2.3单位冲激信号
阶跃信号和冲激信号
3） 奇偶性：
(t) (t) (t) (t) (n) (t) (1)(n) (n) (t)
由第四组a=-1得来 由第五组a=-1得来
结论: 冲激函数为偶函数 冲激偶函数为奇函数
n为偶数时, (n) (t) 为偶函数, n为奇数时, (n) (t) 为奇函数
例题
例题1－3－2
1.计 算 ： (2 cos3t) ( t )dt
(n)(t t0 ) d t
(1)n
f
(n) (t0 )例题 Nhomakorabea例 (题t) f1(－t)d3－t 1f (0)
f (t) (t) d t f (0)
1.计 算 ： (2t sin 2t) (t)dt
2.练 习 ：
[2t 2 cos (t 1)] (t 2)dt
3
2 1
2 (t) sin 2t dt
第五组: (at) 1 1 (t)
aa
(n) (at )
1 a
1 an
(n) (t )
*第六组:
(at
t0 )
a(t
t0 a
)
1 (t t0 )
a
a
对冲激函数尺度变换说明(自学）
从 (t)定义看：
pt
1
α﹥1
pat
1
压缩1/ α
O
2
t
2
O
t
2a
2a
a
p(t)面积为1， 0时p(t) t强度为1
第三节 阶跃信号和冲激信号
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分 有不连续点的一类函数,统称为奇异信号或奇异函 数。
主要内容： •单位阶跃信号 •单位冲激信号
是两种特殊的连续信号,是实际信号或物 理现象抽象出来的理想化信号模型.
信号与系统练习题
第一章绪论1、选择题1.1、f （5-2t ）是如下运算的结果 CA 、 f （-2t ）右移5B 、 f （-2t ）左移5C 、 f （-2t ）右移25D 、 f （-2t ）左移25 1.2、f （t 0-a t ）是如下运算的结果 C 。
A 、f （-a t ）右移t 0；B 、f （-a t ）左移t 0 ；C 、f （-a t ）右移a t 0；D 、f （-a t ）左移at 0 1.3、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()()(t u t e t r = 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统；B 、线性时变系统；C 、非线性时不变系统；D 、非线性时变系统 1.4、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)()(2t e t r = 则该系统为 C 。
A 、线性时不变系统 B 、线性时变系统 C 、非线性时不变系统 D 、非线性时变系统 1.5、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)1()(t e t r -= 则该系统为 B 。
A 、线性时不变系统B 、线性时变系统C 、非线性时不变系统D 、非线性时变系统1.6、已知 系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为：)2()(t e t r = 则该系统为 B A 、线性时不变系统 B 、线性时变系统 C 、非线性时不变系统 D 、非线性时变系统 1.7.信号)34cos(3)(π+=t t x 的周期为 C 。
A 、π2 B 、π C 、2π D 、π21.8、信号)30cos()10cos(2)(t t t f -=的周期为： B 。
A 、15π B 、5π C 、π D 、10π1.9、dt t t )2(2cos 33+⎰-δπ等于 B 。
A.0 B.-1 C.2 D.-21.10、 若)(t x 是己录制声音的磁带,则下列表述错误的是： BA. )(t x -表示将此磁带倒转播放产生的信号B. )2(t x 表示将此磁带放音速度降低一半播放C. )(0t t x -表示将此磁带延迟0t 时间播放D. )(2t x 表示将磁带的音量放大一倍播放 1.11.=⋅)]([cos t u t dtdA A ．)()(sin t t u t δ+⋅- B. t sin - C. )(t δ D.t cos1.12．信号t t t x o 2cos 4)304cos(3)(++=的周期为 B 。
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
理工类专业课复习资料-信号与系统-复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。
其周期为各个周期的最小公倍数。
①连续正弦信号一定是周期信号。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号。
周期信号是功率信号。
除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或或 T3,仏）=°的非周期信号就是能量信号，当t *，丰0的非周期信号是功率信号。
1.典型信号①指数信号： f (t) = Ke at，a e R②正弦信号：f (t) = K sin(破 + O')③复指数信号：f (t) = Ke st，s = a + j①④抽样信号：Sa(t)=乎奇异信号（1）单位阶跃信号/八(0 (t v0)u(t) = {1 t = 0 是u(t)的跳变点。
