1固体物理-晶体结构2
固体物理(第2课)常见晶格结构
钙钛矿晶格结构（2）
C60分子晶体
C60是由60个碳原子构成的球形32面体，即由12个五边 形和20个六边形构成。其中五边形彼此不相连，只与六 边形相连。每个碳原子以sp2杂化轨道和相邻的3个碳原 子相连，剩余的p轨道在C60分子的外围和内腔形成键。
纤锌矿晶格结构（3-1）
纤锌矿晶格结构（3-2）
立方晶系中一些常用的晶向指数
说明：
晶向指数代表一族晶列，而不指某一特 定晶列。(示意图) 负晶向指数表示： u v w 。
等效晶向表示：<u v w> 六方晶系的表示方法。（示意图）
1.6.2 晶面与密勒指数
晶面：同一平面上的格点构成一个晶面。 晶格由无数互相平行且等距分布的晶面构成。 截距方程： x y z 1 a, b, c为截距 a b c 密勒指数：用以标志晶面的参数。
纤维锌矿是一种较少见的硫化锌的矿物形式，以法国化 学家Charles-Adolphe Wurtz的名字命名。 其晶体结构是六角形晶体系统的一员且包含有四面等位 的锌和硫原子形成ABABAB型结构。这种结构与 of 六方 碳或者六角的钻石的结构有很大程度的关联。 纤维锌矿单胞常数为： a = b = 3.81 Å = 381 pm c = 6.23 Å = 623 pm
Cu 1s22s22p63s23p63d104s1
1.5.2 立方晶系的复式格子
a) b) c) d) e) 氯化钠型结构（示意图） 氯化铯型结构（示意图） 金刚石结构(演示) （示意图） 闪锌矿结构(演示) （示意图） 钙钛矿结构: （示意图） f) C60结构 （示意图）
1.5.3 六方密积结构
淡黄色透明 闪锌矿(金刚 石光泽)...
晶体结构笔记-固体物理学
晶体结构一、晶体、准晶体和非晶体材料结构特征与差别（1）晶体结构：整个晶体是一个完整的单一结构，即结晶体内部的微粒在三维空间呈高度有规律地、周期性地排列，或者说晶体的整体在三维方向上由同一空间格子构成，整个晶体中质点在空间的排列为长程有序，且具有各向异性。
（2）准晶体结构：既不同于晶体，也不同于非晶态，原子分布不具有平移对称性，但仍有一定的规则，且呈长程的取向性有序分布，可认为是一种准周期性排列。
一位准晶：原子有二维是周期分布的，一维是准晶周期分布。
一维准晶模型————菲博纳奇（fibonacci）序列。
其序列以L→L+S S →L(L,S分别代表长短两段线段）的规律增长，若以L为起始项，则会发现学列中L可以成双或成单出现，而S 只能成单出现，序列的任意项均为前两项之和，相邻的比值逐渐逼近i，当n →∞时，i=（1+√5）/2。
二维准晶，一种典型的准晶结构是三维空间的彭罗斯拼图(Penrose)。
二维空间的彭罗斯拼图由内，角为36度、144度和72度、108度的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。
这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。
三维准晶，原子在三维上的都是准周期分布包括二十面体准晶，立方准晶。
准晶体质点在空间排列为长程取向，没有长程平移周期性。
（3）非晶体结构：非晶体是内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体，具有近程有序，但不具有长程有序。
外形为无规则形状的固体。
非晶体具有各向同性，非晶体无固定的熔点，它的熔化过程中温度随加热不断升高。
二、原胞、基矢的概念，晶面晶向的表示，对称性和点阵基本类型（1）原胞与基矢：能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构特征的平行六面体单元，最小的周期重复单元称作点阵的原胞。
以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量为基矢。
任意格矢为R=m1a1+m2a2+m3a3,定义表明，晶体在不同方向上，晶体的物理性质不同，也表明点阵是无限大的。
固体物理第一章(2)
例2解答：
c
b
0a （101）
c
b
0a （1-22）
c
b
0a （021）
c
b
a （2-10）
例3、在六角晶系中，晶面指数常用（hkml）表示， 它们代表一个晶面的基矢的截距分别为a1/h，a2/k， a3/m，在c轴上的截距为c/l。
证明（1）h+k=-m；
（2）求出O’A1A3、A1A3B3B1、A2B2B5A5和 A1A3A5四个面的面指数。
例1解答：
晶面族（123）截a1、a2和a3分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近 的晶面，OA长度等于a1的长度，OB长度等于a2长度的1/2，OC长度等于a3 长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则 A、B和C都不是格点。
