九年级数学上册 3.5 三角形的内切圆课件 (新版)青岛版.pptx
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青岛版九年级上册数学《三角形的内切圆》PPT教学课件
3.5 三角形的内切圆
A
B
C
学习目标：
1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
1 ． 任 意 作 一 个 ∠ ABC ， 如 果 在 ∠ABC内作圆，使其与两边OA、 OB相切，满足上述条件的圆是否 可以作出？如果可以作，能作多 少个？所作出的圆的圆心O的位 置有什么特征？为什么？
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
度。
2
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
∠BOC
=90
°+
1
2
∠A
名称
确定方法
图形
性质
外心 (三角形 外接圆的 圆心)
三角形三 边中垂线 的交点
B
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
O
三角形的内部．
C
内心
（三角形 内切圆的 圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清 “内心”与“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想 的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转 化为数学问题。
r =a+b-c
2
课堂小结：
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形 的内切圆、圆的外切三角形概念. 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外 心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零 思想的运用.
3.内心在三角形内部．
A
B
C
学习目标：
1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
1 ． 任 意 作 一 个 ∠ ABC ， 如 果 在 ∠ABC内作圆，使其与两边OA、 OB相切，满足上述条件的圆是否 可以作出？如果可以作，能作多 少个？所作出的圆的圆心O的位 置有什么特征？为什么？
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
度。
2
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
∠BOC
=90
°+
1
2
∠A
名称
确定方法
图形
性质
外心 (三角形 外接圆的 圆心)
三角形三 边中垂线 的交点
B
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
O
三角形的内部．
C
内心
（三角形 内切圆的 圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清 “内心”与“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想 的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转 化为数学问题。
r =a+b-c
2
课堂小结：
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形 的内切圆、圆的外切三角形概念. 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外 心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零 思想的运用.
3.内心在三角形内部．
青岛版数学九年级上册3.5 三角形的内切圆
已知:如图,△ABC的面积为S,三 边长分别为a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r.
2S r . B abc 1 S r a b c . 2
A D
●
O
┓
F
E
C
这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周 长与内切圆半径乘积的一半.
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,BC=5,r=2. 求△ABC的周长.
A O
1 同理 ∠OCB= ∠OCA= 2 ∠ACB=35 ° B ∴ ∠BOC=180 ° 1（∠ABC＋ ∠ACB） 2
C
-
= 180 °－60 °=120 ° （2）若∠A=80 °,则∠BOC=
度。 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由．
典型例题
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
3 45 r 1. 2
B A D
●
O
┓
┗ F
E
C
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
abc r . 2
练 习
1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ） （A）梯形 （C）矩形 （B）菱形 （D）平行四边形
2、如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的 外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
3 、如图，菱形 ABCD 中，周长为 40 ，∠ABC=120°，则 内切圆的半径为（ ） 5 2 2 5 2 （D） 3 （A） 3 （B） 2 （C） 2 3 3 2 4 、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆， D 、 E 、 F 是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （C）120° （B）110° （D）130°
2S r . B abc 1 S r a b c . 2
A D
●
O
┓
F
E
C
这个结论可叙述为:三角形的面积等于其周 长与内切圆半径乘积的一半.
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,BC=5,r=2. 求△ABC的周长.
A O
1 同理 ∠OCB= ∠OCA= 2 ∠ACB=35 ° B ∴ ∠BOC=180 ° 1（∠ABC＋ ∠ACB） 2
C
-
= 180 °－60 °=120 ° （2）若∠A=80 °,则∠BOC=
度。 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？ 请说明理由．
典型例题
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
3 45 r 1. 2
B A D
●
O
┓
┗ F
E
C
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C 是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
abc r . 2
练 习
1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ） （A）梯形 （C）矩形 （B）菱形 （D）平行四边形
2、如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的 外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
3 、如图，菱形 ABCD 中，周长为 40 ，∠ABC=120°，则 内切圆的半径为（ ） 5 2 2 5 2 （D） 3 （A） 3 （B） 2 （C） 2 3 3 2 4 、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆， D 、 E 、 F 是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （C）120° （B）110° （D）130°
三角形的内切圆课件
△ABC ⊙O的外 三角形三条 到三角形的
的内切 切三角 角平分线的 三条边的距 一定在三角形内部
圆
形
交点
离相等
知2－讲
导引：根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ BC2 AC2 82 62 ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
2. 要点精析： (1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆； (2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．
知1－讲
例1 下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ C ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
知2－练
1 (202X·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容 圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长 为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆 形 (内切圆)直径是多少？”( ) A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
知1－讲
导引：由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角 形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求 解即可求得答案． 解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的 定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理 可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形 的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离 相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正 确的说法为：①②④.