（2）单位冲激信号1「5(t)dt=1I 5(t)= 0 （当t丰0时）单位冲激信号的性质：(1)取样性j f(t)5(t)dt = f(0) j 5(tf f(t)dt = f仏)J—8 J—8相乘性质：f(岡)=f(0R(t)f(t')3(t-10)= f (t0)S(t- t)(2)是偶函数d(t )= 5 -1(3)比例性5(at) =15(t)l a l（4）微积分性质5（t）=迎）；d tf 5(丁) d 丁 = u (t)J—8(5)冲激偶 f (t )5(t) = f (0)5(t) - f r(0)5(t)d —8d —85'(—t ) = —5'()f 5'(t )d t = 0J —8带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应 着正冲激；负跳变对应着负冲激。
重难点2.信号的时域运算 ① 移位：f (t +10)， t 0为常数当t 0>0时，f (t +10)相当于f (t)波形在t 轴上左移t 0 ；当t 0 <0时，f (t +10)相当于f (t ) 波形在t 轴上右移t 0。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2．单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示，如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度，其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明，以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ，以符号 δ (t t 0 ) 表示，定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明，一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ，复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号，波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ，其实部﹑虚部为增幅正弦信号，波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4．抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数，其定义如下：
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质：
Sa(0) = 1， Sa(kπ) = 0 ，k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号，可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如，图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
上海大学通信学院学科复习资料-信号
拉氏变换基本性质
一、线性（叠加）
若 ，则
二、微分
若 ，则 .[若积分从 开始，则 取 ].
三、积分
若 ，则
四、延时（时域平移）
五、 域平移
六、尺度变换
七、初值
八、终值
九、卷积
十、相乘
十一、对 微分
第五章傅利叶变换应用于通信系统
一、系统函数H(jw)
稳定系统，零状态响应
冲激响应与系统函数之间傅利叶变换关系
阶跃函数
3.7傅利叶变换的基本性质
（一）对称性
若
（二）线性叠加
若
则
（三）奇偶虚实性
（1）f(t)为实函数
（2）f(t)为虚函数
（四）、尺度变换特性
若 ，则 （a为非零实常数）
（五）、时移特性
若 ，则
（六）频移特性
若 ，则
（七）、微分特性
若 ，则 ，
频域微分特性 ，
（八）、积分特性
若 ，则
3.8卷积特性（卷积定理）
一个系统输出只取决于该时刻输入，该系统称为无记忆系统（即时系统）。
反之则为记忆系统）（动态系统）。
例：电容器： .
iii、集总参数系统与分布参数系统；
iv、线性系统与非线性系统。
令 是一个连续时间系统，对 响应， 是对应于 的输出，则1、 是 的响应；（叠加性）
2、 是 响应；（ 为任意常数）（齐次性，均匀性，比例性）
（一）、时域卷积定理
若 ， 则
（二）、频域卷积定理
若 ， 则
3.9周期信号傅利叶变换
（ 为单脉冲傅利叶变换）
第四章拉普拉斯变换、 域分析
单边拉氏变换
乘以衰减因子 后要满足绝对可积条件， 取值范围称为收敛域。
单位冲激信号的定义
g f (t) 0，a t b, a, b t 的属性完全由其在积分中的作用体现出来。
详见：郑君里《信号与系统（上）》2.9节
10
学好信号与系统 低通高通路路通
北京邮电大学信号与系统 智慧教学研究组
11
Ø 积分为1；
Ø t =0 时， t ，为无界函数。
8
(3)定义2：狄拉克(Dirac)函数
• 保 罗·狄拉克(Paul Adrie Maurice Dirac) • 1902年8月8日～1984年10月20日 • 英国理论物理学家，量子力学的创始者
之一 • 因狄拉克方程获得1933年诺贝尔奖，该
t
lim