例2、在简立方晶胞中，画出（101）、（021）、（1-22）和（2-10）晶面。
ra1 n ra1 cos a1, n d
sa2 n sa2 cos a2 , n d
ta3 n tas cos a3 , n d
由此得： c o sa 1 ,n:c o sa 2 ,n:c o sa 3 ,n1:1:1
r a 1 s a 2 ta 3
与上式相比较，有
cos
h1h2k1k2l1l2
h12k12l12 h22k22l22
指数简单的面是最重要的晶面，如（100）、（110）、（111）之类。 这些面指数低的晶面系，其面间距d 较大，原子层之间的结合力弱，晶 体往往在这些面劈裂，成为解理面，一般容易显露。如Ge、Si、金刚石 的解理面是（111）面，而III-V族化合物半导体的解离面是（110）面。
立方晶格的等效晶面
固体物理 晶体结构
第一布里渊区:
以任一倒格点为原点， 共有八个最近邻，即八 个中垂面，围成一个八 面体，但其六个顶角却 被对应于六个次近邻倒 格点的中垂面所截。， 故其第一布里渊区是十 四面体。
例3 体心立方晶格第一布里渊区
倒格子：面心立方结构
第一布里渊区
以任一倒格点为原 点，考虑到离原点最近 的倒格点共有12个，即 作出相应的12个中垂面， 围成一个12面体，因次 近邻倒格点的中垂面并 不切割它，所以其第一 布里渊区的形状就是12 面体。
七个晶系与十四个布拉菲格子关系图
立方晶系
晶体的32种 宏观对称性 类型可以分 成七类，即 七个晶系。 其中每个晶 系包含若干 种点群，它 们具有某些 共同的对称 素。
简单立方 体心立方 面心立方 六角 简单四方 体心四方
六角晶系 四方晶系 三角晶系
三角
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 简单单斜 底心单斜 简单三斜
a1 a2 a3 a2 a1 , a3
三角晶系、四方晶系、六角晶系
三角晶系 三角
四方晶系 简单四方
四方晶系 体心四方
六角晶系 六角 a1 a 2 a 3
a1 a2 a3
120
90
a1 a2 a3
a1 a2 a3
90
C 1 2 3
O
a
1
a
2
OA' 晶向
B
[100]
A
OB' 晶向 [110]
晶向指数
晶向指数
某些晶向只是方向不同，而周期却是相同的，这类 晶向称为等效晶向，用<l1l2l3>表示。如立方晶格中的
固体物理
第一章晶体结构⏹布拉菲点阵概念⏹惯用晶胞（单胞）概念⏹初基晶胞（原胞）概念⏹Wigner-Seize晶胞⏹晶体结构基元+点阵=晶体结构⏹简单的晶体结构（1）sc，bcc，fcc结构的特征（2）金刚石结构（3）六角密堆积结构（4）NaCl结构（5）CsCl结构⏹晶列, 晶向, 晶面, 晶面族, 晶面指数, 密勒指数, 晶面间距晶面指数（hkl)的定义和求法方向指数[abc]的定义和求法⏹对称操作⏹7种晶系和14种布拉菲点阵1以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的简立方和面心立方晶体中的原子数之比。
2证明立方晶系的晶列[hkl]与晶面族(hkl)正交3某元素晶体的结构为体心立方布拉菲格子，试指出其格点面密度最大的晶面系的密勒指数，并求出该晶面系相邻晶面的面间距4在立方晶胞中画出（122），（001），（10），（210）晶面和[122]5晶体中可以独立存在的8种对称元素是：、、、、、、、。
⏹布拉格定理⏹倒易点阵初基矢量公式⏹布里渊区的求法（二维正方格子和长方格子）⏹实验衍射方法（劳厄法、转动晶体法和粉末法）⏹倒易点阵矢量和晶面指数间的关系1考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量G（hkl）=hb1+kb2+lb3垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为2从体心立方铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22º，X-射线波长λ=1.54Å。
试计算铁的立方晶胞边长；(b）从体心立方结构铁的(111)平面来的反射的布喇格角是多少？答案：a）a=2.91Å；b）θ=27.28º3对于点阵常数为a的二维六角点阵，（a）写出正点阵的初基矢量；（b ）计算倒易点阵的初基矢量；（c ）画出第一、第二、第三布里渊区；（d ）计算第一布里渊区的体积。
4半导体材料Si 和Ge 单晶的晶体点阵类型为 ，倒易点阵类型为 ，第一布里渊区的形状为 ，每个 原子的最近邻原子数为 。
固体物理1-2晶体的周期性
