完全平方公式(1)

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完全平方公式(1)

本节课我们学习了那些内容？
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(减去)
它们的积的2倍
(2) (a-b)2等于什么？
小颖写出了如下的算式：
（a-b)2 =[a+(-b)] 2
a2 2 • a • b b2
a2 2ab b2
她是怎么想的？你能继续做下去吗？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2 -2ab+b2
(3) (2ab-1) 2 =4a2 b2 -42ab+1
(4) (- a-b) 2 =-a²a+²-2aabb+b2
练习1：运用完全平方公式计算：
(1)( 1 x 2 y)2 (2)(2xy 1 x)2
2
5
(3)(-2x+5y)2； (4)(-2m-3n)2
列各式中哪些可运用完全平方公式进行计算(C )
A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m-n)
2.下列各式中不能运用完全二全项相平式同方与或公二两式项项式都进相互行乘为计，相算若反的两数是项，(完则 ) A用.完(3全a-1平)(方3a公-1式) ，B若.(一x+项y相)(-同y+、x)
练习2：运用完全平方公式计算：
(1)(2 3a2 )(2 3a2 )
(2) －(5+2x)2 (3) (x-2y)(2y-x) (4) (3a+2b)(-3a-2b)

《完全平方公式(1)》参考课件

2023
《完全平方公式(1)》参考课件
目录
• 引言 • 完全平方公式的内容 • 完全平方公式的应用 • 完全平方公式的扩展知识 • 练习与思考 • 参考资料
01
引言
课程背景
面向学生
初中生、高中生及其他对数学感兴趣的人群。
课程背景介绍
介绍完全平方公式的起源、发展和应用背景。
完全平方公式简介
公式形式
计算三角形的面积
在已知三角形的三边长的情况下，利用完全平方公式可以方便地计算出三角形的面积。
完全平方公式在实际问题中的应用
解决实际问题
在一些实际问题中，如物体从高处下落、物体移动等，可以利用完全平方公式来解决问题。
金融问题
在金融领域，如计算复利、解决贷款问题等，也需要用到完全平方公式进行计算。
02
完全平方公式的内容
完全平方公式的定义
完全平方公式
$a^{2}+2ab+b^{2}$
非负数
$a,b\geq 0$
完全平方公式的形式
代数形式
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
几何形式
边长为$a$和$b$的正方形，扩大后形成边长为$a+b$的正方形
完全平方公式的证明
代数证明
推广到向量
在向量空间中，完全平方公式可以推广到向量的点积和叉积运算中，如$(a \cdot b)^2 = (a \times b)^2$。
运用完全平方公式进行因式分解
将式子化成完全平方式
通过运用完全平方公式，将一个较复杂的式子化成两个完全平方式相加或相减的形式，从而进行因式分解。
分解二次三项式
对于形如$ax^2 + bx + c$的二次三项式，可以利用完全平方公式将其因式分解为$a(x+ \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$。

完全平方公式(1)

2 (a-b)
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) (a+b)22= =a a22 +2ab+b +b2 +2ab
2 2 2 2 2 2 (a b) = a 2ab+b (a-b) = a +b - 2ab
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
p2-2p+1 (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(4) (m-2)2 = __________. m2-4m+4
算一算：
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b =(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
完全平方公式
回顾 & 思考
平方差公式
2 2 (a+b)(a-b)=a -b
公式的结构特征: 左边是右边是两数和与这两数差的积. 相同项的平方减去相反项的平方
２.计算下列各题:
1.(2 x 3)(2 x 3) = 4 x 2 9 2.(3x y)(3x y) = y 2 9 x2
2
2
2
2 (a+b) =
2 a 2 a
2 +2ab+b
公式特点：
2 (a-b) =
-
2 2ab+b
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；

北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿

《完全平方公式（一）》说课稿一、说教材1、地位和作用“完全平方公式”是七年级《数学》下册第一章第八节内容，它分为两课时，本节是第一课时，它是“整式运算”这一章中重要的内容之一，它起到承上启下的作用，既是整式相乘的应用，又为以后学习配方法打下扎实的基础。