0
1
1
t
t
t
lim
0
1
2
t
e
6
(2) 定义1：脉冲信号取极限
t
lim
0
1
e
π
t
2
t
lim
k
k π
Sa
kt
7
(3)定义2：狄拉克(Dirac)函数
(t)d t 1
(t) 0,t 0
(t)d t 0 (t)d t 1
0
Ø 函数值只在 t = 0 时不为零；
方程从理论上预言了正电子的存在。 • 在量子场论尤其是量子电动力学方面作
出了奠基性的工作，而在引力论和引力 量子化方面也有杰出的工作。
出处：/106815
9
(4) 定义3：广义函数形式的定义
(t) f (t)d t f (0) 检试函数
分配函数,广义函数
第一章 信号与系统分析导论
1.5 阶跃信号与冲激信号
常用信号的频谱
1
END
(t)e jtdt
1
δ(t)及其频谱如下图所示。由图可知，单位冲激信号
在时域中的持续时间为无限小，而其频带度为无限宽。
这与信号持续时间与信号频宽之间成反比关系的一般结
论相符。
δ(t)
F [δ(t)]
(1)
1
0
t
0
ωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、 直流信号E f (t) E t
直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义 式求F(ω)，在此用反变换的定义式来求。
傅立叶变换
几种常用信号的频谱
1、 单位冲激信号δ(t)
2、 直流信号E
3、 单边指数信号
4、 矩形脉冲
傅立叶正变换 傅立叶反变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F()e jtd 2
1、 单位冲激信号δ(t)
利用δ(t)的筛选特性可得δ(t)的付氏变换为
F
[
(t )]
2
E
j
e jt
2
2
j
j
E
e
2
e 2j
2
2
sin
E
2
2
ESa
2
因为矩形脉冲是偶函数，它的频谱是 实函数,可以将幅度频谱和相位频谱画在一 幅图中，如下图所示。
F() E
4
2
0 2
4
幅度频谱： F ( ) E Sa
2
F( ) E
4 2 0 2 4
频宽： B
2
或Bf
f (t) 1 F()e jtd 2 设： F() 2E () 代入上式
f (t) 1 2E ()e jtd E 2
信号和系统常用信号介绍
x(t)dt 2
Ae
(
t
)
2
dt
2A
A
0
2
二、离散时间信号：
1、单位样值序列： (n)
函数式：
(n)
1 0
n0 n0
波形图：
(n)
1
0
n
位移：
1 (n n0 ) 0
n n0 n n0
(n n0)
1
0 n0
n
• 抽样性：
设有序列x(n) ，则有
x(n)
1 2 0
12 3 4 5
n
x(t)
1
x(t)
1
x(t)
(1)
0
x(t)
x(t)
1
1
t
2
2
t
0
t
x(t)
1
x(t)
1
t
22
t
0
t
单位冲激信号在信号与系统的理 论中，是一个重要的基本信号，与 t 运动学中的质点、电学中的点电荷 一样，是一个理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的模型。
•单位冲激信号的性质： ⑴ 抽样性（筛选性）：
设x(t)在t=0与t0处连续，
• 欧拉公式：
cos t 1 (e jt e jt ) 2
e jt cos t j sin t
sin t 1 (e jt e jt ) 2j
e jt cos t j sin t
正余弦信号是我们熟悉的常用基本信号，它有很好的特 性，与指数信号类似，它们的导数和积分依然是正余弦信 号，在正弦交流电路分析中我们知道，角频率为Ω的正弦 信号作用于电路，其输出还是角频率为Ω的正弦信号。
称为它们的初相位，Ω是它们的角频率。
信号与系统第二章
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.1 微分方程式的建立与求解
1．物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用
线性常系数微分方程来描述。
2 连续时间信号与系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络
2 连续时间信号与系统的时域分析
2 冲激函数匹配法 配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t) 及各阶导数应该平衡.
【例】
d y t 3 y t 3 t 已知y0 , 求y0 dt
ut : 表示0 到0 相对单位跳变函数
该过程可借助数学描述
所以系统响应的完全解为
需要注意的: 特解的函数形式由系统所加的激励决定，齐次解 的函数形式完全取决于特征方程的根。 由于构成系统的各元件本身所遵从的规律、系统 的结构与参数决定了微分方程的阶次与系数，因此， 齐次解只与系统本身特性有关。
2 连续时间信号与系统的时域分析
2.1.2 从 到 状态的转换
2 连续时间信号与系统的时域分析
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 注意重根情况处理方法。 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
完全解:齐次解和特解相加, 齐次解中的待定系数可通过初始条件求得.
