高中数学《复数的概念及运算》
高中数学中的复数
高中数学中的复数在高中数学学习中，我们常常会接触到复数这个概念。
复数是由实数部分和虚数部分构成的数，学习和理解复数对于我们深入了解数学的本质和应用具有重要的意义。
本文将介绍复数的定义、性质以及在高中数学中的应用。
一、复数的定义复数是由实数部分和虚数部分构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
二、复数的性质1. 复数的加法和减法：将实部相加或相减，虚部相加或相减。
2. 复数的乘法：实部和虚部分别相乘得到新的实部和虚部。
3. 复数的除法：分子和分母同时乘以共轭复数，并运用乘法规则进行计算。
4. 复数的模：复数的模等于实数部分和虚数部分的平方和的平方根。
5. 复数的共轭：将复数的虚数部分取相反数得到共轭复数。
6. 复数的指数表示：根据欧拉公式，复数可以表示为e^ix的形式。
三、复数在高中数学中的应用1. 解方程：复数可以用于解决各类方程，包括二次方程、三次方程等。
复数根定理告诉我们，若一个多项式方程没有实数根，则必定存在复数根。
2. 向量运算：复数可以用于表示平面上的向量，利用复数的加法和乘法可以进行向量的运算，如相加、相减、旋转等。
3. 三角函数：复数可以与三角函数建立联系，通过欧拉公式，我们可以将三角函数用复数表示，进而简化三角函数的计算。
4. 矩阵运算：复数在矩阵运算中也有广泛应用，包括复数矩阵的加法、乘法、求逆等。
5. 物理学中的应用：复数在物理学中也有重要应用，如交流电路中的分析、波动学中的表示等。
综上所述，复数在高中数学中扮演着重要的角色。
通过学习和理解复数的定义和性质，我们可以更好地应用复数解决各种数学问题，并将其应用到更广泛的领域中。
在学习过程中，我们应注重对复数概念的理解和运用能力的培养，以提高自己在数学领域的素养和能力。
通过深入研究和探索，我们能够更好地理解数学的本质，并在实际问题中灵活应用数学知识。
高中数学中的复数及其运算规则
高中数学中的复数及其运算规则在高中数学中，复数是一个重要的概念，它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于许多实际问题中。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些常见的应用。
一、复数的定义复数是由实数和虚数部分组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
实数部分 a 是复数的实部，虚数部分 b 是复数的虚部。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的和为 z1+z2 =(a1+a2)+(b1+b2)i，差为 z1-z2 = (a1-a2)+(b1-b2)i。
2. 复数的乘法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的乘积为 z1*z2 = (a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
3. 复数的除法设有两个复数 z1 = a1+bi1 和 z2 = a2+bi2，则它们的商为 z1/z2 =(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2) + ((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。
4. 复数的共轭复数 z = a+bi 的共轭复数记作 z* = a-bi。
共轭复数的实部与原复数相同，虚部的符号相反。
5. 复数的模复数 z = a+bi 的模记作 |z|，定义为|z| = √(a^2+b^2)。
复数的模表示复数到原点的距离。
6. 复数的幂运算设有一个复数 z = a+bi 和一个正整数 n，则 z 的 n 次幂定义为 z^n = (a+bi)^n = r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中 r = |z|，θ 是 z 的辐角。
三、复数的应用1. 解方程复数可以用来解决实数范围内无解的方程，如 x^2+1=0。
设 x = a+bi 是方程的解，则代入方程得到 (a+bi)^2+1=0，展开后得到 a^2-b^2+2abi+1=0，由此可得到两个方程 a^2-b^2+1=0 和 2ab=0。
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享有关虚数的定义及运算公式，供参考。
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
(1)加法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
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高中数学复数(DOC)
复 数知识回顾:一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方：4414243*i1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数，单个复数常常用字母z 表示．把复数z 表示成i a b +时，叫做复数的代数形式．,a b 分别叫做复数的实部与虚部，记作Re ,Im z z ． 注意复数的实部和虚部都是实数．3. 复数相等如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等，即,a c b d ==，那么这两个复数相等，记作i i a b c d +=+．一般的，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．4. 共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭．复数z 的共轭复数用z ，也就是当i z a b =+时，i z a b =-． a a =，i i b b =-．二、复数的分类正整数有理数,Q Z q p q p ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭零（0a b ==） 实数R ：（0b =） 负整数复数C 无理数i(,)R z a b a b =+∈纯虚数（0a =）虚数（0b ≠）非纯虚数（0a ≠）i z a b =+是实数0b z z ⇔=⇔=．i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ⇔=≠⇔+=≠．三、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ；反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +．在复平面内，复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的．我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b ．3. 复数的向量表示在复平面内，复数i z a b =+与点(,)Z a b 是一一对应的，而点(,)Z a b 与向量OZ （O 为原点）又成一一对应，因此复数i z a b =+与向量OZ 也是一一对应的，即复数i a b +可由向量OZ 表示，并且规定相等的向量表示同一个复数．我们也把复数i a b +看作向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =特别地，如果0b =，则z a =就是一个实数，它的模就等于a ，故模是实数中绝对值概念在复数中的推广．四、复数的运算1. 加法（1） 法则复数的加法按照一下规定的法则进行：设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的和是(i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z +=+② 结合律：123123()()z z z z z z ++=++（3） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法（1） 法则复数的减法是加法的逆运算．设1i z a b =+，2i z c d =+是任意两个复数，则它们的差是(i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．（2） 几何意义设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法（1） 法则复数的乘法规定为：2(i)(i)i i i ()()i a b c d ac bc ad bd ac bd bc ad ++=++-=-++．（2） 性质① 交换律：1221z z z z ⋅=⋅② 结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅③ 分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=+4. 乘方（1） 法则复数的乘方运算是指几个相同复数相乘．（2） 性质① m n m n z z z+⋅= ② ()m n mn z z =③ 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法复数的除法是乘法的逆运算，即复数i a b +除以复数i(i 0)c d c d ++≠的商是指满足(i)(i)i c d x y a b ++=+的复数i x y +，记作i ia b c d ++． 一般通过“分母实数化”进行除法运算，即11212222222(0)z z z z z z z z z z ⋅⋅==≠⋅．6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+，22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-，1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =． （5） 2z z z ⋅=，z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z =五、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．1的平方根是i ±．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω．12ω=-，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=．（2） 1-的立方根：111,22z z -=+=． 六、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-±∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3） 实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，则z =a-bi 也是一个根。
高中数学中的复数运算知识点总结
高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。
复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。
下面将对高中数学中的复数运算进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。
二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。
先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。
四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。
2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。
五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。
2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。
六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。
综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。
同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成。
在高中数学中，我们学习了复数的表示形式、运算法则以及复数的应用。
下面是对高中数学中复数知识点的总结，希望对您有所帮助。
一、复数的定义和表示形式复数是由实数和虚数构成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部可以是任意实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：分别对实部和虚部进行相加或相减。
2. 复数的乘法：将复数写为a+bi和c+di的形式，然后应用分配律进行计算。
3. 复数的除法：将除数乘以共轭复数的分子和分母，然后将分子和分母分别展开，最后进行化简。
4. 复数的乘方和开方：使用欧拉公式、指数形式以及三角函数的相关知识，将复数转化为指数形式进行计算。
5. 复数的共轭：实部不变，虚部变号。
