)扑克牌中任取一张,这张牌是红色、黑色的可能性哪个大?3.下面第一排表示各方盒中球的情况, 第二排表示摸到黄球的可能性的大小,请连线.图2(1)0个蓝球8个黄球(2)1个蓝球7个黄球(3)4个蓝球4个黄球(4)5个蓝球3个黄球(5)8个蓝球0个黄球(a)不太可能摸到黄球(b)不可能摸到黄球(c)一定能摸到黄球(d)可能摸到黄球(e)很可能摸到黄球4．甲袋中有5个红球,3个白球,2个黑球,乙袋中有3个红球,2个白球,5个黑球,如果你想取一个红球,而且只能取一次选择哪个口袋成功的机会较大? 如果想取一个黑球呢?5．如图3，是一个转盘，请回答下列问题：①转得奇数的可能性大，还是转得偶数的可能性大， ②转得质数的可能性大，还是转得不是质数的可能性大？③转得3的倍数的可能性大，还是转得4的倍数的可能性大？ ④转得小于5的可能性大，还是转得大于4的可能性大？四、探索拓展1、现把10个数: 8302420035(11)83(30),,0.1,,,8,(2),,4(2),12520041999(1)a ----+----⨯-----, 分别写在10张纸条上,然后把纸条放进外形、颜色完全相同的小球内,再把这10个小球放进一个大玻璃瓶中,从中任意取一球, 得到正数的可能性与得到负数的可能性哪个大?2、一张卡片上写着5个数,-3,-6,2,5,6,如图中是一个可以自由转动的转盘. ①求出卡片上5个数的平均数.②转动转盘,当转舟停止转动时,根据指针落在的区域所写的内容,改动卡平均数减小1平均数增大1图3片上的数据,或增加、减少卡片上数的个数,以满足要求. ③多做几次,这时卡片上数字的平均数增大了还是减小了? 说说你对这个游戏的认识.参考答案：一、选择题：1～4：CCDA 5～8： CBDC 二、填空题： 1．大于； 2．大于；3．抽到大王的可能性较小（实际为541），最多抽54次 4．10000001；5．小； 6．公平；7．变大或变小；8．落在A 区的可能性最大．三、解答题：1．(1)不确定事件;(2)不确定事件;(3)确定事件中的不可能事件;(4) 必然事件； 2．可能性一样大 3．如图：4．选择甲袋成功的机会更大;选择乙袋成功的可能性大.5．①转得奇数的可能性大。

数学分析(华东师大版)上第十一章11-2

二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法设) 定义在上的非负函数 f 在任何收敛的充要条件是:
证设
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从而 F (u) 是单调递增的增函数的收敛判别准则,
由单调递
定理11.3 ( 比较判别法) 设定义在
上的两个
非负函数 f , g在任何有限区间[a, u]上可积, 且

的收敛性( k > 0 ).
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三、一般函数无穷积分的判别法
若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 定理11.4 ( 绝对收敛的无穷积分必收敛若) f 在任何有限区间[a, u]上可积,
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证因
由柯西准则的必要性, 对
因此再由柯西准则的充分性, 又对任意
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证即
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推论2 设 f 是定义在
上的非负函数, 在任何
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推论3设 f 是定义在
上的非负函数,在任何有
限区间 [ a , u] 上可积.
说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.
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例4 讨论解(i)
§2 无穷积分的性质及收敛判别
本节讨论无穷积分的性质, 并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.
一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的收敛判别法三、一般函数无穷积分的收敛判别法
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一、无穷积分的性质
定理11.1 ( 无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分收敛的充要条件是:
证极限的柯西准则,此等价于
由 g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的使得

