新课改省份2020版高考数学一轮复习第十章第六节二项分布与正态分布讲义(含解析)

第六节 二项分布与正态分布

突破点一 事件的相互独立性及条件概率

[基本知识]

1．条件概率

定义

设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P AB

P A

为在事件A 发生的条件下，事件B

发生的条件概率

性质

①0≤P (B |A )≤1；

②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )

2.事件的相互独立性

定义

设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立

性质

①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (A )P (B )；

②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －

也都相互独立

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( )

(2)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( ) (3)相互独立事件就是互斥事件．( )

(4)在条件概率中，一定有P (AB )＝P (B |A )P (A )．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、填空题

1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，则P (A |B )＝________.

答案：14

2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A ＝{第一枚为正面向上}，B ＝{第二枚为正面向上}，则事件C ＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________．

答案：12

3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

答案：

0.72

[全析考法]

考法一 条件概率

[例1] (1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )

A.2

9 B.13 C.49

D.59

(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )

A.310

B.29

C.78

D.79

[解析] (1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，

即n (B )＝108,4个人去的景点不同的情况有A 4

4＝4×3×2×1＝24种，即n (AB )＝24， ∴P (A |B )＝

n AB n B ＝24108＝2

9

.

(2)设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”， 则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝7

30.

则所求概率为P (B |A )＝P AB

P A ＝7

30310

＝79

.

[答案] (1)A (2)D

[方法技巧] 条件概率的3种求法

定义法

先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P AB

P A

求P (B |A )

基本事件法

借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n AB

n A

缩样法

缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简

考法二 事件的相互独立性

[例2] (2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为12，“三步上篮”的命中率为3

4，假设小明不放

弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．

(1)求小明同学一次测试合格的概率；

(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．

[解] (1)设小明第i 次“立定投篮”命中为事件A i ，第i 次“三步上篮”命中为事件

B i (i ＝1,2)，依题意有P (A i )＝12，P (B i )＝34

(i ＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C .

(1)P (C －)＝P (A －1 A －2)＋P (A －1 A 2 B －1 B －2)＋P (A 1B －1 B －2) ＝P (A －1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)P (B －1)P (B －2)＋P (A 1)·P (B －1)P (B －2)

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342＝1964

. ∴P (C )＝1－1964＝45

64.

(2)依题意知ξ＝2,3,4，

P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＋P (A －1A －

2)