②平行六面体形原胞 — 固体物理学原胞，有时难 反映晶格的全部宏观对称性→Wigner-Seitz 取法
Wigner-Seitz原胞（对称原胞）—— 由某 一个格点为中心做出最近各点和次 近各点连线 的中垂面，这些包围的空间为维格纳—塞茨原 胞
vvv i j k
ar2
a 2
vvv i jk
ar3
a 2
vvv i jk
体心立方晶格的原胞
原胞
av1
av2
av3
a3 2
1 原胞 2 bcc
bcc
a1 a2
0
a3
∴只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元
原胞：
基矢
av1 av2
a 2 a 2
r (i
r (i
v j
晶胞的特点：
（1）晶胞的选择反映晶体的对称性， （2）晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或面心 （3）晶胞体积为原胞体积的整数倍， （4）每个晶胞中平均包含不止1个格点。
sc
sc 格子的一个立方单元 体积中含的原子数：1
sc格子的立方单元是最小 的周期性单元 — 选取其 本身为原胞。
由立方体的顶点到三个近 邻的格点引三个基矢：
v j
v k)
v k)
av3
Байду номын сангаас
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1 av2
av3
a3 2
原子个数 1
固体物理
C H 1、2 晶体结构 原子的周期性排列:• 晶体的定义和表示晶体：具有一定熔点的固体称为晶体，晶体可以看成由相同的格点在三维空间做周期性无限分布所构成的的系统，这些格点的总和称为点阵，晶体的内部结构可以用空间点阵描述晶格、格点和基元晶体结构：晶体结构=点阵+基元 晶格晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称为晶格格点：微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）基元：在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元元胞：初基元胞（固体物理学元胞）和非初基元胞（结晶学元胞）固体物理学元胞 ：取一个以结点为顶点、边长分别为3个不同方向上的平行六面体作为重复单元来反映晶格的周期性，这个体积最小的重复单元称为固体物理学元胞结晶学元胞 ：体积通常较固体物理学元胞大为了反映周期性的同时，还要反映每种晶体的对称性，因而所选取的重复单元的体积不一定最小，结点不仅可以在顶角上，通常还可以在体心或面心上，这种重复单元称为结晶学元胞（布拉维原胞）简称晶胞简单晶格（布拉菲晶格）：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。
复式晶格（非布拉菲晶格）：如果晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。
晶格的基本类型二维晶格 :三维晶格:7 大晶系：三斜、单斜、正交、三方、四方、六方、立方（简单立方、体心立方、面心立方） 14种布拉菲元胞晶面和晶向的标定Miller 指数: 如何确定 Miller 指数在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数 设某一晶面在基矢a 、b 、c 的方向的截距为ra ，sb ， tc ，将系数r ，s ，t 的倒数1/r ，1/s ，1/t 约化为互质的整数h ，k ，l 即h:k:l=1/r ：1/s ：1/t 并用圆括号写成（hkl ）,即为晶面指数，也称米勒指数简单的晶体结构sc, bcc, fcc, hcp, diamond and zinc sulfide简立方：原子位于边长为a 的8个顶角上这种布拉维晶胞只包含一个原子a1=ai a2=aj a3=ak V=a^3面心立方：4个格点。
固体物理课件 第一章 晶体结构
晶面指数（122）
a
c b
(100)
(110)
(111)
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体中的 波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都可以 看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固体物 理学中也是一个贯穿始终的概念。
在研究晶体结构时，必须分析x射线（电磁波）在晶体中的传播和衍射 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式在晶 体中传播；