第十一章反常积分

第十一章反常积分课后习题全解§1 反常积分概念1.讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：（1）2.x xe dx +∞-⎰；（2）2x xe dx +∞--∞⎰;(3)0+∞⎰dx; (4) 20(1)dx x x +∞+⎰; (5)2445dxx x +∞-∞++⎰; (6) sin ;0x e xdx -+∞⎰(7)sin ;xe xdx +∞-∞⎰ (8)0+∞⎰解：（1）由于22211(1),lim 0022x u x u u u xe dx e xe dx ---→+∞=-=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为12（2）由于222001(1),lim 02x u x u xe dx e xe dx u u ---→-∞=--=⎰⎰则222000x x x xe dx xe dx xe dx ---+∞+∞=+=-∞-∞⎰⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为0（3）由于2(1lim 2u u u →+∞==⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且值为2（4）由于221(ln ||),lim 1ln 211(1)1(1)u u u dx xdx x x x x x x →+∞=-+=-+++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为1-ln2（5）22lim 004454454u u dx dx x x x x π→+∞+∞==++++⎰⎰因此该无穷积分收敛，且值为4π（6）由于11sin [1(sin cos )],lim sin 0022x ux u u u e xdx u u e e xdx ---→+∞=-+=⎰⎰ 因此该无穷积分收敛，且积分为12（7）1sin lim sin lim [1(sin cos )]02x x u u u e xdx e adx u u e →+∞→+∞+∞===-=∞⎰则0sin sin sin 0x x xe xdx e adx e xdx +∞+∞=+=∞-∞-∞⎰⎰⎰所以该无穷不收敛（8）由于ln |limu uuu →+∞=+=+∞⎰⎰所以该无穷积分分散2．讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值（1）()p b dx a x a -⎰；（2）2101dxx -⎰；（3）2⎰；（4）1⎰；（5）1ln ;0xdx ⎰ （6）;⎰（7）1⎰ （8）10(ln )p dxx x ⎰解：（1）被积函数f(x)=1()px a -在（a,b ）上连续，从而在任何[u,b]⊂(a,b)上可积，x=a 为其瑕点，依定义2求得lim ()()p pu a b b dx dxa u x a x a →+=--⎰⎰而1()111lim{()Pb a p p p pu a bdxu x a --<-∞≥→+=-⎰ 当P<1时，该遐积分收敛至1()1pb a p---；当P ≥1时，该瑕积分发散（2）该积分函数f(x)=211x-在[0，1]上连续，从而在任何[0,u]⊂[0,1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2求得221111lim lim [ln(1)ln(1)]00112u u u dx dx u u x x --→→==+--=+∞--⎰⎰因此该瑕积分发散（3）被积函数[0，1]∪（1，2）上连续,x=1为其瑕点，依定义2得1111lim lim lim(22u u u u u ---→→→===-=⎰⎰⎰111222lim lim lim(221u u u +++→→→===-=⎰⎰⎰则21241=+=⎰⎰⎰，瑕积分收敛（4）被积函数[0，1]上连续，从而在任何[0，u]⊂[0，1]上可积，x=1为其瑕点，依定义2得111lim lim(11u u u--→→===⎰⎰（5）被积函数f(x)=lnx 在（0，1）上连续，从而在任何[u ，1]⊂（0，1）上可积，x=0为其瑕点，依定义2得0011ln lim ln lim[1(ln 1)]10u u xdx xdx u u u ++→→==---=-⎰⎰ 因此该瑕积分收敛至-1（6）令2sin ,[0,],2x t t π=∈则22sin(1cos2)2t t dtππ==-=⎰⎰（7）令2sin,[0,],2x t tπ=∈则21220002dtπππ===⎰⎰⎰（8）被积分函数f(x)=1(ln)px x在（0，1）连续,x=0，1为其瑕点，因1111220001lim lim[(ln2)(ln)](ln)(ln)1p pp puu udx dxux x x x p+--→+→==--=∞-⎰⎰因此该瑕积分分散§2 无穷积分的性质与收敛判别（教材上册P275）1．证明定理11.2及其推论1解：（1）定理11.2的证明;由()g x dxa+∞⎰收敛，根据柯西准则，任给ε>0,存在G≥a,当21u u>>G时，总有21|()|uug x dxε<⎰2211|()|()||()|||()|u uu uf xg x f x dx g x dxε≤⇒≤<⎰⎰在由柯西准则，证得|()|f x dxa+∞⎰收敛（2）推论1的证明：（ī）|()|lim,()0()xf xC g xg x→+∞=>⇒取2cε=，存在M>0,当x>M时，有30()|()|()22c Cg x f x g x<<<<+∞3|()|(),2f x Cg x<由定理11。