2、课程目标：（1）、知识目标：经历探索推导完全平方公式的过程，形成数形结合思想，进一步发展符号感。

掌握完全平方公式的结构特点，并能利用公式熟练进行运算。

（2）、能力目标：培养学生发散性思维能力和推理能力，培养学生语言表达能力，动手实践能力，以及合作交流能力。

（3）情感目标：让学生在探索的过程中，体会科学发现探索方法，在合作交流中，体会团结合作精神。

能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。

3、教学重点、难点：重点：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。

难点：对公式中a、b含义的理解与正确应用。

4、教材安排：本节课先从通过计算和比较试验田的面积引出完全平方公式。

直接让学生运用多项式乘法法则推导完全平方公式。

并通过数形结合思想，让学生理解完全平方公式及其结构特点。

最后通过变式训练进行练习和巩固。

二、说教学方法及教学手段：本节课引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出开放性的问题让学生进行合作探索，让学生经历知识的形成与应用，从而更好地理解数学知识的意义。

本节课教学中，对于不同的内容选择了不同的方法。

对于求实验田的总面积，进行开放性教学,引导学生利用拼图等方法合作探究多种方法求解；运用多项式相乘推导公式，让学生独立探索；对于完全平方公式的运用，采用变式训练，促进学生灵活掌握。

为了提高课堂教学效果，本节课将借助于多媒体课件辅助教学。

三、说学法教给学生良好的学习方法比直接教给学生知识更重要。

数学教学是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程，学生的学是中心，会学是目的，因此在教学中要不断指导学生学会学习，又要给学生自主探索和合作交流时间。

本节课先从实际出发，创设有助于学生发散性思考的问题情境，引导学生自己积极思考探索，让学生经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，从而培养学生动手实践的能力，提高口头表达能力及逻辑推理能力，使学生真正成为学习的主体。

15.2.2完全平方公式(1)(特色班) 教案

15.2.2 完全平方公式1【课题】：完全平方公式1【设计与执教者】：邝维煜纪念中学朱绍恩邮箱：zsezhu@【教学时间】：【学情分析】：（适用于特色班）学生已经掌握了同类项的定义、合并同类项法则的正确应用、多项式乘以多项式法则；学生已经能够整理出公式的右边形式。

这节课的目的就是让学生从特殊性的计算上升到一般性的规律,得出公式，并能正确的应用公式。

【教学目标】：（一）教学知识点1．完全平方公式的推导及其应用．2．完全平方公式的几何解释．（二）能力训练要求1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力．2．重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．（三）情感与价值观要求在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神．【教学重点】：完全平方公式的推导过程及应用．【教学难点】：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．【教学突破点】：【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、创设情境，激发兴趣请同学们探究下列问题：（出示投影片）广药一队俱乐部为鼓励球员积极进攻，设立进球奖励，一场球赛中进一个球，俱乐部就奖励全队一万元，进两个球，俱乐部就给每个球奖两万元，进三个球，俱乐部就给每个球奖三万元，…（1）第一场广药一队进了a个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（2）第二场广药一队进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（3）第三场广药一队上半场进了a个球，下半场进了b个球，则俱乐部一共给了球队多少万元奖金？（4）球队第三场的进球数与前两场的进球数总和相同，请问球队第三场得到的奖金数与前两场他们得到的奖金总数相等吗？自主探究，积极抢答：（1）第一天俱乐部一共给了球队a2万元奖金．（2）第二天俱乐部一共给了球队b2万元奖金．（3）第三天俱乐部一共给了球队（a+b）2万元奖金．（4）球队第三天得到的奖金总数与前两天他们得到的奖金总数比较，应用减法．即：（a+b）2 —（a2+b2）万元我们上一节学了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，现在遇到了两个数的和的平方，这倒是个新问题．老师需及时表扬学生的观察力，这正是我们这节课要研究的问题．从学生熟悉的实例引入，体现了数学知识源于生活，调动学生学习的积极性。

完全平方公式(1)

完全平方公式（1）一、教学目标：1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展推理水平。

2、会推导完全平方公式，并能使用公式实行简单的计算。

3、了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景。

4、经历由一般的多项式乘法向乘法公式过渡的探究过程,进一步培养学生归纳总结的水平,并给公式的应用打下基础。

二、教学重难点教学重点；完全平方公式的准确应用。

教学难点；掌握公式中字母表达式的意义及灵活使用公式实行计算。

三、教学和活动过程：1、整个教学过程叙述：教材“完全平方公式”内容共含两课时。

本节是其中的第一课时，需40分钟完成。

2、具体教学过程设计如下：〈一〉、提出问题[引入] 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗?(x+3)2=_______________，(x-3)2=_______________，这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试：(2m+3n)2=_______________，(2m-3n)2=_______________，〈二〉、分析问题1、[学生回答] 分组交流、讨论多项式的结构特点(2m+3n)2= (2m)2+2·2m·3n+(3n)2=4m2+12mn+9n2，(2m-3n)2= (2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2，（1）原式的特点。