三角形内切圆PPT课件
F
多边形叫做 圆的外切多边形 。
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆，
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
2021
11
A
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。
⊙ O是△ABC的 外接 圆， 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边中垂线 2.如图2，△DEF是⊙I的 外切
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c解得来自r＝a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
的三个内角的度数.
A
F
IE
●
B
C
D
2021
30
7.如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的
外接圆相交于点D.
求证：DE＝DB
A
DE ²= AE ·DF .
21
E
B
34 5
F
C
D
2021
31
5
试一试:
你能画出一个三角形的内切圆吗?
作法：1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
2014秋青岛版数学九上3.5《三角形的内切圆》ppt课件2
议一议
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质：
1、三角形的内心是三角形的三条 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
NIM
2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. B
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
3.以I为圆心,ID为半径作
⊙I,⊙I就是所求的圆.
想一想
三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么?
∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相
F
等(为什么?),
A
E I
●●
B
┓
C
∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个, 并且只能作一个.
青岛版九年级上册3.5 三角形的内切圆(共12张PPT)
11
小
结
1.掌握三角形内切圆的概念；
2.会画三角形的内切圆；
3.会处理与三角形内切圆相关的题目.
12
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
10
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
则它的内切圆与外接圆半径分别为（ C ）
A．1.5，2.5 C．1，2.5 B ．2，5 D．2，2.5
2．如图2，⊙O是△A BC的内切圆，D，E，F是切点， 点，∠A=50°，∠C=60°，• 则∠DOE=（ B ） A．70° B．110° C．120° D. 140°
8
3．如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（ A．112.5° B．112° C．125°
A）
D．55°
9
4．下列命题正确的是（ C ）
3.5
三角形的内切圆
1
1.掌握三角形内切圆的概念；
2.会画三角形的内切圆； 3.会处理与三角形内切圆相关的题目.
2
（1）任意作一个∠AOB，如果在 ∠AOB内作圆，使其与两边OA，OB都 相切，满足条件的圆是否可以作出？
B C
圆心都在 ∠AOB的平分 线上
O
A
3
（2）任意作一个△ABC，如果在△ABC内作圆，使其
与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果
可以作出，能作出几个？圆心位置有什么特征？
4
Байду номын сангаас
（3）怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相 切呢？ A 已知:⊿ABC.
求作：⊙I，使它与⊿ABC各边都相切. 作法
三角形的内切圆 完整版课件
（ ×） （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径——6—.5c—m，内切圆半径——2—cm—。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比——2:—1 —。
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC
的外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
A
12
O
3
4
B5
C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否 都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，
则内切圆的半径为（ ）
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
C
E
课堂练习： 1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（√ ） （2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（×）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ×）
因此三角形的内心是三个内角的角平分线的交，点 它到 三边的距离相等 距离相等
C O就是所求的圆。
想一想：根据作法,和三角形各边都
相切的圆能作出几个？ 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
2、和多边形的各边都相
切的圆叫做多边形的内
切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆
九年级数学上册3.5三角形的内切圆三角形内切圆几个公式的应用素材青岛版(new)
三角形内切圆几个公式的应用公式 1 。