1 3 Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 = a 2
(
)
金刚石
c
c
面心立方
钙钛矿 CaTiO3 (ABO3)
Ca
O
Ti
简单立方
所有的格点都分布在相互平行的一族平面 上，且每个平面上都有格点分布，这样的 平面称为晶面，该平面组称为晶面族。
特征： (1)同一晶面族中的晶面相互平行； (2)相邻晶面之间的间距相等；（面间距是
至今为止，晶体内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。
（1）X射线 -由高速电子撞击物质的原子所产生的电磁波。 早在1895年伦琴发现x射线之后不久，劳厄等在1912年就意识到X射线的 波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相同，晶体中的原子如果按点阵排 列，晶体必可成为X射线的天然三维衍射光栅，会发生衍射现象。在 Friedrich和Knipping的协助下，照出了硫酸铜晶体的衍射斑，并作出了正确 的理论解释。随后,1913年布拉格父子建立了X射线衍射理论，并制造了第 一台X射线摄谱仪，建立了晶体结构研究的第一个实验分析方法，先后测定 了氯化钠、氯化钾、金刚石、石英等晶体的结构。从而历史性地一举奠定 了用X射线衍射测定晶体的原子周期性长程序结构的地位。 时至今日，X射线衍射(XRD)仍为确定晶体结构，包括只具有短程序的无 定型材料结构的重要工具。
固体物理-第一章2
原胞的基本平移矢量，简称基矢。 简称基矢 基矢。
1.原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) (1)固体物理学原胞(简称原胞) 固体物理学原胞 原胞 构造：取一格点为顶点， 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 学原胞。 学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上， 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格 只在平行六面体的顶角上
v = a⋅ b×c = n
( )
(3)维格纳--塞茨原胞 (3)维格纳--塞茨原胞 维格纳-构造：以一个格点为原点， 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中 垂面(或中垂线) 由这些中垂面(或中垂线) 垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W-- 原胞。 或面积)即为 --S原胞。 -- 原胞 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
-的坐标为 Cl
1 1 1 + ) ， Na 的坐标为 (000)。 2 2 2
(c)氯化铯结构 c)氯化铯结构
Cl −
Cs +
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶 分别组成简立方格子， 长度套构而成。 格为简立方， 格为简立方，氯化铯结构属简立方。 简立方 每个固体物理学原胞包含1个格点 每个结晶学原胞包含1 个格点， 每个固体物理学原胞包含 个格点，每个结晶学原胞包含 个格点。基元由一个Cl-和一个 +组成。 格点。基元由一个 和一个Cs 组成。
固体物理复习01-02
晶体：是由离子，原子或分子（统称为粒子）有规律的排 列而成的，具有周期性和对称性
非晶体：有序度仅限于几个原子，不具有长程有序性和对 称性
格点： 布拉伐格子 晶格：晶体中微粒重心，周期性的排列所组成的骨架，称 为晶格 晶体的周期性和对称性：晶体中微粒的排列按照一定的方 式不断的做周期性重复，这样的性质称为晶体结构的周期性 。晶体的对称性指晶体经过某些对称操作后，仍能恢复原状 的特性。（有轴对称，面对称，体心对称即点对称）
33
3
4
6· 判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元 3 a 原胞 a1 a2 a3 ∵ fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数： 4 4 a 1 又∵ 原胞 fcc 4 a a ∴原胞中只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元 注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式 — 立方密排晶格！
∵bcc 的一个立方单元体积中，包含两个原子,
∴此原胞中只含有一个原子 → 其为最小周期性单元!