在系统分析中，响应区间定义为激励信号 加 入后系统的状态变化区间。系统响应的求解区间为
a 3 即 b 9 c 9
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项， 微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首 先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。 (3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
单位冲激信号的定义
1.5 阶跃信号与冲激信号
1
4. 单位冲激信号(impulse)
概念引出 定义1：脉冲信号取极限 定义2：狄拉克(Dirac)函数 定义3：广义函数形式的定义
2
(1)概念的引出
• 力学中的冲激力：物体相互碰撞时出现的力，先 突然增大而后迅速消失的力。
• 特点：作用时间极短，但是量值可以达到很大。 • 实例：体育动作中如乒乓球的击球和踢足球等。 • 其他领域：质点，电电荷，点光源，脉冲信号等。
方程从理论上预言了正电子的存在。
• 在量子场论尤其是量子电动力学方面作 出了奠基性的工作，而在引力论和引力 量子化方面也有杰出的工作。
出处：/106815
9
(4) 定义3：广义函数形式的定义
(t) f (t )d t f (0) 检试函数 分配函数,广义函数
3
(2) 定义1：脉冲信号取极限
p(t
)
1u
t
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
t
2
0
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑；
4
(2) 定义1：脉冲信号取极限
(t)
lim 0
p(t
)
lim 0
1u
t
2
u
t
2
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限，都可以认为是冲激函数。
5
(2) 定义1：脉冲信号取极限
t
lim 0
➢ 积分为1；
➢ t =0 时，t ，为无界函数。
8
(3)定义2：狄拉克(Dirac)函数
• 保 罗·狄拉克(Paul Adrie Maurice Dirac) • 1902年8月8日～1984年10月20日 • 英国理论物理学家，量子力学的创始者
单位冲激信号的概念
单位冲激信号，也称为单位脉冲信号或单位阶跃信号，是一种理想化的信号。
它描述的是一个瞬时幅度为1，宽度为0的脉冲。
在数学上，单位冲激信号可以表示为δ(t)，其中t是时间变量。
单位冲激信号具有以下特性：
1. 只在t=0处有幅度为1的冲激，其他时间点上的函数值为0。
2. 它在全时域的积分值为1，也就是说，它与时间轴围成的面积是1。
在实际应用中，单位冲激信号经常被用于描述在特定时刻发生的事件或信号变化。
例如，在电路分析中，单位冲激信号可以用于描述电容器的充电和放电过程。
在信号处理中，单位冲激信号可以用于描述信号的跳变或突变。
2.3单位冲激信号
故
∫
∞
∞
f (t)δ (t)dt = f (0)
∫
∞
∞
f (t)δ (t t0 )dt = f (t0 )
信号与系统 陈伟东
5-2
筛选特性
∫
+∞
∞
δ (t t0 ) f (t )dt =
∫
+∞
∞
δ (t) f (t)dt =∫ δ (t) f (0)dt
∞ +∞ ∞
+∞
= ∫ f (t0 )δ (t t0 )dt = f (t0 ) = f (0)∫ δ (t)dt = f (0)
f (t0 )
f ( 0)
0
t
信号与系统 陈伟东
*冲激偶性质: 冲激偶性质: 冲激偶性质
① ② ③
∫
+∞
∞
δ ′ (t )dt = 0
∫
t
∞
δ ′ (t )dt = δ (t )
∫
∞
∞
f (t)δ ' (t)dt = f ' (0)
δ ′(t )是奇函数
δ ′(t ) = δ ′(t )
δ ′(t 0 t ) = δ ′(t t 0 )
④
f (t )δ ′(t ) = f (0)δ ′(t ) f ′(0)δ (t )
f (t)δ (t) = f (0)δ (t )
信号与系统 陈伟东
*冲激函数的标度变换 冲激函数的标度变换
1 δ (at ) = δ (t ) a
p(at)
τ →0
p(t) → δ (t)
1 p(at) → δ (t ) a
1
1 t
t
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d
t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
冲激响应和阶跃响应
dn ry((tt))
dn1 ry(t )
d ry(t)
d t n an1 d t n1 a1 d t a0ry((tt))
d mef((tt))
d m1ef(t(t))
def((tt))
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0ef((tt))
看成f(t)
当f (t) (t)时，冲激响应设为h0(t)
)
bm
h( m
1 0
1)
(t
)
b1h0(t ) b0h0 (t )
X
第
总结
12 页
冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其
系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
第 3 页
2.两者关系
由线性时不变系统的微积分性质知：
(t) h(t)
t
t
(t) ( )d g(t) h( )d
h(t) g(t)
X
第
二、冲激响应
4
页
对于线性时不变系统,可用转移算子表示为
ry((tt) H( p)ef(t(t))
当ef((tt)) (t)时，
h(t) H( p) (t)
p 1 p 2
p n
h(t ) k1 (t) p 1
两边同乘以e 1t，得
h(t) 1h(t ) k1 (t )
e1t h(t ) 1e1t h(t ) k1e1t (t )
e1t h(t ) k1e 1t (t )
e1t h(t )
t 0
单位冲激函数.