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2、正确地判断下列反常积分的敛散性：（1）1d (ln )pax x x +∞⎰（1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ⎰（1a >）；（3）11d (ln )p x x x +∞⎰。

3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值：（1）21d 1x x +∞+⎰；（2）21d 1x x +∞-∞+⎰；（3）10x ⎰；（4）11x -⎰。

（3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞存在，则无穷积分()()d af xg x x +∞'⎰收敛⇔()()d af xg x x +∞'⎰收敛，且()()()d ()()()()d aa f x g x x f x g x f x g x x a+∞+∞+∞''=-⎰⎰，其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞+∞+∞=。

（4）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()x t ϕ=在[,)αβ（其中β为有限数或+∞）上连续可导，且严格单调递增，([,))[,)a ϕαβ=+∞，则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛⇔积分(())()d f t t t βαϕϕ'⎰收敛，且()d (())()d af x x f t t t βαϕϕ+∞'=⎰⎰。

（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，若()f x 为偶函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔0()d f x x +∞⎰收敛，且 0()d 2()d f x x f x x +∞+∞-∞=⎰⎰；若()f x 为奇函数，则()d f x x +∞-∞⎰收敛⇔()d f x x +∞⎰收敛，且()d 0f x x +∞-∞=⎰。

提示：注意由换元法可得000()d ,()d ()d ()d ()d ,x tf t t f f x x f t t f t t f t t f +∞=-+∞+∞-∞+∞⎧⎪=--=-=⎨⎪-⎩⎰⎰⎰⎰⎰为偶函数为奇函数。

二、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分()d b af x x ⎰收敛不一定能推出瑕积分2()d b af x x ⎰；无穷积分()d af x x +∞⎰收敛也不一定能推出无穷积分2()d af x x +∞⎰收敛；注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。

2、无穷积分()d af x x +∞⎰收敛不一定能推出无穷积分()d af x x +∞⎰收敛；注：注意与定积分的绝对值性质的区别。

3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=不一定成立；三、通过下面的问题探索lim ()x f x →+∞的情况：1、设函数()f x 定义在[,)a +∞上，且在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，()d af x x +∞⎰收敛，若lim ()x f x A →+∞=存在，则lim ()0x f x →+∞=；2、利用1探索：（1）设函数()f x 在[,)a +∞上单调，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=；（2）设函数()f x 在[,)a +∞上连续可导，且()d af x x +∞⎰与()d af x x +∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=；3、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=⇔()f x 在[,)a +∞上一致连续；4、设函数()f x 在[,)a +∞上连续，且()d af x x +∞⎰收敛，试探索下面的问题：（1）证明：当u a >时，lim()d 0u c uu f x x +→+∞=⎰（其中c 为任意给定的正数），从而 1lim ()d 0a n a nn f x x +++→∞=⎰；提示：注意到无穷积分的定义即可。

（2）利用（1）和积分第一中值公式证明：在[,)a +∞中，存在严格递增的数列{n x }满足：lim n n x →∞=+∞，lim ()0n n f x →∞=；（3）类似于（1）方法证明：若函数()f x 在[,)a +∞上单调递增（减），且()d af x x +∞⎰收敛，则还有lim ()0x xf x →+∞=。

注：注意到第三大题的第2小题（1），（3）表明：1()()f x o x=（x →+∞）。

提示：不妨设()f x 在[,)a +∞上单调递增，注意到下面的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当2u a >时，2122()d ()()d u u u uf x x uf u f x x ≤≤⎰⎰。

5、若函数()f x 在[,)a +∞（0a >）上连续可微，单调递增（减），且0)(lim =∞→x f x ，则()d af x x +∞⎰收敛⇔()d ax f x x +∞'⎰收敛。