A B
a1
a3
a2
体心立方晶格的典型单元
A B 体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的原胞
四、六角密排晶格
1· 配位数 ：理想情况 — 所有相邻原子之间的距离相 等 → 轴比 c / a 8 / 3 1.633 配位数为12 实际值在1.57~1.64之间波动 2· 堆积方式：AB AB AB……，上、下两个底面为A 层，中间的三个原子为 B 层
a ai a aj a 为晶格常数 a ak
1 2 3
a3
a1
a2
简单立方 晶格原胞
二、面心立方晶格（face-centered cubic — fcc）
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
晶体结构2
见黄昆书30页
三. 晶体宏观对称性的表述:点群: 晶体中只有 8 种独立的对称元素:
C1 (1),C2 (2),C3 (3),C4 (4),C6 (6),Ci (i),σ(m)和 S3 (4) σ 4
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群 时,对称轴之间的夹角,对称轴的数目,都会受到严 格的限制,例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只 可能是 300 , 450 ,600 ,900 ,可以证明总共只能有 种不同 总共只能有32种不同 总共只能有 的组合方式, 种点群.形形色色的晶体就宏观 的组合方式,称为 32 种点群 对称性而言,总共只有这 32 种类型,每种晶体一定属 于这 32 种点群之一,这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类.
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
σ (m)
Ci (i)
S (6)
5 3
S (4)
3 4
S (3)
5 6
旋转-反演轴的对称操作:
1次反轴为对称中心;2次反轴为对称面; 3次反轴为3次轴加对称中心
旋转-反演轴的对称操作:
6次反轴为3次轴加对称面;4次反轴可以独立存在.
晶体中只有 2,3,4,6 次 旋转轴,没有 5次轴和大于 6 次以上的轴,可以直观的 从只有正方形,长方形,正 三角形,正六边形可以重复 布满平面,而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间 来直观理解.因此固体中不 可能存在 5 次轴曾是大家的 共识,然而1984年美国科学 家Shechtman在急冷的铝锰 合金中发现了晶体学中禁戒 的 20 面体具有的 5 次对称 性,这是对传统晶体观念的 一次冲击.
《固体物理学》第一二章参考答案
第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理课件第二章_晶体的结构
Na+构成面心立方格子 Cl－也构成面心立方格子
(6) CsCl: 由两个简单立方子晶格彼此沿 立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
(7) 闪锌矿结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟 面心立方的嵌套
（8） 钙钛矿结构
钛酸钙（CaTiO3） 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
面心立方格子:原点和12个近邻格点连线的垂 直平分面围成的正十二面体
体心立方格子:原点和8个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近 邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角， 形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形
§1.2 晶列和晶面
思考： 金刚石为什么有固定的面？ 这些面和晶格结构有什么关系？
根据周期性：
f e
k k
ikx
fk e
k
ik ( x na )
f k eikx f k eik( x na)
k k
e
ik na
1
m 0,1,2,
k na k Rn 2m
2 k h Gh a
k=b的波传过一个晶格长度，相位改变2π
晶面：所有结点可以看成分布在一系列相互平 行等距的平面族上，每个平面族称为一个晶面 晶面用法向或晶面指数标志
例：同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的性质： –晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 –一族晶面必包含了所有格点 –三个基矢末端的格点必分别落在该族的不 同晶面上（有理指数定理）
晶面（米勒）指数：晶面把基矢 a1 , a2 , a3 分别
固体物理学答案(朱建国版) (2)
固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编着）》使用2019年12月4日第1章晶体结构 0第2章晶体的结合 (12)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (19)第4章晶体缺陷 (28)第5章金属电子论 (32)第1章晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf =22a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb =32a那么，RfRb=23aa=631.2 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：晶面族（123）截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2，OC的长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。
若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B和C都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴ba、，夹角 ，如下表所示。