△ABC，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b,AB＝c,内切圆半径为r,则r＝12（a+b—c）。
证明:如图1，⊙O内切于△ABC，D、E、F为切点，由切线长定理知：AF=AE,CE=CD,BF=BD.∴a+b—c=（BD+DC)+（AE+EC）—(AF+BF)=2CE=2r。
∴r＝12(a+b—c)。
点评：此公式只适用于直角三角形。
公式2 . 若O为△ABC的内心,则∠AOB=90°+ 12∠ACB。
证明：如图2，∴⊙O为△ABC的内切圆，∴∠1= 12∠CAB，∠2=12∠ABC,∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°- 12(∠CAB+∠ABC）=180°-12（180°—∠ACB）=90°+ 12∠ACB。
公式3 .如图3，在△ABC中,内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，则∠FDE=90°-12∠ACB.证明:连结OE、OF，则OF⊥AC，OE⊥BC，四边形CFOE内角和为360°，∴∠FOE+∠C=180°，又因为∠FDE= 12∠FOE，∴∠FDE=90°—12∠ACB。
点评：由在同一个圆中,同弧所对的圆周角相等可知，即使D点不为切点，只要∠FDE所对的弧为EF，都有∠FDE=90°—12∠ACB。
公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r =2sa b c++。
A CBDE图1ABC图2ABCD图3AC图4证明:如图4,⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC，S=S △AIB +S △AIC +S △BIC =12 AB ·r+ 12 AC ·r+ 12CB ·r= 12cr+ 12 ar+ 12br= 12（a+ b+c ）r ∴r = 2sa b c++。
青岛版 3.5三角形的内切圆
解：∵点I是△ABC的内心 ∴AI平分∠BAC ∴∠1=½ ∠BAC=½ ×40° =20° 同理：∠2=35° ∴∠AIB=180°-∠1-∠2 =180°-20°-35° =125° 同理： ∠BIC=110°∠AIC=125°
B
2
I
1
A
C
课堂小结 1、定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形。 2、注意的问题： （1）三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 （2）“切”是指相切，“内” “外”是相对而言的。 （3）一个圆有无数个外切三角形，而一个三角形只有一 个内切圆。 （4）任意三角形的内心都在其内部。 （5）遇到三角形的“内心”常作的辅助线是：连接内心与 顶点，得到一条角平分线。 （6）等边三角形的内心，外心重合。
• a E
cr br br = 2 2 2
=
a b c r
2
2s 切记：一般三角形的内切圆半径公式：r= abc
1 = （a+b+c）•r 2
练习： 1 ⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿
1.5 ⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿
例3.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边BC、 AC、AB的长分别为a、b、c，求其内切圆סּO的半径 长.
2s (7)一般三角形的内切圆半径公式：r= abc
a b-c (8)直角三角形的内切圆半径公式r = 2 其中a,b为直角边，c为斜边。
A
名称 外 心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定方法 三角形三 边垂直平 分线线的 交点
图形
A
三角形内切圆+课件
通过三角形的三条高作内切圆
总结词
利用三角形三条高的垂足连线作内切 圆
详细描述
在三角形ABC中，分别作高AD、BE 、CF，垂足分别为D、E、F，然后分 别连接DE、EF、FD，则三角形DEF就 是三角形ABC的内切圆。
04
三角形内切圆的应用
在几何作图中的应用
确定三角形内切圆的圆心
绘制三角形内切圆
内切圆半径
从三角形内切圆的圆心到三角形 任意一边的距离就是内切圆的半 径。
三角形内切圆的重要性
面积计算
通过三角形内切圆的半径可以快速计 算三角形的面积，公式为：面积 = (p × r) / 2，其中p为半周长，r为内 切圆半径。
几何性质研究
三角形内切圆是研究三角形几何性质 的重要工具，如重心、垂心等性质都 与内切圆有关。
详细描述
切线定理说明了三角形内切圆的切线与对应的底边平行，这 是由于内切圆的半径垂直于切线，并且与底边平行。同时， 切点到三角形三个顶点的距离相等，即内切圆的半径等于三 角形周长与面积之比的一半。
切线和半径的定理
总结词
切线和半径的定理表明三角形内切圆的半径等于该三角形的高与底边长度之比。
详细描述
这个定理说明了三角形内切圆的半径与三角形的高和底边长度之间的关系。具体 来说，内切圆的半径等于三角形面积与高和底边长度乘积之比。这个定理在解决 几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到三角形内切圆的半径。
通过三角形三边的垂直平分线的交点 确定内切圆的圆心。
根据圆心和半径，使用几何作图方法 绘制出三角形的内切圆。
计算内切圆的半径
利用三角形面积和半径公式，可以求 出内切圆的半径。
在三角形面积计算中的应用
要点一
相关主题
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(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长
ra、=b、ac的关系ab是b c 12
谢谢同学们的 参入配合！
13
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
1
3.5 三角形的内切圆
2
【学习目标】
1.了解三角形的内切圆相关的概念 2.能利用三角形内心的性质进行证明 和计算 (重点、难点）
【教学重点，难点】
能利用三角形内心的性质进行证明和 计算
3
活动一：思考、操作
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
8
探讨1： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的
各边长之和为C，△ABC 的面积S,我们会有什
么结论?