6. 复数的模：复数与自身的共轭复数的乘积的平方根。
三、复数的应用1. 解方程：复数可以用来解决无实数解的方程，如x²+1=0。
2. 平面向量：复数可以表示平面上的向量，方向由复数的幅角表示，长度由复数的模表示。
3. 电路分析：复数可以用于分析交流电路，计算电流、电压和功率。
4. 振动系统：复数可以用于描述和分析振动系统的运动情况。
5. 信号处理：复数可以用于处理信号的频率、相位和幅度等特征。
四、常见的复数知识点1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中i为虚数单位，θ为实数。
2. 常见公式：(a+bi)(a-bi)=a²+b²，其中a、b为实数。
3. 求方程的根：如x²+1=0的根为±i。
4. 模的性质：|z₁·z₂|=|z₁|·|z₂|，其中z₁、z₂为复数。
5. 幂的性质：(a+bi)ⁿ=aⁿ+[C(n,1)aⁿ⁻¹b+C(n,2)aⁿ⁻²b²+...+C(n,n-1)abⁿ⁻¹+bn]i，其中C(n,m)为组合数。
高三数学复数的概念与运算知识精讲
高三数学复数的概念与运算【本讲主要内容】复数的概念与运算复数的概念及代数形式的运算【知识掌握】复数的建立，经历了一个漫长的过程。
在许多数学家和数学工作者的辛勤工作下，历经了三百年的时间，数系从实数系向复数系的扩X ，才基本得以完成。
【知识点精析】1. 对已学过的实数集及实数子集的回顾实数（）有理数（）正有理数零负有理数无理数正无理数负无理数无限不循环小数R Q ⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎪⎫⎬⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 2. 由于解方程的需要，在实数集中，有些方程是无法解决的。
例如：x 210+=。
为此，人们引进一个新数i ，叫虚数单位。
并且规定： （1）i 21=-（2）实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加乘运算律，仍然成立。
3. 复数集：形如a bi a b R +∈()，的数叫复数。
（1）复数a bi a b R +∈()，，当b =0时，叫实数。
（2）复数a bi a b R +∈()，，当b ≠0时，叫虚数。
（3）复数a bi a b R +∈()，，当a b =≠00，时，叫纯虚数。
其中a 与b 分别叫复数，a bi a b R +∈()，的实部和虚部。
4. 复数相等若两个复数a bi +和c di +的实部和虚部分别相等，就说两个复数相等。
记作：a bi c di a b c d R +=+∈()，，， 那么：a c b d ==，特殊地：a bi a b +=⇔==005. 两个复数只能说明相等或不相等，不能比较大小。
6. 共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数叫做共轭复数。
复数z 的共轭复数可以用z 表示，即复数：z a bi =+的共轭复数是z a bi =-。
7. 共轭复数的性质 （1）z z =（2）z z z z ·==||||22（其中|z|叫复数的模） （3）z z a z z bi +=-=22， （4）z z z z 1212+=+ （5）z z z z 1212-=- （6）z z z z 1212⋅=⋅ （7）z z z z z 121220⎛⎝⎫⎭⎪=≠() 8. 复数的加法与减法（1）复数的加法按以下法则表示：设z a bi z c di 12=+=+，是任意两个复数，那么它们的和：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++ （2）复数的加法满足交换律，结合律，即 ①z z z z 1221+=+（交换律）②()()()z z z z z z z z z 123123213++=++=++（结合律） （3）复数的减法复数的减法规定为加法的逆运算，即把满足()()c di x yi a bi +++=+的复数x yi +叫做复数a bi +减去复数c di +的差。
高中数学复数的性质与运算总结
高中数学复数的性质与运算总结在高中数学中，复数是一个重要的概念。
它不仅可以用来解决实数范围内无解的方程，还可以应用于电路分析、信号处理等领域。
复数的性质和运算是我们学习复数的基础，下面我将对其进行总结。
一、复数的定义与表示复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
复数可以用平面上的点表示，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
二、复数的性质1. 复数的相等性：两个复数a+bi和c+di相等，当且仅当实部相等且虚部相等，即a=c且b=d。
2. 复数的加法性：两个复数a+bi和c+di相加，结果为(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法性：两个复数a+bi和c+di相减，结果为(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法性：两个复数a+bi和c+di相乘，结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
5. 复数的除法性：两个非零复数a+bi和c+di相除，结果为[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
6. 复数的共轭性：一个复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a+bi的上横线。
7. 复数的模：一个复数a+bi的模为√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
8. 复数的幂运算：一个复数a+bi的n次幂为[(a+bi)^n]，可以通过展开运算得到。
三、复数的运算规则1. 加法和减法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(c+di)+(a+bi)，(a+bi)+(c+di)+(e+fi)=a+bi+c+di+e+fi。
2. 乘法满足交换律和结合律，即(a+bi)(c+di)=(c+di)(a+bi)，[(a+bi)(c+di)](e+fi)=(a+bi)[(c+di)(e+fi)]。
3. 除法不满足交换律和结合律，即(a+bi)/(c+di)≠(c+di)/(a+bi)，[(a+bi)/(c+di)]/(e+fi)≠(a+bi)/[(c+di)/(e+fi)]。
高中数学复数的运算规则及常见问题解答
高中数学复数的运算规则及常见问题解答一、复数的定义与运算规则复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法。