两数和的平方。

（2）结果的项数特点。

等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍（3）三项系数的特点（特别是符号的特点）。

（4）三项与原多项式中两个单项式的关系。

2、[学生回答] 总结完全平方公式的语言描述：两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍；3、[学生回答] 完全平方公式的数学表达式：两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.4、完全平方公式的几何背景：用不同的形式表示图形的总面积并实行比较，你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2你能使用公式计算下列各式吗?(-x-3)2=______________， (-x+3)2=_______________。

新_1.6_完全平方公式(1)教案

1.6 完全平方公式（1）一、定向示标：1．经历探究完全平方公式的过程，掌握完全平方公式的结构特征。

2. 能运用完全平方公式进行简单的计算。

二、自学指导：1、用多项式乘法法则计算：（1）（m+3）（2）(2+3x)（3）（m-3）（4）(2-3x)2、观察以上算式及其运算结果，据你的发现猜想：（1）（2） . 3、用多项式乘法法则计算验证你的猜想：（1）(a+b) （2）(a-b)即：两数和的平方，等于它们的和，加上它们乘积的倍．两数差的平方，等于它们的和，减去它们乘积的倍．三、合作探究：1．指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）（2）（3）2．利用完全平方公式计算：（1）（2x-3）（2）（4x+5y）（3）（mn-a）(4) (-2x+1)2(5) (-1-2x)2（6）（n+1）-n四、当堂训练：利用完全平方公式计算：（1）（x-2y）（2）（2xy+x）(3) (-cd+)2(4)(-2t-1)2　五、探究总结：1．完全平方公式. （1）（2） .2.结构特点：(1)左边是二项式的平方，即两数和或差的；（2）右边是三项，即这两数的和加上或减去它们乘积的倍.3.语言描述：两数和或差的　，等于这两数的　和加上或减去它们乘积的　倍.4. 利用完全平方公式时要注意：（1）准确确定a和b（2）对照公式的两边, 做到不丢项、不弄错符号（3）2ab不要少乘2。

六、达标检测：（题目另附）达标检测题利用完全平方公式计算：（1）（2x+5y）（2）（m-）(3) (x+y)2 (4) (7ab+2)2。

1.6_完全平方公式 (1)(2)

a，b怎样确定？
2 102
2 =(100+2)
2 2 =100 +2×100×2+2
=10000+400+4
=10404
2 197
2 =(200-3) 2 2 =200 -2×200×3+3
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1.利用整式乘法公式计算：
(1) (2)
2 96 2 203
例3计算:(2)(x+5)2–(x-2)(x-3)
解:
2 (2)(x+5) -(x-2)(x-3)
=(x2+10x+25)-(x2-5x+6) = x2+10x+25-x2+5x-6
=15x+19
温馨提示：1.注意运算的顺序。 2.(x−2)(x−3)展开后的结果要注意添括号。
例3 计算：(3)(a+b+3)(a+b-3)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2
归纳
(a±b)2=a2±2ab＋b2
完全平方公式的结构特征：
公式的左边是两数的和（或差）的平方，右边是这两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍。
记忆口诀：
首平方，尾平方，2倍乘积在中央。注意：公式中的字母 a，b 可以是单项式，多项式
； .
学一学
例3 计算：(1)
2 (x+3)
-
2 x
你能用几种方法进行计算?试一试。解:方法一：完全平方公式合并同类项
2 2 (x+3) -x
2 2 =x ＋6x+9-x

完全平方公式(1)

“用”公式，综合应用
(1)x 1x 1 x 1
2

2
(2)x 1 x 1 x 1
2 2 2
2 =x -4xy
+4y2
6
“拓”公式，思维拓展
想
+4y2
2 =x -4xy
6
“拓”公式，思维拓展
想一想
a b
3

+4y2
2 =x
两数和的平方，等于这两数的平方和，说一说两公加上这两数积的2倍。式的特征 (a-b) 2 =a2 -2ab+b2
-
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍。
-