性质3 δ函数的微分和积分
(t ) (t )dt (1) (t ) (t )dt (0)
式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
′(t )
(1)
o (－1 )
t
δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
实例：
f (t )
1
1f
'
(t )
f ' (t )
2
0
2
t
2
0
2
t
(t ) 1
' (t )
0
t
单位冲激函数定义：
(t ) 0 t 0
0
(t )dt 1
A (t )
A
(t )dt 1
参考《信号与线性系统分析》吴大正主编广义函数部分。
f (t ) (t )dt f (0) f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
例 试化简下列各信号的表达式。
f (t ) (t ) f (0) (t ) f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
思考？
试证明 1 (at ) = (t ) |a|
同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t ) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )
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4. ( t )与( t )的关系：
因为
(t)dt
0 (t)dt 1
0
故
t
1 (t>0)
( )d
0 (t<0)
从而
t
(t) ( )d
(t) d (t)
dt
信号与系统 陈伟东59 -3
Rt , t , (t) 的关系
R(t )
u((t t) )
1 1
t
t
01
0
信号与系统 陈伟东10
a
p(at)
0 p(t) (t)
p(at) 1 (t)
a
信号与系统 陈伟东14
*矩形脉冲的微分与积分：
信号与系统 陈伟东15
6. 任意信号f( t )的冲激分解
p (t)
1
t
p .0 (t) p .n (t)
22
f (0) p .0 (t) 1 p (t)
p .n (t)
f (n )
(1
t
)
(t
) (t
)
(t) lim 0
e 1
t
2
信号与系统 陈伟东6
冲激函数的强度：
强度为Ａ的冲激函数：A( t) 延迟的冲激： A( t t0 )
信号与系统 陈伟东57 -2
3.冲激偶信号——
'(t)
d dt
(t
)
取极限
(t)
0
求
导
取极限
' (t)
0
信号与系统 陈伟东8
信号与系统 陈伟东17
信号与系统 陈伟东1
2.3.1单位冲激信号 1.工程意义：
持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵盖
面积恒为１的一种理想信号，记为 (t)
信号与系统 陈伟东2
2.定义： 狄拉克定义
(t) 0
(t)dt 1
t 0
(t)
0
t
信号与系统 陈伟东3
另一种定义：
( t ) =
0
(t)dt 1
①
(t)dt 0
t
(t)dt
t
②
f (t) '(t)dt f '(0)
③
(t) (t) (t)是奇函数
(t0 t) (t t0 )
④
f t (t) f 0 (t) f (0) t
f (t) (t) f 0 t
信号与系统 陈伟东13
*冲激函数的标度变换
at 1 t
5. ( t )的性质：
• １．( t )是偶函数： ( t ) = ( t )
• ２．( t )的取样性（筛选性）：
•
f( t )( t ) = f( 0 )( t )
f( t )( t t0 ) = f( t f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
第2章 连续时间信号
2.3单位冲激信号
信号与系统 陈伟东0
2.3 单位冲激函数
1.冲激信号的工程意义 2.定义
定义、数学上理解、冲激函数的强度和延迟
3.冲激函数的导数冲激偶
定义，波形，演变
4.冲激函数和阶跃函数的关系 5.冲激函数的性质
偶函数、取样性（筛选性）
6.任意函数分解为冲激函数。
信号与系统 陈伟东151 -2
筛选特性
(t t0 ) f (t)dt f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
(t) f (t)dt (t) f (0)dt
f (0) (t)dt f (0)
f (t0 )
f (0)
0
t
信号与系统 陈伟东12
*冲激偶性质：
(t=0) ( t0 )
(t)
0
t
信号与系统 陈伟东4
冲激函数可以看成是由其它函数演变成
矩形脉冲演变成冲激函数
矩形面积不变，宽趋于0时的极限
(t)
lim
0
1
(t
2
)
(t
2
)
0
t
信号与系统 陈伟东5
其他函数演变的冲激脉冲
三角脉冲的极限
双边指数脉冲的极限
(t)
lim
1
1
p (t n )
则台阶信号： f1(t) f (n )pτ (t n ) 0
n
dx
f ( ) (t )d
n x
P ( t ) ( t )
f (t) f (x) (t x)dx
f1(t) f (t)
信号与系统
陈伟东156 -4
作业
P.38
2-3 ( f )
2-5 2-6 2-7 a c e