1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。
例如，(3+2i)+(1-3i)=4-i，(3+2i)-(1-3i)=2+5i。
2. 复数的乘法：复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义来进行计算。
例如，(3+2i)(1-3i)=3-9i+2i-6i²=9-7i。
3. 复数的除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。
例如，(3+2i)/(1-3i)=(3+2i)(1+3i)/(1-3i)(1+3i)=(3+2i)(1+3i)/(1+9)=(-3+11i)/10。
二、常见问题解答1. 如何将复数表示为极坐标形式？复数可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r为模长，θ为辐角。
根据勾股定理和三角函数的定义，可以得到复数的模长和辐角。
例如，复数2+2i的模长为2√2，辐角为π/4。
2. 如何进行复数的乘方运算？复数的乘方运算可以利用极坐标形式进行简化。
将复数表示为r(cosθ+isinθ)，则复数的n次方可以表示为rⁿ(cos(nθ)+isin(nθ))。
例如，复数2+2i的平方为8(cos(π/2)+isin(π/2))。
3. 如何求解复数方程的根？对于复数方程az²+bz+c=0，可以使用求根公式来求解。
其中，根的公式为z=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
例如，对于方程z²+2z+2=0，根可以表示为(-1±i)。
4. 如何求解复数的共轭？复数的共轭可以通过改变虚部的符号得到。
例如，对于复数3+4i，它的共轭为3-4i。
5. 如何进行复数的除法运算？复数的除法可以通过乘以共轭复数再化简得到。
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一种概念，用于表示包含实部和虚部的数值。
它是实数的一种扩展，能够更灵活地描述和计算复杂的数值问题。
本文将从复数的定义、复数的表示形式，以及复数的运算法则三个方面来详细介绍复数。
一、复数的定义复数定义为具有真实部分和虚拟部分的数，可表示为a + bi 的形式。
其中，a 表示实部，是一个实数，bi 表示虚部，是一个实数乘以单位虚数 i。
实部和虚部的运算是独立的，虚部的系数 b 可以为正、负或零。
二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式表示，常见的有直角坐标形式和极坐标形式。
1. 直角坐标形式直角坐标形式是复数较为常用的表示形式，形式为 a + bi，其中 a表示实部，bi 表示虚部。
2. 极坐标形式复数也可以用极坐标形式表示，形式为r(cosθ + isinθ)。
其中，r 表示复数的模，θ 表示幅角。
三、复数的运算法则复数可以进行加、减、乘、除等运算，下面分别介绍每一种运算法则。
1. 复数的加法复数的加法遵循下列法则：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 复数的减法复数的减法遵循下列法则：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 复数的乘法复数的乘法遵循下列法则：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
即实部相乘减虚部相乘，实部与虚部相乘后再相加。
4. 复数的除法复数的除法遵循下列法则：(a + bi)/(c + di) = [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
即实部的计算为分子分母同时乘以除数的共轭，虚部的计算为分子分母同时乘以除数的共轭后取负。
综上所述，复数的定义、表示形式和运算法则都具有其独特的特点和规律。
高考数学复数的概念及运算课件
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋___b_c). i
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
11．4 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2， 所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
3．要记住一些常用的结果，如
i、－12＋
3 2i
的有关性质等
可简化运算步骤提高运算速度．
•失误与防范 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考 虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判 别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程， 用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． 5．z2＜0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝ －9＜0.
人教a版高考数学(理)一轮课件：11.5复数的概念及运算
2 +
������������ -������������
2
������ 2 +������
i(c+d i≠0).
(2)复数的加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数的乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即对于任意 z1,z2,z3∈C,有 z1· z2=z2· z1,(z1· z2)· z3=z1· (z2· z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
-6±4i 2
)
=-3± 2i,选项 A 正确.
4 .(2012·山东卷,1 )若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A .3+5i B.3- 5i C.-3+5i D.-3-5i 【答案】A 【解析】设 z=a+b i,a ,b∈R,则 z(2-i)=(a+b i)(2-i)=(2a+b )+(2b-a )i,于是有 2������ + ������ = 11, ������ = 3, 解得 2������-������ = 7, ������ = 5. 故 z=3+5i,应选 A .
2 .复数的几何意义 复数 z=a+b i 与复平面内的点 Z(a ,b )(a ,b∈R)与平面向量������������是一一对应 的关系.