A
D
•
F
1
O
S = rC
B
r
2
（C为三角形周长，r为内切圆半径）
E直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为
c 则其内切圆的半径ｒ为:
A
A
O B
B
C
4
三角形 内切圆 作法：
1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
NM I
B
D
C
5
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
性质： 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；内心
与顶点连线平分每一个A内角。
D
3.三角形的内心在三角 形的内部.
r
C
O
E F
6
B
例1：
在△ABC中，∠A=680,点I是 △ABC内心。求
∠BIC的度数 。
A
引申提升： • 已知:在上题中，如果 B ∠ A=x0 ,点I是 △ABC内心。则 ∠BIC的度数是多少？
r = ab a+b+c
（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） A
跟踪练习：直角三
角形的两直角边分别 是5cm，12cm 则其 内切圆的半径为2cm ______。
b
c
D rO r
C Ea B 10
实际运用
如图，在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造
了一座镇标雕塑。已知雕塑中心M到道路三边AC、
BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。
• 图一，在∠AOB内作圆，使其与两边OA、 OB 都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？ 如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心 的位置有什么特征？你是如何确定圆的半径的？ • 图二，在△ABC内作圆，使其与各边都相切， 满足上述条件的圆是否可以作出，如果可以作出 ，能作多少个？所作出的圆的圆心是如何确定的 ？半径是如何确定的？请在图中作出△ABC的内 切圆。
请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距
离有多远？
A
镇
商
业 区
D
M.
F
CE
B
镇工业区
11
回头一看，我想说…
小结： （1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心
（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点 （3）三角形内心到三边的距离相等
（4）三角形面积
（C为三角形周长，r为内切S圆=半1径r）C 2
I 1
A
I
B
1
2
C
C 27
类比归纳
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
o
性质
A 1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内
C 部．
B
内心： 三角形 内切圆
三角形三条 角平分线的 交点
的圆心
B
A
1.到三边的距离
相等；
O
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
ra、=b、ac的关系ab是b c 12
谢谢同学们的 参入配合！
13
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
1
3.5 三角形的内切圆
2
【学习目标】
1.了解三角形的内切圆相关的概念 2.能利用三角形内心的性质进行证明 和计算 (重点、难点）
【教学重点，难点】
能利用三角形内心的性质进行证明和 计算
3
活动一：思考、操作
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
8
探讨1： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的
各边长之和为C，△ABC 的面积S,我们会有什
么结论?
A
D
•
F
1
O
S = rC
B
r
2
（C为三角形周长，r为内切圆半径）
E直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为
c 则其内切圆的半径ｒ为:
A
A
O B
B
C
4
三角形 内切圆 作法：
1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
NM I
B
D
C
5
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
性质： 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；内心
与顶点连线平分每一个A内角。
D
3.三角形的内心在三角 形的内部.
r
C
O
E F
6
B
例1：
在△ABC中，∠A=680,点I是 △ABC内心。求
∠BIC的度数 。
A
引申提升： • 已知:在上题中，如果 B ∠ A=x0 ,点I是 △ABC内心。则 ∠BIC的度数是多少？
r = ab a+b+c
（以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） A
跟踪练习：直角三
角形的两直角边分别 是5cm，12cm 则其 内切圆的半径为2cm ______。
b
c
D rO r
C Ea B 10
实际运用
如图，在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造
了一座镇标雕塑。已知雕塑中心M到道路三边AC、
BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。
• 图一，在∠AOB内作圆，使其与两边OA、 OB 都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？ 如果可以作出，能作多少个？所作出的圆的圆心 的位置有什么特征？你是如何确定圆的半径的？ • 图二，在△ABC内作圆，使其与各边都相切， 满足上述条件的圆是否可以作出，如果可以作出 ，能作多少个？所作出的圆的圆心是如何确定的 ？半径是如何确定的？请在图中作出△ABC的内 切圆。
请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距
离有多远？
A
镇
商
业 区
D
M.
F
CE
B
镇工业区
11
回头一看，我想说…
小结： （1）三角形的内心是三角形内切圆的圆心
（2）三角形的内心是三角形各角平分线的交点 （3）三角形内心到三边的距离相等
（4）三角形面积
（C为三角形周长，r为内切S圆=半1径r）C 2
I 1
A
I
B
1
2
C
C 27
类比归纳
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
o
性质
A 1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内
C 部．
B
内心： 三角形 内切圆
三角形三条 角平分线的 交点
的圆心
B
A
1.到三边的距离
相等；
O
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、