序晶基矢长度与夹布拉维晶胞类型所属点群号系角关系1 斜方任意2,πϕ≠ba、简单斜方（图中1所示）1，22 正方简单正方（图中2所示）4，4mm3 六角简单六角（图中3所示）3，3m，6，6mm4 长方简单长方（图中4所示）有心长方（图中5所示）1mm，2mm1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念与基本理论与知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点:单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序(短程有序)多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒,晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体与非晶体之间2、晶体的共性:解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述:基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元,该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后,一个点阵可以用一个矢量表示,称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点,以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期,以三个不同方向的周期为边长,构成的最小体积平行六面体。
原胞就是晶体结构的最小体积重复单元,可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点,原胞选择不就是唯一的晶胞以一格点为原点,以晶体三个不共面对称轴(晶轴) 为坐标轴,坐标轴上原点到相邻格点距离为边长,构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心,作该点与最邻近格点连线的中垂面,中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构:简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子瞧成同种等大刚球,在同一平面上,一个球最多与六个球相切,形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类:对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数:配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固体物理学：晶体结构
l1 、l2 、l3 为一组整数。
➢ 布拉菲点阵的数学定义
R1,0,2 a1 2a3
确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢量： Rn n1a1 n2a2 n3a3
(n1, n2 , n3, 0,1,2,3,)
a3
a2
a (0,0,0) 1
表示。由于格点周期性排列，从任一格点
Na+ Cl-
Na+周期性排列和Cl-周期性排列 正离子和负离子构成
等同点：正离子或负离子
氯化钠晶体结构
2. 晶格平移矢量
基矢：为了描述点阵而引入
在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同 样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点 间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢
第一章 晶体结构
为什么要研究结构
结构决定了相互作用，相互作用又决 定了运动，不同的运动形式具有不同 的性质，也就是结构决定了性质
§1.1 原子的周期性阵列
1、基元（basis）和点阵（lattice）
晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以 看成是由一“基本结构单元”——基元，在空间无限重复排列 构成的，这种性质称为晶体结构的周期性。〔没有边界，所以 所有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实 际晶体的区别〕
2、原胞体积：
v a1 (a2 a3 ) （矢量的混合积）
3、不同原胞中对应点物理性质 V (r)相同，称为平移对称性，用晶格平移矢量表示为：
V (r Rn ) V (r)
4、原胞的选择是多样的，但体积相同。
a2 1
a1
a2
2
a1
a2 3
a1
基元与原胞的区别
概念不同 基元是具体的原子或原子团，是具体的
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反演中心 按对称中心反演 inversion center of symmetry or inversion center n-重旋转轴 绕轴旋转 rotation n-fold proper axis of rotation 镜面 镜像 plane of symmetry reflection
绕轴旋转后镜像 n-重旋转镜像轴 rotates counterclockwise n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis of rotation by reflection and then reflects across a plane perpendicular to the axis
对称元素
为了简明概括一个物体的对称性，不一一列举所有对 称操作，而是描述它所具有的“对称元素” ； 在对称操作下固定不变的点、直线及平面称为对称元 素(symmetry element) 一个物体绕某一个转轴转动2π/n以及其倍数保持不变 时，称该轴为n重（次，度）旋转轴，用n表示；
所属点群
Bravais格子 P P、C P、C、I、F R
a b c
a b c ==90º a b c = ＝= 90º a=b=c = ＝ 90º a=b c = ＝= 90º
C1 、 Ci
C2、CS、C2h D2、C2V、D2h C 3 、 S6 、 D 3 C3V、D3d C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。
问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
空间群
布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
ห้องสมุดไป่ตู้
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
正二十面体所属对称群为I和Ih群 I群的对称元素包含有二、三、五重轴，共 60个元素 Ih群由I群+中心反演得到，共120个元素 I和Ih群不属于32个晶体点群
C60的对称性
/furuti/MapProj/Dither/ProjPoly/Foldout/foldout.html
点对称操作
对称元素