3 .复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 V 设 z1=a+b i,z2=c+d i(a ,b ,c,d ∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d )i; ②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d )i; ③乘法:z1· z2=(a+b i)(c+d i)=(ac-bd )+(ad+bc)i; ④除法: 1 =
复数的定义与基本运算
复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
本文将介绍复数的定义以及基本运算。
一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。
其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。
复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。
二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。
例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
数学复数知识点总结
数学复数知识点总结数学复数是在实数的基础上构造的一种数，它包含了实数无法涵盖的一类数。
复数在数学中拥有广泛的应用，尤其在电路分析、信号处理、量子力学等领域发挥着重要的作用。
本文将对数学复数的相关概念、性质和运算法则进行总结，帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义和基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.1 复数的实部和虚部:实部和虚部是复数的两个独立部分。
实部表示复数在实数轴上的投影，常用Re(z)表示；虚部表示复数在虚数轴上的投影，常用Im(z)表示。
1.2 复数的共轭:设z=a+bi为一个复数，其共轭复数为z*=a-bi。
共轭复数的实部与原复数相同，而虚部符号相反。
1.3 复数的模和辐角:复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示。
模的计算公式为|z|=√(a²+b²)。
复数的辐角表示复数与正实轴的夹角，用arg(z)表示。
二、复数的运算法则复数的运算法则与实数的运算法则有很多相似之处，但也存在一些特殊的规则。
2.1 加法和减法:复数的加法和减法运算只需将实部和虚部进行相应的计算。
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
2.2 乘法:复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部进行展开计算得到。
即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.3 除法:复数的除法需要借助共轭复数进行计算。
即(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/(c²+d²)。
三、复数的指数和对数运算与实数类似，复数也可以进行指数和对数运算。
3.1 复数的指数形式:复数可以用指数形式表示为z=r×e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。
指数形式可以简化复数的运算，并方便表示周期性现象。
高一数学新教材知识讲学(人教A版必修第二册)专题07 复数的概念及运算(知识精讲)(解析版)
专题七 复数的概念及运算 知识精讲一 知识结构图二.学法指导1.判断复数概念方面的命题真假的注意点(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系； (2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同； (3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假． 2. 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.3.利用复数与点的对应解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系． 4.复数与向量的对应和转化对应：复数z 与向量OZ →是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解．解决复数问题的主要思想方法有：(一)转化思想：复数问题实数化；(二)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(三)整体化思想：利用复数的特征整体处理．5.．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． 6．常见结论在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 7.两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．8.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．三.知识点贯通知识点1 复数的概念复数的概念：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，叫做复数集．例题1. 给出下列说法：①复数2＋3i 的虚部是3i ；②形如a ＋b i(b ∈R )的数一定是虚数；③若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】复数2＋3i 的虚部是3，①错；形如a ＋b i(b ∈R )的数不一定是虚数，②错；只有当a ∈R ，a ＋3≠0时，(a ＋3)i 是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误 知识点二 复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0，④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.例题2：实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【解析】 (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．知识点三 复数相等的充要条件复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .例题3 . (1)若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于 ．(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，求实数m 的值． (1)【答案】－3【解析】∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1<0，∴m ＝－3.](2)【解析】设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝⎛⎭⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112. 