1固体物理-晶体结构2

space group table: http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimensions
晶系 三斜 单斜 正交 三方
对称性特征 只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或 3
晶胞参数
http://www.mathexpression.com/rotation-symmetry.html
32个点群

Cn (for cyclic)
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
32个点群

Sn (Spiegel, German for mirror)
点对称操作
对称元素

在晶体中，由于平移对称性的限制，转动 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素 只能有
1, 2, 3, 4, 6
1 , 2 , 3 , 4, 6

作业！
点群
1, 2, 3, 4, 6 1 , 2 , 3 , 4, 6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in the physics of condensed matter. Springer (2008) P44
n重旋转-镜像轴
Symmetry Elements and Operations
固体物理学
晶体结构2
晶体的对称性
Apatite 磷灰石
Quartz 石英
Garnet 石榴石
什么是对称性？


对称==在某种变换下保持不变；

在几何中，保持两点距离不变的变换（等距变换）叫正 交变换； 如果系统在某种正交变换下保持不变（与自身重合）， 那么这个变换就是系统的一个对称操作；一个系统对称 操作越多，表明它的对称性越高。
正交变换

转动(rotation about an axis) 镜面（镜像）(reflection across a plane) 中心反演(inversion through a point)

在三维情况下，正交变换可以表示为
正交矩阵
转动

绕z轴转动θ度
中心反演和镜面（镜像）

中心反演
Symmetry Elements and Operations
Symmetry Elements and Operations
对称操作元素间的依赖关系




①如果一个物体有两个镜面，则两镜面的交线是该物体的 一个转轴，若镜面夹角是π/n，则该轴为n度转轴 ②如果一个物体有一个n度转轴和包含该轴的一个镜面， 则该物体必有n个包含该轴的镜面，相邻镜面夹角为π/n ③如果一个物体有两个二度转轴，则必有与之垂直的转轴， 若两个二度转轴的夹角为π/n，则与之垂直的转轴为n度转 轴 ④如果一个物体有一个n度转轴，和一个与之垂直的二度 轴，则该物体必有与该n度轴垂直的n个二度轴，相邻两个 二度轴的交角为π/n ⑤一个偶数度轴、一个垂直于该轴的镜面以及一个反演中 心，若存在其中的两个，则必然存在第三个。
两种群标记符号

固体物理中常用熊夫利符号(Schönflies notation) ; 晶体学中常用国际符号(International notation/Hermann-Mauguin notation)
（国际符号的具体解释见阎守胜《固体物理基础》）
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
反演中心 按对称中心反演 inversion center of symmetry or inversion center n-重旋转轴 绕轴旋转 rotation n-fold proper axis of rotation 镜面 镜像 plane of symmetry reflection
绕轴旋转后镜像 n-重旋转镜像轴 rotates counterclockwise n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis of rotation by reflection and then reflects across a plane perpendicular to the axis

7个晶系和14个布拉维格子
空间群国际符号



空间群的国际符号包括两个组成部分，前一部 分为大写英文字母，表示格子类型（P、C（A、 B）、I、F）；后一部分与点群的国际符号基 本相同，只是其中晶体的某些宏观对称要素的 符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？

镜面、镜像
二维正方形的对称操作
立方体的对称操作
正四面体源自文库
正四面体
正四面体
正四面体的对称操作
群和点群(point group)

群 (group) 是一种集合，其元素称为群元，这种 集合满足四个条件；（1）封闭性;（2）存在单 位元;（3）存在逆元;（4）结合律成立. 更具体定义请参考群论书籍资料。 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对 称群，每种对称操作是其中一个群元。 旋转、镜像、中心反演这些对称操作都可以保 持空间至少一点固定不动，称为点对称操作； 由点对称操作组成的群，称为点群。



对称元素


为了简明概括一个物体的对称性，不一一列举所有对 称操作，而是描述它所具有的“对称元素” ； 在对称操作下固定不变的点、直线及平面称为对称元 素(symmetry element) 一个物体绕某一个转轴转动2π/n以及其倍数保持不变 时，称该轴为n重（次，度）旋转轴，用n表示；
四面体点群




4 个三重轴（蓝色），共 8 个对称操作，记为8C3 ； 3 个两重轴（红色），共 3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示； 共8+3+1=12个对称操作

由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
四面体点群


http://www.complang.tuwien.ac.at/schani/supermag/archimedean/index.html http://drzeus.best.vwh.net/polyhedra/
平移(translation)对称性

布拉维格子的格矢
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
所属点群
Bravais格子 P P、C P、C、I、F R
a b c
a b c ==90º a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
C1 、 Ci
C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3V、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
对称元素

一个物体绕某一个转轴转动2π/n再加上中心反演， 以及其联合操作的倍数保持不变时，称该轴为 n 重 旋转-反演轴，用n 表示
对称元素 2的含义：先转动π， 再作中心反演。如右图中A点转 动π后变为 A’，再作中心反演后 变为A”。 A”实际上是A点在通过中心垂直 于转轴的平面 M 的镜像。说明 如果有对称元素 2，则存在一个 对称面 M 。所以也称对称元素 2 为镜面，用m或者σ表示。
Schoenflies Point Group C1, Ci C2, Cs, C2h D2, C2v, D2h C3, S6, D3, C3v, D3d C6, C3h, C4h, D6, C6v, D3h, D6h C4, S4, C4h, D4, C4v, D2d, D4h T, Th, O,Td, Oh
Schoenflies Symmetry Notation
符号标 记Label
E i Cn σ/m Sn
对称元素 Symmetry element
恒等操作 identity
对称操作 Symmetry operation 不变 nothing
What does it do
Nothing projects through the center an equal distance rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis reflects across a plane
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。

问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
空间群

布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
Number of Point Groups 2 3 3 5 7 7 5
Herman-Mauguin Point Group 1,1 2, m, 2/m 222, mm2, mmm 3,3, 32, 3m,3m 6,6, 6/m, 622, 6mm,62m, 6mm 4,4, 4/m, 422, 4mm,42m, 4/mmm 23, m3, 432,432, m3m

Dn (dihedral, or two-sided)
d 含有对角镜面 （包含主轴，并过两垂直二重轴的平分线）
32个点群

O (octahedron)

T (tetrahedron)
32个点群
Crystal System Triclinic Monoclinic Orthorhombic Trigonal Hexagonal Tetragonal Cubic
element symmetry plane operation reflection through plane symbol σ/m
σh - horizontal reflection plane (perpendicular to the principal axis) ** σv - vertical reflection plane (contains the principal axis) σd - diagonal reflection plane (contains the rotatation axis and bisect the angle between two C2 axes perpendicular to the rotatation axis ) * - n is an integer ** - principal axis is a Cn axis with the biggest n.

8C3 + 3C2； 绕 3 个立方轴（红色）旋转 π/2, 3π/2 ，接着做水平面镜像，共 6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共 6 个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；

由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用Td表示，称为正四面体点群。
四方
唯一4 或 4 唯一6 或 6 四个3
P、I
六方
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h a=b=c = ＝＝ 90º T、Th、Td O、Oh
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性



正二十面体所属对称群为I和Ih群 I群的对称元素包含有二、三、五重轴，共 60个元素 Ih群由I群+中心反演得到，共120个元素 I和Ih群不属于32个晶体点群
C60的对称性
http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Dither/ProjPoly/Foldout/foldout.html