5
“用”公式，学以致用
(1)2x 3
2
(2)4 x 5
义务教育课程标准七年级下册
第一章
整式的乘除
1.6
完全平方公式（1）
授课人：方敏
从前有一个贪心的财主，人们叫他巴依老爷。巴依老爷有两块地，一块面积 2 2 为 a ，另一块面积为 b 而阿凡提只有一块地，面积为 (a b)
2
有一天，巴依老爷眼珠一转对阿凡提说： “我用我的两块地换你的一块地，可以吗?”阿凡提答应了吗？
法3
利用化归思想 (a-b) =[a+(-b)]
2
2

2 2
“证”公式，以形推数合作交流，探求新知
利用“几何图形的面积”
b
a
b

4
“说”公式，提炼提升
2 (a+b) +
=a2 + 2ab+b2
1
“识”公式，以形推数
b

人教版八上册第十四章：完全平方公式(一)

完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
右边特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母表述文字表述
左边特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
完全平方公式
(a+b)(a-b)= a2-b2．
字母表述文字表述左边特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2．
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2． (a-b)2= a2-2ab+b2．
右边特点
创设情境，归纳公式
问题6
字母表述文字表述左边特点
对比完全平方公式与平方差公式．
平方差公式
巩固应用
例6如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径为a与b的两个圆，求剩下的钢板的面积．
解：依题意可列式：
(a b)2 (a)2 (b)2
2
2
2
( a2 ab b2 a2 b2 )
42444
ab ab
22
答：剩下的钢板的面积为
ab
14.2.2完全平方公式（一）
学习目标
1．会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单的运算． 2．会用几何拼图方式验证完全平方公式． 3．培养学生数学语言表达能力和运算能力．
复习回顾，引入新课
问题1（1）什么是平方差公式？分别用文字和字母表述．两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． (a+b)(a-b)= a2-b2 （2）用平方差公式计算： ① (-m+5n)(-m-5n) = m2-25n2 ② (3x-1)(3x+1)= 9x2-1 ③ (y+3x)(3x-y)= 9x2-y2 ④(-2+ab)(2+ab)= a2b2-4

（1）完全平方公式

（1）完全平方公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式1. 下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B ．3226()ab a b =C ．222()a b a b -=-D ．532a a -=答案：B2. 已知2()8m n -=，2()2m n +=，则22m n +=( ) A ．10 B ．6C ．5D ．3答案：C3. 当3a =，2b =时，222a ab b ++的值是( ) A ．5 B ．13C ．21D ．25答案：D4. 若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=，则下列式子一定成立的是( ) A ．0x y z ++= B ．20x y z +-=C ．20y z x +-=D ．20z x y +-=答案：D5. 若a 、b 是正数，1a b -=，2ab =，则a b +=( )A ．3-B ．3C ．3±D ．9答案：B6. 下列运算正确的是( ) A ．22232x x x -= B ．22(2)2a a -=-C ．222()a b a b +=+D ．2(1)21a a --=--答案：A7. 若a 满足22(38383)38383a -=-⨯，则a 值为( ) A ．83 B ．383C ．683D ．766答案：C8. 下列各式中，与2(1)x -相等的是( ) A ．21x - B ．221x x -+C ．221x x --D ．21x +答案：B9. 下列计算正确的是( )A．23325x x x += B．222()a b a b -=- C．326()x x -= D．2363412x x x ⋅=答案：C10. 若3a b +=，则222426a ab b ++-的值是( ) A ．12 B ．6C ．3D ．0答案：A11. 已知2225x y +=，7x y +=，且x y >，那么x y -的值等于( ) A ．1± B ．7±C ．1D ．1-答案：C12. 小明做题一向粗心，下面计算，他只做对了一题，此题是( ) A ．336a a a +=B ．257a a a ⋅=C ．326(2)2a a =D ．222()a b a ab b -=-+答案：B13. 某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式．结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a 、b ，都有a b +≥成立．某同学在做一个面积为36002cm ，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来作对角线用的竹条至少需要准备x cm ．则x 的值是( )A ．B ．C ．120D ．60答案：C14. 当2x =-时，代数式221x x -+-的值等于( ) A ．9 B ．9-C ．1D ．1-答案：B15. 已知3a b +=，339a b +=，则ab 等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：B16. 设22(53)(53)a b a b A +=-+，则A =( ) A ．30ab B ．15abC ．60abD ．12ab答案：C17. 若7m n +=，12mn =，则22m mn n -+的值是( ) A ．11 B ．13C ．37D ．61答案：B18. 运算结果为222mn m n --的是( ) A ．2()m n - B ．2()m n --C ．2()m n -+D ．2()m n +答案：B19. 已知2()8a b +=，2()12a b -=，则ab 的值为( ) A ．1B ．1-C ．4D ．4-答案：B20. 已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结果正确的是( ) A ．2()91x y -= B ．2265x y += C ．22511x y += D ．22567x y -=答案：B21. 不论x 、y 为什么实数，代数式22247x y x y ++-+的值( ) A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数答案：A22. 若156x =，144y =，则 221122x xy y ++的值是( ) A ．150 B ．45000 C ．450 D ．90000答案：B23. 不论m ，n 为何有理数，22248m n m n +--+的值总是( ) A ．负数 B ．0 C ．正数 D ．非负数答案：C24. 已知代数式2221a a -+-，无论a 取任何值，它的值一定是( ) A ．正数 B ．非正数 C ．非负数 D ．负数答案：D25. 已知实数x 满足13x x +=，则221x x+的值为____________。