知识点四 复数与复平面内的点、向量的一一对应复数的几何意义例题4．在复平面内，点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，O 为复平面的坐标原点． (1)求向量OA →＋OB →和AC →对应的复数；(2)求平行四边形ABCD 的顶点D 对应的复数．【解析】 (1)由已知得OA →，OB →，OC →所对应的复数分别为1＋4i ，－3i,2，则OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)， 因此OA →＋OB →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(1，－4)， 故OA →＋OB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为1－4i.(2)法一：由已知得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2，由平行四边形的性质知BD 的中点也是⎝⎛⎭⎫32，2，若设D (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧0＋x 02＝32，－3＋y2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝7，故D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i.法二：由已知得OA →＝(1,4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(2,0)，所以BA →＝(1,7)，BC →＝(2,3)， 由平行四边形的性质得BD →＝BA →＋BC →＝(3,10)，所以OD →＝OB →＋BD →＝(3,7)，于是D (3,7)．所以D 对应的复数为3＋7i. 知识点五 复数的模及其应用复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，例题5.(1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )A ．1 B.2 C. 3D ．2(2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . (1)【答案】B【解析】因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，故选B.] (2)【解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.知识点六 复数加法与减法的运算复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则①z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. (2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．例题6. (1)计算：⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ； (2)已知复数z 满足z ＋1－3i ＝5－2i ，求z . 【答案】(1)1＋i.(2)z ＝4＋i.【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z ＋1－3i ＝5－2i ， 所以x ＋y i ＋(1－3i)＝5－2i ，即x ＋1＝5且y －3＝－2， 解得x ＝4，y ＝1，所以z ＝4＋i.法二：因为z ＋1－3i ＝5－2i ，所以z ＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 知识点七 复数代数形式加减运算的几何意义复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．例题7.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 对应复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求①AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数；③对角线OB →所表示的复数及OB →的长度． 【答案】①－3－2i. －3－2i.② 5－2i. 1＋6i, 37. 【解析】 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②∵CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③对角线OB →＝OA →＋OC →，它所对应的复数z ＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |OB →|＝12＋62＝37. 知识点八 复数代数形式的乘法运算 1复数代数形式的乘法法则已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有：（1）交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1 （2）结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)（3）乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1·z 2＋z 1·z 3 例题8.计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2. 【答案】① －20＋15i. ② 25 ③2i.【解析】 ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i. 知识点九 复数代数形式的除法运算复数代数形式的除法法则(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，且c ＋d i≠0)例题9.(1)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i(2)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i(1)【答案】D【解析】(1)3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D 。
高中数学复数与向量的运算
高中数学复数与向量的运算复数与向量是高中数学中重要的概念与工具，在数学的各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍复数与向量的基本概念和运算，以及它们在数学中的应用。
一、复数的基本概念与运算1.1 复数的定义复数由实部和虚部构成，通常表示为z=a+bi。
其中，a称为实部，b 称为虚部，i为虚数单位，i满足i²=-1。
1.2 复数的运算复数的四则运算与实数类似，只需注意虚部之间的运算即可。