提示：利用第三大题的第4小题（3）以及反常积分的分部积分公式()d d ()()()d aaa x f x x x f x xf x f x x a+∞+∞+∞+∞'==-⎰⎰⎰。

四、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分的线性性、区间可加性和绝对值性质（注意体会性质的内容、含义以及在反常积分敛散性判别中的作用）；理解反常积分绝对收敛和条件收敛的含义；用适当性质解决下面的问题：1、若无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，无穷积分()d ag x x +∞⎰发散，则无穷积分()()()d af xg x x +∞±⎰发散；提示：反证法。

2、判断2211d ln x x x x+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的敛散性；3、利用适当性质说明：在无穷积分()d af x x +∞⎰中，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰收敛等价于与()d af x x +∞⎰收敛（即()d af x x +∞⎰绝对收敛），因此，当()f x 同号时，()d af x x +∞⎰敛散性的判别等价于()d af x x +∞⎰敛散性的判别。

五、仔细体会无穷积分和瑕积分收敛的柯西准则，并用柯西准则解决下面的问题：设函数()f x ，()g x 和()h x 都定义在[,)a +∞上，且它们在任何[,][,)a u a ⊂+∞上可积，若对任意[,)x a ∈+∞，有()()()g x f x h x ≤≤，则（1）当()d a g x x +∞⎰和()d a h x x +∞⎰都收敛时，()d af x x +∞⎰也收敛；（2）当()d a g x x +∞⎰和()d ah x x +∞⎰都收敛，且()d ()d aag x x h x x +∞+∞=⎰⎰时，()d af x x +∞⎰收敛，且()d ()d ()d aaag x x f x x h x x +∞+∞+∞==⎰⎰⎰。

提示：（1）用柯西准则；（2）可直接用定义和极限的迫敛性。

六、仔细体会并熟练掌握无穷积分和瑕积分绝对收敛的各种常用判别方法，熟悉柯西判别法中适当幂函数的两种常见的选择手段（等价量的代换手段、与幂函数变化快慢进行比较的手段）；养成在选择判别法之间，先观察反常积分的类型，被积函数是否同号的习惯。

试用绝对收敛的判别法解决下面的问题：判断下列反常积分的敛散性：1、2sin d 1kx x x +∞+⎰，20cos d 1kx x x +∞+⎰，0sin d 1kx x x α+∞+⎰（2α≥），0c o s d 1kxx x α+∞+⎰（2α≥）； 2、1n x +∞⎰（0m >），1n x +∞⎰（0m >），11(1+)d n x x+∞⎰（0m >），11s i n )d n x x α+∞⎰（0α>，0m >）； 3、1d xx e x α+∞-⎰，10d xx e x α-⎰，1ln(1)d p x x x +∞+⎰，10ln(1)d px x x +⎰；4、10x ⎰，21x ⎰。

七、仔细体会并熟练掌握无穷积分收敛性的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，理解这两个判别法之间的内在关系（阿贝尔判别法可用狄利克雷判别法及无穷积分的性质导出），熟悉如何选择适当的变换将瑕积分转化为无穷积分。

试解决下面的问题：1、判断下面反常积分的收敛性（在收敛的情况下，如有可能，还要尽可能判断出是绝对收敛，还是条件收敛）（1）1sin d p xx x +∞⎰，1cos d p x x x +∞⎰，1sin()d pmx n xx +∞+⎰1cos()d pmx n x x +∞+⎰，（其中0p >，0m ≠和n 为常数）；（2）1sin d x x x+∞⎰，112sin d x x x +∞⎰，21sin d x x +∞⎰，21cos d x x +∞⎰，41sin d x x x +∞⎰；提示：利用（1）或变量替换后再用（1）。

（3）1011sin d x x x α⎰；提示：作变量替换1t x=化为无穷积分后再用（1）。

2、设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，且lim ()0x f x →+∞=（注意此条件蕴含了()0f x ≥，为什么？），则（1）()sin d af x x x +∞⎰与()cos d af x x x +∞⎰都收敛；提示：用狄里克雷判别法。