6.7 完全平方公式(1)

注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．完全平方公式的结果是三项，结果不同：即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果是两项，即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.
解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 = 4x2 − 12x + 9 ;
减去第一数与第二数乘积的2倍, 加上第二数的平方.
随堂练习
1、计算：
(1) ( 1 x − 2y)2 ； (2) (2xy+ 1 x )2 ；
5 2
(3) (n +1)2 − n2.
＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2. (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1).
a
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? (2)小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2 她是怎么想的?你能继续做下去吗?
完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，
b
因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种 a (如图).
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
b
探索: 你发现了什么?

学好完全平方公式的三点提示

学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式．解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-．说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体．正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方．正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。

完全平方公式(一)教案及教案说明

第一章整式的运算完全平方公式（一）第一课时教案北师大版义务教育课程标准实验教科书七年级（下）第一章整式的运算8 完全平方公式第一课时教学目标1知识目标：使学生理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行相关的计算。

2能力目标：通过活动渗透建模、化归、换元、数形结合等数学思想，增强其应用意识，提高解决问题的能力和创新能力。

3情感目标：激发学生的好奇心和求知欲，培养学生学习数学的兴趣，体验数学的学习过程充满着探索性和创造性，增强学生学好数学的信心。

教学重点与难点教学重点：1完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表达、理解公式的本质。

2完全平方公式的应用。

教学难点：1完全平方公式的推导过程。

2完全平方公式的结构特征及其应用。

教学方法教学方法：引导探索法和赏识教学。

教学手段：采用黑板与投影相结合。

学法指导：倡导学生自主学习、尝试学习、探究学习、合作交流学习。

教学过程一、回顾与思考复习已学过的平方差公式1平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的乘积。

右边是两数的平方差。

2应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。

（要完全符合平方差公式的结构特征的情况下才可以使用，否则就必须用多项式乘法法则来计算）二、引入新课出示幻灯片，提出问题。

一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。

用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。

（由于之前对列代数式的学习所以大部分学生能想到两种不同的方法）直接求：（a+b）2间接求：a2+ab+ab+b2问：你发现了什么？引导学生得出公式：（a+b）2=a2+2ab+b2（两数和的完全平方公式）想一想：（1）（a+b）2等于什么？你能用多项式的乘法法则说明理由吗？（让学生用口头叙述推导过程）接下来让学生先了解一下两数和的完全平方公式的结构特征。

完全平方公式(1)

完全平方公式(1)

《完全平方公式(1)》参考课件

完全平方公式(1)

北师大版初中数学七年级下册第1章《完全平方公式（一）》说课稿

15.2.2完全平方公式(1)(特色班) 教案

完全平方公式(1)

新_1.6_完全平方公式(1)教案

1.6_完全平方公式 (1)(2)

完全平方公式(1)

人教版八上册 第十四章：完全平方公式(一)

（1）完全平方公式

6.7 完全平方公式(1)

学好完全平方公式的三点提示

完全平方公式(一)教案及教案说明

人教版八上册第十四章：完全平方公式(一)