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，其中a1、b1、a2、b2为实数，则复数的运算如下：- 加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i- 减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i- 乘法：z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i- 除法：z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2²+b2²)+((a2*b1-a1*b2)/(a2²+b2²))i1.3 共轭复数若z=a+bi是一个复数，则它的共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数是复数的实部不变，虚部取相反数的结果。
1.4 复数的模与参数对于复数z=a+bi，它的模记作|z|=√(a²+b²)，参数记作θ=tan⁻¹(b/a)。
模表示复数的绝对值大小，参数表示复数所在的极坐标角度。
二、向量的基本概念与运算2.1 向量的定义向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在空间中，向量可以表示为一个有序数组(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃为实数。
2.2 向量的表示与坐标在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有向线段，起点为原点，终点为箭头所指向的位置。
向量也可以通过坐标表示，例如向量AB可以表示为向量→AB=(x₂-x₁, y₂-y₁)。
2.3 向量的加法与减法向量的加法和减法操作可以通过将向量首尾相接的方法进行。
设向量→A=(x₁, y₁)，→B=(x₂, y₂)，则向量的加法和减法如下：- 加法：→A+→B=(x₁+x₂, y₁+y₂)- 减法：→A-→B=(x₁-x₂, y₁-y₂)2.4 向量的数量积与向量积向量的数量积又称为点积，表示为→A·→B=|→A||→B|cosθ，其中θ为→A和→B之间的夹角。
复数的概念和运算
复数的概念和运算内容：1．复数的有关概念虚数单位I ；复数的定义；复数的表示法；共轭复数；复数的模；复数相等.2．复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除运算及加、减法运算的几何解释要求：对数的发展有初步认识；对复数有关概念有理性的认识，能够解释，举例或变形、推断，并能利用这些知识解决简单问题.对复数运算及其加、减法的几何解释有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所学知识解决有关问题.例1．i 2n-3+i 2n-1+i 2n+1+i 2n+3的值为（ ）.A 、-2B 、0C 、2D 、4分析与解答： 法一：原式0)()1()11(332=-+--=+++=i i i i i i i ii n n 法二：原式 0)1111()1(3264232=-+-=+++=--n n i i i i i法三：视为等比数列， 原式011)11(1)1(322832=+-=--=--n n i ii i . 选B. 几种方法（法一，法二是同一种方法）均用到了i 的运算的周期性：14=n i ，.,1,342414i i i i i n n n -=-==+++例2．设z 1,z 2为复数，那么02221=+z z 是z 1,z 2同时为零的（ ）.A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件分析与解答：若z 1,z 2同时为零，则02221=+z z 成立；而当02221=+z z 时，就不一定z 1,z 2同时为零. 如：当z 1=i, z 2=1时0112221=+-=+z z ，故选B.注意在复数集中不能套用实数集中的性质.例3．下面命题中正确的是（ ）.A 、互为共轭复数的两数之差必是纯虚数B 、复数a+b i =c+d i 的充要条件是a=c,b=d.C 、如果让实数 a 与纯虚数a i 对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应.D 、复平面虚轴上各点与纯虚数一一对应.分析与解答：A 、否定：因为复数≠虚数，如z=3,3=z , ∴0=-z z 不是纯虚数.B 、a,b,c,d 应为R ，否则不成立，因此否定.C 、否定：a=0时，a i =0不是纯虚数.D 、正确，虚轴不包括原点.例4．已知：i z z 97||3-=-，求复数z.分析与解答：设z=a+b i (a,b ∈R)，由已知有 i b a bi a 97)(322-=+-+，整理为i bi b a a 973322-=++-，根据复数相等，有⎪⎩⎪⎨⎧-==+-)2.....(.. (9)3)1........(7322b b a a 由 (2)得b=-3代入(1)得a=4或45=a . 经检验45=a 舍去， ∴z=4-3i . 注意：利用复数相等将复数问题转化为实数问题后，在解方程组时，因有一个是无理方程，因此必须验根.例5．设z ∈c ，且|z|=2,求|31|z i +-的最小值和最大值.分析与解答： 法一：|||31||31|||||31||z i z i z i +-≤+-≤--，又∵ |z|=2, 2|31|=-i ,∴ 4|31|0≤+-≤z i ，因此|31|z i +-的最小值为0，最大值为4.此法利用的是复数模的性质：||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|.请问，你知道等号成立的条件吗？ 法二：利用复数减法的几何意义：|z|=2是以原点为圆心，2为半径的圆. )31(||31|i z z i +--=+-|表示此圆上的点到点)3,1(-M 的距离，由图知：∵M 就在圆上，所以最小距离为0，而最远距离在过M 点的直径的另一端M'处，|MM'|=2R=4，得最远距离为4.此题还有其它解法，但这两种解法最快捷.例6．当21i z --=时，求z 100+z 50+1的值. 分析与解答： 由21i z --=得i i z -=-=222， ∴i 4=-1. 则 z 100+z 50+1=(-1)25+(-1)12(-i )+1=-i . 例7．求同时满足下列两个条件的所有复数z.(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz . (2)z 的实部和虚部都是整数.分析与解答：由题,设 z=x+yi (x,y ∈Z 且x 2+y 2≠0),则2210101010y x yi x yi x yi x yi x z z +-++=+++=+ i yx y y x x )101()101(2222+-+++= ∵ z z 10+是实数，∴ 虚部0)101(22=+-yx y ， ∴ y=0或010122=+-y x ，又∵ 6101≤+<z z ，∴ 6)101(122≤++<y x x ……① (1)当y=0时 ①式化为 6101≤+<xx , x<0时，010<+x x ， 6101≤+<xx 无解. x>0时，,610210>≥+x x 6101≤+<x x 无解. (2)当x 2+y 2=10时，①式可化为 1<2x ≤6, ∴ 321≤<x , 又∵x,y ∈Z, ∴x=1,x=2,x=3. ∴ ⎩⎨⎧==31y x ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==131331y x y x y x 因此，同时满足条件(1)和(2)的所有复数是： i i i i -+-+3,3,31,31.。
