37-静电场的能量

1 2
k qk
这是多导体系统静电场能量计算公式。
2．静电场能量的分布
连续分布电荷系统静电能量的表达式为
下午11时26分36秒
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工程电磁场 主讲人： 王泽忠
We

1 2

V
dV


1 2

S
dS
考虑导体表面电荷和空间体电荷分布的情况，
在有体电荷分布的空间区域有 D ，
V
D2 dV

电场能量分布于电场存在的整个空间，能量密度为
we
=
1 2
DE

1 E 2 2

1 2
D2
例 如图所示，
求真空中半径为 a ，
带电荷量为 q 的
导体球所产生的静电场的静电能量。
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解 根据电荷分布的球对称性，
导出反映电磁场能量守恒与转换关系的坡印亭定理。
最后讨论计算电场力和磁场力的虚位移法。
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8.1 静电场的能量
1．静电场能量的来源
设静电场中电荷分布的体密度为 ，面密度为 ，
所产生电场的电位为 。（最终状态）
假定在电场的建立过程中各处的电荷密度从零开始
以相同的比例同步增长，则有系数 0～1，
当电荷分布为 和 时，所产生的电位分布应为 。
当电荷分布由 和 增加到
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增加到 d 和 d 时，
运送电荷 d 和 d ，
We
=
1 2
S
D dS+ 1 2V
D
EdV

1 2
S
D endS
1
=
2

V
D

EdV


S0
D

dS
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在无穷远边界的积分项中，
1 r
，D

1Biblioteka Baidur2
，S
r2
，当 r 时，
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就是将电荷量 q 压缩到体积为零的点上，
克服电场力的外力所做的功，
这叫做点电荷的自有静电能量。
这一过程外力所做功必为无穷大。
点电荷形成以后，
将其放置在设定的位置，形成点电荷系统。
在这个过程中克服电场力的外力还要做功。
静电能量改变。
这部分增加的静电能量称为互有静电能量。
对于 R a ，应用高斯通量定理,
得
q E 4 0 R 2 eR
（1）由导体球的电位 q , 4 0a
1
q2
可得 We 2 q 8 0a
（2）由静电能量密度
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we

1 2

0
E
2
en 是导体表面外法线方向的单位矢量。
根据矢量恒等式 ha h a a h ，
将 h , a D 代入，得
D D D
将 E 代入上式，可得
We

1 2

V


DdV

1 2

V
D

EdV+
有 D dS 0 ，所以 S0
We
=
1 2
V
D

EdV
由电场强度和电位移矢量计算电场能量的公式。
在线性媒质中， D E ，则上式可写成
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We

1 2

V
E 2 dV
；
We

1 2

1 2

S
D

e ndS

根据散度定理，可得
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1 2
V


(D)dV

1 2

S
D

d
S
S 导体以外空间的闭合边界面，
在导体表面 dS 与 en 方向相反。
考虑到空间的外边界即无穷远边界面 S0 ，有
S
dS
由电场的源和源处的电位计算电场能量的公式。
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工程电磁场
特例：
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n 导体组成的静电系统，有
We

n k 1
1 2
Sk
k kdSk

n k 1
1 2 k
Sk
k dSk
n

k 1
在无体电荷的空间区域 D 0 ；
在导体表面 D en 。
代入静电场能量计算式，整个空间，可得
1
1
We 2 V DdV + 2 S D endS
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V 是导体之外的整个空间， S 是所有导体的表面，
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1
1
A 0 d dV 0 d dS
V
S

1 2

V
dV


1 2

S
dS
V 为体电荷分布的空间， S 是面电荷分布的曲面。
因此，电场能量可表示为
We

1 2
dV
V

1 2


1 2
q2
42 0R4
,积分,得
We
V
wedV
4R2
q2
dR
a
2 42 0R4
q2
8 0 R
a
q2
80 a
3．点电荷系统的静电能量
点电荷相当于带电导体球半径趋近于零的情况。
因此，单个点电荷产生电场的静电能量为无穷大。
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反抗电场力的外力所做的功应为
dA ddV ddS
V
S
电场建立过程中反抗电场力的外力所做的功为
1
1
A 0 ddV 0 ddS
V
S
计算出对 的积分，得
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8 电磁场的能量和力
从外力做功导出
静、磁场能量与场源及位函数之间的关系。
静电场和恒定磁场的能量密度。
恒定电流场中，必须克服粒子碰撞的阻力而做功。
由此导出了焦尔定律微分形式。