在晶体中，由于平移对称性的限制，转动 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素 只能有
1, 2, 3, 4, 6
1 , 2 , 3 , 4, 6
作业！
点群
1, 2, 3, 4, 6 1 , 2 , 3 , 4, 6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
镜面、镜像
二维正方形的对称操作
立方体的对称操作
正四面体
正四面体
正四面体
正四面体的对称操作
群和点群(point group)
群 (group) 是一种集合，其元素称为群元，这种 集合满足四个条件；（1）封闭性;（2）存在单 位元;（3）存在逆元;（4）结合律成立. 更具体定义请参考群论书籍资料。 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一个对 称群，每种对称操作是其中一个群元。 旋转、镜像、中心反演这些对称操作都可以保 持空间至少一点固定不动，称为点对称操作； 由点对称操作组成的群，称为点群。
Schoenflies Symmetry Notation
符号标 记Label
E i Cn σ/m Sn
对称元素 Symmetry element
恒等操作 identity
对称操作 Symmetry operation 不变 nothing
What does it do
Nothing projects through the center an equal distance rotates counterclockwise 360o/n degrees about the axis reflects across a plane
Schoenflies Point Group C1, Ci C2, Cs, C2h D2, C2v, D2h C3, S6, D3, C3v, D3d C6, C3h, C4h, D6, C6v, D3h, D6h C4, S4, C4h, D4, C4v, D2d, D4h T, Th, O,Td, Oh
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimensions
晶系 三斜 单斜 正交 三方
对称性特征 只有1或 i 唯一2或 m 三个2或 m 唯一3 或 3
晶胞参数
四面体点群
4 个三重轴（蓝色），共 8 个对称操作，记为8C3 ； 3 个两重轴（红色），共 3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示； 共8+3+1=12个对称操作
由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
四面体点群
四方
唯一4 或 4 唯一6 或 6 四个3
P、I
六方
a=b c C6、C3h、C6h、D6、 = ＝ 90º =120º C6V、D3h、D6h a=b=c = ＝＝ 90º T、Th、Td O、Oh
/rotation-symmetry.html
32个点群
Cn (for cyclic)
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
32个点群
Sn (Spiegel, German for mirror)
plang.tuwien.ac.at/schani/supermag/archimedean/index.html /polyhedra/
平移(translation)对称性
布拉维格子的格矢
Rn n1a1 n2 a2 n3a3
7个晶系和14个布拉维格子
空间群国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分，前一部 分为大写英文字母，表示格子类型（P、C（A、 B）、I、F）；后一部分与点群的国际符号基 本相同，只是其中晶体的某些宏观对称要素的 符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？
两种群标记符号
固体物理中常用熊夫利符号(Schönflies notation) ; 晶体学中常用国际符号(International notation/Hermann-Mauguin notation)
（国际符号的具体解释见阎守胜《固体物理基础》）
C60的对称性
C60的对称性
C60的对称性
对称元素
一个物体绕某一个转轴转动2π/n再加上中心反演， 以及其联合操作的倍数保持不变时，称该轴为 n 重 旋转-反演轴，用n 表示
对称元素 2的含义：先转动π， 再作中心反演。如右图中A点转 动π后变为 A’，再作中心反演后 变为A”。 A”实际上是A点在通过中心垂直 于转轴的平面 M 的镜像。说明 如果有对称元素 2，则存在一个 对称面 M 。所以也称对称元素 2 为镜面，用m或者σ表示。
8C3 + 3C2； 绕 3 个立方轴（红色）旋转 π/2, 3π/2 ，接着做水平面镜像，共 6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共 6 个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用Td表示，称为正四面体点群。
Dn (dihedral, or two-sided)
d 含有对角镜面 （包含主轴，并过两垂直二重轴的平分线）
32个点群
O (octahedron)
T (tetrahedron)
32个点群
Crystal System Triclinic Monoclinic Orthorhombic Trigonal Hexagonal Tetragonal Cubic
element symmetry plane operation reflection through plane symbol σ/m
σh - horizontal reflection plane (perpendicular to the principal axis) ** σv - vertical reflection plane (contains the principal axis) σd - diagonal reflection plane (contains the rotatation axis and bisect the angle between two C2 axes perpendicular to the rotatation axis ) * - n is an integer ** - principal axis is a Cn axis with the biggest n.
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in the physics of condensed matter. Springer (2008) P44