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数部分组成的数。
本文将详细探讨复数的定义以及常见的运算法则。
1. 复数的定义复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i 是虚数单位，满足以下条件：- a和b都是实数- i的平方等于-1，即i^2=-12. 复数的表示形式除了常见的代数形式a+bi，复数还可以用极坐标形式r(cosθ + isinθ)表示，其中r是复数的模，θ是辐角。
3. 复数的运算法则3.1. 加法与减法对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的和可以通过实部和虚部的分别相加得到：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；差可以通过实部和虚部的分别相减得到：Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i。
3.2. 乘法复数的乘法遵循分配律和虚单位的平方等于-1的法则。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的乘积为：Z1*Z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3.3. 除法复数的除法需要进行有理化，即将除数和被除数同时乘以共轭复数的倒数。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的商为：Z1/Z2 = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
其中，c^2+d^2不为0。
4. 复数的共轭与模复数的共轭是指将虚数部分取负，实数部分保持不变，即对于复数Z=a+bi，它的共轭为Z*=a-bi。
复数的模是指复数到原点的距离，即|Z|=√(a^2+b^2)。
5. 复数的指数形式复数还可以用指数形式表示，即欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
这个公式将三角函数和指数函数联系起来，为解决复数运算提供了简洁的方法。
6. 复数的应用复数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，交流电的分析、信号处理以及控制系统的建模等都需要用到复数。
总结：本文详细介绍了复数的定义与运算法则，包括复数的表示形式、加法与减法、乘法、除法、共轭与模、指数形式以及复数的应用。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数（Complex Number）是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。
它由实数和虚数部分组成，是一类具有特定形式的数。
本文将介绍复数的基本概念以及复数的运算规则。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数。
在复数中，虚数部分由虚数单位i（i^2=-1）表示。
一个复数可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。
实部和虚部分别是复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的运算规则1. 复数的加法运算：将两个复数的实部分相加，虚部分相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数的减法运算：将两个复数的实部分相减，虚部分相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法运算：根据分配律和虚数单位i的定义，进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法运算：将被除数与除数同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)三、复数的性质1. 复数的共轭：将复数的虚部加负号，即得到该复数的共轭复数。
例如：对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
2. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
例如：对于复数a+bi，它的模是√(a^2+b^2)3. 复数的实部和虚部性质：（1）若复数的实部和虚部都为零，则该复数为零，记作0。
（2）若复数的实部为零，虚部不为零，则该复数为纯虚数。
（3）若复数的虚部为零，实部不为零，则该复数为实数。
四、复数的图示表示我们可以将复数在复平面上进行图示表示。
将复数a+bi表示为平面上的一个点P，P的横坐标是a，纵坐标是b。
通过这种方式，可以直观地理解复数的实部和虚部以及复数的运算规则。
五、应用复数在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
高中数学复数的运算与问题分析解答技巧
高中数学复数的运算与问题分析解答技巧复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
在高中数学中，我们经常会遇到涉及复数的运算和问题分析，因此熟练掌握复数的运算与问题解答技巧对于高中学生来说是非常重要的。
一、复数的基本概念和运算复数是由实数和虚数部分构成的，通常用a+bi的形式表示，其中a为实部，b 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数的加法、减法和乘法运算都遵循相应的规则，可以通过对实部和虚部的运算来实现。
例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的加法运算可以表示为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i同样地，复数的减法运算可以表示为：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i复数的乘法运算可以表示为：z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i二、复数的问题分析解答技巧1. 求复数的模和辐角复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理求得。
复数的辐角表示复数与实轴的夹角，可以用反三角函数求得。
在解答问题时，我们常常需要求复数的模和辐角。
例如，对于复数z=a+bi，它的模可以表示为：|z|=√(a^2+b^2)复数的辐角可以表示为：arg(z)=arctan(b/a)2. 复数的共轭和倒数复数的共轭表示将复数的虚部取负，实部保持不变。
复数的倒数表示将复数取倒数，然后对实部和虚部分别取负。
在解答问题时，我们常常需要求复数的共轭和倒数。
例如，对于复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z^*=a-bi复数的倒数可以表示为：z^(-1)=1/(a+bi)3. 复数的幂次和根复数的幂次表示将复数连乘若干次，复数的根表示将复数开若干次方。
在解答问题时，我们常常需要求复数的幂次和根。
例如，对于复数z=a+bi，它的幂次可以表示为：z^n=(a+bi)^n复数的根可以表示为：√z=±√(a+bi)三、举一反三掌握了复数的运算和问题解答技巧，我们可以通过具体题目来加深理解，并举一反三。